Phương pháp không gian trạng thái

Chia sẻ: Huỳnh Minh Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khuynh hướng hiện đại trong hệ thống kỹ thuật là hướng tới sự phức tạp hơn, bởi vì chủ yếu yêu cầu của các nhiệm vụ phức tạp và độ chính xác tốt. Hệ thống phức tạp có thể có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra và có thể thay đổi theo thời gian. Bởi vì sự can thiết để đáp ứng yêu cầu gia tăng về chất lượng của hệ thống điều khiển, sự gia tăng trong độ phức tạp hệ thống, và dễ dàng truy xuất đến máy tính lớn phức tạp, lý thuyết điều khiển hiện đại,màlà moat tiếp can mới...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp không gian trạng thái

1 Phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 1. Moâ hình trong khoâng gian traïng thaùi: Lyù thyuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi. Khuynh höôùng hieän ñaïi trong heä thoáng kyõ thuaät laø höôùng tôùi söï phöùc taïp hôn, bôûi vì chuû yeáu yeâu caàu cuûa caùc nhieäm vuï phöùc taïp vaø ñoä chính xaùc toát. Heä thoáng phöùc taïp coù theå coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra vaø coù theå thay ñoåi theo thôøi gian. Bôûi vì söï can thieát ñeå ñaùp öùng yeâu caàu gia taêng veà chaát löôïng cuûa heä thoáng ñieàu khieån, söï gia taêng trong ñoä phöùc taïp heä thoáng, vaø deã daøng truy xuaát ñeán maùy tính lôùn phöùc taïp, lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi,maølaø moat tieáp can môùi trong phaân tích vaø thieát keá heä thoáng ñieàu khieån phöùc taïp, ñaõ ñöôïc phaùt trieån töø naêm 1960. Tieáp can naøy döïa treân khaùi nieäm traïng thaùi. Khaùi nieäm traïng thaùi töï noù khoâng coù gìmôùi vì noù ñaõ toàn taïi trong thôøi gian daøi tronglónh vöïc ñoäng hoïc coå ñieån vaø caùc lónh vöïc khaùc. Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi vaø lyù thuyeát ñieàu khieån thoâng thöôøng (coå ñieån). Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi thì ñoái laäp vôùi lyù thuyeát ñieàu khieån thoâng thöôøng (coå ñieån). Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi coù theå öùng duïng trong heä thoáng coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra (multi-input-multi-output system), coù theå laø heä tuyeán tính hay phi tuyeán, baát bieán theo thôøi gian hay thay ñoåi theo thôøi gian. Trong khi lyù thuyeát ñieàu khieån coå ñieån chæ coù theå öùng duïng ñöôïc cho heä thoáng moat ngoõ vaøomoät ngoõ ra baát bieán theo thôøi gian. Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi chuû yeáu laø tieáp can mieàn thôøi gian, trong khi lyù thuyeát ñieàu khieån coå ñieån laø tieáp can mieàn taàn soá phöùc. Tröôùc khi chuùng ta tieán haøn hôn nöõa, chuùng ta phaûi ñònh nghóa traïng thaùi, bieán traïng thaùi, vectô traïng thaùi vaø khoâng gian traïng thaùi. Traïng thaùi. Traïng thaùi cuûa moat heä thoáng ñoäng laø taäp hôïp nhoû nhaát cuûa caùc bieán (ñöôïc goïilaø bieán traïng thaùi) ñeå maø tri thöùc cuûa nhöõng bieán naøy taïi t=t0 cuøng vôùi tri thöùc cuûa ngoõ vaøo ôû t>=t0, hoaøn toaøn xaùc ñònh haønh vi cuûa heä thoáng cho baát kì t>=t0. Chuù yù laø khaùi nieäm traïng thaùi khoâng chæ giôùi haïn tôùi heä thoáng vaät lí. Noù coøn aùp duïng ñöôïc cho heä thoáng sinh hoïc, heä thoáng kinh