zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

Phương trình mặt phẳng trong không gian

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

148
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức, kĩ năng cơ bản, và biết cách vận dụng giải các bài tập một cách nhanh nhất và chính xác. Hãy tham khảo tài liệu phương trình mặt phẳng trong không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình m t ph ng trong không gian PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ C TRƯNG C A M T PH NG: 1. Hai véctơ u = ( a1 , a 2 , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) là m t c p véc tơ ch phương (VTCP) c a m t ph ng (α) ⇔ u , v ≠ 0 ; không cùng phương và các giá c a chúng song song ho c n m trên m t ph ng (α) 2. Véctơ n = ( a; b; c ) là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a m t ph ng (α) ⇔ (α) ⊥ giá c a n 3. Nh n xét: M t ph ng (α) có vô s c p véctơ ch phương và vô s véctơ pháp tuy n ng th i n // [ u , v ] . u = ( a1 , a 2 , a 3 )  N u  là m t c p VTCP c a mp(α) thì VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )   a a3 a a1 a a2  n = [u , v ] =  2 ; 3 ; 1   b2 b3 b3 b1 b1 b2  II. CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH C A M T PH NG 1. Phương trình tham s : u = ( a1 , a 2 , a 3 )  Phương trình mp(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP  là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )   x = x 0 + a1t1 + b1t 2    y = y 0 + a 2 t 1 + b2 t 2 ( t 1 , t 2 ∈ » )   z = z 0 + a 3 t 1 + b3 t 2  2. Phương trình t ng quát: 2.1. Phương trình chính t c: Ax + By + Cz + D = 0 v i A 2 + B 2 + C 2 > 0 . N u D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⇔ (α) i qua g c t a . N u A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By + Cz + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c x’Ox. N u A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax + Cz + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c y’Oy. N u A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax + By + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c z’Oz. 83
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương 2.2. Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua M 0(x0, y0, z0) v i c p VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 )  a a2   a3 a a1 a  hay VTPT n = [u , v ] =  2 ; 3 ; 1  là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )   b2 b3 b3 b1 b1 b2  a2 a3 a3 a1 a1 a2 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = 0 b2 b3 b3 b1 b1 b2 2.3. Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua 3 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; C ( x 3 , y 3 , z 3 ) không th ng hàng có VTPT là:  y − y1 z 2 − z1 z − z1 x 2 − x1 x − x1 y 2 − y1  n =  AB, AC  =  2   , 2 , 2   y 3 − y1 z 3 − z1 z 3 − z1 x 3 − x1 x 3 − x1 y 3 − y1  nên phương trình là: y 2 − y1 z 2 − z1 z 2 − z1 x2 − x1 x2 − x1 y 2 − y1 y3 − y1 z3 − z1 ( x − x1 ) + z3 − z1 x3 − x1 ( y − y1 ) + x3 − x1 y3 − y1 ( z − z1 ) = 0 c bi t: Phương trình m t ph ng i qua A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = 1 ( abc ≠ 0 ) a b c 3. Phương trình chùm m t ph ng: Cho 2 m t ph ng c t nhau ( α 1 ) : a1 x + b1 y + c1 z + d 1 = 0 ; ( α 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 v i ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) . M t ph ng (α) ch a (∆) là p ( a1 x + b1 y + c1 z + d 1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 v i p2 + q2 > 0 III. V TRÍ TƯƠNG I C A 2 M T PH NG Cho 2 m t ph ng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 ) và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTPT n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 ) . N u n1 , n 2 không cùng phương thì (α1) c t (α2). N u n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) không có i m chung thì (α1) // (α2) N u n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) có i m chung thì (α1) ≡ (α2) 84
