intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Đường tròn - đường Conic

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
372
lượt xem 109
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Đường tròn - đường Conic là một chủ điểm lớn thường xuất hiện hầu hết trong các kì thi đặc biệt là kì thi Đại học. Vậy để làm sao các em có thể đạt được điểm tuyệt đối phần thi này, hãy tham khảo tài liệu này nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Đường tròn - đường Conic

  1. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng  . ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Đường tròn tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R có phương trình ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 .  Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a 2  b 2  c  0 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R  a 2  b 2  c .  Đường thẳng  : ax  by  c  0 là tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R khi d ( I ;  )  R .  Phương tích của điểm A( x A ; y A ) đối với đường tròn:  (C ) : ( x  x0 ) 2  ( y  y0 )2  R 2 là PM /(C )  ( x A  x0 ) 2  ( y A  y0 )2  R 2 .  (C ) : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 là PM /(C )  x A2  y A2  2axA  2by A  c .  Trục đẳng phương d của hai đường tròn không đồng tâm (C1 ), (C2 ) : M ( x; y )  d  PM / (C )  PM / (C ) . 1 2 B. CÁC DẠNG TOÁN . Dạng : Các yếu tố của đường tròn  Đưa về phương trình: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  k , nếu k  0 thì đó là phương trình đường tròn (C) tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R  k .  Đưa về phương trình: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , nếu a 2  b 2  c  0 thì đó là phương trình đường tròn (C) tâm I (a; b) , bán kính R  a 2  b 2  c .  Để tìm quỹ tích tâm I của họ các đường tròn, ta phải tìm điều kiện xác định đường tròn, tìm tọa độ tâm, khử tham số giữa x và y. Chuyển điều kiện của tham số nếu có về điều kiện của x (hoặc y).  Để tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M, ta gọi M ( x; y ) rồi dùng quan hệ đã cho để lập phương trình đường tròn. 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: a. ( x  1)2  ( y  2) 2  5 b. ( x  2)2  ( y  5) 2  16 c. 2( x  3)2  2( y  1)2  9 2. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính. a. x 2  y 2  2 x  2 y  2  0 b. x 2  y 2  4 x  6 y  2  0 c. x 2  y 2  6 x  8 y  30  0 Created by Nguyen Van Rin Page 1 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  2. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic 3. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính. a. 16 x 2  16 y 2  16 x  8 y  11 b. 7 x 2  9 y 2  16 x  8 y  11 c. 2 x 2  2 y 2  5 x  4 y  1  m 2  0 1 4. Cho đường cong (Cm ) : x 2  y 2  4mx  2 y  4m  0, m  . 2 a. Chứng minh rằng (Cm ) là đường tròn với mọi m. b. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn (Cm ) khi m thay đổi. 5. Cho đường cong (Cm ) : x 2  y 2  mx  2(m  1) y  1  0 . a. Với m nào thì (Cm ) là đường tròn. b. Khi (Cm ) là đường tròn, tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi. 6. Cho phương trình x 2  y 2  2mx  2(m  1) y  4m  0 (1) a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn. b. Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn đi qua 2 điểm cố định. 7. Cho đường cong (Cm ) : x 2  y 2  (m  2) x  (m  4) y  m  1  0 . a. Chứng minh rằng (Cm ) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m. b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (Cm ) luôn đi qua 2 điểm cố định. c. Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm ) không đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào. 8. Cho  ABC , biết AB : 2 x  3 y  7  0 , BC : 2 x  y  1  0 và CA : x  y  3  0 . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: MA2  MB 2  MC 2  44 . 