teá, heä thoáng xaõ hoäi hay caùi khaùc. Bieán traïng thaùi. Bieán traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng laø nhöõng bieán taïo neân taäp hôïp nhoû nhaát cuûa caùc bieán maø xaùc ñònh traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng. Neáu ít nhaát n bieán x1 , x 2 ,..., x n ñöôïc can ñeå moâ taû ñaày ñuû haønh vi cuûa heä thoáng ñoäng (ñeåmaø khi ngoõ vaøo vôùi t>=t0 vaø traïng thaùi ñaàu taïit=t0 ñöôïc chæ ra, thì traïng thaùi töông lai cuûa heä thoáng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh), theá thì n bieán nhö vaäy laø taäp hôïp bieán traïng thaùi. Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
2 Chuù yù laø bieán traïng thaùi khoâng can ñöôïc ño löôøng vaät lí hay laø ñaïi löôïng coù theå quan saùt ñöôïc. Bieán traïng thaùi maø khoâng theå hieän ñaïi löôïng vaät lí vaø maø hoaëc khoâng ño löôøng hay quan saùt ñöôïc thì coù theå ñöôïc choïn nhö bieán traïng thaùi. Söï choïn töï do bieán traïng thaùi laø moat thuaän lôïi cuûa phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi. Vectô traïng thaùi. Neáu n bieán traïng thaùi ñöôïc can ñeå moâ taû hoaøn toaøn haønh vi cuûa cuûa moat heä cho tröôùc, thì n bieán traïng thaùi naøy coù theå ñöôïcxem nhö laø n thaønh phaàn cuûa vectô x. Vectô nhö vaäy ñöôïc goïi laø vectô traïng thaùi. Moät vectô traïng thaùi laø vectô maø xaùc ñònh duy nhaát traïng thaùi heä thoáng x(t) cho baát kì t>=t0, vì traïng thaùi taïi t=t0 laø ñöôïc cho tröôùc vaø ngoõ vaøi u(t) vôùi t>=t0 ñöôïc chæ ra. D(t) U(t) x (t ) x(t) y(t) B(t) ∫ dt C(t) A(t) Hình: Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc, tuyeán tính ñöôïc theå hieän trong khoâng gian traïng thaùi. Khoâng gian traïng thaùi. Khoâng gian n chieàu maø truïc toaï ñoä goàm coù truïc x1, truïc x2,…, xn laø caùc bieán traïng thaùi, thì ñöôïc goïi laø khoâng gian traïng thaùi. Baát kì traïng thaùi coù theå ñöôïc theå hieän bôûi moat ñieåm trong khoâng gian traïng thaùi. 1.1.Phöông trình traïng thaùi: Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
3 Giaû söû heä thoáng coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra goàm n boä tích phaân. Cuõng giaû söû laø coù r ngoõ vaøo u1 (t ), u 2 (t ),..., u r (t ) ,vaø m ngoõ ra y1 (t ), y 2 (t ),..., y m (t ) . Ñònh nghóa n ngoõ ra cuûa boä tích phaân nhö laø bieán traïng thaùi x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t ) . Theá thì heä thoáng coù theå ñöôïc moâ taû bôûi: x1 (t ) = f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) x 2 (t ) = f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) . (1) . . x n (t ) = f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) Ngoõ ra y1 (t ), y 2 (t ),..., y m (t ) cuûa heä thoáng ñöôïc cho bôûi: y1 (t ) = g 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) y 2 (t ) = g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) . (2) . . y m (t ) = g m ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) Neáu chuùng ta ñònh nghóa  x1 (t )   f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )   x (t )   f ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t )   2   2 1 2 n 1 2 r   .  .  x(t ) =  , f ( x, u , t ) =    .  .   .  .       x n (t )  f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )  y1 (t )   g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )   u1 (t )   y (t )   g ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t )  u (t )  2   2 1 2 n 1 2 r   2   .  .   .  y (t ) =  , g ( x, u , t ) =  , u (t ) =    .  .   .   .  .   .         y m (t )  g m ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) u r (t )  Thì phöông trình (1) vaø (2) trôû thaønh: Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
