Phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán

NGÀNH TOÁN HỌC<br /> <br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRUNG TÍNH<br /> KIỂU SÓNG KHUẾCH TÁN<br /> NEUTRAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS<br /> OF DIFFUSION-WAVE TYPE<br /> Nguyễn Thị Diệp Huyền, Dương Thị Hương, Phạm Thị Hường<br /> Email: diephuyendhsaodo@gmail.com<br /> Trường Đại học Sao Đỏ<br /> Ngày nhận bài: 7/3/2018<br /> Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2018<br /> Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2018<br /> Tóm tắt<br /> <br /> Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân<br /> trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động.<br /> Từ khóa: Phương trình vi - tích phân; nghiệm tích phân; điểm bất động.<br /> Abstract<br /> <br /> In this paper, we study the existence optical-beam-deflection neutral integro-differential equations of<br /> diffusion-wave type by using a fixed point approach.<br /> <br /> Keywords: Integro-differential equations; integral solution; fixed point.<br /> <br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> <br /> Ta xét bài toán sau trong một không gian Banach X: Cho L ( X ) là không gian các toán tử tuyến tính bị<br /> t<br /> d (t - s )α -2 chặn trên X . Ta nhắc lại một vài chú ý và kết quả<br /> dt<br /> H (u )(t ) = ∫<br /> 0<br /> Γ (α -1) )<br /> AH (u )( s )ds (1)<br /> đối với toán tử giải thức bậc phân số sẽ sử dụng<br /> cho phần tiếp theo.<br /> + f (t , u (t ), ut ), t > 0, (1)<br /> u ( s ) + g (u )( s ) =ϕ ( s ), s ∈ [-t , 0], (2) (2) Định nghĩa 1. Cho A là toán tử tuyến tính đóng<br /> với miền xác định D ( A ) trong không gian Banach<br /> trong đó: , A là một toán tử X . Ta nói A sinh ra giải thức α nếu tồn tại ω ∈ <br /> đóng, tuyến tính và không bị chặn, f , g và h là và hàm liên tục mạnh Sα :  + → L ( X ) thỏa mãn<br /> các hàm vectơ. Với α ∈ (1, 2) và ut là kí hiệu hàm<br /> { }<br /> λ α : Re λ > ω ⊂ ρ ( A) (tập giải của A ), và<br /> trễ theo thời gian t , tức là,<br /> ( )<br /> −1 ∞<br /> λ α −1 λ α I − A x= ∫<br /> e−λt Sα ( t ) xdt , Re λ > ω , x ∈ X .<br /> 0<br /> Ta biết rằng, trong trường hợp α = 1 , Sα (.) = S1 (.)<br /> Chúng tôi muốn chỉ ra sự tồn tại của nghiệm phân là C0 − nửa nhóm, nếu α = 2 ta có họ cosin S2 (.) .<br /> rã (hay nghiệm ổn định) với (1) - (2) với một tỉ lệ Nếu A sinh ra giải thức β với β > α thì nó cũng<br /> phân rã xác định của bài toán này. sinh ra giải thức α. Trường hợp riêng, nếu A sinh<br /> ra họ cosin, khi đó tồn tại giải thức α sinh bởi A<br /> Để tìm các nghiệm phân rã của (1) - (2), chúng tôi<br /> với α ∈ (1, 2 ) .<br /> sử dụng phương pháp điểm bất động được khởi<br /> xướng bởi Burton và Furumochi cho các phương Đặc biệt, cho A là toán tử đóng và trù mật. Giả sử<br /> trình vi phân hàm thường gặp (xem [1, 2]). Chúng A là toán tử quạt kiểu (ω , θ ), tức là, tồn tại ω ∈ ,<br />  π ρ ( A) ⊂  \ ∑<br /> tôi sẽ xây dựng một không gian phù hợp gồm các θ ∈  0,  , M > 0 sao cho ω ,θ<br />  2<br /> hàm triệt tiêu tại vô cùng với tỉ lệ phân rã xác định,<br /> và ( λ I − A )<br /> −1<br /> L( X )<br /> ≤<br /> λ −ω<br /> M<br /> , λ∉ ∑ω θ<br /> ,<br /> ,<br /> trong đó toán tử nghiệm của bài toán có một điểm<br /> bất động. trong đó:<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 51<br />  NGHIÊN CỨU KHOA HỌC<br /> <br /> <br /> ∑ω θ = {ω + λ : λ ∈ , arg ( −λ ) < 0}.