9. Cho hai điểm A(1;1) và B(9; 7) . a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2  MB 2  90 . b. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2MA2  3MB 2  k 2 , trong đó k là một số cho trước. 10. Cho hai điểm cố định A và B. Tìm tập hợp các điểm M thỏa MA2  MB 2  k 2 với k là một số cho trước. (HD: Chọn đường thẳng AB làm trục hoành và đường trung trực của AB làm trục tung). 11. Cho hai điểm A(a; 0) và B(a;0) . Tìm tập hợp các điểm M thỏa  MA2   MB 2  k 2 với     0 . . Dạng : Lập phương trình đường tròn.  Phương trình đường tròn có 2 dạng nên có 2 cách lập phương trình đường tròn:  Tìm tâm I ( x0 ; y0 ) và bán kính R: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 .  Tìm các hệ số a, b, c( a 2  b 2  c  0 ): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 .  Các quan hệ thường dùng đối với đường tròn (C): Page 2 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  3. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng  Đi qua 1 điểm A: tọa độ A thỏa mãn phương trình.  Đi qua 2 điểm A, B: tọa độ A thỏa mãn phương trình và tâm I thuộc đường trung trực của AB.  Đi qua 3 điểm A, B, C: tọa độ A, B, C thỏa mãn phương trình và IA  IB  IC , R  IA . PQ  Đường kính PQ: Tâm I là trung điểm của PQ và R  . 2  Tâm I thuộc đường thẳng d: tọa độ I thỏa mãn phương trình của d.  Đường tròn tiếp xúc với trục hoành: tâm I ( x0 ; y0 ) và R  y0 .  Đường tròn tiếp xúc với trục tung: tâm I ( x0 ; y0 ) và R  x0 .  Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  : d ( I ;  )  R .  Đường tròn ngoại tiếp với tam giác vuông: tâm I là trung điểm của cạnh huyền. 12. Viết phương trình đường tròn: a. Tâm I (1;3) và đi qua điểm A(2;5) . b. Tâm I (2;0) và tiếp xúc với  : 2 x  y  1  0 . 13. Viết phương trình đường tròn: a. Đường kính AB với A(1;1) và B(5;3) . b. Tâm I (4; 7) và tiếp xúc với trục hoành. 14. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: a. A(1; 2), B(1; 2), C (5; 2) . b. A(1; 2), B(5; 2), C (1; 3) . 15. Viết phương trình đường tròn: a. Đi qua điểm A(1; 2) , B(2;3) và có tâm ở trên đường thẳng  : 3 x  y  10  0 . b. Đi qua gốc tọa độ O và có tâm I (1; 5) . 16. Viết phương trình đường tròn nội tiếp  ABC biết AB : 3 x  4 y  6  0 , AC : 4 x  3 y  1  0 và BC : y  0 . 17. Cho điểm A(3; 0) và B(0; 4) . Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB . 18. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm M (2;1) . 19. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1;1) , B(1; 4) và tiếp xúc với trục Ox. 20. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng d : 2 x  y  4  0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ. 21. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(6; 0) và đi qua điểm B(9;9) . 22. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A(1; 0) , B(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng  : x  y  1  0 . Created by Nguyen Van Rin Page 3 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  4. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic 23. Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với 2 đường thẳng 1 : 2 x  y  1  0 ,  2 : 2 x  y  2  0 . 24. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  3  0 . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng  : 4 x  3 y  0 . 25. Cho hai điểm A(3; 4) và B(6; 0) . a. Chứng minh OAB cân tại A. b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB . . Dạng : Tương giao và tiếp tuyến.  Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng  :  d ( I ;  )  R : không có điểm chung.  d ( I ;  )  R : tiếp xúc (  : tiếp tuyến).  d ( I ;  )  R : đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại 2 điểm.  Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R’:  II '  R  R ' : ngoài nhau.  II '  R  R ' : tiếp xúc ngoài.  R  R '  II '  R  R ' : cắt nhau.  II '  R  R ' : tiếp xúc trong.  