4 x (t ) = f ( x, u , t ) (3) y (t ) = g ( x, u , t ) (4) Phöông trình (3) laø phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình (4) laø phöông trình ngoõ ra. Neáu haøm vectô f vaø g baogoàm thôøi gian t töôøng minh thì heä thoáng ñöôïc goïi laø heä thay ñoåi theo thôøi gian. Neáu phöông trình (3) vaø (4) ñöôïc tuyeán tính hoùa quanh traïng thaùilaøm vieäc, thì chuùng ta coù phöông trình traïng thaùi tuyeán tính hoùa vaø phöông trình ngoõ ra: x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ) (5) y (t ) = C (t ) x (t ) + D (t )u (t ) (6) Trong ñoù A(t) ñöôïc goïilaøma traän traïng thaùi, B(t) laø ma traän ngoõ vaøo, C9t) laø ma traän ngoõ ra, vaø D(t) laø ma traän chuyeån tröïc tieáp. Neáu haøm f vaø g khoâng bao goàm thôøi gian t töôøng minh thì heä thoáng ñöôïc goïi laø heä baát bieán theo thôøi gian (time-invariant system). Phöông trình (5) vaø (6) coù theå ñöôïc ñôn giaûn hoùa nhö sau: x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) (7) y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) (8) Phöông trình (7) laø phöông trình traïng thaùi cuûa heä baát bieán theo thôøi gian. Phöông trình (8) laø phöông trình ngoõ ra cuûa heä trteân. Thí duï : Xeùt maïch ñieän goàm 3 phaàn töû: ñieän trôû R, ñieän caûm L, vaø tuï ñieän C. Ñieän aùp ñaët vaøo maïch laø u1. Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
5 R1 L1 R CHOKE RF u1 C1 u2 C Hình Phöông trình moâ taû maïch ôû traïng thaùi ñoäng : U1=uR+uL+uC di Hay u1=i.R + L. + u2 dt 1 C∫ U2 = i.dt Traïng thaùi cuûa maïch ñöôïc quyeát ñònh bôûi ñieän aùp u2 vaø doøng ñieän i. Ta goïi u2 vaø I laø caùc bieán traïng thaùi. Ta vieát laïi heä phöông trình neáu ñaët: U2=x1 laø bieán traïng thaùi thöù nhaát. I=x2 laø bieán traïng thaùi thöù hai. du 2 i = C. dt di R 1 1 = − .i − .u 2 + .u1 dt L L L Suy ra : Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
6  dx1 1  dt = C .x 2   dx 2 = − 1 .x − R .x + 1 .u  dt L 1 L 2 L 1 Daïng chính taéc treân ñöôïc vieát laïi nhö sau :  dx1 1  dt = 0.x1 + C .x2 + 0.u1   dx2 = − 1 .x − R .x + 1 .u  dt L 1 L 2 L 1 . coù daïng X = AX + Bu  0 1/ C  Caùc ma traän A =    − 1/ L − R / L   0  B =    1 / L   dx1  .   X =  dt   dx 2     dt   x1  X =    x2  Ngoõ ra Y=C.X vôùi C=[1 0] Trong lyù thuyeát heä thoáng ñieàu khieån, taäp hôïp caùc phöông trình vi phaân thöôøng baäc nhaát goïi laø phöông trình traïng thaùi vaø x1, x2 goïi laø bieán traïng thaùi. Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
7 Thí duï: Cho heä thoáng cô khí vaät-loø xo-ñeäm coù phöông trình vi phaân : k u(t) m b y(t) Hình: Heä thoáng cô khí. my + by + ky = u (1) Heä naøy laø baäc hai. Ñieàu naøy coù nghóa laø heä goàmhaikhaâu tích phaân. Chuùng ta haõy ñònh nghóa bieán traïng thaùi x1(t) vaø x2(t) nhö sau: x1 (t ) = y (t ) x 2 (t ) = y (t ) Theá thì chuùng ta coù: x1 = x 2 1 1 x 2 = (−ky − by ) + u m m Hay x1 = x2 (2) k b 1 x 2 = − x1 − x 2 + u (3) m m m Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