<br /> ,<br /> Từ (4) ta định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán<br /> (1) - (2) như sau:<br /> Trong trường hợp 0 ≤ θ ≤ π (1 − α / 2 ) , Sα (.) tồn tại<br /> và được cho bởi công thức: Định nghĩa 2. Hàm u ∈ C T gọi là nghiệm tích phân<br /> 1 của bài toán (1) - (2) trong khoảng [ −t ,T ] nếu và<br /> ( )<br /> −1<br /> =Sα ( t )<br /> 2π i γ ∫<br /> etλ λ α −1 λ α I − A d λ , t ≥ 0,<br /> chỉ nếu u=( t ) ϕ ( t ) − g ( u )( t ) với t ∈ [ −t , 0] và<br /> ở đây γ là đường phù hợp nằm ngoài ∑ ω ,θ . Hơn<br /> nữa ta có khẳng định sau đây về Sα (.): h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 ) <br /> u (t ) =<br /> <br /> Định lý 1 [3]. Cho A : X → X là toán tử quạt kiểu − Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) )<br /> (ω ,θ ) với 0 ≤ θ ≤ π (1 − α / 2 ) . Khi đó tồn tại C > 0 t<br /> <br /> độc lập với t thỏa mãn<br /> + ∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds,<br /> 0<br /> s<br /> <br /> <br /> (<br /> C 1 + ωt α eω1/α t , ω ≥ 0,<br />  ) với mọi t ∈ [ 0, T ] .<br /> Sα ( t ) ≤ C<br /> L( X )<br />  α<br /> , ω < 0, Cho F : C T → C T , trong đó<br /> 1 + ω t<br /> ϕ ( t ) − g ( u )( t ) , t ∈ [ −t , 0] ,<br /> <br /> với t ≥ 0. h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 ) <br /> <br /> F ( u )( t ) = <br /> Ta sẽ tìm khái niệm phù hợp về nghiệm tích phân − S ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) )<br />  α<br /> của bài toán (1) - (2). Ký hiệu L là phép biến đổi  t<br /> + Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ∈ [ 0, T ] .<br /> ∫<br /> Laplace của hàm nhận giá trị trong X xác định  0<br /> trên  + . Đặt y ( t ) = H ( u )( t ) và áp dụng biến đổi<br /> Laplace đối với bài toán (1) - (2), ta có: Khi đó u là một nghiệm tích phân của bài toán<br /> 1 (1) - (2) nếu nó là điểm bất động của toán tử<br /> λ L [ y ] ( λ=<br /> ) − y ( 0 ) α −1 AL [ y ] ( λ ) + L [ f ] ( λ ) .<br /> λ nghiệm F .<br /> Do đó<br /> 3. KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM <br /> (λ α<br /> )<br /> I − A L ( y )( λ ) =λ α −1<br /> y (0) + λ α −1<br /> L [ f ](λ ).<br /> Đặt C= t C ([ −t , 0] ; X ). Để nghiên cứu bài toán (1)<br /> Như vậy – (2) ta xét các giả thiết sau đây:<br /> ( )<br /> −1<br /> L [ y ] ( λ ) = λ α −1 λ α I − A y (0) + (A) Toán tử A là toán tử quạt kiểu (ω , θ ) sao cho<br /> ω < 0 và 0 ≤ θ < π (1 − α / 2 ), tức là giải thức α ,<br /> (λ I − A)<br /> −1<br /> + λ α −1 α<br /> L [ f ](λ ) ,<br /> Sα (.) sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với t > 0.<br /> với λ thỏa mãn Re λ > 0, λ α ∈ ρ ( A ) . Cho Sα (.) là (F) Hàm phi tuyến f :  + × X × Ct → X thỏa mãn:<br /> giải thức α sinh bởi A, khi đó f (., v, w ) là đo được với mỗi v ∈ X , w ∈ Ct , f ( t ,.,.)<br /> L [ y ] ( λ ) L Sα ( λ ) y ( 0 ) + L Sα ( λ ) L [ f ] ( λ ) .