intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương pháp và kỹ thuật tính tích phân

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
244
lượt xem 74
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'phương pháp và kỹ thuật tính tích phân', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp và kỹ thuật tính tích phân

  1. PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH TRONG TÍNH PHÂN Nguyễn Văn Cường, THPT Mỹ Đức A, Hà Nội ĐT: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526 Email: cuongvan12@gmail.com Đăng tải tại http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng và trong Toán học nói chung,không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn có đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các môn khoa học khác như Vật lý Thiên văn học ,cơ học ....nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể..Học sinh lớp 12 Khi ôn thi tốt nghiệp ,Thi đại học –cao đẳng thường rất gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên đề này. Những người mới học và làm quen với Tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết , đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế. Bài viết này xin nêu ra một số phương pháp điển hình thường được dùng để giải các bài tập về tích phân trong các kỳ thi Đại học. Nội dung bài viết cũng là nội dung cơ bản của đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi trong năm học 2010 đã được Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội xếp loại B. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để chuyên đề này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường ,góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài Tích phân trong các kỳ thi cuối cấp đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về phép tính vi phân –Tích phân trong những năm đầu học đại học. Xin vui lòng giới thiệu với các bạn đồng nghiệp và những người yêu toán chuyên đề : “Phương pháp và kỹ thuật điển hình tính tích phân”
  2. MATHVN.COM | www.MATHVN.com I - Kỹ thuật biến đổi vi phân (đưa về bảng nguyên hàm) Khi sử dụng kỹ thuật bảng nguyên hàm ta cần lưu ý đến một số phép toán vi phân đơn giản sau: f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là một nguyên hàm của hàm sồ f(x) x k +1 1 xkdx=d ( d (ax + b) + a ) sinxdx=d(-cosx) dx= k +1 a d ( x + x2 + a ) dx dx dx = = d (t anx) ; = d (- cot x) .... ; 2 sin 2 x x2 + a x + x2 + a cos x Một số công thức suy rộng sau cos kx sin kx ò sin kxdx = - ò coskxdx = +c ; +c; k k e kx a kx ò e dx = + c ; ò a kx dx = + c, "k Î R ..... kx k k ln a x 2 + e x + 2x 2 e x 1 Tính tích phân : I = ò Ví dụ 1( ĐHA -2010) dx 1 + 2e x 0 1 x (1 + 2e ) + e 1 1 1 1 x3 2 x x x 1 e dx ; I1 = ò x 2 dx = Lời giải I = ò dx = ò x 2 dx + ò =; 1 + 2e 1 + 2e x x 30 3 0 0 0 0 1 d (1 + 2e x ) 1 1 æ 1 + 2e ö 1 1 æ 1 + 2e ö 1 1 ex 1 I2 = ò dx = ò = ln(1 + 2e x ) = ln ç ÷ Vậy I = + ln ç ÷ 1 + 2e 2 0 1 + 2e 2è3ø 32è3ø x x 2 0 0 p 2 Ví dụ 1( ĐHA -2009) Tính tích phaân I = ò (cos3 x - 1) cos2 xdx 0 Lời giải p p p p p I = ò ( cos3 x - 1) cos 2 xdx = ò cos5 xdx - ò cos 2 xdx, I1 = ò cos 4 x cos xdx = ò (1 - sin 2 x ) cos xdx = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 p p p p p p p (1 - 2sin x + sin x ) d (sinx) = 15 , I 2 = ò cos2 xdx = ò 1 + cos 2 x dx = ò 1 dx + 1 ò cos 2 xdx = 1 x + 1 sin 2 x = p 2 2 2 2 2 8 2 2 ò 2 4 2 2 20 20 4 4 0 0 0 0 0 3 dx Tính tích phân I = ò e -1 x 1 3 dx Ví dụ 3 ĐHKD -09) Tính tích phân I = ò e -1 x 1 1 - ex + ex 3 3 3 ex Lời giải I = ò dx = - ò dx + ò x 3 dx = -2 + ln e x - 1 e -1 e -1 x 1 1 1 1 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 2