II '  R  R ' : đựng nhau.  Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I tại điểm A: đường thẳng đi qua A và có   VTPT n  AI .  Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I, bán kính R đi qua điểm A: Viết  phương trình đường thẳng qua A và có VTPT n(a; b) , a 2  b 2  0 . Nếu:  PB /(C )  0  IB  R : không có tiếp tuyến.  PB /(C )  0  IB  R : có 1 tiếp tuyến.  PB /(C )  0  IB  R : có 2 tiếp tuyến.  Tiếp tuyến chung  : ax  by  c  0 với 2 đường tròn (C) và (C’): d ( I ; )  R  .  d ( I ; )  R '  x  1  2t 26. Tìm giao điểm của đường thẳng d :  với đường tròn  y  2  t (C ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  16 . 27. Tìm m để đường thẳng  : y  x  m có điểm chung với đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  3  0 . Page 4 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  5. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 28. Chứng minh đường thẳng  : x  (m  1) y  m  0 không tiếp xúc với đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  8 y  5  0 . 29. Xét vị trí tương đối của đường thẳng  : 3x  y  m  0 với đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 . 30. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn: (C ) : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và (C ') : x 2  y 2  2 x  2 y  7  0 . 31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a. (C ) : x 2  y 2  4 x  4 y  17  0 tại M (2;1) . b. (C ) : x 2  y 2  8 x  6 y  0 đi qua gốc O. 32. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 , biết: a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : 3 x  y  17  0 . b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x  2 y  5  0 . 33. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a. (C ) : x 2  y 2  4 và đi qua M (2; 2) . b. (C ) : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và đi qua N (2;0) . 34. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 và điểm A(2;3) . a. Chứng minh A ở ngoài đường tròn. Viết phương trình 2 tiếp tuyến kẻ từ A. b. Tính khoảng cách từ A đến 2 tiếp tuyến trên và khoảng cách giữa hai tiếp điểm T, T’. 35. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C ) : x 2  y 2  1 và (C ') : ( x  8) 2  ( y  6) 2  16 . 36. Cho hai đường tròn (C ) : x 2  y 2  6 x  5  0 và (C ') : x 2  y 2  12 x  6 y  44  0 . a. Chứng minh hai đường tròn ngoài nhau. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 37. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  8 x  4 y  5  0 và điểm A(2;1) . a. Chứng minh qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). b. Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm. 38. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 và đường thẳng d : 2x  y 1  0 . Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với d. Tìm tọa độ tiếp điểm. . Dạng : Tổng hợp về đường tròn. 39. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Chứng minh phương tích của điểm M ( x0 ; y0 ) đối với đường tròn (C) bằng 2 2 PM /(C )  x0  y0  2ax0  2by0  c . Created by Nguyen Van Rin Page 5 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  6. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic 40. Tính phương tích của điểm M (3; 4) đối với đường tròn (C) có tâm I (2;1) và bán kính R  3 . 41. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn: (C ) : x 2  y 2  3x  0 và (C ') : 3 x 2  3 y 2  6 x  4 y  1  0 . 42. Cho hai đường tròn đồng tâm (C ) : x 2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0 và (C ') : x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 . Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn. 43. Cho hai đường tròn (C ) : x 2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0 và (C ') : x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 cắt nhau tại M, N. Viết phương trình đường thẳng MN. 44. Cho hai đường tròn (C1 ) : x 2  y 2  6 x  4 y  23  0 và (C2 ) đi qua 3 điểm A(1;3) , B(0; 2) và C (1; 1) . a. Viết phương trình đường tròn (C2 ) và tính phương tích của tâm mỗi đường tròn đối với đường tròn còn lại. b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn.  x 2  y 2  8x  4 y  5  0 45. Tìm m để hệ sau có nghiệm  . 3 x  4 y  m  0  x2 y 2   1 (a  b  0) 46. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất  a 2 b 2 .  Ax  By  C  0 ( A  B  0) 2 2   x 2  ( y  1) 2  a 2  47. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất  2 2 2 . ( x  1)  y  a  48. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  8 y  5  0 . a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B(3; 11) . c. Gọi BM, BN là các tiếp tuyến với (C) kẻ từ B (M, N là các tiếp điểm). i. Viết phương trình đường thẳng MN. ii. Tính MB, MN. d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d : x  2y  0 . e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng  : 3x  4 y  1  0 . 49. Cho đường tròn (C) tâm I có phương trình x 2  y 2  2 x  4 y  11  0 . a. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. Page 6 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  7. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng c. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho  IAB có diện tích lớn nhất. d. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB  2 7 . e. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và chia đường tròn thành 2 cung có độ dài bằng 2. f. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M (0;1) và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho MA  2MB . 50. Cho (C ) : x 2  y 2  2 x  4 y  0 và d : x  y  1  0 .Tìm M  d mà qua đó kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho: a.   60o . AMB b.   90o . AMB   120o . c. AMB d. Góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60o . e. MA  2 . . CÁC ĐƯỜNG CÔNIC . Dạng : Đường elip  Định nghĩa: M  ( E )  MF1  MF2  2a (a  0) .  F1 , F2 là 2 tiêu điểm.  F1F2  2c gọi là tiêu cự (a  c  0) .  M  ( E ) thì MF1 , MF2 là 2 bán kính qua tiêu ứng với điểm M.  Phương trình chính tắc: x2 y 2 (E ) :   1 (a  b  0) , a 2  b 2  c 2 . a 2 b2 Tiêu điểm F1 (c; 0), F2 (c;0) .  Bán kính qua tiêu: x2 y 2 Cho ( E ) :   1 (a  b  0) . a 2 b2 cx cx M ( x; y )  ( E ) ta có MF1  a  và MF2  a  . a a  Hình dạng của elip: x2 y 2 Cho ( E ) :   1 (a  b  0) a 2 b2  Hai trục đối xứng là Ox, Oy , tâm đối xứng là O.  Ox là trục lớn, Oy là trục bé.  A1 (a; 0), A2 (a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) là các đỉnh.  A1 A2  2a là độ dài trục lớn. Created by Nguyen Van Rin Page 7 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  8. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic B1 B2  2b là độ dài trục bé.  Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x   a, y=  b gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E).  Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 4ab .  Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 4(a  b) .  Tiêu điểm luôn nằm trên trục lớn. c  Tâm sai: e  (0  e  1) . a  Phép co về trục hoành với hệ số co k, 0  k  1 : biến điểm M ( x; y ) thành x '  x M '( x '; y ') sao cho  .  y '  ky Tìm ảnh của (C) bằng cách tính tọa độ x, y theo x’, y’ rồi thế vào phương trình (C) ta được phương trình (C’). 51. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elip (E): x2 y2 a.  1 b. x 2  3 y 2  9 . 25 9 52. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục và tâm sai của mỗi elip có phương trình sau: a. 4 x 2  3 y 2  36 b. x 2  4 y 2  4 . 53. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: 3 a. Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e  . 2 b. Độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4. 54. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: 3 a. Có một tiêu điểm F ( 3; 0) và đi qua M (1; ). 