8 Phöông trình ngoõ ra: y = x1 (4) ÔÛ daïng ma traän –vectô, phöông trình (2),(3) coù theå vieát laïi:  x1   0 1  x   0   x  = − k b  1 +  1 u (4): laø phöông trình traïng thaùi.  2   m −   x 2    m m Phöông trình ngoõ ra: x  y = [1 0] 1  (5)  x2  Phöông trình (4) vaø (5) coù daïng chuan: x = Ax + Bu y = Cx + Du Trong ñoù  0 1  0 A= k b  , B =  1 , C = [1 0], D = 0 − m −  m  m  1.2.Moái quan heä giöõa haøm truyeàn vaø phöông trình traïng thaùi : *xeùt heä SISO Chuùng ta haõy xem xeùt heä thoáng coù haøm truyeàn ñöôïc cho bôûi : Y (s) = G ( s ) (1) U (s) Heäthoáng naøy coùtheå ñöôïc theå hieän trong khoâng gian traïng thaùi bôûi caùc phöông trình sau : x = Ax + Bu (2) y = Cx + Du (3) Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
9 Trong ñoù x laø vectô traïng thaùi, u laø tín hieäu vaøo, vaø y laø ngoõ ra. Bieán ñoåiLaplace cuûa phöông trình (2) vaø (3) ñöôïc cho bôûi : sX ( s ) − x (0) = AX ( s ) + BU ( s ) (4) Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s ) (5) Vì haøm truyeàn ñöôïc ñònh nghóa tröôùc laø tæ soá cuûa bieán ñoåi Laplace ngoõ ra vaø bieán ñoåiLaplace ngoõ vaøo vôùi ñieàu kieän ñaàu zero, chuùng ta cho x(0) =0 trong phöông trình (4). Khi ñoù chuùng ta coù : sX ( s ) − AX ( s ) = BU ( s ) Hay ( sI − A) X ( s ) = BU ( s ) Baèng caùch nhaân tröôùc ( sI − A) −1 vaøo hai veá cuûa phöông trình cuoái, chuùng ta ñaït ñöôïc : X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s ) (6) Thay phöông trình (6) vaøo (5), ta coù : Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]U ( s ) (7) So saùnh phöông trình (7) vôùi (1), chuùng ta thaáy raèng : G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D (8) Ñaây laø bieåu dieãn haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù phöông trình traïng thaùi ôû daïng A,B,C,D. Chuù yù laø veá phaûi cuûa phöông trình (8) bao goàm ( sI − A) −1 .Vaäy G9s) coù theå ñöôïc vieát laïi: Q( s) G ( s) = sI − A Trong ñoù Q(s) laø ña thöùc theo s. Nhö vaäy sI − A laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa G(s). Noùi caùch khaùc, trò rieâng cuûa ma traän A laø baèng vôùi cöïc cuûa G(s). Thí duï: Cho heä thoáng cô khí vaät-loø xo-ñeäm coù phöông trình vi phaân : my + by + ky = u Phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ngoõ ra coù daïng chuan: Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
10 x = Ax + Bu y = Cx + Du Trong ñoù  0 1  0 A= k b  , B =  1 , C = [1 0], D = 0 − m −  m  m  Tìm haøm truyeàn cuûa heä töø phöông trình traïng thaùi. Thay ma traän A, B,C, D vaøo (8), ta coù: G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D −1  s 0  0 1   0 = [1 0]  − − k b 1+0  0 s   m −   m   m   −1 s −1  0 = [1 0] k b 1  m s+   m  m Vì −1  b  s −1  1 +  m 1 s k b =  m s+  b k  k  m 2 s + s+  − s  m m m  Chuùng ta coù:  b  1  s + m 1  0  G ( s ) = [1 0]  1  b k  k s + s+  − 2 s   m  m m m  1 = 2 ms + bs + k Thí duï: Cho heä thoáng ñieàu khieån kieåm keâ ôû hình sau Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
