Phương trình sóng tuyến tính liên kết với một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH<br /> LIÊN KẾT VỚI MỘT BÀI TOÁN CAUCHY<br /> CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG<br /> Phạm Thanh Sơn*, Lê Khánh Luận†, Trần Minh Thuyết‡<br /> 1. Giới thiệu.<br /> Bài báo đề cập đến bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng<br /> tuyến tính sau đây<br /> ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï tt xx t<br /> ïï a- 2<br /> í m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t ) u t (1, t ), (1.1)<br /> ïï<br /> ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1( x ),<br /> ïî<br /> <br /> trong đó K , l , l 1, a là các hằng số cho trước; m, f , u%0, u%1 là các hàm cho trước<br /> thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau; ẩn hàm u (x , t ) và giá trị biên chưa biết Y (t )<br /> thoả mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau<br /> ïìï Y ¢¢(t ) + pY ¢(t ) + qY (t ) = b u tt (0, t ), 0 < t < T ,<br /> í (1.2)<br /> ïï Y (0) = Y 0 , Y ¢(0) = Y 1,<br /> î<br /> <br /> trong đó p, q, b , Y 0 , Y 1 là các hằng số cho trước, với p 2 - 4q < 0.<br /> <br /> Bài toán (1.1), (1.2) và các dạng tương tự với các điều kiện biên khác nhau<br /> đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1] – [8]) và các tài liệu<br /> tham khảo trong đó<br /> Trong trường hợp m(t ) º 1, các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình<br /> Triều [1] đã xét bài toán (1.1)1,3, (1.2), với<br /> f (x , t ) = 0, p = 0, q > 0, u%0 = u%1 = 0, Y 0 = 0, (1.3)<br /> <br /> trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi<br /> u x (0, t ) = Y (t ), u (1, t ) = 0. (1.4)<br /> <br /> *<br /> Học viên Cao học Giải Tích K18, ĐHSP Tp. HCM,<br /> †<br /> ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,<br /> ‡‡<br /> TS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,<br /> <br /> 39<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trong trường hợp này, bài toán (1.1)1,3, (1.2), (1.3), (1.4) mô tả dao động<br /> của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên nền cứng.<br /> Trong [2], Bergounioux, Long, Dinh, đã nghiên cứu bài toán (1.1)1,3, (1.2),<br /> với<br /> m(t ) º 1, p = 0, q > 0, (1.5)<br /> <br /> trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi<br /> u x (0, t ) = Y (t ), - u x (1, t ) = l 1u t (1, t ) + K 1u (1, t ), (1.6)<br /> <br /> với các hằng số cho trước l 1 > 0, K 1 ³ 0. Như vậy bài toán chúng tôi xét với<br /> điều kiện biên phi tuyến tổng quát hơn (1.6) tương ứng với K 1 = 0.<br /> <br /> Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo dạng<br /> t<br /> <br /> Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u (0, s )ds, (1.7)<br /> 0<br /> <br /> <br /> trong đó<br /> <br /> g(t ) = e - a t éê(Y 0 - u 0 (0))cos wt + w- 1 (aY 0 + Y 1 + a u 0 (0) - u 1(0))sin wt ùú,<br /> ë û<br /> <br /> k (t ) = bw- 1e - a t éê2a w cos wt + (w2 - a 2 ) sin wt ùú,<br /> ë û<br /> <br /> p<br /> với a = , w= 4q - p 2 .<br /> 2<br /> Do đó bài toán (1.1), (1.2) được đưa về (1.1), (1.7).<br /> Bài báo gồm 4 phần chính. Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo -<br /> Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi chứng minh bài toán<br /> (1.1), (1.7) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục. Các phần sau được xét trong<br /> trường hợp a = 2. Phần 2 khảo sát tính trơn và tính ổn định của nghiệm phụ<br /> thuộc vào dữ kiện bài toán. Phần 3 nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm<br /> yếu khi l 1 ® 0+ . Cuối cùng, phần 4 trình bày một khai triển tiệm cận của nghiệm<br /> 1<br /> yếu của bài toán (1.1) – (1.3) đến cấp N + theo ba tham số bé K , l , l 1. Kết<br /> 2<br /> <br /> <br /> 40<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> quả thu được ở đây là một sự tổng quát hóa một cách tương đối các kết quả trong<br /> [1 – 5].<br /> 2. Các kí hiệu<br /> Đặt W= (0,1). Trong bài này, các kí hiệu Lp = Lp (W), H m = H m (W) được<br /> sử dụng và cho phép chúng tôi bỏ qua định nghĩa của các không gian hàm thông<br /> dụng đó. Tích vô hướng trong L2 và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này lần lượt<br /> được kí hiệu bởi á×× , ñ cũng được dùng để chỉ tích đối ngẫu<br /> , ñ và || ×|| . Kí hiệu á××<br /> của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm.<br /> Kí hiệu || ×||X là chuẩn của không gian Banach X . Kí hiệu<br /> Lp (0,T ; X ), 1 £ p £ ¥ , để chỉ không gian Banach các hàm thực u : (0,T ) ® X đo<br /> <br /> được, sao cho || u ||L ( 0,T ;X ) < + ¥ với<br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ìï 1<br /> ïï æ T p ö÷p<br /> ïï ççò || u (t ) ||X dt ÷ , khi 1 £ p < + ¥ ,<br /> || u ||Lp ( 0,T ;X ) = í èç 0 ø÷<br /> ïï<br /> ïï ess sup || u (t ) || , khi p = ¥ .<br /> ïïî 0< t < T X<br /> <br /> <br /> <br /> Ta cũng kí hiệu W (T ) = {v Î L¥ (0,T ; H 1 ) : vt Î L¥ (0,T ; L2 )} là không gian<br /> Banach thực với chuẩn định bởi<br /> <br /> || v ||W (T ) = || vt ||L¥ (0,T ;L2 ) + || v ||L¥ (0,T ;H 1 ) .<br /> <br /> Bổ đề 2.1. Phép nhúng H 1 ↪ C 0 (W) là compact và<br /> <br /> v £ 2 v , " v Î H 1.<br /> C 0 ( W) H1<br /> <br /> <br /> 3. Tồn tại và duy nhất nghiệm<br /> Ta thành lập các giả thiết<br /> <br /> (A1) (u%0, u%1 ) Î H 1 ´ L2 ,<br /> <br /> (A2) f Î L1(0,T ; L2 ),<br /> <br /> (A3) m Î C 0 ([0,T ]), m(t ) ³ m0 > 0, m¢Î L1(0,T ),<br /> <br /> <br /> 41<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1,1<br /> (A4) g, k Î W (0,T ),<br /> <br /> (A5) a ³ 2, b > 0, l 1 Î ¡ + , K , l Î ¡ .<br /> <br /> Khi đó, ta có định lí sau<br /> Định lí 3.1. Cho T > 0. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1),<br /> (1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) sao cho<br /> <br /> u (0, ×) Î L¥ (0,T ), u(1, ×) Î W 1, a<br /> (0,T ). (3.1)<br /> <br /> Chứng minh định lí 3.1. Chứng minh định lí gồm 4 bước.<br /> <br /> Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Chọn cơ sở đặc biệt {w j } của H 1, nghiệm xấp xỉ<br /> của (1.1), (1.7) được tìm dưới dạng<br /> m<br /> u m (t ) = å cmj (t )w j , (3.2)<br /> j= 1<br /> <br /> <br /> trong đó, cm j (t ) là nghiệm của hệ phương trình phi tuyến sau<br /> <br /> ìï u ¢¢(t ), w + m(t ) u (t ), w + Y (t )w (0) + H (u ¢(1, t ))w (1)<br /> ïï m j mx jx m j a m j<br /> ïï<br /> ïï ¢<br /> + Ku m (t ) + l u m (t ), w j = f (t ), w j , j = 1, m ,<br /> ïï<br /> ïï<br /> ïí u (0) = u , u ¢(0) = u , (3.3)<br /> ïï m 0m m 1m<br /> t<br /> ïï<br /> ïï Y m (t ) = g(t ) + b u m (0, t ) - ò k (t - s )u m (0, s )ds,<br /> ïï 0<br /> ïï a- 2<br /> ïïî H a (z ) = z z,<br /> <br /> trong đó,<br /> m<br /> u 0m = å a m jw j ® u%0 mạnh trong H 1, (3.4)<br /> j=1<br /> <br /> <br /> m<br /> u 1m = å b m jw j ® u%1 mạnh trong L2 . (3.5)<br /> j=1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 42<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Với T > 0 cho trước, chúng tôi sử dụng định lí điểm bất động Schauder để<br /> chứng minh hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ), ..., cm (t )) trên khoảng [0,T m ] Ì [0,T ].<br /> <br /> Bổ đề 3.2. Cho T > 0 . Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, tồn tại T m > 0 sao<br /> cho hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ),..., cm (t )) trên khoảng [0,T m ] Ì [0,T ].<br /> <br /> Đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy T m = T , " m .<br /> <br /> ¢ (t ) và lấy tổng theo j ,<br /> Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. Nhân (3.3)1 với cmj<br /> sau đó tích phân theo biến thời gian với cận từ 0 đến t , và cuối cùng áp dụng bổ<br /> đề Gronwall, chúng ta thu được kết quả như trong bổ đề sau:<br /> <br /> Bổ đề 3.3. Tồn tại một hằng số C T(1) chỉ phụ thuộc vào T sao cho<br /> t<br /> <br /> || u m¢(t ) ||2 + || u mx (t ) ||2 + u m2 (0, t ) + l 1 ò | u m¢(1, s ) |a ds £ C T(1), " t Î [0,T ], " m .<br /> 0<br /> <br /> <br /> Bước 3. Qua giới hạn. Từ kết quả của Bổ đề 3.3 và các định lí nhúng<br /> compact, ta thu được một dãy con của dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm yếu<br /> của bài toán. Trong quá trình chuyển qua giới hạn của số hạng phi tuyến chúng<br /> tôi đã sử dụng bổ đề sau.<br /> Bổ đề 3.4. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau<br /> ìï u ¢¢- m(t )u = F , 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï xx 1<br /> ïï m(t )u (0, t ) = b u (0, t ) + Y (t ), - m(t )u (1, t ) = Z (t ),<br /> ïí x x<br /> (3.6)<br /> ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u ¢(x , 0) = u%1(x ),<br /> ïï ¥ 1 1,1<br /> ïïî u Î W (T ), u (0, ×) Î L (0,T ), u (1, ×) Î H (0,T ), Y Î W (0,T ).<br /> <br /> Khi đó, ta có<br /> t<br /> 1 1 1 1 1<br /> || u ¢(t ) ||2 + m(t ) || u x (t ) ||2 ³ || u 1 ||2 + m(0) || u 0x ||2 + ò m¢(s ) || u x (s ) ||2 ds<br /> 2 2 2 2 2 0<br /> <br /> <br /> t<br /> b 2 b<br /> - ò Z (s )u ¢(1, s ) ds - u (0, t ) + u 02 (0) - Y (t )u (0, t ) + Y (0)u 0 (0)<br /> 0<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> 43<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> t t<br /> <br /> + ò Y ¢(s )u (0, s ) ds + ò áF (s ), u ¢(s )ñds, a.e. t Î<br /> 1<br /> [0,T ]. (3.7)<br /> 0 0<br /> <br /> <br /> Hơn nữa, nếu u 0 = u 1 = 0 thì (3.7) xảy ra đẳng thức.<br /> <br /> Bổ đề 3.4 được chứng minh bằng kĩ thuật tương tự như trong [8].<br /> Bước 4. Sự duy nhất nghiệm. Để chứng minh sự duy nhất nghiệm yếu<br /> chúng tôi sử dụng bổ đề 3.4 một lần nữa và kết hợp với bất đẳng thức Gronwall.<br /> Từ đó định lí 3.1 được chứng minh.<br /> Chú thích 1. Kết quả thu được tổng quát hóa các kết quả trước đây xem [1-<br /> 2].<br /> 4. Tính trơn của nghiệm<br /> Trong phần này, chúng tôi tăng cường thêm các giả thiết sau:<br /> <br /> (B1) (u%0 , u%1 ) Î H 2 ´ H 1,<br /> <br /> (B2) f , ft Î L1(0,T ; L2 ),<br /> <br /> (B3) m Î C 1([0,T ]), m(t ) ³ m0 > 0, m¢¢Î L1(0,T ),<br /> <br /> 2,1<br /> (B4) g, k Î W (0,T ),<br /> <br /> (B5) a = 2, b > 0, l 1 Î ¡ + , K , l Î ¡ .