Phương trình m t ph ng trong không gian IV. GÓC GI A HAI M T PH NG Góc gi a 2 m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 cos ϕ = = v i n1 , n 2 là 2 VTPT c a (α1), (α2). n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C 2 2 2 2 V. KHO NG CÁCH 1. Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d ( M , α) = A2 + B 2 + C 2 2. Kho ng cách gi a 2 m t ph ng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) VI. CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài 1. L p phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A(2; 1; −1) và vuông góc v i ư ng th ng xác nh b i 2 i m B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1). Mp(α) i qua A nh n BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là: 1 ( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z + 3 = 0 Bài 2. L p phương trình tham s và phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A ( 2; −1; 4 ) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc v i ( β ) : x + y + 2 z − 3 = 0 HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; 2 ) . Do mp(α) i qua A, B và ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) nh n AB, n b làm c p VTCP. Suy ra VTPT c a (α) là:  3 −5 −5 1 1 3  n = ; ;  = (11; −7; −2 ) . M t khác (α) i qua A ( 2; −1; 4 ) nên  1 2 2 1 1 1  phương trình mp(α): 11 ( x − 2 ) − 7 ( y + 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 11x − 7 y − 2 z − 21 = 0 . Bài 3. L p phương trình mp(α) i qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x − y + z − 17 = 0 . L p phương trình mp(β) i qua 3 i m B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nh n ϕ t o b i 2 mp(α) và (β). HD: mp(α) // (γ): 2 x − y + z − 17 = 0 có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): 2 x − y + z + c = 0 (α) i qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 ⋅ 1 − 0 + 5 + c = 0 ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): 2 x − y + z − 7 = 0 85
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương mp(β) nh n 2 véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm c p VTCP nên có  2 −1 −1 0 0 2  VTPT là: nβ =  ; ;  = (1;1; 2 ) .  3 −1 −1 −1 −1 3  V y phương trình mp(β): x + ( y − 1) + 2 z = 0 ⇔ x + y + 2 z − 1 = 0 2 ⋅1 − 1⋅1 + 1 ⋅ 2 cos ϕ = cos ( n , nβ ) = = 3 = 1 ⇒ ϕ = π = 60° 2 2 +1+1 1+1+ 2 6 2 2 3 x − 2z = 0  Bài 4. Vi t PT m t ph ng ch a ư ng th ng (∆):  3 x − 2 y + z − 3 = 0  và vuông góc v i m t ph ng (P): x − 2 y + z + 5 = 0 HD: Phương trình chùm m t ph ng ch a (∆) là: m ( x − 2 z ) + n ( 3 x − 2 y + z − 3) = 0 ( m, n ∈ » ; m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = 0 ⇒ mp(α) ch a (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m ) M t ph ng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên (α) ⊥ (P) thì u ⋅ v = 0 ⇔ 1 ⋅ ( m + 3n ) − 2 ⋅ ( −2n ) + 1 ⋅ ( n − 2m ) = 0 ⇔ 8n − m = 0 . Cho n = 1 suy ra m = 8 , khi ó phương trình mp(α) là: 11x − 2 y − 15 z − 3 = 0 Bài 5. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a Oz và l p v i m t ph ng (α): 2 x + y − 5 z = 0 m t góc 60°. HD: M t ph ng (P) ch a Oz ⇒ (P) có d ng: mx + ny = 0 ( m 2 + n 2 > 0 ) ⇒ VTPT u = ( m; n; 0 ) . M t ph ng (α) có VTPT v = ( 2;1; − 5 ) suy ra 2.m + 1.n − 0. 5 2 cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ = 1 ⇔ ( 2 2m + n ) = 10 ( m 2 + n 2 ) m2 + n2 2 2 + 12 + 5 2 ⇔ 4 ( 4m 2 + 4mn + n 2 ) = 10 ( m 2 + n 2 ) ⇔ 2 ( 3m 2 + 8mn − 3n 2 ) = 0 Cho n = 1 ⇒ 3m 2 + 8m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 . 3 V y ( P ) : 3 x − y = 0 ho c ( P ) : x + 3 y = 0 86
