Phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước

 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> BÀI BÁO KHOA HỌC<br />  <br /> PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CHÍNH XÁC CỦA SÓNG RAYLEIGH<br /> TRUYỀN TRONG BÁN KHÔNG GIAN CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC<br /> PHỦ MỘT LỚP MỎNG CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC<br /> <br /> Nguyễn Thị Khánh Linh1<br /> <br /> Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất<br /> trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. Để giải quyết bài toán, tác giả lần lượt đi tìm<br /> các mối liên hệ giữa biên độ ứng suất và biên độ chuyển dịch của lớp và của bán không gian. Từ<br /> các mối liên hệ này kết hợp với điều kiện biên và điều kiện liên tục giữa lớp và bán không gian, tác<br /> giả đã tìm được phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong môi trường này.<br /> Đồng thời để khẳng định tính chính xác của kết quả tìm được, từ công thức tìm được tác giả đưa về<br /> được trường hợp đặc biệt là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian<br /> đàn hồi có ứng suất trước đã được tìm trong tài liệu (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden 1991; Vinh,<br /> 2011). Các thức tìm ra ở dạng hoàn toàn tường minh, chúng sẽ là những công cụ rất hữu hiệu cho<br /> các nhà khoa học trong và ngoài nước.<br /> Từ khóa: sóng Rayleigh, đàn hồi có ứng suất trước, phương trình tán sắc. <br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU* (Viktorov,  I.  A.,  1967).  Do  vậy,  phương  trình <br /> Các bài toán truyền sóng  trong   môi trường  tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và <br /> đàn  hồi  (Achenbach, J.D. and Keshava, S.P., quan  trọng  nhất  đối  với  các  nghiên  cứu  liên <br /> 1967- R. W. Ogden, 1984)  có  ứng dụng rộng  quan đến sóng Rayleigh. <br /> rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học  Đối  với các  môi trường  bán không gian phủ <br /> và kỹ thuật như Âm học, Địa chấn học, Địa vật  lớp  mỏng  đẳng  hướng  và  trực  hướng,  phương <br /> lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không  trình  tán  sắc  đã  được  tìm  ra  trong  các  tài  liệu <br /> phá hủy, Chẩn đoán y học bằng hình ảnh, Công  tham  khảo  (Bovik,  P.,  1996;  Tiersten,  H.F., <br /> nghệ viễn thông,… Các cấu trúc mỏng ngày này  1969;  Vinh,  2011;  Vinh,  P.C.,  Linh,  N.T.K., <br /> xuất hiện nhiều trong trong cuộc sống,  nên bài  2012 - P. C. Vinh and N. T. K. Linh, 2013). <br /> toán nghiên cứu về sự truyền sóng trong các cấu  Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có <br /> trúc này đang được rất nhiều các nhà nghiên cứu  tính dị hướng cao hơn, phức tạp hơn, chẳng hạn <br /> quan tâm (Tiersten, H.F.,1969-P. C. Vinh and N. môi  trường  đàn  hồi  monoclinic,  môi  trường  có <br /> T. K. Linh, 2013)  ứng  suất  trước,  môi  trường  đàn  hồi  chịu  ảnh <br /> Khi nghiên cứu về sóng, sóng mặt Rayleigh hưởng của các  yếu tố khác như điện trường, từ <br /> được quan tâm nhiều nhất.  