11 dx1 (t ) = −2 x 2 (t ) dt dx 2 (t ) = −2u (t ) dt trong ñoù x1(t)= möùc kieåm keâ, x2(t)=toác ñoä baùn ra cuûa saûn phaåm vaø u(t)=toác ñoä saûn xuaát. Phöông trình ngoõ ra y(t)=x1(t). Ñôn vò thôøi gian laø moät ngaøy. Tìmhaøm truyeàn cuûa heä. Giaûi: Phöông trình traïng thaùi: X = AX + Bu y=C.X trong ñoù 0 − 2  0  A=  ; B =  ; C = [1 0] 0 0   − 2 Haøm truyeàn heä Gp(s)=C.(sI-A)-1.B 1 0 0 − 2  s 2 sI − A = s  − =  0 0  0 0  0 s  −1 T 1 − 2  s 2 adj ( sI − A) 1  s 0 1  s − 2  s s2  ( sI − A) −1 =  = = 2 = 2 =  0 s   det( sI − A) s − 2 s  s 0 s   0 1    s  1 − 2  s 2  0  = 1 − 2  0  4 C ( sI − A) −1 B = [1 0] s  = 1  − 2  s s 2  − 2 s 2 0   s  4 Vaäy : G p ( s ) = . s2 Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
12 *Ma traän haøm truyeàn : Xeùt heä coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra. Giaû söû raèng coù r ngoõ vaøo u1, u2,…,ur vaø m ngoõ ra y1, y2,…, ym. Ñònh nghóa :  y1   u1  y  u   2  2  .  . y= , u=   .  .  .  .      y m  u r  Ma traän haøm truyeàn G(s) lieân quan ngoõ ra Y(s) vaø ngoõ vaøo U(s), hay Y ( s ) = G ( s ).U ( s ) Trong ñoù G(s) ñöôïccho bôûi : G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D Vì vectô u coù r chieàu vaø ngoõ ra y coù m chieàu neân ma traän haøm truyeàn coù chieàu laø m x r. Ma traän quaù ñoä : Xeùt heä coù phöông trình traïng thaùi : dx(t ) = Ax(t ) + Br (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Dr (t ) trong ñoù x(t)=nx1 vector traïng thaùi. R(t)=vector ngoõ vaøo. y(t)=vector ngoõ ra. Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]R ( s ) Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
13 [ Ma traän quaù ñoä : Φ (t ) = e At = L−1 ( sI − A) −1 ] 1 2 2 1 3 3 Hay φ (t ) = e At = I + At + A t + A t + ... 2! 3! Ma traän Φ(t) ñöôïc goïi laø ma traän quaù ñoä (ma traän chuyeån traïng thaùi) cuûa heä thoáng. Nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi (Phöông trình chuyeån traïng thaùi ) Phöông trình chuyeån traïng thaùi ñöôïc ñònh nghóa laø nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi thuaàn nhaát tuyeán tính. Phöông trình traïng thaùi tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y(t)=Cx(t)+Du(t) Nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi laø: t x(t ) = φ (t − t 0 ) x(t 0 ) + ∫ φ (t − τ )[ Bu (τ )]dτ t ≥ t 0 (*) t0 Tröôøng hôïp t0=0 vaø neáu x(0)=0 thì ta coù: t x(t ) = ∫ φ (t − τ )[ Bu (τ )]dτ t≥0 (**) 0 Vaø tìm ñöôïc ngoõ ra y(t)=Cx(t)+Du(t). Neáu D=0 thì y(t)=Cx(t). Thí duï: Xem xeùt phöông trình traïng thaùi sau  dx1 (t )   dt   0 1   x1 (t )  0  dx (t )  =    +  u (t )  2  − 2 − 3  x 2 (t ) 1   dt  Baøi toaùn laø xaùc ñònh ma traän chuyeån traïng thaùi φ (t ) vaø vectô traïng thaùi x(t) vôùi t≥0 khi ngoõ vaøo u(t)=1 vôùi t≥0. Heä soá ma traän ñöôïc xaùc ñònh laø Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