2 b. Các cạnh hình chữ nhật cơ sở có phương trình: x  7; y  2 . 55. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: 9 12 a. Đi qua hai điểm M (4; ) và N (3; ). 5 5 3 4 b. Đi qua M ( ; ) và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 5 5 56. Tìm tâm sai của elip (E) trong các trường hợp sau: a. Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục bé (k>1). c. Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự. Page 8 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  9. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng x2 y 2 57. Qua tiêu điểm của elip ( E ) :   1 vẽ đường thẳng vuông góc với trục a 2 b2 Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài dây AB. x2 y 2 58. Cho elip (E): ( E ) :   1 có 2 tiêu điểm F1 , F2 . Tìm điểm M thuộc (E) 9 1 sao cho MF1  2MF2 . 59. Cho elip ( E ) : 9 x 2  25 y 2  225 . a. Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1 , F2 và tâm sai. b. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn F1 F2 dưới một góc vuông. x2 y 2 60. Tìm trên elip ( E ) :   1 một điểm M sao cho MF1  2MF2 , trong đó a 2 b2 F1 , F2 là các tiêu điểm của elip. 1 61. Một elip (E) có độ dài trục lớn bằng 6, tâm sai bằng và khoảng cách từ 2 một điểm M của (E) đến tiêu điểm F1 bằng 7. a. Tìm khoảng cách từ M đến tiêu điểm F2 . b. Viết phương trình chính tắc của elip (E) và tìm tọa độ của M.  x  2t x2 y 2 62. Tìm giao điểm của đường thẳng d :  với elip ( E ) :   1 .  y  1  t 4 5 1 63. Cho elip ( E ) : x 2  4 y 2  16 và đường thẳng  đi qua điểm M (1; ) và song 2 song với đường thẳng d : x  2 y  3  0 . Tìm tọa độ các giao điểm A và B của đường thẳng  và elip (E). Chứng minh MA  MB . x2 y 2 64. Cho đường thẳng d : 2 x  y  m  0 và elip ( E ) :   1 . Tìm m để: 5 4 a. d cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b. d và (E) có điểm chung duy nhất. x2 y 2 65. Cho elip ( E ) :   1 và đường thẳng  thay đổi có phương trình tổng 25 9 quát Ax  By  C  0 luôn thỏa mãn 25 A2  9 B 2  C 2 . Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm F1 , F2 của (E) đến đường thẳng  . x2 y 2 66. Cho elip ( E ) :   1 và điểm I (1; 2) . Viết phương trình đường thẳng đi 16 9 qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip (E) tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB. x2 y 2 67. Cho elip ( E ) :   1 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  9 4 đi qua M (1;1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. Created by Nguyen Van Rin Page 9 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  10. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic x2 y 2 68. Cho elip ( E ) :   1 có hai tiêu điểm F1 , F2 . 100 36 a. Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là F1 F2 . b. Chứng minh (E) và (C) không có điểm chung. x2 y 2 69. Cho elip ( E ) :   1 (a  b  0) . Gọi F1 , F2 là các tiêu điểm và A1 , A2 là a 2 b2 các đỉnh trên trục lớn của (E). M là một điểm tùy ý trên (E) có hình chiếu trên Ox là H. Chứng minh rằng: a. MF1.MF2  OM 2  a 2  b 2 . 2 b.  MF1  MF2   4(OM 2  b 2 ) . b 2     c. MH 2   2 .HA1.HA2 . a x2 y 2 70. Cho elip ( E ) : 2  2  1 (a  b  0) . a b a. Chứng minh rằng với mọi M thuộc (E), ta có b  OM  a . b. Gọi A là giao điểm của đường thẳng d :  x   y  0 với (E). Tính OA theo a, b,  ,  . 1 1 c. Gọi B là điểm trên (E) sao cho OA  OB . Chứng minh rằng tổng  OA OB 2 2 có giá trị không đổi. d. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 71. Tìm ảnh qua phép co về trục Ox theo hệ số k của: 2 x2 y 2 a. (C ) : x 2  y 2  9, k  b. ( E ) :   9, k  2 . 3 25 9 . Dạng : Đường hyperbol  Định nghĩa:  M  ( H )  MF1  MF2  2a (a  0) .  F1 , F2 là hai tiêu điểm.  F1F2  2c là tiêu cự (c  a  0) .  Với M  ( H ) thì MF1 , MF2 là hai bán kính qua tiêu ứng với điểm M.  Phương trình chính tắc: x2 y 2  (H ) :   1 (a  0, b  0) , c 2  a 2  b 2 . a 2 b2  F1 (c; 0), F2 (c;0) là hai tiêu điểm.  Bán kính qua tiêu: x2 y 2  Cho ( H ) :   1 (a  0, b  0) và M ( x; y )  ( H ) . a 2 b2 Page 10 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  11. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng cx cx  Nếu x>0 thì MF1  a  , MF2   a  . a a cx cx  Nếu x
