Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

Chia sẻ: Liễu Yêu Yêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số" trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g(x) = x và f (x) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f (x) = g (x) giao điểm của đồ thị hai hàm số f (x) và g (x). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ngô Hùng Vương1 1. Email: vuongnh@tdmu.edu.vn TÓM TẮT Bài viết này trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g ( x ) = x và f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số f ( x ) và g ( x ) ). Từ khóa: Công thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Dãy số và tìm giới hạn dãy số là một trong những kiến thức nền tảng của môn giải tích Toán học ở bậc đại học, tuy nhiên các khái niệm về tính hội tụ và giới hạn của dãy số khá trừu tượng và khó hiểu. Sinh viên, đặc là sinh viên năm thứ nhất gặp nhiều khó khăn khi giải các bài tập có nội dung liên quan đến dãy số cho bởi công thức truy hồi. Các bài tập dạng này thường được giải theo phương pháp giải tích, tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi sinh viên ngoài hiểu rõ lý thuyết về dãy số cần nắm chắc các kiến thức toán cơ bản khác như bất đẳng thức và phương pháp quy nạp toán học. Do đó việc tìm ra một phương pháp giải mới để khắc phục các yếu tố trên là hết sức cần thiết. Bài tham luận này trình bày một cách giải khác đối với một số bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi, gọi là phương pháp đồ thị. Thông qua đồ thị của hàm số g ( x ) = x và f ( x ) – hàm số nhận được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) , xác định được các số hạng x1 , x2 , , xn , của dãy  x n  . Từ đó biết được dãy  x n  có hội tụ hay không, nếu dãy hội tụ thì giới hạn của dãy có thể là một trong các nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số là f ( x ) và g ( x ) ). 2. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa 1. Một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số thực được gọi là một dãy số. (Võ Khắc Thường, 2013) Ký hiệu: x1 , x2 , , xn , hay viết gọn là  x n  . Trong đó ứng với mỗi giá trị n số xn được gọi là số hạng thứ n của dãy. 650
Ví dụ 1. a) Dãy số  x n  được cho bằng cách liệt kê:  xn  = 3; 4; 27;16; 243; 64;... . Số hạng thứ 5 của dãy là x5 = 243 . ( − 1) n b) Dãy số  x n  được cho bằng công thức của số hạng tổng quát: x n = . Số hạng n ( − 1) 8 1 thứ 8 của dãy là x8 = = . 8 8 x = 1 c) Dãy số  x n  được cho bằng công thức truy hồi:  1  x n +1 = 3 x n − 1 Ta tính được: x 2 = 3 x1 − 1 = 3  1 − 1 = 2 x3 = 3 x 2 − 1 = 3  2 − 1 = 5 x 4 = 3 x3 − 1 = 3  5 − 1 = 14 Định nghĩa 2. Dãy  x n  được gọi là hội tụ nếu tồn tại số l  sao cho    0  n0 = n0 ( )  n  n0 : x n − l   . Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn và giới hạn này bằng l , ký hiệu: lim x n = l hay xn → l khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004) n→  Định nghĩa 3. Dãy  x n  được gọi là phân kỳ nếu với mọi c  0 chỉ có hữu hạn các phần tử của dãy thỏa mãn xn  c . Nói cách khác:  c  0  n0 = n0 ( c )  n  n 0 : x n  c . Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn ở vô cùng và được ký hiệu như sau: lim x n =  hay xn →  khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004) n→  Định lý 1 (định lý Weierstrass). Dãy  x n  đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim x n = sup  a n  . n→  Định lý 2. Dãy  x n  đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim x n = inf  a n  . Bạn n→ đọc có thể xem chứng minh định lý 1 và 2 trong tài liệu tham khảo [1]. Mệnh đề 1. Nếu dãy  x n  cho bởi công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) hội tụ và có giới hạn bằng L thì L = f ( L ) , nói cách khác L là nghiệm của phương trình f ( x ) = x ). Chứng minh. Dãy  x n  hội tụ và có giới hạn bằng L, do đó lim xn +1 = lim xn = L  lim f ( x n ) = L  f ( L ) = L . n → n → n → 651
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số  x = c (c  ) Giả sử cần tìm giới hạn của dãy truy hồi:  1  x n +1 = f ( x n ), n = 1, 2, 3, Ta có phương pháp giải bài toán trên bằng đồ thị như sau: Bước 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = f ( x ) , với f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) . Bước 2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = x bằng cách giải phương trình f ( x ) = g ( x ) . Bước 3. (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) lấy điểm M 1 ( x1 ; x2 ) , với x1 = c và x2 = f ( x1 ) . Từ M 1 ( x1 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng y = x tại N 1 ( x2 ; x2 ) . Từ N1 ( x2 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại M 2 ( x 2 ; x3 ) . Lập lại như trên đối với điểm M 2 ( x2 ; x3 ) ta tìm được các điểm M 3 ( x3 ; x4 ), M 4 ( x4 ; x5 ), , M n ( xn ; xn +1 ), Bước 4. Dựa vào đồ thị nếu M n tiến gần đến giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = x thì dãy số đã cho hội tụ (ví dụ 1, hình 1), ngược lại thì dãy phân kỳ (ví dụ 2, hình 4). Nếu dãy hội tụ thì theo mệnh đề 1 giới hạn của nó bằng hoành độ và tung độ của giao điểm đồ thị y = f ( x ) và y = x (nghiệm của phương trình f ( x ) = x ). Vận dụng phương pháp vừa trình bày để giải một số bài toán sau. 3.2. Một số bài toán minh họa Bài toán 1. Chứng minh sự hội tụ và tính giới hạn của dãy số  x n  cho bởi công thức truy hồi:  x1 = − 4   xn + 1  x n +1 =  2 x +1 Giải. Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = và g ( x ) = x . 2 652
Hình 1. Sự hội tụ của dãy  x n  Áp dụng phương pháp đã nêu ta xác định được các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , . Trên đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , tiến dần tới điểm cố định L (1;1) là giao điểm của đồ thị hai hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , của dãy tăng dần đến x L = 1 . Vậy dãy hội tụ và lim x n = 1 . n→  Kiểm tra kết quả nhận được bằng cách giải lại bài toán 1 bằng phương pháp giải tích. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh xn  1,  n  1 . xn + 1 1+1 Ta có x1 = − 4  1 . Giả sử xn  1  xn +1 =  = 1 nên dãy bị chặn trên. 2 2 xn + 1 1 − xn Mặt khác từ chứng minh trên suy ra xn +1 − xn = − xn =  0 nên dãy  x n  tăng 2 2 Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên hội tụ và có giới hạn hữu hạn. Giả sử x +1 lim xn + 1 l +1 lim xn = l  lim xn +1 = l . Vì xn +1 = n  lim x n +1 = n →  l=  l = 1 . Như n → n → 2 n→ 2 2 vậy giống với phương pháp đồ thị, phương pháp giải tích cũng chứng minh được lim x n = 1 . n→  Dựa vào đồ thị của hình 1 ta có các lưu ý sau: − Nếu x1  ( −  ;1) thì  x n  tăng và bị chặn trên bởi x L = 1 , nên dãy hội tụ . − Nếu x1  (1;  ) thì  x n  giảm và bị chặn dưới bởi x L = 1 , nên dãy hội tụ. 1+1 − Nếu x1 = 1 thì các phần tử tiếp theo dãy  x n  cũng bằng 1 vì f (1) = =1. 2 653
Vậy dãy đã cho hội tụ x1  và lim x n = 1 . n→  Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số vừa chứng minh được một dãy số là hội tụ (phân kỳ) vừa xác định được với giá trị nào của x1 thì dãy hội tụ (phân kỳ), mà phương pháp giải tích không tìm được. Bài toán 2. Cho dãy số  x n  thỏa mãn x1  (0;1), xn +1 = xn (2 − xn ) . Chứng minh  x n  hội tụ và tìm giới hạn của dãy. Giải. Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = x (2 − x ) và g ( x ) = x . Trên trục Ox lấy x1 tùy ý sao cho x1  (0 ;1) , từ đó tìm được x2 , x3 , x4 , x5 , như trên hình 2. Dễ thấy trên đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , tiến dần đến giao điểm L (1;1) của hai đồ thị hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , của dãy tăng dần đến x L = 1 . Vậy dãy hội tụ và lim x n = 1 . n→  Hình 2. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  ( 0;1) . Mở rộng bài toán: Trường hợp x1  (1; 2 ) theo hình 3 ta thấy dãy số  x n  vẫn hội tụ và lim x n = 1 . Tuy nhiên nếu giải bài toán này bằng phương pháp giải tích sẽ gặp nhiều khó khăn n→  do dãy số đã cho không phải là dãy tăng ( x1  x2 mà x2  x3 ). 654
Hình 3. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  (1; 2 ) . Trường hợp x1 = 0 hay x1 = 2 dãy  x n  hội tụ và lim x n = 0 vì xn = 0,  n  2 . n→ Trường hợp x1  ( − ; 0)  (2;  ) dãy  x n  phân kỳ và lim x n = −  (hình 4) n→ Hình 4. Sự phân kỳ của dãy  x n  khi x1  ( − ; 0)  (2;  ) . Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp giải bằng đồ thị hàm số có thể chứng minh một dãy số không đơn điệu là hội tụ hay phân kỳ. Bài tập 3. Tính A= 2 + 2 + 2 + ... Giải. Xét dãy  x n  được cho bởi công thức truy hồi  x1 = 0    x n +1 =  2 + xn 655
Ta có x n = 2 + 2 + ... 2 ( n dấu căn), suy ra A = lim xn . Vậy thay vì tính A ta cần n → chứng minh dãy  x n  hội tụ và tìm giới hạn của nó. Tương tự bài tập 1 và 2 trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = 2 + x và g ( x ) = x . Từ điểm x1 trên trục Ox ta xác định được các điểm x2 , x3 , như hình 5. Dễ thấy trên đồ thị của f ( x ) các điểm M 1 , M 2 , M 3 , tiến dần đến điểm cố định L ( 2; 2 ) là giao điểm của hai đồ thị hàm số g ( x ) và f ( x ) , đồng thời các phần tử x1 , x2 , x3 , của dãy tăng dần đến x L = 2 . Vậy dãy hội tụ và A = lim x n = 2 . n→  Hình 5. Sự hội tụ của dãy  x n  khi x1  (1; 2 ) . Kết luận. Bài tham luận này trình bày phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào đồ thị hàm số. So với phương pháp giải tích, phương pháp đồ thị có một số ưu điểm như sau: − Lời giải trực quan, đơn giản. − Có tính toàn cục. Xác định được miền hội tụ (phân kỳ) của dãy số  x n  theo số hạng đầu tiên của dãy là x1 . − Có tính tổng quát. Chứng minh được một dãy truy hồi bất kỳ hội tụ hoặc phân kỳ mà không cần biết dãy đó có đơn điệu hay không. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Архипов Г.И., Садовничиий В.А., В.Н. Чубариков (2004). Лекции по математическому анализу. Москва: издательство Дрофа. 2. Krainer, Thomas (2016). Recursive sequences in first-year calculus. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 47, 299–314. 3. Võ Khắc Thường (2013). Toán cao cấp – Giải tích toán học. TPHCM: NXB ĐHQG TPHCM. 656