14 0 1 0  A=  ;B =   (1) − 2 − 3 1  Khi ñoù  s 0  0 1  s − 1  sI − A =   − =  (2) 0 s  − 2 − 3 2 s + 3 Ma traän nghòch ñaûo cuûa (sI-A) laø 1  s + 3 1 ( sI − A) −1 = 2   (3) s + 3s + 2  − 2 s  Ma traän chuyeån traïng thaùi cuûa A ñöôïc tìm ra baèng caùch laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa (3)  2e −t − e −2t e − t − e −2 t  −1 φ (t ) = L [( sI − A) ] =  −1 −t − 2t  (4)  − 2e + 2e − e − t + 2e − 2 t  Phöông trình chuyeån traïng thaùi x(t) vôùi t≥0 ñöôïc tìm baèng caùch thay phöông trình (4), ma traän B, vaø u(t) vaøo (*), ta ñaït ñöôïc  2e − t − e −2t e − t − e −2t  x(t ) =  −t − 2t  x ( 0)  − 2e + 2e − e − t + 2e − 2 t  t  2e −( t −τ ) − e − 2( t −τ ) e −(t −τ ) − e − 2(t −τ )  0 +∫ − ( t −τ )    dτ 0  − 2e + 2e − 2 (t −τ ) − e −( t −τ ) + 2e − 2(t −τ )  1 hay  2 e − t − e −2 t e − t − e −2 t  0.5 − e − t + 0.5e −2t  x(t ) =  −t − 2t  x ( 0 ) +   t≥0  − 2e + 2e − e − t + 2e − 2 t   e −t − e − 2 t  2.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng Heä thoáng ñoäng goàm coù moät soá höõu haïn caùcphaàn töû coù theåmoâ taû bôûi phöông trình vi phaân thoâng thöôøng trong ñoù thôøi gian laø bieán ñoäc laäp. Baèng caùch söû duïng kí hieäu ma traän-vectô, moät phöông trình vi phaân baäc n coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi phöông trình vi phaân ma traän vectô baäc nhaát.Neáu n phaàn töû cvectô laø taäp hôïp bieán traïng thaùi, thì phöông trình vi phaân ma traän-vectô laømoät phöông trình Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
15 traïng thaùi. Trong phaàn naøy chuùng ta seõ trình baøy phöông phaùp ñeå ñaït ñöôïc theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng lieân tuïc thôøi gian. 2.1.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc n maø tín hieäu vaøo (haøm taùc ñoäng) khoâng coù chöùa thaønh phaàn ñaïo haøm: Xem xeùt heä phöông trình baäc n sau: d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) n + a1 n −1 + ... + a n −1 + a n y (t ) = u (t ) (2-182) dt dt dt dy d n−1 y Chuù yù raèng tri thöùc veà y (0), (0), n −1 (0) ,cuøng vôùi ngoõ vaøo u(t) vôùi t>=0 xaùc ñònh hoaøn toaøn dt dt dy (t ) d n −1 y (t ) haønh vi töông lai cuûa heä thoáng. Chuùng ta coù theå duøng y (t ), ,..., nhö laø taäp hôïp n bieán dt dt n−1 traïng thaùi. Chuùng ta ñònh nghóa x1 = y x 2 = y . . . ( n −1) xn = y Phöông trình (2-182) coù theå vieát laïi nhö sau: x1 = x 2 x 2 = x3 . . . x n −1 = x n x n = − a n x1 − ... − a1 x n + u Hay x = Ax + Bu (2-183) Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
16 Trong ñoù  0 1 0 ... 0  0  x1   0  0 x   0 1 ... 0     2  . . . ... .  . .     x= ,A= . . . ... . , B = . .  . . . ... .  . .        0 0 0 ... 1  0  x n  − a  1   n − a n −1 − a n−2 ... − a1    Ngoõ ra coù theå ñöôïc cho bôûi:  x1  x   2 . y = [1 0 ... 0]  . .    x n  Hay y = C.x (2-184) Trong ñoù C = [1 0 ... 0] Chuù yù laø D=0 Phöông trình (2-183) laø phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình (2-184) laø phöông trình ngoõ ra. Chuù yù laø theå hieän khoâng gian traïng thaùi cho heä haøm truyeàn Y (s) 1 = n n −1 U ( s ) s + a1 s + ... + a n −1 s + a n Cuõng ñöôïc cho bôûi phöông trình (2-183) vaø (2-184). Thí duï 1: Cho phöông trình vi phaân moâ taû heä: y(t ) + 4 y (t ) + y (t ) = 5r (t ) Tím phöông trình traïng thaùi: Ñaët Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