Phương trình m t ph ng trong không gian Bài 6. Vi t phương trình t ng quát c a mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t o v i (Oxy) m t góc 60°. HD: (α): Ax + By + Cz + D = 0 qua M, N suy ra: C + D = 0; 3 A + D = 0 ⇒ C = 3 A; D = −3 A . M t ph ng (Oxy) có VTPT là ( 0; 0;1) suy ra C 3A = cos 60° ⇔ = 1 ⇔ 36 A 2 = 10 A 2 + B 2 2 A +B +C 2 2 2 10 A + B 22 ⇔ 26 A 2 = B 2 ⇔ B = ± 26 A . Do A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ⇒ A ≠ 0 . Cho A = 1 suy ra mp(α): x − 26 y + 3 z − 3 = 0 ho c x + 26 y + 3 z − 3 = 0 Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) v i a, b, c là 3 s dương thay i luôn luôn th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Xác nh a, b, c sao cho kho ng cách t O n m t ph ng (ABC) t Max. y HD: (ABC): x + + z − 1 = 0 . Suy ra 1 = 12 + 12 + 12 a b c d ( O; ABC ) a b c ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ = 1  12 + 12 + 12  ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ⋅ 9 = 3  d a b c 3 a  b c  3 ⇒ d 2 ≤ 1 ⇒ d ≤ 1 . V i a = b = c = 1 thì Max d = 1 3 3 3 Bài 8. Cho chùm m t ph ng ( Pm ) : 2 x + y + z + 1 + m ( x + y + z + 1) = 0 . Ch ng minh r ng: (P m) luôn i qua (d) c nh ∀m Tính kho ng cách t O n (d). Tìm m (Pm) ⊥ ( P0 ) : 2 x + y + z + 1 = 0 2 x + y + z + 1 = 0  HD: V i m i m, (Pm) luôn i qua ư ng th ng c nh (d):  x + y + z + 1 = 0  M t ph ng 2 x + y + z + 1 = 0 có VTPT: u = ( 2;1;1) và x + y + z + 1 = 0 có VTPT v = (1;1;1) suy ra (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) . [OM ⋅ a ] 12 + 0 + 0 M t khác (d) i qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) = = = 1 a 2 0 +1+1 2 ( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + 1 = 0 có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ; Trư ng h p c bi t m t ph ng ( P0 ) có VTPT n 2 = ( 2;1;1) . (Pm) ⊥ (P0) thì n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ 2 ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ 4m + 6 = 0 ⇔ m = −3 2 87
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Bài 9. Cho 3 i m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Vi t phương trình m t ph ng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là m t hình ch nh t. Cho S(9; 0; 0). Tính th tích chóp S.OABC. Vi t phương trình m t ph ng ch a AB và i qua trung i m OS. HD: AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )   Do (ABC) i qua A(0; 1; 2) nên phương trình m t ph ng (ABC) là: −5 ( x − 0 ) + 4 ( y − 1) − 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 4 y + 2 z = 0 O(0; 0; 0) và 5.0 − 4.0 + 2.0 = 0 nên O ∈ (ABC). Ta có: OA = ( 0;1; 2 ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = 0 suy ra OABC là hình ch nh t. G i H là hình chi u c a S lên (OABC) suy ra V = 1 S OABC ⋅ SH = 2 ⋅ 1 S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = 2 ⋅ 1  AB, AC  ⋅ AS 3 3 6   Ta có: AS = ( 9; −1; −2 ) và  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )   ⇒ V = 1 9 ( −5 ) − 1 ⋅ 4 − 2 ( −2 ) = 1 −45 = 15 3 3 ( ) Trung i m c a OS là M 9 ; 0; 0 ⇒ AM = 9 ; −1; −2 2 2 ( ) ⇒ M t ph ng ch a AB và i qua M có VTPT là: n = [ AB. AM ] = −5; − 1 ; −11 2 ( ) ⇒ Phương trình m t ph ng: 10 x + y + 22 z − 45 = 0 . Bài 10. L p phương trình c a m t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i hai m t ph ng ( P ) : x − 3 y + 7 z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = 0 n u bi t kho ng cách t g ct a O n α b ng 3. Gi i M t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i (P) và (Q) nên có phương trình d ng: m ( x − 3 y + 7 z + 36 ) + n ( 2 x + y − z − 15 ) = 0 ( m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( 7 m − n ) z + 36m − 15n = 0 . Ta có 88