<br /> <br /> Khi đó, chúng tôi thu được nghiệm yếu (u,Y ) có tính trơn tốt hơn như sau:<br /> <br /> Định lí 4.1. Cho T > 0. Giả sử (B1) – (B5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1),<br /> (1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) sao cho<br /> ìï u Î L¥ (0,T ; H 2 ), u Î L¥ (0,T ; H 1 ), u Î L¥ (0,T ; L2 ),<br /> ï t tt<br /> (4.1)<br /> í<br /> ïï u (0, ×) Î W 1,¥ (0,T ), u (1, ×) Î H 2 (0,T ), Y Î W 1,¥ (0,T ).<br /> ïî<br /> Chứng minh định lí 4.1. Trong (3.3)1, thay a = 2, và sau đó lấy đạo hàm<br /> ¢¢(t ) và lấy tổng theo j , sau đó tích<br /> theo biến thời gian t rồi nhân hai vế với cmj<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 44<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> phân với cận từ 0 đến t , và cuối cùng áp dụng bổ đề Gronwall, chúng tôi thu<br /> được kết quả như bổ đề sau.<br /> <br /> Bổ đề 4.2. Tồn tại một hằng số C T( 2) chỉ phụ thuộc vào T sao cho<br /> t<br /> 2<br /> ¢ (t ) || + | u m¢(0, t ) | + l 1 ò | u m¢¢(1, s ) |2 ds £ C T( 2), " t Î [0,T ], " m .<br /> || u m¢¢(t ) || + || u mx 2 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> Từ các bổ đề 3.3 và 4.2, định lí 4.1 được chứng minh.<br /> Chú thích 2. Ta suy ra từ (4.1) rằng<br /> ìï u Î C 0 ([0,T ]; H 1 ) Ç C 1([0,T ]; L2 ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ),<br /> ï (4.2)<br /> í<br /> ïï u t Î C 0 ([0,T ]; L2 ) Ç L¥ (0,T ; H 1 ), u tt Î L¥ (0,T ; L2 ).<br /> ïî<br /> <br /> Do đó, u , u x , u t , u xx , u xt , u tt Î L¥ (0,T ; L2 ) Ì L2 (QT ). Điều này dẫn đến<br /> <br /> u Î H 2 (QT ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ). (4.3)<br /> <br /> Từ (4.3) nếu (u%0, u%1 ) Î H 2 ´ H 1 thì thành phần u của nghiệm yếu (u,Y ) sẽ<br /> thuộc vào không gian hàm H 2(QT ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ). Nghiệm này khá giống với<br /> nghiệm cổ điển thuộc C 2(QT ), mà (u%0 , u%1 ) không nhất thiết thuộc về<br /> C 2( W) ´ C 1( W).<br /> <br /> 5. Sự ổn định của nghiệm vào dữ kiện của bài toán<br /> Trong phần này, chúng tôi khảo sát tính sự ổn nghiệm của bài toán (1.1),<br /> (1.7) tương ứng với a = 2. Giả sử các hàm (u%0 , u%1 ) thỏa giả thiết (B1). Theo định<br /> lý 4.1, thì bài toán (1.1), (1.7) có duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào<br /> K , l , b , l 1, m, f , g, k .<br /> <br /> u = u (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), Y = Y (K , l , b , l 1, m, f , g, k ). (5.1)<br /> <br /> trong đó (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa các giả thiết (B2) – (B5).<br /> <br /> Đặt<br /> Á( m0 ) = {(K , l , b , l 1, m, f , g, k ) : (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa (B2) – (B5) }<br /> <br /> <br /> <br /> 45<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> với m0 > 0 là các hằng số cho trước.<br /> <br /> Khi đó, ta có định lý sau<br /> Định lý 5.1. Giả sử (B1) – (B5) thỏa. Khi đó, với mỗi T > 0, nghiệm của<br /> bài toán (1.1), (1.7) là ổn định với dữ kiện (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) trong Á( m0 ),<br /> nghĩa là:<br /> <br /> Nếu (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) Î Á( m0 ) sao cho<br /> <br /> ìï<br /> ïï | K j - K | + | l j - l | + | l 1j - l 1 |® 0,<br /> ïï j j j<br /> í || m - m ||C 1 ([0,T ]) ® 0, || f - f ||L2 (Q ) + || ft - ft ||L2 (Q ) ® 0, khi j ® + ¥ , (5.2)<br /> ïï T T<br /> <br /> ïï || g j - g || 2,1 ® 0, || k j - k || 2,1 ® 0,<br /> ïî W (0,T ) W ( 0,T )<br /> <br /> <br /> thì<br /> <br /> (u , u (1, ×),Y ) ® (u, u(1, ×),Y ),<br /> j j j<br /> trong W (T ) ´ H 1(0,T ) ´ L2 (0,T ) khi j ® + ¥ , (5.3)<br /> <br /> trong đó u j = u (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ), Y j = Y (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) .<br /> <br /> 6. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l 1 ® 0+<br /> <br /> Trong phần này, ta giả sử rằng a = 2 và (u%0, u%1, g, k , m, f , K , l , b ) thỏa các<br /> giả thiết (A1) – (A5). Với mỗi l 1 > 0, do định lí 3.1 bài toán (1.1), (1.7) có duy<br /> nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào l 1 :<br /> <br /> u = ul , Y = Yl . (6.1)<br /> 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta xét bài toán nhiễu sau, với l 1 > 0 là tham số nhỏ<br /> <br /> ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï tt xx t<br /> ïï<br /> ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ),<br /> ïï<br /> í u (x , 0) = u%0( x ), u t ( x , 0) = u%1(x ), (Pl )<br /> ïï 1<br /> <br /> ïï t<br /> ïï<br /> ïï Y ( t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u(0, s )ds.<br /> ïî 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 46<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu (u,Y ) của bài toán<br /> (Pl ) phụ thuộc vào tham số l 1.<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> Khi đó, ta có định lí sau<br /> Định lí 6.1. Cho T > 0. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó<br /> (i) Bài toán (P0 ) tương ứng với l 1 = 0 có nghiệm duy nhất<br /> (u 0,Y 0 ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) thỏa<br /> <br /> u 0 (0, ×) Î L¥ (0,T ), u 0 (1, ×) Î H 1(0,T ). (6.2)<br /> <br /> (ii) Nghiệm (ul ,Y l ) hội tụ mạnh trong W (T ) ´ L¥ (0,T ) về (u 0 ,Y 0 ) khi<br /> 1 1<br /> <br /> <br /> l 1 ® 0+ .<br /> <br /> Hơn nữa, chúng ta có đánh giá tiệm cận<br /> <br /> || u l - u 0 ||W (T ) + l 1 || u l¢(1, ×) - u 0¢(1, ×) ||L2 ( 0,T ) + | Y l - Y 0 ||L¥ ( 0,T ) £ C T l 1 , (6.3)<br /> 1 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> trong đó, C T là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào T .<br /> <br /> Chứng minh định lí 6.1.<br /> i) Tương tự như chứng minh Định lí 3.1.<br /> ii) Xét dãy {l 1m } sao cho l 1m ® 0+ , khi m ® ¥ , ta chứng minh được rằng<br /> {(u l ,Y l )} là dãy Cauchy trong W (T ) ´ L¥ (0, T ) . Từ đó ta suy ra rằng nghiệm<br /> 1m 1m<br /> <br /> <br /> (u l ,Y l ) hội tụ về (u 0,Y 0 ) mạnh trong W (T ) ´ L¥ (0,T ) khi l 1 ® 0+ .<br /> 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo ba tham số bé K , l , l 1<br /> <br /> Trong phần này, ta giả sử a = 2, b ³ 0 và (u%0, u%1, m, f , g, k ) thỏa các giả thiết<br /> (A1) – (A4). Với (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡ +<br /> thì từ định lí 3.1, bài toán (1.1), (1.7) có duy<br /> nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào (K , l , l 1 ) : u = u (K , l , l 1 ), P = P (K , l , l 1 ).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 47<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo ba tham số bé K , l , l 1 thỏa | K | £ K *,<br /> | l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1* ( K *, l *, l 1* là các hằng số cố định).<br /> <br /> ìï A u º u - m(t )u = - K u - l u + f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï tt xx t<br /> ïï<br /> ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ),<br /> ï (PK ,l ,l )<br /> í<br /> ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ), 1<br /> <br /> ïï<br /> ïï t<br /> ïï Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u (0, s )ds .<br /> î 0<br /> <br /> <br /> Chúng tôi khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (PK ,l ,l ) º (Per ) theo<br /> 1<br /> <br /> <br /> ba tham số bé K , l , l 1 tức là ta có thể xấp xỉ nghiệm yếu u bởi một đa thức theo<br /> ba biến K , l , l 1 và đánh giá được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp<br /> xỉ.<br /> <br /> Ở đây, ta sẽ dùng các kí hiệu sau, với đa chỉ số g = ( g1, g2 , g 3 ) Î ¢ 3+ và<br /> r<br /> e = (K , l , l 1 ) Î ¡ 3, ta đặt<br /> <br /> ìï | g | = g + g + g , g ! = g ! g ! g !,<br /> ïï 1 2 3 1 2 3<br /> ïï r r<br /> ïí e g = K g1l g2 l g3 , || e ||= K 2 + l 2 + l 2 , (7.1)<br /> 1 1<br /> ïï<br /> ïï 3<br /> ïïî a , b Î ¢ + , b £ a Û b i £ a i , " i = 1, 2, 3.<br /> <br /> Giả sử u 0r º u 0,0,0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P%0r ) º (P%0,0,0 ) (như<br /> trong định lí 3.1) ứng với (K , l , l 1 ) = (0, 0, 0), tức là<br /> <br /> ïìï<br /> ïï A u 0r = F0r º f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï<br /> ïï m(t )u r (0, t ) = Y r (t ), - m(t )u r (1, t ) = 0,<br /> ïï 0x 0 0x<br /> <br /> (P%0r ) ïí u 0r (x , 0) = u%0(x ), u 0r¢(x , 0) = u%1(x ),<br /> ïï<br /> ïï t<br /> ïï Y 0r (t ) = g(t ) + b u 0r (0, t ) - ò k (t - s )u 0r (0, s )ds ,<br /> ïï 0<br /> ïï (u r ,Y r ) Î W (T ) ´ L¥ (0, T ), u r (0, ×) Î L¥ (0,T ), u r (1, ×) Î H 1(0, T ).<br /> ïïî 0 0 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 48<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu (u g ,Y g ), g Î ¢ 3+ , 1 £ g £ N được xác<br /> định bởi các bài toán sau<br /> ìï<br /> ïï A u = F , 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï g g<br /> ïï<br /> ïï m(t )u gx (0, t ) = Y g (t ), - m(t )u gx (1, t ) = Z g ,<br /> ï<br /> (P%g ) ïí u g (x , 0) = 0, u gt (x , 0) = 0,<br /> ïï<br /> ïï t<br /> ïï Y g (t ) = g(t ) + b u g (0, t ) - ò k (t - s )u g (0, s )ds,<br /> ïï 0<br /> ïï ¥ ¥ 1<br /> ïïî (u g ,Y g ) Î W (T ) ´ L (0,T ), u g (0, ×) Î L (0,T ), u g (1, ×) Î H (0,T ).<br /> <br /> trong đó Fg , Z g (t ), g £ N , được xác định bởi công thức truy hồi sau<br /> <br /> ìï f (x , t ), g = 0,<br /> ïï<br /> ïï<br /> ïï 0, g1 = g 2 = 0, 1 £ g £ N<br /> ïï<br /> ï<br /> Fg = ïí - u g - 1, g ,g , g1 ³ 1, g 2 = 0, 1 £ g £ N , (7.2)<br /> ïï 1 2 3<br /> <br /> ïï<br /> ïï - u g¢1, g2 - 1,g3 , g1 = 0, g 2 ³ 1, 1 £ g £ N ,<br /> ïï<br /> ïï - u - u g¢, g - 1, g , g1 ³ 1, g 2 ³ 1, 2 £ g £ N,<br /> ïî g1- 1, g2 ,g3 1 2 3<br /> <br /> <br /> <br /> và<br /> ìï g(t ), g = 0,<br /> ïï<br /> ïï<br /> ïï 0, g 3 = 0, 1 £ g £ N<br /> Z g = ïí (7.3)<br /> ïï u r¢(1, t ), g 1 = g 2 = 0, 1 £ g £ N ,<br /> ïï 0<br /> ïï<br /> ïï u g¢1 ,g2 , g3 - 1(1, t ), 2 £ g £ N.<br /> î<br /> <br /> Giả sử (u ,Y ) = (u er ,Y er ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Per ). Khi đó<br /> r r<br /> v= u- å uge g, R =Y - å Y ge g, (7.4)<br /> g£N g£N<br /> <br /> <br /> thỏa bài toán sau<br /> <br /> <br /> <br /> 49<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ìï A v + K v + l v = E (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,<br /> ïï t N<br /> ïï<br /> ïï m(t )vx (0, t ) = R (t ), - m(t )vx (1, t ) = l 1vt (1, t ) + E%N (t ),<br /> ï (7.5)<br /> í<br /> ïï v(x , 0) = vt (x , 0) = 0,<br /> ïï<br /> ïï t<br /> ïï R (t ) = b v(0, t ) - ò k (t - s )v(0, s )ds,<br /> î 0<br /> <br /> <br /> trong đó<br /> r r<br /> E N (x , t ) = - å (Ku g<br /> + l u g¢)e g , E%N (t ) = l 1 å u g¢(1, t )e g . (7.6)<br /> g=N g=N<br /> <br /> <br /> Bổ đề 7.1. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Khi đó ta có<br /> r<br /> i) || E N ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C%1N || e ||N + 1, (7.7)<br /> r<br /> ii) || E%N ||L ( 0,T ) £ C%2N || e ||N + 1,<br /> 2<br /> (7.8)<br /> <br /> trong đó C%1N và C%2N là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các hằng số<br /> r<br /> || e* ||, || u g ||L ( 0,T ;H ) , || u gt ||L ( 0,T ;L ) , || u g (0, ×) ||L ( 0,T ) , || u gt (1, ×) ||L ( 0,T ) , | g | = N .<br /> ¥ 1 ¥ 2 ¥ 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Kế tiếp, ta có định lí sau<br /> Định lí 7.2. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Thì mọi (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡ +<br /> thỏa<br /> | K | £ K *, | l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1* bài toán ( PK ,l ,l ) có duy nhất nghiệm yếu<br /> 1<br /> <br /> <br /> 1<br /> (u ,Y ) = (u er ,Y er ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) thỏa đánh giá tiệm cận tới cấp N + như<br /> 2<br /> sau<br /> r r<br /> || u - å u g e g ||W (T ) + l 1 || u ¢(1, ×) - å u g¢(1, ×)e g ||L2 ( 0,T )<br /> g£N g£N<br /> <br /> r r N+1<br /> (7.9)<br /> + || Y - å Y g e g ||L¥ ( 0,T ) £ C%N* || e || 2 ,<br /> g£N<br /> <br /> <br /> với mọi (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡ +<br /> thỏa | K | £ K *, | l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1*, (u g ,Y g ) là<br /> <br /> nghiệm yếu của bài toán (P%g ), g Î ¢ 3+ , | g | £ N , và C%N* là hằng số độc lập với<br /> r<br /> e = (K , l , l 1 ).<br /> <br /> <br /> 50<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Chú thích 3. Trong [4], với trường hợp đặc biệt của bài toán (1.1), (1.7), thì<br /> Long, Út, Trúc, đã đạt được khai triển tiệm cận của nghiệm tới cấp N + 1 theo<br /> hai tham số bé (K , l ). Theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có nhiều công trình<br /> nghiên cứu về khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé, một số kết quả<br /> về vấn đề này có thể tìm thấy trong [6, 7] và các tài liệu tham khảo trong đó.<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Shock between absolutely<br /> solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at<br /> the side, J. Mech. NCSR. Vietnam, 13 (2), 1 – 7.<br /> [2]. Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long (2001), Alain Phạm Ngọc<br /> Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear<br /> viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43 (5), 547 – 561.