17 x1 (t ) = y (t ) x 2 (t ) = x1 (t ) = y (t ) x 2 (t ) = y(t ) Phöông trình treân ñöôïc vieát laïi: x1 (t ) = x 2 (t ) x 2 = − x1 − 4 x 2 + 5r (t ) Phöông trình traïng thaùi coù daïng: aùp duïng coâng thöùc (2-84)  x (t ) = Ax(t ) + Br (t )   y (t ) = Cx (t ) vôùi x   x  x =  1 , x =  1   x2   x 2   0 1  0 1  A=  = , − a 2 − a1  − 1 − 4  0  0  B =   =  , b0  5 C = [1 0] Thí duï 2: Cho heä thoáng ñieàu khieån coù quan heä tín hieäu vaøo-ra moâ taû baèng phöông trình vi phaân sau: 2c(t ) + 5c(t ) + 6c(t ) + 10c (t ) = r (t ) Tìm phöông trình traïng thaùi. 2.2.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc n maø haøm ngoõ vaøo coù chöùa thaønh phaàn ñaïo haøm. Xeùt heä phöông trình vi phaân maø bao goàm ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo, nhö laø: dny d n −1 y dy d nu d n −1u du n + a1 n −1 + ... + a n −1 + a n y = b0 n + b1 n −1 + ... + bn −1 + bn u (2-185) dt dt dt dt dt dt Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
18 Baøi toaùn chính laø ñònh nghóa bieán traïng thaùi trong tröôøng hôïp naøy name ôû thaønh phaàn ñaïo haøm. Bieán traïng thaùi phaûi laø bieán ñeå maø loaïi boû ñaïo haøm cuûa u trong phöông trình traïng thaùi. Moät caùch ñeå ñaït ñöôïc phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ngoõ ra laø ñònh nghóa n bieán sau nhö laø taäp hôïp n bieán traïng thaùi. x1 = y − β 0 u x 2 = y − β 0 u − β 1u = x1 − β 1u x3 = y − β 0 u − β 1u − β 2 u = x 2 − β 2 u . (2-186) . . ( n −1) ( n −1) ( n − 2) x n = y − β 0 u − β 1 u − ... − β n − 2 u − β n −1u = x n −1 − β n−1u Trong ñoù β 0 , β 1 , β 2 ,..., β n ñöôïc xaùc ñònh töø: β 0 = b0 β1 = b1 − a1 β 0 β 2 = b2 − a1 β 1 − a 2 β 0 β 3 = b3 − a1 β 2 − a 2 β1 − a3 β 0 (2-187) . . . β n = bn − a1 β n −1 − ... − a n −1 β 1 − a n β 0 Vôùi söï choïn löïa bieán traïng thaùi naøy söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa nghieäm phöông trình traïng thaùi ñöôïc baûo ñaûm. Vôùi söï choïn löïa bieán traïng thaùi hieän taïi, chuùng ta ñaït ñöôïc: x1 = x 2 + β 1u x 2 = x3 + β 2 u . . (2-188) . x n −1 = x n + β n −1u x n = − a n x1 − a n −1 x 2 − ... − a1 x n + β n u ÔÛ daïng phöông trìmh ma traän –vectô, phöông trình (2-188) coù theå ñöôïc vieát nhö sau: Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
19  x1   0 1 0 ... 0   x1   β 1   x   0 0 1 ... 0   x 2   β 2   2    .   . . . ... .  .   .          . = . . . ... . . .  +  . .u  .   . . . ... .  .   .          x n −1   0 0 0 ... 1   x n −1   β n −1   x  − a − a n−1 − a n−2 ... − a1   x n   β n   n   n  x1  x   2 . y = [1 0 ... 0].  + β 0 .u . .    x n  Hay x = A.x + B.u (2-189) y = C .x + D.u (2-190) Trong ñoù:  x1   0 1 0 ... 0  x   0 0 1 ... 0   2    .   . . . .      x =  . , A =  . . . .   .   . . . .       x n −1   0 0 0 ... 1  x  − a − a n −1 − a n−2 ... − a1   n   n Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
20  β1  β   2   .    B =  .  , C = [1 0 ... 0], D = β 0 = b0  .     β n −1  β   n  Trong theå hieän khoâng gian traïng thaùi naøy, ma traän A vaø C laø gioáng nhö ô phöông trình (2-182). Ñaïo haøm ôû veá phaûi cuûa phöông trình (2-185) chæ aûnh höôûng ma traän B. Chuù yù laø theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa haøm truyeàn Y ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + ... + bn −1 s + bn = n U (s) s + a1 s n −1 + ... + a n −1 s + a n Cuõng ñöôïc cho bôûi phöông trình (2-189) vaø (2-190). Thí duï: Xeùt heä sau: Hình : Heä khoái löôïng-loø xo-ñeäm gaén treân xe. Phöông trình vi phaân moâ taû heä: Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc