Phương pháp tọa độ trong không gian: Phần 2 - Nguyễn Hoàng Việt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Môn Toán phương pháp tọa độ trong không gian" tiếp tục cung cấp tới bạn đọc phương pháp giải bài toán về phương trình đường thẳng, một số bài toán về cực trị. Ngoài ra còn cung cấp cho các em học sinh bộ đề ôn tập cuối chương có đáp án và lời giải chi tiết. Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tọa độ trong không gian: Phần 2 - Nguyễn Hoàng Việt

46 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Kết nối tri thức với cuộc sống Baâi 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng ☼ Định nghĩa: Véc tơ chỉ phương #» u của đường thẳng d là những véc #» tơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng với d. ☼ Chú ý: #» • #» u =6 0 và có giá song song hoặc trùng với d. #» #» • Nếu #» u và u0 cùng là véc tơ chỉ phương của d thì u0 = k· #» u (tọa độ tỉ lệ nhau). #» u0 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt #» u d 2. Phương trình tham số của đường thẳng ☼ Công thức: Đường thẳng d đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận #» u = (u1 ; u2 ; u3 ) làm véc tơ chỉ phương có phương trình là  x = x0 + u1 t  y = y 0 + u2 t (t ∈ R) (1)  z = z0 + u3 t  ☼ Chú ý:  x = x0 + u1 t  ¬ Cho đường thẳng d : y = y0 + u2 t (t ∈ R) thì  z = z0 + u3 t  • Một véc tơ chỉ phương của d là #» u = (u1 ; u2 ; u3 ) (hệ số của t). • Muốn xác định tọa độ một điểm thuộc d, ta chỉ cần cho trước giá trị cụ thể của tham số t, thay vào hệ phương trình tính x, y và z. Phương trình các trục tọa độ:      x = t x = 0  x = 0  • Ox : y = 0 . • Oy : y = t . • Oz : y = 0 .    z=0 z=0 z=t    ® Nếu u1 , u2 và u3 đều khác 0 thì (1) có thể được viết dưới dạng x − x0 y − y0 z − z0 = = (2) u1 u2 u3 p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688 Việt Star
47 Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với cuộc sống (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d. 3. Vị trị tương đối giữa hai đường thẳng Xét hai đường thẳng  x = x0 + u1 t  • d1 : y = y0 + u2 t qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ), vec tơ chỉ phương #» u = (u1 ; u2 ; u3 );  z = z0 + u3 t   0 0 x = x0 + v1 t  • d2 : y = y00 + v2 t0 qua điểm N (x00 ; y00 ; z00 ), vec tơ chỉ phương #» v = (v1 ; v2 ; v3 ). z = z00 + v3 t0   Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ☼ Cách 1: Ta xét mối quan hệ giữa hai véc tơ chỉ phương #» u và #» v: Trường hợp 1: Hai véc tơ chỉ phương có bộ tọa độ tỉ lệ nhau hay #» u = k · #» v . Khi đó d1 và d2 sẽ có khả năng song song hoặc trùng nhau. Thay tọa độ điểm M vào phương trình d2 • Nếu thỏa mãn thì d1 trùng d2 ; • Nếu không thỏa mãn thì d1 song song d2 . Trường hợp 2: Hai véc tơ chỉ phương có bộ tọa độ không tỉ lệ nhau hay #» u =6 k · #» v. Khi đó d1 và d2 sẽ có khả năng cắt hoặc chéo nhau. Ta xét hệ  0 0 x0 + u1 t = x0 + v1 t  y0 + u2 t = y00 + v2 t0 z0 + u3 t = z00 + v3 t0   • Nếu hệ này có nghiệm duy nhất (t; t0 ) thì d1 cắt d2 ; • Nếu hệ này vô nghiệm thì d1 chéo d2 . òï #» #» ☼ Cách 2: Ta tính u , v . Khi đó sẽ có một trong hai trường hợp xảy ra nhưu sau #» òï #» #» Trường hợp 1: Nếu u , v = 0 và # » #» ï ò • #» u , MN = 6 0 thì d1 song song d2 ; Chú ý # » #» d1 vuông góc với d2 khi ï ò • #» u , M N = 0 thì d1 trùng d2 . #» u ⊥ #» v #» ï ò Trường hợp 2: Nếu #» u ; #» v 6= 0 và hay # » u1 ·v1 +u2 ·v2 +u3 ·v3 + = 0 ï ò • #» #» u , v · M N 6= 0 thì d1 chéo d2 ; # » ï ò • #» #» u , v · M N = 0 thì d1 cắt d2 . Việt Star p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688
48 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Kết nối tri thức với cuộc sống 4. Vị trị tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng  x = x0 + u1 t  Xét đường thẳng d : y = y0 + u2 t và mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0.  z = z0 + u3 t     x = x0 + u 1 t  y = y + u t 0 2 ☼ Phương pháp: Xét hệ ⇒ A(x0 +u1 t)+B(y0 +u2 t)+C(z0 +u3 t)+D =   z = z0 + u3 t  Ax + By + Cz + D = 0  0 (∗) • Nếu (*) có đúng 1 nghiệm t thì d cắt (P ); • Nếu (*) vô nghiệm thì d song song (P ); • Nếu (*) nghiệm đúng với mọi t thì d nằm trong (P ). ☼ Đặc biệt: Với #» u là véc tơ chỉ phương của d và #» Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt n là véc tơ pháp tuyến của (P ) thì d ⊥ (P ) ⇔ #» u cùng phương với #» n hay #» u = k · #» n 5. Góc giữa hai đường thẳng ☼ Công thức tính: Xét hai đường thẳng d1 và d2 . • Gọi #» u = (u1 ; u2 ; u3 ), #» v = (v1 ; v2 ; v3 ) lần lượt là véc tơ chỉ phương của d1 và d2 ; • Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 , với 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ . Khi đó
u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
cos ϕ =
cos ( #» u , #»
v )
= p 2 p u1 + u22 + u23 · v12 + v22 + v32 ☼ Đặc biệt • Nếu d1 song song hoặc trùng d2 thì ϕ = 0◦ . • Nếu d1 vuông góc với d2 thì ϕ = 90◦ . Khi đó #» u ⊥ #» u hay d1 ⊥ d2 ⇔ u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 0 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ☼ Công thức tính: Xét đường thẳng d và mặt phẳng (P ). • Gọi #» u = (u1 ; u2 ; u3 ), #» n = (A; B; C) lần lượt là véc tơ chỉ phương của d và véc tơ pháp tuyến của (P ); • Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ), với 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ . Khi đó p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô 0905.193.688 Việt Star
49 Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với cuộc sống