  12. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic d. Đi qua điểm M (4 2;3) và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của elip x2 y 2 (E ) :   1. 35 10 76. Cho hyperbol ( H ) : 9 x 2  16 y 2  144 a. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H). b. Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1 F2 và tìm giao điểm của (C) và (H). c. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). x2 y 2 77. Cho elip ( E ) :   1 25 9 a. Xác định hai tiêu điểm và các đỉnh của (E). b. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). c. Lập phuuwong trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). 78. Cho bốn điểm P(3; 2), Q(3; 2), R(3; 2), S (3;-2) . a. Viết phương trình elip (E) và hyperbol (H) cùng có hình chữ nhật cơ sở PQRS. b. Tìm tọa độ giao điểm của elip (E) với các đường tiệm cận của hyperbol (H). 79. Cho m>0. Chứng minh rằng hyperbol (H) có các tiêu điểm F1 ( m,  m), F2 (m, m) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm m2 trên (H) tới các tiêu điểm là 2m, có phương trình xy  . 2 80. Cho F1 ( 2,  2), F2 ( 2, 2) . Chứng minh mỗi điểm M ( x; y ) thuộc đồ thị 1 y  đều có MF1  MF2  2 2 . x 81. Tìm các điểm trên hyperbol ( H ) : 4 x 2  y 2  4  0 . a. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120 . c. Có tọa độ nguyên. x2 y 2 82. Cho hyperbol ( H ) :   1 và đường thẳng  : x  y  m  0 . 4 5 a. Chứng minh rằng  luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ( xM  xN ) . b. Gọi F1 là tiêu điểm trái và F2 là tiêu điểm phải của (H). Xác định m để F2 N  2 F1 M . Page 12 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  13. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng x2 y 2 83. Cho hyperbol ( H ) :   1 . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ a 2 b2 a 2b 2 một điểm tùy ý trên (H) đến hai đường tiệm cận bằng 2 2 . a b 2 2 x y 84. Cho hyperbol ( H ) : 2  2  1 . Gọi F1 , F2 là các tiêu điểm và A1 , A2 là các a b đỉnh của (H). M là điểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N. Chứng minh rằng: a. OM 2  MF1.MF2  a 2  b 2 . b. ( MF1  MF2 )2  4(OM 2  b 2 ) b2 2 c. NM  2 .NA1.NA2 . a . Dạng : Đường parabol  Định nghĩa: M  ( P)  d ( M , )  MH .   là đường chuẩn.  F là tiêu điểm, F   .  d ( F ,  )  p gọi là tham số tiêu.  M  ( P) thì MF gọi là bán kính qua tiêu ứng với M.  Phương trình chính tắc: y 2  2 px ( p  0) p  Tiêu điểm F ( ;0) . 2 p  Đường chuẩn  : x  . 2  Bán kính qua tiêu: p Cho ( P) : y 2  2 px ( p  0) và M ( x; y )  ( P) : MF  x  . 2  Hình dạng của parabol (P): Cho ( P) : y 2  2 px ( p  0)  Trục đối xứng là Ox.  Đỉnh là gốc O.  Đường chuẩn không cắt parabol (P).  Một số dạng parabol có đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Ox hoặc Oy:  Dạng 1:  Dạng 2:  Phương trình: y  2 px ( p  0) . 2  Phương trình: y 2  2 px ( p  0) . p p  Tiêu điểm: F ( ;0) .  Tiêu điểm: F ( ; 0) . 2 2 p p  Đường chuẩn  : x  .  Đường chuẩn  : x  . 2 2 Created by Nguyen Van Rin Page 13 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  14. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic  Dạng 3:  Dạng 4:  Phương trình: x  2 py ( p  0) . 2  Phương trình: x 2  2 py ( p  0) . p p  Tiêu điểm: F (0; ) .  Tiêu điểm: F (0; ). 2 2 p p  Đường chuẩn  : y   .  Đường chuẩn  : y  . 2 2 85. Tìm tiêu điểm, đường chuẩn và vẽ parabol sau: a. y 2  4 x b. y 2  x  0 . 86. Lập phương trình chính tắc của parabol a. Có tiêu điểm F (3;0) b. Đi qua M (1; 1) . 1 c. Có đường chuẩn  : x  5 d. Có tham số tiêu p  . 