Đối  với  sóng  trường,.. vẫn còn đang bỏ ngỏ. <br /> Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh  Vì  vậy  mục  tiêu  của  bài  báo  đi  tìm  phương <br /> có  ý  nghĩa  đặc  biệt  quan  trọng.  Nó  được  sử  trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền <br /> dụng  để  giải  bài  toán  thuận  (khảo  sát  sự  phụ  trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước <br /> thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu)  phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. <br /> và  đặc  biệt  nó  còn  là  cơ  sở  lý  thuyết  để  giải  2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN<br /> quyết các bài toán ngược (xác định các tham số  Xét một lớp vật liệu thuần nhất có độ dày h, <br /> vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng  phủ lên một bán không gian thuần nhất, giả thiết <br /> cả lớp và bán không gian là đàn hồi nén được có <br />                                                 <br /> 1<br /> Khoa Cơ khí, Trường Đại học Thủy lợi <br /> ứng suất trước. <br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  3<br />  và lớp được giả thiết là gắn chặt. Chú ý rằng các <br /> đại lượng giống nhau của bán không gian và lớp <br /> có cùng ký hiệu nhưng phân biệt bằng dấu gạch <br /> ngang ở trên nếu liên quan đến lớp. <br /> Đối  với  lớp,  bỏ  qua  lực  khối  phương  trình <br /> chuyển động có dạng(M. A. Dowaikh and et al,  <br />   1991; R. W. Ogden, 1984): <br />  <br /> s11,1  s21,1   u1 , s12,1  s22,1   u2 , (1)<br /> Các  hướng  chính  của  biến  dạng  trong  lớp  và <br /> bán  không gian  là  trùng  nhau  và  vuông góc  với  trong đó    là mật độ khối lượng của vật liệu <br /> mặt phẳng x2=0. Một trục tọa độ Cartesian vuông  ở trạng thái ban đầu. <br /> góc (x1, x2, x3) được sử dụng với các trục của nó  s ji  Aijlk uk ,l   (2) <br /> trùng  với  các  hướng  chính  của  biến  dạng.  Lớp <br /> vật liệu chiếm miền –h0) và số <br /> sóng k (>0). Khi đó các thành phần chuyển dịch và ứng suất của lớp đàn hồi có dạng <br /> u1  U1 ( y)eik ( x1 ct ) , u2  U 2 ( y)eik ( x1 ct ) , y  kx2   (9) <br /> trong đó <br /> <br /> <br /> 4 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) <br />  U1 ( y )  A1chb1 y  A2shb1 y  A3chb2 y  A4shb2 y<br /> (10) <br /> U 2 ( y )  i (1 A1shb1 y  1 A2 chb1 y   2 A3shb2 y   2 A4 chb2 y )  <br /> với  A1 , A2 , A3 , A4   là các hằng số,   k   và  bk   được xác định bởi <br /> <br />  2 bk2  X  11 S  S 2  4P S  S 2  4P<br /> k  , b1  , b2  ,   n  1, 2, X   c 2<br /> (12   * ) bk 2 2<br />  2 (X   1 )   22 (X  11 )  (12   * ) 2 (11) <br /> 2 2 2 2 (X 11 )(X   1 )<br /> b b   <br /> 1 2  S , b .b  1 2  P.<br />  2 22  2 22    <br /> Thay thế (10), (11) vào (7) và kết hợp với (9), ứng suất của lớp có dạng <br /> s21  ik 1e ik (x1  ct) , s22  ik  2 e ik (x1  ct)   (12) <br /> trong đó <br /> 1  i( 1 A1shb1 y  1 A2 chb1 y  2 A3shb2 y   2 A4 chb2 y )<br /> (13) <br />  2  1 A1chb1 y  1 A2shb1 y  2 A3chb2 y  2 A4shb2 y    <br /> với   k   * k   2 bk ,  k  12   22 k bk , k  1, 2   (14) <br /> Tại mặt biên x2=0, phương trình (13)và (10) có dạng: <br /> U1 (0)  A1  A3 , U 2 (0)  i (1 A2   2 A4 ),<br />   (15) <br /> 1 (0)  i ( 1 A2   2 A4 ),  2  1 A1  2 A3<br /> Từ phương trình (15), ta có: <br /> 2 1 i 2 i<br /> A1  U1 (0)   2 (0), A2  U 2 (0)  2 1 (0),<br /> [ ] [ ] [  ; ] [ ]<br /> 1 1 i 1 i (16) <br /> A3   U1 (0)   2 (0), A4   U 2 (0)  1 1 (0)<br /> [ ] [ ] [ ; ] [ ]    <br /> Thế (16) vào (13) và (10) tại x2=-h, ta thu được mối liên hệ tuyến tính của  U 1 ( h), U 2 ( h), 1 ( h) , <br /> và   2 ( h)  với các số hạng  U1 (0)  ,  U 2 (0) ,  1 (0)  và   2 (0) . Mối liên hệ này có dạng ma trận là:  <br />  ( h)  T  (0)   (17) <br /> T1 T2 <br /> T  T T4 <br /> T<br /> trong đó  ξ (.)  [U 1 (.) U 2 (.) 1 (.)  2 (.)]   và  (18) <br />  3   <br />  [ ;ch ] i[ ;sh ]   [ ;sh ] [ch ] <br />     i<br /> [ ] [ ;  ]  [ ;  ] [ ] <br /> T1   , T2   ,<br />  i[ sh  ; ] [ ch ;  ]   1 2 [ch  ] [ sh ] <br />     [ ;  ] i<br />  [ ] [ ;  ]   [ ] <br /> với   [ sh ] 1  2 [ch ]   [ ; ch ] [ sh ]  (19) <br />  i  i i <br /> [ ] [ ;  ]  [ ;  ] [ ] <br /> T3   , T4  <br />  1 2 [ch  ] [ ; sh ]   [ ; sh ] [ ch ] <br />  i  i <br />  [ ] [ ;  ]   [ ;  ] [ ] <br />  <br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  5<br />  trong đó   n   bn , n  1, 2,  và  [ch ]  ch 2  ch1 ,   <br /> [ ch ]   2 ch 2  1ch 1 , [ ;  sh ]   2 1sh 1  2 1sh 1 . <br />  <br /> Ma  trận  T xác  định  bởi  (18)  gọi  là  ma  3.1. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất<br /> trận  chuyển  của  lớp  đàn  hồi  có  ứng  suất  và các biên độ chuyển dịch của lớp<br /> trước nén được.  Xét  sóng  Rayleigh  truyền  dọc  theo  phương <br /> 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIÊN ĐỘ x1  và  tắt  dần  theo  x2  với  vận  tốc  sóng  c  và  số <br /> ỨNG SUẤT VÀ CÁC BIÊN ĐỘ CHUYỂN sóng k. Để đơn giản, các ma trận Ti (i=1,2,3,4) <br /> DỊCH TẠI MẶT BIÊN được viết dưới dạng sau: <br />  <br /> a ia12   ib b12   ic c12  d id12 <br /> T1   11  , T2   11  , T3   11  , T4   11  <br /> ia21 a22   b21 ib22   c21 ic22  id21 d22 <br />  <br /> các  aij , bij , cij , dij   được  xác  định  bởi  (19).Từ  chuyển dịch của lớp tại biên phân cách y=0. <br /> điều  kiện  tự  do  ứng  suất  tại  x2  h    3.2. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất<br /> và các biên độ chuyển dịch của lớp<br /> là s12  s22  0 và sử dụng phương trình  (17)  ta có <br /> Theo Vinh (Pham Chi Vinh, 2011), các thành <br /> T3 U(0)  T4 Σ(0)  0,   (20)  phần  chuyển  dịch  và  ứng  suất  của  sóng <br /> Phương trình (20) là mối liên hệ giữa biên  Rayleigh trong bán không gian có dạng: <br /> độ của véc tơ ứng suất và biên độ của véc tơ <br /> un  U n ( y )eik ( x1 ct ) ,  n 2  ik  n ( y )eik ( x ct ) , n  1, 2,   <br /> 1<br /> (21) <br /> trong đó: <br /> U1 ( y )  i (1 B1e b1 y   2 B2eb2 y , U 2 ( y )  B1eb1 y  B2e  b2 y ,<br /> (22) <br /> 1 ( y )  1 B1e  b1 y   2 B2 e b2 y ),  2 ( y )  i (1 B1e b1 y  2 B2 e b2 y ),   <br /> với   k  ,  k  , k  được xác định bởi <br /> (12   * )bk 11  X   2bk2<br /> k  2<br />  ,  k   2bk   * k , k  12   22 k b k , X   c 2 , k  1, 2, (23) <br />  22bk   1  X (12   * )bk   <br /> và b1, b2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình <br />  2 22b 4   2 (X   1 )   22 (X  11 )  (12   * ) 2  b 2  (X  11 )( X   1 )  0, (24) <br />   <br /> với <br /> 2 2 2 (X  1 )   22 (X 11 )  (12   * )2 (X 11 )(X  1 )<br /> b b  <br /> 1 2  S , b12 .b22  P (25)<br />  2 22  2 22<br /> Ta dễ thấy nếu sóng Rayleigh tồn tại thì b1, b2 phải có phần thực dương, khi đó <br /> <br /> 0  X  min{11 , 1}, P  0, S  2 P  0, b1.b2  P , b1  b2  S  2 P    (26) <br /> Thế x2=0 vào (22) ta thu được <br /> U1 (0)  B1  B2 ,U 2 (0)  i(1 B1   2 B2 ),<br />   (27) <br /> 1 (0)  i( 1 B1   2 B2 ), 2 (0)  1B1  2 B2 .<br /> <br /> <br /> 6 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) <br />  Khử B1, B2 từ phương trình (27) ta có <br />  iM M12 <br /> Σ(0)  MU(0), M   11   (28) <br />   M12 iM 22 <br /> [ ; ] [ ] [ ]<br /> trong đó:  M 11  , M 12  , M 22   và  Σ(.)  [1 (.) 2 (.)]T , U(.)  [U1 (.) U 2 (.)]T . <br /> [ ] [ ] [ ]<br />  <br /> Phương trình (28) là mối liên hệ giữa biên độ  chuyển  dịch  và  ứng  suất  của  lớp  và  bán  không <br /> của  véc  tơ  ứng  suất  và  chuyển  dịch  của  bán  gian  tại  biên  y=0,  U (0)  U (0), (0)  (0) ,  từ <br /> không gian tại  biên  y=0. Ma trận M là  ma trận  (20) ta có: <br /> trở  kháng  mặt  của  bán  không  gian  đàn  hồi  có  T3 U(0)  T4 Σ(0)  0   (29) <br /> ứng suất trước nén được.  Thế (29) vào (28) dẫn tới: <br /> 4. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC ZU(0)  0, Z  T3  T4 M   (30) <br /> Từ điều kiện lớp và bán không gian gắn chặt  trong  đó  Zij (i, j  1,2)   được  xác  định  bởi<br /> tại  y=0  và  mối  liên  hệ  giữa  biên  độ  của  véc  tơ <br />  <br /> Z11  i(c11  d11M11  d12 M12 ), Z12  c12  d11M12  d12 M 22 ,<br /> (31) <br /> Z 21  c21  d21M11  d 22 M12 , Z 22  i(c22  d 21M12  d 22 M 22 ).  <br /> Phương trình tán sắc thu được bằng cách det  Z  0  có dạng: <br /> A0  A1ch1ch1  A2shε1shε 2  A3chε1shε 2  A4chε 2shε1  0 (32) <br />  <br /> trong đó: <br />  1  2 (1   2 )  [ ] [ ;  ][ ]  [  ]2<br /> A0  2 1  21 2     ( 2 11   1  2 2 )<br />  1 2 ( 2 1   1  2 )  [ ] [ ]2<br />   (    1  2 )  [  ] [ ;  ][ ]  [  ]2<br /> A1  2 1  21 2   1 2 2 1   (  <br /> 2 1 2    <br /> 1 2 1 )<br />   1  2 (1   2 )  [ ] [ ]2<br /> (33) <br />   22 1  12 2  [ ] [ ;  ][ ]  [  ]2<br /> A2  (  2212   12 22 )     (       )<br />     2     2  [ ] 2 1 2 1 2 1<br /> [ ]2<br />  2 2 1 1 1 2 <br /> <br /> [ ;  ] [ ] [ ;  ] [ ]<br /> A3   1 2     21 [ ;  ] , A4   21    1 2 [ ;  ] ,<br /> [ ] [ ] [ ] [ ]   <br /> với   i ,  i ,  i (i  1, 2)  được xác định bởi (23) và  <br /> [ ;  ]  2 (11  X)(b1  b 2 ) [  ]  * (11  X)  12 2 b1b2 [ ]   (b  b )b b<br />  ,  ,   22 2 1 2 1 2  <br /> [ ] 11  X   2 b1b2 [ ] 11  X   2 b1b2 [ ] 11  X   2 b1b2<br />  2 ( 1  X)   22 (11  X)  (12   * )2 (X  11 )(X  1 )<br /> S , P  <br />  222  2 22<br /> Công thức  (32)  được đưa về dạng không thứ nguyên bằng cách đưa vào các tham số không thứ <br /> nguyên sau: <br /> 11      <br /> e1  , e2  22 , e3  12 , e4  * , e5  2 , e1  11 , e2  1 ,<br /> 1 1 1 1 1 1  22<br /> (34) <br />    X  c  <br /> e3  12 , e4  * , e5  1 , x  , r  1 , rv  2 , c2  1 ,c2  1 .<br /> 1 1 2 1 1 c2      <br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  7<br />  Rõ  ràng  ta  thấy  phương  trình  tán  sắc  phụ  r  0, rv  0,ek  0, ek  0,   0.  <br /> thuộc  vào  13  tham  số  không  thứ  nguyên:  Phương trình tán sắc (32) có dạng không thứ <br /> ek , ek ,(k  1, 2, 3, 4,5)  , r , rv  ,   và x, các tham số  nguyên là  <br /> này thỏa mãn các bất đẳng thức sau  <br /> A0  A1ch1ch1  A2 shε1shε 2  A3 chε1shε 2  A4 chε 2shε1  0<br />    (35) <br /> trong đó: <br /> <br /> *<br />   1* 2* ( 1*   2* )<br /> * * *<br />  [ ]* * * *<br /> * *<br /> * * * [ ;  ] [ ]  [  ]<br /> *2<br /> A0  2      * * * *<br /> 1 2 1 2  *<br />  (  <br /> 2 1 1    <br /> 1 2 2 )  <br /> * *<br />   1 2 ( 2  1   1 2 )  [ ] [ ]*2<br /> <br />  1* 2* ( *2  1*   1* 2* ) [  ]* * *<br /> * * * [ ;  ] [ ]  [  ]<br /> *2<br /> A1  2 1* 2* 1* 2*    *  ( * * *<br />  <br /> 2 1 2    <br /> 1 2 1 )  <br />   1  2 (1  2 )  [ ] [ ]*2<br /> <br /> *2 *2<br />   2*2 1*   1*2 2*<br /> *2 *2<br />  [  ]* * * *<br /> * *<br /> * * * [ ;  ] [ ]  [  ]<br /> *2<br /> A2  (      )   * * *2   (       )<br /> 2 1       * * *2  [ ]*<br /> 1 2 2 2 1 1 1 2<br /> [ ]*2<br />  2 2 1 1 1 2 <br />  <br /> [ ;  ]* * [ ]<br /> *<br /> [ ;  ]* * [ ]<br /> *<br /> A3    1* 2*  *    * *<br /> <br /> 2 1 [ ;  ] , A4   2* 1*  *    * *<br /> <br /> 1 2 [ *<br /> ;  ] , <br /> [ ]* [ ]* [ ]* [ ]*<br /> trong đó các đại lượng   k* ,   k*  , k*  ,  M 11* , M 12* , M 22* ,  S * , P * , S * , P *  được xác định bởi:  <br /> e5bk2  rv2 x  e1 b   k bk <br /> k  ,  k*  r (e4 k  k ), k*  r  e3  ,<br /> ( e3  e4 )bk e5  e2 <br /> S *  e2 (1  rv2 x)  e5 (e1  rv2 x)  e2 e5 (e3  e4 )2 , P *  e2 e5 (e1  rv2 x)(1  rv2 x ),<br /> [ ; ]* e5 (e1  x) S  2 P [ ]* e4 (e1  x)  e3e5 P [ ]* e e P S2 P  <br />  ,  , *  2 5 ,<br /> [ ]* e1  x  e5 P [ ]*<br /> e1  x  e5 P [ ] e1  x  e5 P<br /> * e2 (e1  x)  e5 (1  x )  (e3  e4 )2 * (e1  x)(1  x)<br /> S  ,P  <br /> e2 e5 e2 e5<br /> <br /> Trường hợp đặc biệt: đàn  hồi  có  ứng  suất  trước.  Từ  (32)  ,  ta  có <br /> Khi  h  0 ,  bài  toán  trở thành  nghiên  cứu  sự  phương trình tán sắc của bán không gian đàn hồi <br /> truyền  của  sóng  Rayleig  trong  bán  không  gian  có ứng suất trước:  <br />  <br />  2 122   22 (11  X)  b1b2  (11  X)  *2   2 ( 1  X)   0 (36) <br />   <br /> hoặc từ (35), ta có phương trình tán sắc ở dạng không thứ nguyên: <br /> e5  e32  e2 (e1  x)  b1b2  (e1  x) e42  e5 (1  x)   0 (37) <br />   <br />  <br /> Công  thức  (36)  và  (37)    chính  là  công  thức  Dowaikh  and  R.  W.  Ogden,  1991)    và  phương <br /> của  phương  trình  tán  sắc  của  sóng  Rayleigh  trình (25) được tìm ra bởi Vinh (Vinh, 2011) <br /> truyền  trong  bán  không  gian  có  ứng  suất  trước  5. KẾT QUẢ SỐ<br /> nén  được  ở  dạng  có  thứ  nguyên  và  ở  dạng  Chúng  ta  nghiên  cứu  trường  hợp  vật  liệu  là <br /> không có thứ nguyên.   ứng  suất  trước  biến  dạng  phẳng  đẳng  hướng <br /> Phương  trình  (37)  trùng  với  phương  trình  theo tài liệu tham khảo (D. G. Roxburgh and R. <br /> (5.11) được tìm ra bởi Dowaikh và cộng sự (M. A.  