Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện trong L1 .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1, Nguyễn Ngọc Huy1 Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG QT = ∪ Ωt × {t} = ∪ ζ t ( Ω0 ) × {t} , t∈( 0,T ) t∈( 0,T ) Các bài toán trên miền thay đổi hình dạng ∂Ωt × {t} = ζ t ( ∂Ω0 ) × {t} . theo thời gian xuất hiện trong các lĩnh vực ΣT = ∪ t∈( 0,T ) ∪ t∈( 0,T ) vật lý, sinh học, hóa học hay các lĩnh vực Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiên khác thu hút sự quan tâm chú ý của các nhà cứu tính giải được của bài toán sau: toán học trong thời gian gần đây. Những kết ⎧∂ t u − ∇ ⋅ a ( x, t , ∇u ) + ∇ ⋅ ( uν ) + g ( x, t , u , ∇u ) quả ban đầu về các phương trình đạo hàm ⎪ riêng trong miền thay đổi theo thời gian có ⎪= f , ( x, t ) ∈ QT , ⎨ (1) ⎪a ( x, t , ∇u ) ⋅υ = 0, ( x, t ) ∈ ΣT , thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [6]. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày ⎪u x,0 = u x , x ∈ Ω . các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp ⎩ ( ) 0( ) 0 phương trình parabolic nửa tuyến tính trên với f ∈ L1 (QT ) và u0 ∈L1 ( Ω0 ) . miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện Xét hàm a : QT × \ + × \ d → \ d thỏa mãn trong L1 . một số điều kiện tăng trưởng sao cho 2. NỘI DUNG CHÍNH ∇ ⋅ a ( x,t,∇u ) bao hàm cả trường hợp toán tử 2.1. Đặt bài toán Laplacian Δu hoặc p-Laplacian ∇ ⋅ ∇u ( p−2 ∇u ) Cho trước một miền bị chặn Ω0 ⊂ \ , d với mỗi 1 < p ≠ 2 . Cụ thể, giả sử d ≥ 1, với biên ∂Ω0 trơn. Giả sử a : QT × ( 0, T ) × \ d → \ d là hàm Carathéodory ν : \ × \ d → \ d là một trường vectơ trơn và thỏa mãn: có giá compact, ζ : \ × \ d → \ d là dòng (A1) Với mọi ( x,t ) ∈QT và ξ , ξ ' ∈ \ d thì tương ứng với trường vectơ ν được định nghĩa bởi ( a ( x,t,ξ ) − a ( x,t,ξ '))(ξ − ξ ') ≥ 0 và a ( x,t,0 ) = 0 . ∂ tζ ( x, t ) = ν ( t , ζ ( x, t ) ) , ζ ( x0 , 0 ) = x0 , 2d + 1 (A2) Tồn tại p > sao cho với với mọi x0 ∈ \ d . Ta có chú ý rằng, với mỗi x d +1 cho trước, ánh xạ là một đường ( x,t ) ∈Q T và ξ ∈ \ d thì a ( x,t,ξ ) ≤ ζ ( x,t ) + K ξ p−1 cong tích phân của ν và với mỗi t cho trước, , ánh xạ là một vi đồng phôi. Giả 1 1 sử Ω0 ⊂ supp ( ν ) , ta định nghĩa Ωt = ζ t ( Ω0 ) và trong đó ζ ∈Lp' ( QT ), + = 1 và K ≥ 0 . p p' miền không trụ (A3) Tồn tại α > 0 sao cho 174
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 a ( x, t , ξ ) ξ ≥ α ξ 2d + 1 p Chú ý: Điều kiện p > là cần thiết để d +1 trong đó ( x,t ) ∈QT và ξ ∈ \ d . 2d + 1 định nghĩa nghiệm yếu. Vì nếu p ≤ thì Thành phần phi tuyến g : QT × \+ × \× \d → \ d +1 ta chỉ nhận được ∇u ∈Lq (QT ) với q ∈( 0,1) . d thỏa mãn (G1) Tồn tại C > 0 để Trong trường hợp này, thay vì nghiên cứu λ g ( x,t, λ , ξ ) ≥ −C , nghiệm yếu, ta sẽ nghiên cứu nghiệm "renormalized" của bài toán (1), tức là loại với mọi λ ∈ \, ξ ∈ \ d . nghiệm yếu hơn khái niệm ta đang nghiên (G2) Điều kiện tăng trưởng kiểu kỳ dị theo cứu. Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm thành phần gradient, nghĩa là tồn tại 0 ≤ σ < p “renormalized” cho lớp bài toán (1) là một vấn đề mở của bài toán này. Các nghiên cứu sao cho về nghiệm “renormalized” có thể xem trong ( )( g ( x,t, λ ,ξ ) ≤ h λ γ ( x,t ) + ξ σ ), các tài liệu tham khảo [3] và [4]. Định lý. Giả sử các điều kiện (A1)-(A3) và với γ ∈L1 ( QT ) và h là một hàm tăng trong (G1)-(G2) được thỏa mãn. Khi đó với mọi \+ . u0 ∈L1 ( Ω0 ) và f ∈ L1 (QT ), tồn tại ít nhất một Ta có nhận xét rằng, các điều kiện (A0)- nghiệm yếu u của bài toán (1) trên ( 0,T ) (A3) của a cho ta thấy rằng, lớp toán tử thỏa mãn các điều kiện này sẽ chứa toán tử p- được định nghĩa theo Định nghĩa 1. Laplacian, nghĩa là Sau đây tôi sẽ trình bày lược đồ chứng 2d + 1 minh và phương pháp chứng minh tương ứng a ( x,t,ξ ) ≡ a p (ξ ) = ∇ξ p−2 ∇ξ với p > . theo bước. d +1 Ngoài ra, điều kiện (A2) yếu hơn điều Lược đồ chứng minh: kiện đơn điệu mạnh thông thường sau: Bước 1: Xây dựng bài toán xấp xỉ với dữ liệu trơn ( ) a ( x,t,ξ ) − a ( x,t, ξ ') (ξ − ξ ') ≥ C ξ − ξ ' , p Lấy u0,ε ∈C ∞ ( Ω0 ) và fε ∈ C ∞ (QT ) mà với C > 0 . u0,ε → u0 trong L1 ( Ω0 ) và fε → f trong L ( QT ) . 