3 87. Cho elip ( E ) : 9 x 2  16 y 2  144 . a. Tìm các tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip (E). b. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) có cùng hình chữ nhật cơ sở với (E). c. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E). 88. Cho parabol ( P) : y 2  12 x có tiêu điểm F. Tìm 2 điểm A, B trên (P) sao cho OAB có trực tâm là F. b 1  b 2  4ac 89. Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm F ( ; ) và đường 2a 4a 1  b 2  4ac chuẩn  : y   0 có phương trình y  ax 2  bx  c . 4a 90. Lập phương trình của parabol (P) biết tiêu điểm là gốc tọa dộ và đường chuẩn có phương trình 4 x  5 y  10  0 . 91. Cho F (1; 2) . Tìm hệ thức giữa x, y để điểm M(x;y) cách đều điểm F và trục hoành. 92. Tìm tham số tiêu của parabol (P) có tiêu điểm F(1;2), đường chuẩn  : 3x  4 y  5  0 . 93. Cho parabol (P) có phương trình y 2  4 x . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (P) và cách tiêu điểm một khoảng bằng 3. 94. Tìm độ dài dây cung vuông góc với trục đối xứng của parabol ( P) : y 2  2 px ( p  0) tại tiêu điểm F. 95. Qua một điểm A cố định trên trục đối xứng của parabol (P): y 2  2 px ( p  0) , ta vẽ một đường thẳng cắt (P) tại 2 điểm M và N. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M và N tới trục đối xứng của (P) là hằng số. Page 14 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  15. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 96. Cho dây cung AB đi qua tiêu điểm F của parabol (P). Chứng minh khoảng AB cách từ trung điểm I của AB đến đường chuẩn  bằng . Suy ra, đường tròn 2 đường kính PB tiếp xúc với đường chuẩn. 97. Cho A, B là hai điểm trên ( P) : y 2  2 px ( p  0) sao cho tổng các khoảng cách từ A và B tới đường chuẩn của (P) bằng độ dài AB. Chứng minh rằng AB luôn đi qua tiêu điểm của (P). 1 98. Cho parabol ( P) : y 2  x . Hai điểm lưu động M, N thuộc (P) khác gốc O 2 sao cho OM vuông góc với ON. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 99. Cho parabol ( P) : y 2  2 px ( p  0) , A là một điểm cố định trên (P). Một góc vuông uAt quay quanh đỉnh A có các cạnh cắt (P) tại B và C. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. 100. Cho hai parabol ( P) : y 2  2 px và ( P ') : y  ax 2  bx  c . Chứng minh rằng nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn. . Dạng : Ba đường cônic 1. Đường chuẩn: x2 y 2 x2 y 2  Elip ( E ) :  2  1 (a  b  0) và Hyperbol ( H ) : 2  2  1 (a, b  0) có 2 a2 b a b đường chuẩn: a  1 : x   ứng với tiêu điểm F1 (c;0) . e a  2 : x  ứng với tiêu điểm F2 (c; 0) . e p  Parabol ( P) : y 2  2 px ( p  0) có 1 đường chuẩn  : x  ứng với tiêu điểm 2 p F ( , 0) . 2 2. Tính chất: MF1 MF2  M ( x; y )  conic    e. d ( M , 1 ) d ( M ,  2 ) 3. Định nghĩa chung của 3 đường conic: MF  M  conic  e. d ( M , )  F là tiêu điểm.   là đường chuẩn ( F  ) .  e là hằng số gọi là tâm sai.  0  e  1 thì conic là elip. Created by Nguyen Van Rin Page 15 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  16. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic  e  1 thì conic là hyperbol.  e  1 thì conic là parabol. 101. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của các đường conic: x2 y2 x2 y2 a.  1 b.  1 c. y 2  14 x . 10 7 14 1 102. Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn và vẽ các đường conic: x2 y2 x2 y2 a.  1 b.  1 c. 3 x  2 y 2  0 . 9 4 9 16 103. Lập phương trình chính tắc của conic: a. Một tiêu điểm là F2 (3, 0) , đường chuẩn tương ứng là x  2 . b. Một tiêu điểm là F1 (6, 0) , tâm sai e  3 . 104. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5 và khoảng cách giữa hai tiêu điểm là 4. 3 16 b. Tâm sai e  và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường chuẩn là . 4 3 105. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (P) biết: a. Phương trình các đường tiệm cận là 4 x  3 y  0 và khoảng cách giữa hai 18 đường chuẩn là . 