  3. MATHVN.COM | www.MATHVN.com = -2 + ln(e3 - 1) - ln(e - 1) = -2 + ln(e2 + e + 1) p /4 1 - 2sin 2 x ò Ví dụ 1 (ĐHKB -03) Tính I= dx 1 + sin 2 x 0 Lời giải: 1 Nhận thấy d(1+sin2x)= cos2 xdx , 1-2sin2x=cos2x nên ta có 2 p /4 p /4 p /4 1 - 2sin x 1 d (1 + sin 2 x) 1 2 cos2 x 1 I= ò dx = ò dx = ò p /4 = ln(1 + sin 2 x) = ln 2 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2 0 1 + sin 2 x 0 2 2 0 0 Ví dụ 2 (ĐH KA-06) p /4 sin 2 x ò J= dx cos 2 x + 4sin 2 x 0 Lời giải: Nhận thấy d(cos2x+4sin2x)=sin2xdx do đó ta có p /4 p /4 d (cos 2 x + 4sin 2 x) 1 sin 2 x 1 2 1 ò ò p /4 dx = (cos 2 x + 4sin 2 x) 2 = ( 10 - 2) J= dx = 0 cos 2 x + 4sin 2 x cos 2 x + 4sin 2 x 3 3 3 0 0 Ví dụ 3 ln x 3 2 + ln 2 x e Tính K= ò (ĐHKB-04) dx x 1 Lời giải: ln x 3 2 + ln 2 x e e e 1 3 K =ò dx = ò 3 2 + ln 2 x ln xd (ln x) = ò (2 + ln 2 x)1/3 d (2 + ln 2 x) = (3 3 3 - 2 3 2) x 21 8 1 1 Nhận xét 1: - Các tích phân trên có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số song nếu ta khéo léo biến đổi vi phân thì đưa được về các tich phân cơ bản . -Dùng phép biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản giúp Lời giải ngắn gọn,so với Phép đổi biến số thì không phải đổi cận ,Trong giải toán thêm một phép toán là thêm một nguy cơ sai. để làm rõ ưu điểm của phương pháp này ta xét bài toán sau b dx L= ò ln é( x + a) x + a ( x + b)( x +b ) ù Ví dụ 4: Tính với b>a>0 ë û ( x + a)( x + b) a Lời giải: Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 3
  4. MATHVN.COM | www.MATHVN.com ( x + a ) ln( x + a) + ( x + b) ln( x + b) ln( x + a) ln( x + b) ù dx = ò é b b L= ò Viết lại ê x + b + x + a údx = ( x + a)( x + b) aë û a b ò [ln( x + x)d ln( x + b) + ln( x + b)d ln( x + a)] a b a = ò d [ ln( x + b) ln( x + b) ] = ln( x + a) ln( x + b) b = ln ln(a + b) a b a Nhận xét 2 -Đây là một trong những bài toán điển hình minh hoạ tính ưu việt cho phương pháp sử dụng phương pháp biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm -Một trong những phương pháp cơ bản nhất để tính tích phân lượng giác đó là biến đổi Vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản,khi đó ta cần dùng các công thức biến đổi lượng giác như hạ bậc ,nhân đôi ,tổng thành tích ... ta xét các ví dụ sau Ví dụ 5 Tính p /2 ò (e (ĐH K D-05) + cos x) cos xdx sin x M= 0 Lời giải: p /2 p /2 p 1 + cos2 x ò ò esin x d (cos x) + dx = e - 1 + M= 2 4 0 0 Ví dụ 6: Tính p /3 sin xdx ò N= cos 2 x 1 + cos 2 x p /4 Lời giải: p /3 p /3 p /3 sin xdx tan xdx 1 ò ò ò/4 (2 + tan x) d (2 + tan x) = 5 - 3 -1/2 = = 2 2 N= cos 2 x 2 + tan 2 x 2p 1 cos 2 x cos x 1 + p /4 p /4 cos 2 x 3 x Ví dụ 7: Tính P= ò e x 2 +1 dx x +12 0 Lời giải: -1 3 3 3 x P= ò e òe òe x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 dx = (1 + x ) d (1 + x )dx = d (1 + x 2 ) = e = e2 - e 2 2 3 2 1 x +1 2 0 0 0 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 4
  5. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân bằng phương pháp biến đổi vi phân p dx Vídụ 7 : Tính I= ò 1 + s inx 0 Nhận xét: Học sinh khi giải thường gặp sai lầm sau Đặt x=tanx/2 dx= p p p 1+ t2 -2 -2 -2 2dt 1 dx 2dt Þò =ò = 2ò (1 + t ) -2 d (t + 1) = p = = - ; p 1 + t 1 + s inx (1 + t ) 1 + s inx 0 (1 + t ) tan + 1 tan 0 + 1 0 2 2 2 x t an + 1 0 0 2 2 p không xác định nên tích phân trên không tồn tại. Do tan 2 -2 Nguyên nhân sai lầm :Do tích phân là tổng vô hạn các hạng tử nên Þ0 p tan + 1 2 vẫn được thừa nhận. p dx Lời giải đúng: I= ò 1 + s inx 0 xp d( - ) p p xp p p dx =ò =ò 24 p = tan( - ) = tan - tan(- ) =2 xp p 0 24 4 4 ) 0 1 + cos 2 ( - ) 0 1 + cos( x - 24 2 Qua bài toán trên người thầy nên lưu ý với học sinh khi đổi biến số trước hết phải nghĩ ngay tới phép đổi biến có tồn tại hay không?( cũng giống như khi ta giải phương trình cần đặt điều kiện cho ẩn số nếu có) 4 Ví dụ 8 I= ò x 2 - 6 x + 9dx 0 Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm sau ( x - 3) 2 4 4 4 I= ò x 2 - 6 x + 9dx = ò ( x - 3) 2 dx = ò ( x - 3) 2 d ( x - 3) = = -4 4 0 2 0 0 0 Nguyên nhân sai lầm là phép biến đổi ( x - 3) 2 = x - 3 không tương đương đương ì x - 3;3 £ x £ 4 trên [0, 4] vì |x-3|= í î3 - x; 0 £ x £ 3 Lời giẩi đúng là Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 5
  6. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 4 I= ò x 2 - 6 x + 9dx 0 4 4 4 3 4 = ò ( x - 3) 2 dx = ò ( x - 3) 2 d ( x - 3) = ò | x - 3 | d ( x - 3) = - ò ( x - 3)d ( x - 3) + ò ( x - 3)d ( x - 3) 0 0 0 0 3 -( x - 3)( x - 3) 4 2 2 + |0 = 5 3 = 0 2 2 2 dx Ví dụ 9: Tính I= -ò2 ( x + 1) 2 Học sinh thường mắc sai lầm khi biến đổi như sau d ( x + 1) 2 2 dx ò2 ( x + 1)2 = ò ( x + 1) -1 2 -4 |= I =- = 2 x + 1 -2 3 -2 1 gián đoạn trên đoạn [ -2; 2] nên Nguyên nhân sai lầm là do hàm số y= ( x + 1)2 không sử dụng được công thức NeW ton –leibnitz như trên. Lời giải đúng là : 1 không xác định tại x=-1 Î [ -2; 2] nên gián đoạn trên [ -2; 2] ,do vậy hàm số y= ( x + 1)2 tích phân trên không tồn tại. Tổng kết: Để sử dụng được thành thạo kỹ thuật sử dung bảng nguyên hàm học sinh hiểu được bản chất của các công thức,phải hiểu công thức trong trạng thái động.khi đứng trước bài toán tính tích phân cần xem xét kỹ biểu thức dưới dẩu tích phân,nếu có ý tưởng sử dụng bảng nguyên hàm thì định đưa về công thức nào trong bảng nguyên hàm. Để làm được điều đó hoc sinh phải hiểu kỹ bản chất của công thức, có tư duy trong biến đổi vi phân một cách logic, để tiếp nhận nó một cách tự nhiên ,không gượng ép . Chẳng hạn khi hướng dẫn học sinh sử dung công thức xa +1 ò x dx = a + 1 + c , học sinh phải hiểu giá trị x trong hai số x và dx là giống nhau, a a nếu thay x trong hai số đó bởi một biểu thức khác thỉ công thức trên vẫn đúng ví dụ thay Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 6
  7. MATHVN.COM | www.MATHVN.com (2t + 1)a +1 ò (2t + 1) d (2t + 1) = a + c ,Nhưng nểu chỉ có dạng X = 2t+1 thì ta có a +1 1 ò (2t + 1) dt muốn sử dụng được công thức trên phải biến đổi dt = 2 d (2 x + 1) .nghĩa a là ta đã biến đổi vi phân. Tương tự đối vói các nguyên hàm khác. Để luyện tập kỹ thuật trên ta có thể làm tương tự các bài tập sau p p 4 4 dx dx dx 1/I= ò ; 2/J= ò ; 3/K= ò x 2 3 1 - x3 dx ;4/L= ò tan xdx ;5/ M= ò 4 s inx p cos x cos x p 3 3 e x 2001dx x ln x 6/N= ò 7/ P= ò 8/Q= ò ; ; ; x(ln 2 x + 1) (1 + x 2 )1002 x 2 + 1cos 4 x 2 + 1 1 p p p 3 2 4 sin x cos xdx dx sin 4 xdx 9/y= ò 10/T= ò 11/H= ò ; ; 3sin 2 x + 4cos 2 x sin 6 x + cos 6 x 3 5 sin xcos x p 0 0 6 II-Tính tích phân bằng cách đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạo hàm của một hàm số khi sử dụng kỹ thuật này ta chú ý đến các tính chất quan trọng sau · ( UV)’=UV’+U’V æ U ö U V - UV ' ' ' · = ç÷ èV ø V2 ò (U V + UV )dx = ò d (UV ) · ' ' U 'V - UV ' æU ö · ò V 2 dx = ò d ç V ÷ èø e2 æ ö 1 I= ò ç 2 ln x + Ví dụ 1 ÷dx (ĐH NT-00) eè ln x ø Lời giải: 1 Ta có 2 ln x + = 2 ln x .( x)' + x(2 ln x )' = (2 x ln x )' ln x Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 7
  8. MATHVN.COM | www.MATHVN.com e2 e2 æ 1ö Do đó I= ò ç 2 ln x + ÷dx = ò d (2 x ln x )= 2 x ln x = 2 2e 2 - 2e e2 e eè ln x ø e p 1 + s inx 2 J= ò Ví dụ 2 (ĐH -Dược -00) dx 1 + cos x 0 Lời giải: pé ù p p p x x 1 + 2sin cos 2 e x dx = ê 1 e x + e x tan x údx = d æ e x tan x ö = 1 + s inx x 2 2 2 2 ò 1 + cos x e dx = ò ò òç 2 ê ú ÷ è 2ø x x 2ú 0 ê 2cos 2 2cos 2 0 0 0 ë û 2 2 xp p J= æ e x tan ö 02 = e 2 ç ÷ è 2ø Nhận xét :Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải như sau p p p 1 + s inx x 2 2 2 1 s inx x Phân tích K= ò e dx = ò e x dx + ò e dx = K1 + K 2 Cách 2 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 p p p p p 2 2 2 2 1 1 x x x K1 = ò e x dx = ò e x dx = ò e x d (tan ) = e x tan - ò tan e x dx 2 1 + cos x 0 x 2 2 2 0 2cos 2 0 0 0 2 p p p p p p 2 2 sin x sin x x =e -ò e x dx = e - ò e dx - K 2 Þ K = e 2 + K 2 - K 2 = e 2 2 2 1 + cos x x 2cos 2 0 0 2 ì é (1 + cos x) s inx ù 1 + s inx ì ïdu = ê - ïu = 2ú Cách 3: Có thể đặt í 1 + cos x Þ í ë (1 + cos x) (1 + cos x) û dx 2 ïdv = e x dx ï îv = e î x Từ đó ta có K= p p p p é (1 + cos x)e x e x s inx ù 1 + s inx x ex 2 12 -òê dx = 2e 2 - - ò ( - )' dx = (1 + cos x) 2 (1 + cos x) 2 ú 2 e 1 + cos x 2 0 (1 + cos x) o oë û p p p ex 1 2e - - ( ) o =e2 2 2 2 1 + cos x x 2 .e x Ví dụ 3 K = ò dx ( x + 2) 2 Lời giải: Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 8
  9. MATHVN.COM | www.MATHVN.com é x 4x + 4 x ù x + 2 -1 é1 1 ' xù x 2 .e x ò ( x + 2)2 dx = ò êe - ( x + 2)2 e údx = e - 4ò ( x + 2)2 dx =e - 4ò ê x + 2 (e ) + ( x + 2 ) e údx x x x ë û ë û K= x x e' e e x - 4ò ( ) dx = e x - 4( )+C x+2 x+2 Để luyện tập ta tính các tích phân sau p p2 p I= ò é 4 x tan + x 2 (1 + tan 2 ) ùdx 4 x x HD: I= tan ê 2ú ë û 2 8 8 0 ( x 2 + 1)e x 1 J= ò HD: J=1 dx ( x + 1)2 0 p pe 2 K= ò esinx (1 + x cos x)dx HD: K= 2 0 III-Kỹ thuật đổi biến số 1/Đổi biến số dạng 1: Đổi biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tính nguyên hàm và tích Phân .Cơ sở của phương pháp đổi biến số dạng 1 là công thức sau b b ò f [u ( x)]u ( x), dx = ò f (u )du a a Trong đó f(x) là hàm số liên tục và hàm số u(x) có đạo hàm liên tục trên K sao cho f[u(x) ] xác định trên K và a = u (a), b = u (b) . Áp dụng tính chất trên ta có quy tắc đổi biến sau b ò f ( x)dx . Đặt t=V(x) khi đó ta biến đổi f(x)dx=g(t)dt do đó Xét tích phân a b b ò ò f ( x)dx = a g (t )dt và a = u (a), b = u (b) a Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 9
  10. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Khi đổi biến số điều quan trọng là chọn được hàm V(x) thích hợp sao cho tích phân với biến mới phải đơn giản hơn so với tích phân ban đầu ,và gắn liền với việc đổi biến đó là phải đổi cận , ta xét một số bài toán sau trước khi rút ra những kinh nghiệm trong việc lựa trọn hàm V(x). e ln x Ví dụ 0(ĐHKB-2010): Tính tích phân I = ò dx x(2 + ln x) 2 1 1æ 2ö e 1 ln x u 1 1 I =ò dx ; u = ln x Þ du = dx I = ò du = ò ç - ÷du ç 2 + u ( 2 + u )2 ÷ x ( 2 + ln x ) (2 + u) 2 2 x 0è ø 1 0 1 2ö æ 2ö æ æ3ö 1 ÷ = ç ln 3 + ÷ - ( ln 2 + 1) = ln ç 2 ÷ - 3 = ç ln 2 + u + 2+uø0 è 3ø è èø 23 dx ò Ví dụ 1: (ĐHKA-03) Tính I= x x2 + 4 5 Lời giải: Đặt t= x 2 + 4 khi x= 5 ,t=3 x= 2 3 ,t=4. t2=x2+4 suy ra x2=t2- 4,tdt=xdx 23 23 dx xdx ò ò I= = = x x2 + 4 x2 x2 + 4 5 5 1 (t + 2) - (t - 2) 1 d (t - 2) 1 d (t + 2) 1 t -2 4 4 4 4 4 tdt dt 15 4 ò (t 2 - 4)t = ò t 2 - 4 = 4 ò (t + 2)(t - 2) dt = 4 ò t - 2 - 4 ò t + 2 = 4 ln t + 2 = . ln 43 3 3 3 3 3 3 Nhận xét 1: b dx ò (mx + n) -Dạng tổng quát của tích phân trên là ngoài cách giải như px 2 + qx + c a trên là đặt t= px 2 + qx + c ta còn có thể giải như sau: 1 đặt mx+n= . Sau đó chuyển tích phân trên về biến mới t ta cũng thu được kết quả t trên -đối với các tích phân có chứa biểu thức n f ( x) ta thường nghĩ tới việc lựa chon t= n f ( x ) ( trừ một số trường hợp sẽ có dấu hiệu đổi biến số dạng 2 sẽ trình bày sau ).Ta xét thêm một số ví dụ để làm sáng tỏ Ví dụ 2 : Tính (ĐHKA-04) Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 10
  11. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 dx J= ò 1 1+ x -1 Lời giải: Thực hiện phép biên đổi t= x - 1 ,x=1 thì t=o,x=2 thì t=1,t2=x-1 suy ra x=t2+1 2tdt = dx từ đó ta có (t 2 + 1)2tdt d (t + 1) 11 2 1 1 1 1 1 dx 4 ò 1 + x - 1 0 1 + t = ò [2t - 2t + 4 - t + 1]dt = 2ò t dt - 2ò dt - 4ò t + 1 = 3 - 4 ln 2 =ò 2 2 1 0 0 0 0 Ví dụ 3:( ĐHKB-04) 1 + 3ln x ln x e K= ò dx x 1 Lời giải: e Nhận thấy K= ò 1 + 3ln x ln xd (ln x) do vậy ta chọn t= 1 + 3ln x , x=1,t=1,x=2,t=2 1 t 2 -1 3dx .Do đó lnx= và 2tdt= 2 x 1 + 3ln x ln x t (t 2 - 1)2 e 2 2 2 24 116 K= ò dx = ò tdt = [ ò t dt - ò t 2 dt ] = x 3.3 91 135 1 1 1 e3 ln 2 x Ví dụ 4: Tính L= ò (Đề thi dự bị KD-2005) dx x ln x + 1 1 Lời giải: dx 2 ln x + 1 Þ t 2 = ln x + 1 Þ 2tdt = , t - 1 = ln x Đặt t= x x = e3 Þ t = 2; x = 1 Þ t = 1 e3 2 ln 2 x 76 L= ò dx = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = ... = x ln x + 1 15 1 1 Ví dụ 5: 4 7 x3dx M= ò Tính 1 + 3 x4 + 1 0 Lời giải: Đặt t= 3 x 4 + 1 x=0,t=1,x= 4 7 ,t=2.Ta có t3=x4+1 suy ra 3t2dt=4x3dx do đó 4 3 t 2 dt 3 (t 2 + 1) - 1 3 3 d (t + 1) 3 3 3 7 2 2 2 2 x3dx ò 1 + t = 4 ò t + 1 = 4 ò (t - 1)d (t - 1) + 4 ò t + 1 = 8 + 4 ln 2 M= ò = 1 + 3 x4 + 1 41 0 1 1 1 Nhận xét 2: Do đặc thù một số tích phân phức tạp ,trước khi đổi biến số dạng 1 đôi khi ta phải biến Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 11
  12. MATHVN.COM | www.MATHVN.com đổi để dễ nhận thấy biến mới rõ hơn 2 dx Ví dụ 6: Tính N= ò x11 1 + x 4 1 Lời giải: 2 1- dx 2 1 1 1 dx dx x5 Bién đổi N= ò =ò Đặt t= 1 + 4 suyra 4 = t 2 - 1, dt = x11 1 + x 4 x x 1 1 1+ 4 x13 1 + 1 0 x4 x 1 21 ( ) 5 dx 17 dx 1 4 =x x Và từ đó = - (t 2 - 1)2 dt ,x=1,t= 2, x = 2, x = 2, t = 1 + x4 1 + x4 2 16 x13 17 1 16 dx 1 N= ò ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt ta đưa về tích phân quen thuộc =- 1+ x 2 11 4 x 0 2 Nhận xét 3 -Các tích phân chứa các hàm số lượng giác trước khi nhận diện được biến mới cần có hướng biến đổi lượng giác nhờ vào các công thức quen thuộc như:công thức nhân đôi , hạ bậc,tổng thành tích ,... Ví dụ 7: p /4 sin( x - p / 4) ò sin 2 x + 2(1 + s inx + cos x)dx (ĐHKB-08) Tính L= 0 Lời giải: Nhận xét :tích phân trên mới nhìn ta thấy khó nhận diện được biến mới ta thử xem mẫu và tử sô có mối qua hệ gì ? sin2x+2(1+sinx+cosx)=1+2sinxcosx+2(sinx+cosx)+1=(sinx+cosx)2+ =(sinx+cosx+1)2, d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx= 2(sinx+cosx)+1 - 2 sin( x - p / 4) dx Do đó đặt t=sinx+cosx khi đó đổi cận ta có: d (t + 1) p /4 sin( x - p / 4) -2 4-3 2 2 ò ò dt = L= = dx sin 2 x + 2(1 + s inx + cos x) (t + 1) 2 2 4 0 1 Ví dụ 8 p /6 tan 4 x ò (ĐHKA-08) Tính P= dx cos2 x 0 Lời giải: Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 12
  13. MATHVN.COM | www.MATHVN.com p /6 p /6 p /6 p /6 tan 4 x tan 4 x tan 4 x tan 4 xd (t anx) ò ò ò ò Nhận xét P= = dx = dx = dx cos 2 x - sin 2 x (1 - tan 2 x)cos 2 x (1 - tan 2 x) cos2 x 0 0 0 0 p 1 Đặt tanx=t ,x=0thì t=0,x= thì t= . 6 3 1 p /6 3 t4 4 tan x =ò ò Do đó P= dt = dx 1- t2 cos2 x 0 0 1 1 1 1 - (1 - t ) 3 3 3 4 dt 10 1 ò ò 1- t ò (1 + t dt = - )dt = - + ln(2 + 3) 2 1- t2 2 93 2 0 0 0 Nhận xét 4 b b f (tan x) f (tan x) ò ò -khi tính tích phân dạng dx hoặc dx ta viết như sau cos2 x sin 2 x a a 2 2 2 2 Cos2x=cos x(1-tan x); sin2x=2cos xtan x sau đó đặt t= tanx thì dx sau đó Đưa về tích phân cơ bản. dt= cos 2t b a tan 4 x -Bài toán tổng quát của bài trên là P= ò dx; a, b Î R a bcos2 x - Với cánh khai thác trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát hơn như sau b a tan 4 x ò2 với chú ý là dx; a, b, c, d Î R P 1= a b sin x + c sin x cos x + dcos x 2 (bsin2x+csinx cosx+dcos2x)=(btan2x+ctanx+d)cos2x do đó ta chọn t =tanx b ò R(s inx, cos x)dx - Đối với các tích phân lượng giác chứa hai hàm lương giác a sinx,cosx ta có mấy điều quan trọng sau + Nếu lẻ theo bậc của sinx thì nên chọn t=cosx +Nếu lẻ theo bậc của cosx thì nên đặt t=sinx +chẵn theo sinx và cosx thì đặt t=tanx p /2 sin 2 x cos x ò Ví dụ 9: Tính Q= (ĐHKB-05) dx 1 + cosx 0 Lời giải: Biến đổi p /2 p /2 sin x cos 2 x sin 2 x cos x ò dx = 2 ò Q= dx 1 + cosx 1 + cosx 0 0 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 13
  14. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Đặt t=1+cosx (vì bậc của sinx lẻ) suy ra dt=-sinxdx ,x=0thì t= p / 2 ,x= p / 2 thì t=1 p /2 (t - 1)2 2 sin 2 x cos x ò dx = Q= ò dt = 2 ln 2 - 1 Q= 1 + cosx t 0 1 Nhận xét 5: b a sin 2 x cos x Q= ò -Tích phân trên có dạng tổng quát có hai cách đặt dx b + Ccosx a C1: t=b+ ccosx C2: t=cosx Ví dụ 10: p /3 dx ò sin R= x - 2sin x cos x 2 p /4 Lời giải: Nhận xét bậc của sinx chẵn nên ta nghĩ tới cách đặt t= tanx p /3 p /3 p /3 dx dx 1 d (t anx) R= ò 2 = R= ò =ò p /4 sin x - 2sin x cos x p /4 (tan x - 2 t anx) cos x p /4 (tan x - 2 t anx) 2 2 2 p /3 3 3 d (t anx) dt 1 1 1 1 2 ò/4 (tan 2 x - 2 t anx) = ò ò ( t - 2 - t )dt = 2 ln(1 - đặt t=tanx ta có R= = ) t - 2t 2 2 3 p 1 1 Nhận xét 6 b dx - Tích phân tổng quát của tích phân trên là R= ò a sin x + b sin x cos x + ccos 2 x 2 a b b dx d (t anx) Ta biến đổi R= ò =ò (a tan x - b t anx + c)cos x a (a tan x - b t anx + c) 2 2 2 a sau đó đặt t=tanx b sin x cos xdx - Tương tự đối với tích phân lượng giác có dạng R= ò ,nÎ N (a sin 2 x + b 2cos 2 x) n 2 a Nhận xét 7: Đối với một số tích phân không có dấu hệu đặc biệt như chứa n f ( x) hay chứa các hàm số lượng giác như đã xét ở trên khi đó ta phải quan sát kỹ và khéo léo phân tích để có thể nhận diên được biến mới.Ta xét thêm một số các ví dụ sau Ví dụ 11 x2 - 1 2 G= ò Tính dx x4 + 1 1 Lời giải: 1 1 1 1 Nhận xét ( x 2 + ) = ( x + ) 2 - 2, d ( x + ) = (1 - 2 )dx từ đó ta biến đổi như sau 2 x x x x Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 14
  15. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 1 1 1 2 1- 1- 2 d (x + ) x2 -1 2 2 2 2 G= ò 4 dx = ò ò dx = ò x dx = G= x x x +1 1 12 12 1 x2 + 1 (x + ) - 2 1 (x + ) - 2 1 x2 x x 1 Đặt t=x + ,x=1 thì t=2,x=2 thì t=5/2 x Khi đó ta có x2 -1 2 G= ò dx = x4 + 1 1 (5 - 2 2)(2 + 2) (t - 2) - (t - 2) t- 2 5 /2 5/2 dt 1 1 1 ò ò dt = dt = = 5/2 ln ln u -2 (t - 2)(t + 2) 2 2 t+ 2 6- 2 2 2 22 22 2 2 Ví dụ 12 ln 5 dx Y= ò (ĐHKB-06) e + 2e - x - 3 x ln 3 Lời giải: e x dx d (e x ) dx Nhận xét x = = e + 2e- x - 3 e2 x - 3e x + 2 (e x - 1)(e x - 2) Đặt t=e x,x=ln3 thì t=3,x=ln5 thì t=5 5 ln 5 dt dx =ò Y= ò = e + 2e - x - 3 (t - 1)(t - 2) x ln 3 3 (t - 1) - (t - 2)dt d (t - 2) d (t - 1) t -2 5 5 5 3 ò (t - 1)(t - 2) = ò t - 2 - ò t - 1 = ln t - 1 = ln 5 3 2 3 3 3 Ví dụ 13 1 - x7 2 H= ò dx x(1 + x 7 ) 1 Lời giải: 1 - x7 (1 - x 7 ) x 6 1 (1 - x 7 ) 7 Nhận thấy d ( x 7 ) do đó ta nghĩ tới đặt t=x dx = 7 dx = x(1 + x x (1 + x ) 7 (1 + x ) 7) 7 7 1- x 1 (1 - t )dt 1 (1 + t ) - 2t 2 128 128 128 128 7 1 dt dt 1 512 H= ò dx = ò =ò dt = [ ò - 2 ò ] = ln x(1 + x ) 7 1 t (t + 1) 7 1 t (t + 1) 1 + t 7 16641 7 71t 1 1 Ví dụ 14 1 K= ò x5 (1 - x3 )6 dx 0 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 15