2.2. Kết quả chính 1 Kết quả chính của bài báo này là chứng Hơn nữa: minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (1). u0,ε ≤ u và f ≤ f . ( ) 0 L1( Ω ) ε L1( Q ) L1( QT ) Trước hết ta định nghĩa nghiệm yếu của L1 Ω0 0 T bài toán. Đặt G ( u, ∇u ) = ∇ ⋅ ( uν ) + g ( x, t , u, ∇u ) , ta sử Định nghĩa 1. Một hàm dụng phương pháp Galerkin tương tự như ( ( u ∈C ⎡⎣0,T ⎤⎦ ; L1 ( Ωt ) ∩ Lq 0,T ;W 1,q ( Ωt ) )) trong [1] để chứng minh bổ đề sau: d Bổ đề 1. Tồn tại nghiệm yếu của bài toán với 1 < q < p − được gọi là nghiệm yếu xấp xỉ: d +1 của bài toán (1) nếu g ( x,t,u,∇u ) ∈L1 ( QT ) và ⎪ t ( ε ) ε ( ⎧∂ u ε − ∇ ⋅ a x,t,∇u ε + G u ε ,∇u ε = f , ( x,t ) ∈Q , T ) với mọi ψ ∈C Q T ∞ 0 ( ) với ψ (T ) = 0 và thỏa ⎪ ( ) ⎨ a x,t,∇u ⋅ υ = 0, ( x,t ) ∈ST , ⎪ ε ε ⎪⎩u ( x,0 ) = u0,ε , x ∈Ω0 , mãn đẳng thức sau: T ∫ ∫ ⎡⎣ a ( x, t , ∇u ) ⋅∇ψ − uν ⋅∇ψ + g ( x, t , u, ∇u )ψ ⎤⎦dxdt 0 Ωt trong đó Gε u ε ,∇uε = ( G uε ,∇uε ) . ( ) T T 1+ ε G u ε ,∇u ε ( ) − ∫ ∫ uψ t dxdt = 0 Ωt ∫ u ψ ( 0 ) dx + ∫ ∫ ψ fdxdt. Ω0 0 0 Ωt Bước 2: Chứng minh tính bị chặn đều. 175
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 Để qua giới hạn và tìm được nghiệm yếu 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO của bài toán, chúng ta cần chỉ ra tính bị chặn [1] J. Calvo, M. Novaga, G. Orlandi, 2017, đều theo ε của nghiệm xấp xỉ uε . Áp dụng Parabolic equations in time-dependent phương pháp trong [5] và [7], chúng tôi domains, J. Evol. Equ., 17, 781-804. chứng minh được bổ đề sau: [2] Manuel Fernando Cortez, Aníbal Bổ đề 2. Tồn tại một hằng số C (T ) phụ Rodríguez-Bernal. PDEs in Moving Time Dependent Domains. Without Bounds: A thuộc vào u0 và f sao cho ( ) L1 QT ( ) L1 QT Scientific Canvas of Nonlinearity and Complex Dynamics, Springer-Verlag Berlin uε ≤ C (T ) , ( ( )) Lq 0,T ;W 1,q Ωt Heidelberg, p. 369, 2013, Understanding Complex Systems, 978-3-642-34069-7. d ffhal-00954462f. với mọi 1 < q < p − . d +1 [3] D. Blanchard, F. Murat, 1997, Renormalised Từ kết quả về tính bị chặn trong Bổ đề 2, solutions of nonlinear parabolic problems chúng ta có một dạng mới của Bổ đề Aubin- with L1 data: existence and uniqueness, Proc. Lions về tính compact trong miền biến đổi Royal Soc. Edinburgh Sect. A, 127 (6), pp. theo thời gian (xem [8]). 1137-1152. Bổ đề 3. (Bổ đề dạng Aubin-Lions cho [4] D. Blanchard, H. Redwane, 1998, miền thay đổi theo thời gian) Giả sử {un } là Renormalized solutions for a class of nonlinear evolution problems, J. Math. Pures. một dãy bị chặn trong Lq ( QT ) và {∇un } bị Appl., 77, p. 117-151. chặn trong Lq ( QT ) . Ngoài ra, giả sử tồn tại [5] L. Boccardo, T. Gallouét, 1989, Non-linear elliptic and parabolic equations involving C > 0 và với mỗi N ∈ \ sao cho measure data, J. Funct. Anal. 87, 149-169. ∂t un ,ψ ≤ C ∑ sup ∂αx ψ . [6] S. Bonaccorsi, G. Guatteri, 2001, A α ≤N t∈(0,T ) ( ) L2 Ωt variational approach to evolution problems with variable domains, J. Diff. Eq., Vol 175, Khi đó, dãy {u }n là tiền compact trong Issue 1, 51-70. L ( QT ) . q [7] Goudon, M. Saad, 2001, Parabolic equations Bước 3: Qua giới hạn. involving 0th and 1st order terms with L1 data, Rev. Mat. Iberoam, 17, 433-469. Sử dụng các kết quả ở bước 2, ta chỉ ra u [8] A. Moussa, 2016, Some variants of the chính là nghiệm yếu của bài toán (1). classical Aubin-Lions Lemma, J. Evol. Equ. 16. 176