5 16 5 b. Phương trình một đường chuẩn là x  , tâm sai e  . 5 4 106. Cho đường thẳng  : x  y  1  0 và điểm F (1;1) . Viết phương trình đường conic nhận F làm tiêu điểm và  làm đường chuẩn trong mỗi trường hợp: 2 a. Tâm sai e  1 . b. Tâm sai e  2 c. Tâm sai e  2 107. Viết phương trình các đường conic trong các trường hợp sau: a. Tiêu điểm F (2;3) , đường chuẩn y  0 và tâm sai e  1 . 1 b. Tiêu điểm F (0;3) , đường chuẩn y  0 và tâm sai e  . 2 c. Tiêu điểm F (0;3) , đường chuẩn y  0 và tâm sai e  2 . x2 y 2 108. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F (c;0) của elip ( E ) :   1, a 2 b2 (a  b  0) và cắt (E) tại 2 điểm A, B. Chứng minh rằng đường tròn đường kính a AB không có điểm chung với đường chuẩn x  của (E). e Page 16 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
  17. §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng x2 y 2 109. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F (c;0) của hyperbol ( H ) :  1 a 2 b2 và cắt (H) tại 2 điểm A, B. Chứng minh rằng đường tròn đường kính AB cắt a đường chuẩn x  của (H). e 110. a. Chứng minh rằng đoạn thẳng trên đường tiệm cận bị chắn bởi đường chuẩn và tâm của hyperbol bằng nửa trục thực. b. Chứng minh rằng mỗi đường chuẩn của hyperbol luôn đi qua chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm tương ứng tới hai đường tiệm cận. . Đề thi tuyển sinh: 111. (KHỐI A-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương 5 trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật 3 cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. x2 y 2 (ĐS: ( E ) :   1 ). 9 4 112. (KHỐI D-2008) Trong mặt phẳng với hệ rọa độ Oxy cho parabol ( P) : y 2  16 x và điểm A(1; 4) . Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động  trên (P) sao cho BAC  90 . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. (ĐS: I (17; 4) ). 113. (KHỐI A-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B(2; 2) và C (4; 2) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. (ĐS: (C ) : x 2  y 2  x  y  2  0 ). 114. (KHỐI D-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x  1) 2  ( y  2)2  9 và đường thẳng d : 3 x  4 y  m  0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. (ĐS: m  19; m  41 ). 115. (KHỐI B-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  6 y  6  0 và điểm M (3;1) . Gọi T1 , T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 . (ĐS: T1T2 : 2 x  y  3  0 ). 116. (KHỐI D-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và đường thẳng d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Created by Nguyen Van Rin Page 17 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
  18. Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic (ĐS: M (1; 4), M (2;1) ). 117. (KHỐI B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. (C1 ) : ( x  2) 2  ( y  1)2  1 (ĐS: ). (C2 ) : ( x  2)2  ( y  7) 2  49 118. (KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và x2 y 2 elip ( E ) :   1 . Tìm tọa độ các điểm A, B  ( E ) , biết rằng hai điểm A, 4 1 B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 (ĐS: A( ; ), B( ; ) hoặc A( ; ), B( ; ) ). 7 7 7 7 7 7 7 7 119. (KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn (C ) : ( x  1) 2  ( y  2)2  4 và đường thẳng d : x  y  1  0 . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’). (ĐS: (C ') : ( x  3) 2  y 2  4 , A(1; 0), B(3; 2) ). 120. (KHỐI D-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho x2 y 2 elip ( E ) :   1 . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N 16 9 chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. (ĐS: M (2 7, 0), N (0, 21), Min( MN )  7 ). HÕt Tµi liÖu l­u hµnh néi bé – NguyÔn V¨n Rin - §HSP HuÕ Email: Rinnguyen1991@gmail.com Page 18 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2