  16. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Lời giải: 1 1 Nhận xét x5(1-x3)6=x3(1-x3)6x2=- x3 (1 - x3 )6 d (1 - x3 ) = - [1 - (1 - x3 )](1 - x3 )6 d (1 - x3 ) 3 3 Do đó ta đặt t=1-x3 và ta có 1 0 0 1 1 1 K= ò x (1 - x ) dx = - ò (1 - t )6 dt = ò (1 - t )6 d (1 - t ) = 5 36 31 31 168 0 Nhận xét 8: Các ví dụ trên được giải nhờ vào việc biết phân tích mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu tích phân.ta gọi chung là đổi biến nhờ ‘Phân tích’ Nhận xét chung: Đổi biến số dạng 1 là một trong những phương pháp rất cơ bản, học sinh thường gặp trong Các kỳ thi tốt nghiêp và thi vào các trường Đại học,bởi nó có thể phát huy tối đa tư duy Linh hoạt của học sinh ,Học sinh không thể dùng một công thức đổi biến tông quát nào áp dụng Cho các bài toán khác nhau.Chính vì lẽ đó trong giảng dạy học sinh dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 ,người thầy không quá sa đà vào việc dạy học sinh những dạng toán có tính chất công thức,máy móc. Điều quan trọng là phát triển ở học sinh tư duy logíc,sự sáng tạo ,các em tự mình chiếm lĩnh kiến thức ,tự rút ra những bài học bổ ích từ việc giải được hay không giải được những bài tích phân,có như vậy khi đứng trước những bài toán mới hay những bài toán được ngụy trang thì các em vẫn có được ‘sức đề kháng’’ để vượt qua.Tôi coi đó là tư tưởng chủ yếu của dạy học tích phân nói riêng và môn toán nói chung. 2-Đổi biến số dạng hai: b Tư tưởng của kỹ thuật này là :Giả sử ta cần tính tích phân I= ò f ( x)dx thì ta chọn a X=u(t),với u(t) là hàm số ta chọn thích hợp Biểu diễn dx=u’(t)dt, u( a ) = a, u ( b ) = b Biểu thị f(x)dx theo t và dt,giả sử f(x)dx=g(t)dt b b I= ò f ( x)dx = ò g (t )dt là tích phân dễ tìm hơn tích phân ban đầu. a a 2 x 2 dx 2 ò Ví dụ 1: Tính I= 1 - x2 0 Lời giải : Nx: ta có sin2t+cos2t =1 nên 1-sin2t=cos2t, 1 - sin 2 t = cos t do đó ta nghĩ tới p pp Đặt x=sint t Î é - ; ù 2 , t = ,dx=costdt x=0,t=0,x= ê 2 2ú ë û 2 4 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 16
  17. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 p /4 p /4 p /4 p1 1 - cos2t x 2 dx sin 2 x cos tdt sin 2 t cos t 2 ò ò ò ò = dt = dt = - I= = I= 1- x 1 - sin t cos t 2 84 2 2 0 0 0 0 Nhận xét 1 : tÎ [ 0; p ] - Có thể đặt x=cost -Đối với những tích phân có chứa các biểu thức a 2 - x 2 ta có thể đặt x=acost , t Î [ 0; p ] pp hoặc x= asint , tÎ é - ; ù ê 2 2ú ë û 6 dx ò Ví dụ 2: Tính J= x x2 - 9 32 Lời giải: 3 Đặt x= , t Î (0; p / 2) sin t p p -3cos tdt 1 1 , x = 3 2,sin t = Þ t = , x = 6,sin t = Þ t = dx= 2 4 2 6 sin t 2 p /6 p /4 p4 p -3cos tdt 6 dx 1 cos tdt 1 J= ò =ò cos t 3 pò =ò = dt = 3 2 x x -9 3 p /6 sin t 36 2 3 9 -9 p /4 sin 2 t /6 sin t 2 sin t sin t Nhận xét 2: 3 - có thể đặt x= , cost a - đối với những tích phân có chứa biểu thức (a>0) ta có thể đặt x= x2 - a2 cost a hoặc X= , sin t Ví dụ 3 1 + x2 3 Tính K= ò dx x2 1 Lời giải; pp Đặt x=tant,tÎ (- ; ) 22 p p dt 1 x =1Þ t = , x = 3 Þ x = , dx = ; 1 + x 2 = 1 + tan 2 x = 2 4 3 cos t cos t 3 p /3 p /3 p /3 1 + x2 3 2 1 dt dt d (sin t ) du K= ò ò/4 sin 2 t cos2t = pò/4 cos t sin 2 t = pò4 sin 2 t (1 - sin 2 t ) = òu = dx = (1 - u 2 ) x2 2 p cos t 1 2 cos 2t 2 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 17
  18. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 3 3 3 2 -2 3 2 2 du du ò ò 1- u + = ln(2 + 3)( 2 - 1) + u2 2 3 2 2 2 2 Nhận xét 3: -Đối với những tích phân có chứa biểu thức (a2+x2)k (a>0)ta thường đăt x=atant hoặc x=acott -Một số tích phấn sau khi bién đổi mới đưa về dạng có chứa biểu thức (a2+x2)k .ta xét ví dụ sau 1 xdx Tính L= ò Ví dụ 4 x + x2 + 1 4 0 Lời giải: 1 3 d (t + ) 1 1 1 1 d ( x2 ) 12 d (u ) xdx 1 1 d (t ) 1 L= ò 4 2 = ò 2 2 2 = ò 2 =ò =ò 2 x + x + 1 2 0 ( x ) + x + 1 2 0 (t ) + t + 1 2 0 21 1 3 3 (t + ) 2 + ( ) 2 (u ) 2 + ( ) 2 0 2 2 2 2 p p pp 3 3 1 Đặt tan a , t Î (- ; ) ,u= Þ tan a = 3 Þ a = ,, u = Þ a = 2 22 2 3 2 6 p p 3 3 da p3 13 33 12 d (u ) =ò ò da = 18 , L= ò 2 = 2 p cos 2a . 3 (1 + tan 2 a ) 3p 21 3 (u ) 2 + ( ) 2 4 2 6 6 2 Nhận xét 5 Một số tích phân có chứa các biểu thức ( x - a )(b - x) ,b>a>0 Khi đó ta đặt p X=a+(b-a)sin2t , t Î é0; ù .ta xét ví dụ sau ê 2ú ë û 3 2 Ví dụ 5: Tính M= ò ( x - 1)(2 - x)dx 5 4 Lời giải : Nhận xét a=1,b=2 Đặt x=1+sin2t p p p t Î é0; ù ,dx=2sintcostdt,x= Þ t = ; x = Þ t = 5 3 ê ú ë 2û 4 6 2 4 p 3 3 2 2 4 M= ò ( x - 1)(2 - x)dx = ò ( x - 1)(2 - x)dx =2 ò sin 2 t (1 - sin 2 x) sin t cos tdt = p 5 5 4 4 6 Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 18
  19. MATHVN.COM | www.MATHVN.com p p 1p 4 4 1 3 2 ò sin 2 t cos 2 tdx = ò (1 - cos2t )d = 8 (12 - 8 ) . 2p p 6 6 Nhận xét 6: Bằng cách khai thác tương tự ta sẽ rút ra đựợc các cách biến số dạng 2 đối với những tích phân có chứa những biểu thức được thống kê qua bảng sau: Dấu hiệu Cách chọn pp X=asint tÎ é - ; ù hoặc a2 - x2 (a>0) ê 2 2ú ë û x=acost t Î [ 0; p ] pp t Î é - ; ù \0 x2 - x2 a (a>0) X= ê 2 2ú ë û sin t a tÎ [ 0; p ] \ p / 2 X= cost pp X=atant t Î æ - ; ö ho ặc a2 + x2 (a>0) ç ÷ è 2 2ø X=acott t Î ( 0; p ) a+x a-x X=acos2t hoặc a-x a+x X=a+(b-a)sin2t ( x - a )(b - x) Nhận xét 7: -Đôi khi để sử dụng đổi biến số dạng 2 laị bắt đầu từ dạng 1 p sin 2 xdx 4 ò Ví dụ 6: Tính K= (Đề thi dự bị 2008-B) cos 4 x(tan 2 x - 2 t anx + 5) -p 4 Lời giải: Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 19
  20. MATHVN.COM | www.MATHVN.com p p 2 tan 2 xd (t anx) 4 4 sin xdx Biến đổi K= ò =ò cos 4 x(tan 2 x - 2 t anx + 5) -p (tan 2 x - 2 t anx + 5) -p 4 4 Đặt tanx=t đổi cận đưa K vể dạng d (t 2 - 2t + 5) 1 1 1 1 t 2 dt dt K= ò = ò dt + ò 2 - 3ò (t - 2 t + 5) -1 t - 2t + 5 (t - 1) 2 + 4 2 -1 -1 -1 3p Lại đặt t-1=2tant đổi cận tính toán ta được K=2-ln2 8 -Một trong những phép đổi biến hay dùng nữa là phép thay biến x=a-t đói với những tích phân có cận trên là a và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận trên là a (Theo nghĩa chúng có mối quan hệ đến các góc liên quan đặc biệt).Vì lẽ đó các tích phân này thường p có cận trên là ; p ; 2p ,... 2 Khi tính các tích phân này thường dẫn tới giải một phương trình đơn giản với ẩn số là t Ví dụ 7: p /2 sin 4 xdx ò Tính H= cos 4 x + sin 4 x 0 p Lời giải: Đặt x= - t Þ dx = -dt và ta có 2 p /2 0 sin 4 xdx cos 4 xdx I= - ò ò = suy ra p 2 cos x + sin x cos 4 x + sin 4 x 4 4 0 p /2 p /2 p sin x + cos xdx 4 4 ò ò dx = p / 2 Þ x = 4 = 2I= cos 4 x + sin 4 x 0 0 Ví dụ 8 2p Tính F= ò xcos3 xdx 0 Lời giải: Đặt x= 2p - t Þ dx = - dt và ta có 2p 2p 2p 0 I= - ò (2p - t )cos (2p - t )dt = ò (2p - t )cos tdt = 2p ò cos tdt - ò tcos3tdt 3 3 3 2p 0 0 0 2p 2p cos3t + 3cos t ò cos tdt = ò Þ 2I = dt = 0 3 4 0 0 Ví dụ 9: Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2