W. Ogden, 1994) <br /> <br /> 8 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) <br />  1  2   , 1  2      (38)  số đàn hồi của bán không gian có dạng: <br /> Từ các phương trình (3) - (6), ta có các hằng <br />  <br />  2W 1   2W  2W 1 W  * 1   2W  2W 1 W <br /> 11   22  2 ,  1   2   2   ,    2    (39) <br /> 1 2  1 1 2    2  1 1 2 1 1 <br />   <br /> Các hằng số đàn hồi của lớp có dạng (39) có dấu gạch ngang ở trên. Điều kiện liên tục của ứng <br /> suất pháp theo (R. W. Ogden and D. A. Sotiropoulos, 1996). <br /> W W<br /> 3  3   (40) <br /> 2 2<br /> Khảo  sát  vật  liệu    neo-Hookean,  hàm  năng  lượng  của  loại  vật  liệu  này  có  dạng  theo  (D.  G. <br /> Roxburgh and R. W. Ogden, 1994): <br /> 1 2<br /> W (1  22  32  3  2 ln(12 3 ))   (41) <br /> 2<br /> đối với bán không gian và tương tự đối với lớp. <br /> Từ các phương trình (38) - (41) và (34), ta có: <br /> 2 1 1  2 1<br /> e1  e2  , e3  e3  0, e4  2 , e5  e5  1, e1  ,<br /> 2  2<br /> 1 1 2 1 (42) <br /> 2<br /> e2  , e4  ,   2 2<br /> , r  , rv  R( 2  1(1   2 ))<br /> e1 2   r (1   ) r   <br />  <br /> liệu  chỉ  còn  phụ  thuộc  vào  3  tham  số   ,  r,  R <br /> như  công  thức  (42).  Hình  1  biểu  diễn  sự  phụ <br /> thuộc  của  vận  tốc  sóng  vào    kh   trong  hai <br /> trường  hợp:    1, r  0.3, R  2   và   <br />   2, r  0.5, R  1.2 .<br /> 6. KẾT LUẬN<br /> Bài báo khảo sát sự truyền của sóng Rayleigh <br /> trong  bán  không  gian  có  ứng  suất  trước  nén <br /> được được phủ lớp ứng suất trước nén được. Sử <br /> dụng mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất và <br />   các  biên  độ  chuyển  dịch  của  lớp  và  bán  không <br /> Hình 1. Biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc sóng gian  tại  biên  phân  chia,  bài  báo  đã  thu  được <br /> Rayleigh được biểu diễn bởi (35) truyền trong phương trình chính xác của sóng. Từ công thức <br /> vật liệu neo-Hookean  này,  tác  giả  đã  tìm  được  phương  trình  tán  sắc <br />   cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gian <br /> Hình  1  biểu  diễn  vận  tốc  sóng  Rayleigh    x   có ứng suất trước bằng cách cho độ dày của lớp <br /> được  biểu  diễn  bởi  phương  trình    (35)  truyền  bằng không. Các công thức tìm được là mới và <br /> trong bán không gian phủ  một  lớp  với giả thiết  ở  dạng  hoàn  toàn  tường  minh,  nên  chúng  sẽ  là <br /> là  cả  bán  không  gian  và  lớp  là  vật  liệu  neo- những  công  cụ  rất  hữu  hiệu  cho  các  nhà  khoa <br /> Hookean.  Với  vật  liệu  này  thì  các  tham  số  vật  học trong và ngoài nước. <br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  9<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> Achenbach,  J.D.  and  Keshava,  S.P.  (1967),  "Free waves in a platesupported by a semi-infinite<br /> continuum", J. Appl. Mech., 34, pp.397–404.<br /> Bovik,  P.  (1996),  "A comparison between the Tiersten model andO(H) boundary conditions for<br /> elastic surface waves guided by thinlayers", J. Appl. Mech., 63, pp. 162–167. <br /> M.  A.  Dowaikh  and  R.  W.  Ogden  (1991),  On surface waves and deformations in a compressible<br /> elastic half-space. Stability and Applied Analysis of Continuous Media, 1(1), pp. 27–45. <br /> R. W. Ogden(1984),Non-linear elastic deformations. Ellis Horwood, Chichester,. <br /> R. W. Ogden and D.  