Phương trình m t ph ng trong không gian 36m − 15n d ( O, ( α ) ) = 3 ⇔ =3 ( m + 2n ) + ( n − 3m ) 2 + ( 7 m − n ) 2 2 ⇔ 12m − 5n = 59m 2 − 16mn + 6n 2 ⇔ 19n 2 − 104mn + 85m 2 = 0 ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = 0 ⇔ n = m ∨ 19n = 85m + Cho n = m = 1 thì nh n ư c ( α 1 ) : 3x − 2 y + 6 z + 21 = 0 + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α 2 ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = 0 . Bài 11. L p phương trình m t ph ng ( α ) i qua 2 i m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) và kho ng cách t ( i m M 0; 0; 1 2 ) n m t ph ng ( α ) b ng 6 3 . Gi i G i phương trình m t ph ng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ 2 A − B + D = 0 (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ 5 A + B + C + D = 0 ( 2 ) M t khác: d ( M , ( α ) ) = 7 ⇔ 1 C + D = 7 A2 + B 2 + C 2 6 3 2 6 3 ⇔ 27 ( C + 2 D ) = 49 ( A + B + C 2) 2 2 2 ( 3) . T (1) và (2), ta có C = −3 A − 2 B, D = B − 2 A ( 4 ) Th (4) vào (3), ta ư c: 27.49 A 2 = 49  A 2 + B 2 + ( 3 A + 2 B )  2   5B 2 + 12 AB − 17 A 2 = 0 ⇔ B = A ∨ B = − 17 A 5 + Ch n A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nh n ư c ( α 1 ) : x + y − 5 z − 1 = 0 + Ch n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( α 2 ) : 5 x − 17 y + 19 z − 27 = 0 VII. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N C T GI I Bài 1. Vi t PT mp(α) ch a g c t a O và vuông góc v i ( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 Bài 2. Vi t PT mp(α) i qua M(1; 2;1) và ch a giao tuy n c a ( P ) : x + y + z − 1 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 3 z = 0 x − y + z − 3 = 0  Bài 3. Vi t phương trình m t ph ng ch a ( ∆ ) :  3x + y + 2 z − 1 = 0  và vuông góc v i m t ph ng (P): x + y + 2 z − 3 = 0 89
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi t PT mp(ABC). Tính kho ng cách t g c O n (ABC). Vi t PT m t ph ng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): x − 2 y + 3z + 1 = 0 . b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và ch a giao tuy n c a (α), (ABC) Bài 5. Xác nh các tham s m, n m t ph ng 5 x + ny + 4 z + m = 0 thu c chùm m t ph ng có phương trình: α ( 3 x − 7 y + z − 3) + β ( x − 9 y − 2 z + 5 ) = 0 Bài 6. Cho 2 m t ph ng ( α ) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 , ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và i m M(1; 0; 5). Tính kho ng cách t M n mp(α). Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua giao tuy n (d) c a (α) và (β) ng th i vuông góc v i m t ph ng (Q): 3x − y + 1 = 0 . Bài 7. Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua 3 i m A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3). Tính kho ng cách t g c O n (P). Tính di n tích tam giác ABC và th tích t di n OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các i m M, N l n lư t là trung i m c a OA và BC; P, Q là 2 i m trên OC và AB sao cho OP = 2 và OC 3 2 ư ng th ng MN, PQ c t nhau. AQ Vi t phương trình mp(MNPQ) và tìm t s . AB Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) v i a, d > 0. G i A’, B’ là hình chi u c a O lên DA, DB. Vi t phương trình m t ph ng ch a 2 ư ng OA’, OB’. Ch ng minh m t ph ng ó vuông góc CD. Tính d theo a s o góc A′OB ′ = 45° . Bài 10. Tìm trên Oy các i m cách u 2 m t ph ng ( α ) : x + y − z + 1 = 0, (β ) : x − y + z − 5 = 0 Bài 11. Tính góc gi a 2 m t ph ng (P) và (Q) cùng i qua i m I(2; 1; −3) bi t (P) ch a Oy và (Q) ch a Oz. Tìm t p h p các i m cách u 2 m t ph ng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆OAB u c nh a n m trong m t ph ng (Oxy), ư ng th ng AB // Oy. i m A n m trên ph n tư th nh t trong mp(Oxy). Cho i m S 0; 0; a . 3 ( ) Xác nh A, B và trung i m E c a OA. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a SE và song song v i Ox. Tính d ( O, P ) t ó suy ra d ( Ox; SE ) 90

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.