<br /> [3]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005),<br /> On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound. Value<br /> Probl, (3) 337 – 358.<br /> [4]. Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On a<br /> shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 63 (2),<br /> 198 – 224.<br /> [5]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave<br /> equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio<br /> Math. 36 (4), 915 – 938.<br /> [6]. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic<br /> expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous<br /> condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series<br /> A: Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864.<br /> [7]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành<br /> Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed<br /> nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic<br /> expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &<br /> Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819.<br /> <br /> 51<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> [8]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2009),<br /> On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions<br /> involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &<br /> Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965.<br /> Tóm tắt<br /> Bài báo này nghiên cứu một bài toán biên cho phương trình sóng tuyến tính<br /> u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , trong đó điều kiện biên<br /> tại x = 0 liên kết với một phương trình vi phân thường cấp hai có vế phải là<br /> b u tt (0, t ) và điều kiện biên tại điểm x= 1 có dạng<br /> a- 2<br /> - m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t ) u t (1, t ), với K 1, l 1, a , b là các hằng số dương cho<br /> <br /> trước. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được chứng minh bằng phương pháp<br /> Faedo – Galerkin. Trong trường hợp a = 2, tính ổn định và tính trơn của nghiệm<br /> cũng được khảo sát. Cuối cùng, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận<br /> 1<br /> nghiệm của bài toán tới cấp N + theo ba tham số bé K , l , l 1.<br /> 2<br /> Abstract.<br /> A linear wave equation associated with<br /> a cauchy problem for an ordinary differential equation<br /> We consider the initial boundary value problem for the linear wave<br /> equation u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , where the<br /> boundary condition at x = 0 associated with a second order differential equation<br /> and the boundary condition at x= 1 in the form<br /> a- 2<br /> - m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t ) u t (1, t ), where K 1, l 1 and a are given positive<br /> constants. Existence and uniqueness of a weak solution are proved by using the<br /> Faedo – Galerkin method. In the case of a = 2, the stability and regularity of<br /> solutions are also discussed. Finally, we obtain an asymptotic expansion of the<br /> 1<br /> solution of the problem up to order N + in accordance with three small<br /> 2<br /> parameters K , l , l 1.<br /> <br /> <br /> 52<br />