A. Sotiropoulos, (1996). The effect of pre-stress on guided ultrasonic waves<br /> between a surface layer and a half-space. Ultrasonics, 34, (2-5), (1996), pp. 491–494. <br /> D.  G.  Roxburgh  and  R.  W.  Ogden  (1994).  Stability and vibration of pre-stressed compressible<br /> elastic plates. International Journal of Engineering Science, 32, (3), (1994), pp. 427–454. <br /> Tiersten, H.F. (1969), "Elastic surface waves guided by thin films",J. Appl. Phys., 46, pp. 770–789. <br /> Viktorov, I. A. (1967), Rayleigh and Lamb waves: Physical theory andapplications, Plenum Press, <br /> New York. <br /> Pham  Chi  Vinh  (2011),  "On formulas for the Rayleigh wave velocityin pre-stressed compressible<br /> solids", Wave Motion, 48, 613-624. <br /> Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2012). An approximate secular equation of rayleigh waves propagating in an<br /> orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropicelastic layer, Wave Motion,49, 681–689. <br /> Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves<br /> in pre-stressed compressible elastic solids. Int. J. Non-Lin. Mech., 50, 91–96.  <br /> Vinh,  P.C.,  Linh,  N.T.K.,  Anh,  V.T.N.,  (2014).  Rayleigh waves in an incompressible orthotropic<br /> elastic half-space coated by a thin elastic layer. Archives Mech,66,173–184. <br /> P. C. Vinh and N. T. K. Linh (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh wavesin<br /> pre-stressed compressible elastic solids. International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, 91–96.  <br /> <br /> Abstract:<br /> AN EXACT SECULAR EQUATIONS OF RAYLEIGH WAVES IN A COMPRESSIBLE<br /> PRE-STRESSED ELASTIC HALF-SPACES COATED WITH AN ELASTIC LAYER <br /> <br /> This paper is concerned with the propagation of Rayleigh waves in a compressible pre-tressed<br /> elastic half-space coated with a compressible pre-stressed elastic layer. The main purpose of the<br /> paper is to establish an approximate secular equation of the wave. First, the relations between the<br /> traction amplitude vector and the displacement amplitude one of Rayleigh waves at two sides of the<br /> interface between the layer and the half-space are created. From the continuity condition at the<br /> interface and these relations the displacement amplitude vector of Rayleigh waves at the interface is<br /> determined. Then, an exact secular equation of the wave has been derived by using these relations.<br /> From this equation, an secular equation of Rayleigh wave is obtained for a compressible pre-<br /> stressed elastic half-space and this equation coincides in the equation of M. A. Dowaikh and R. W.<br /> Ogden (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden, 1991) and Vinh (Vinh, 2011). The explicit seculars<br /> derived in this paper are useful for scientists<br /> Keywords: Rayleigh waves, secular equation, pre-stressed,  <br />  <br /> Ngày nhận bài: 22/3/2019<br /> Ngày chấp nhận đăng: 13/4/2019 <br />  <br />  <br /> <br /> <br /> 10 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) <br />