<br /> = (3) là hàm liên tục với t ∈  + , f ( t , 0, 0 ) =<br /> 0 và tồn tại<br /> <br /> Sử dụng định lý phép tịnh tiến thứ hai và định lý ( )<br /> k ∈ L1  + , sao cho<br /> <br /> tích chập của biến đổi Laplace đối với nghịch đảo f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )<br /> X<br /> của (3), ta được<br /> y ( t ) = Sα ( t ) y ( 0 )<br /> (<br /> ≤ k ( t ) v1 − v2 X<br /> + w1 − w2 Ct ),t ∈  , +<br /> <br /> <br /> t<br /> + ∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds, t ≥ 0.<br /> 0<br /> s<br /> với mọi v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct .<br /> <br /> (G) Hàm không cục bộ g : C T → Ct liên tục, thỏa<br /> Điều này suy ra rằng<br /> mãn g ( 0 ) = 0 và có số η không âm sao cho<br /> u (t ) = (<br /> h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 )  − Sα ( t ) h 0,ϕ − g ( u ) )<br /> t g ( w1 ) − g ( w2 ) ≤ η w1 − w2 CT<br /> ,<br /> ∫ Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ≥ 0.<br /> Ct<br /> + (4)<br /> 0 với mọi w1 , w2 ∈ C T , với mọi T > 0.<br /> Cho T > 0, ta ký hiệu C= C ([ −t , T ] ; X ) là không T<br /> <br /> gian các hàm liên tục u : [ −t , T ] → X . Khi đó, C T là (H) Hàm h :  + × Ct → X thỏa mãn:<br /> không gian Banach với chuẩn (1) h liên tục; h ( t , 0 ) = 0<br /> u T := sup u ( t ) .<br /> (2) h ( t ,.) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là<br /> C<br /> t∈[ −t ,T ]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 52 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018<br />  NGÀNH TOÁN HỌC<br /> <br /> t<br /> + ∫ Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds<br /> h ( t , v1 ) − h ( t , v2 ) ≤ l ( t ) v1 − v2 Ct<br /> , 0 L( X ) X<br /> X<br /> <br /> với mọi v1 , v2 ∈ Ct , trong đó l là hàm giá trị thực, ≤ l∞ ut Ct<br /> + Sα ( t )<br /> L( X ) (ϕ Ct )<br /> + η R (1 + l∞ )<br /> bị chặn trên  + .<br /> ( ) ds<br /> t<br /> <br /> Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm ổn định của bài toán (1) - (2),<br /> + ∫<br /> 0<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k (s) u (s)<br /> X<br /> + us Ct<br /> <br /> ta xét không gian hàm sau<br /> = E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t ) , (6)<br /> BCα = { u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; X ) : t α u ( t )<br /> X ở đây<br /> = O (1) , 0 < t < ∞} E1 ( t ) = l∞ ut ,<br /> Ct<br /> <br /> với chuẩn<br /> u = sup u ( t ) .<br /> E2 ( t )<br /> = Sα ( t )<br /> L( X ) (ϕ Ct )<br /> + η R (1 + l∞ )<br /> <br /> ( ) ds.<br /> ∞ X t<br /> E3 ( t ) =<br /> Sα ( t − s ) ∫ k (s) u (s)<br /> t ≥−t<br /> + us<br /> 0 L( X ) X Ct<br /> Khi đó, BCα là không gian Banach.<br /> Sử dụng (5) ta được<br /> Ta có kết quả sau đây:<br /> t α E1 ( t ) l∞=<br /> = t α ut C O (1) khi t → ∞.<br /> Định lý 2. Giả sử các giả thiết (A), (F), (G) và (H) t<br /> <br /> thoả mãn. Khi đó bài toán (1) - (2) có duy nhất Liên quan đến E2 ( t ) , sử dụng Định lý 1 ta có<br /> nghiệm tích phân u thỏa mãn u ( t ) = O t −α<br /> X = t α E2 ( t ) t α Sα ( t )<br /> L( X ) (<br /> ( )<br /> ϕ C + η R ) (1 + l∞ )<br /> khi t → ∞ , với điều kiện t<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ( )<br /> α<br /> Ct<br /> l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ ≤ ϕ C + η R (1 + l∞ ) = O (1) khi t → ∞.<br /> 1 + ω tα t<br /> <br /> t<br /> + 2sup<br /> t ≥0<br /> ∫ 0<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k ( s ) ds < 1, Với E3 ( t ) , ta có<br />  t /2 t <br /> trong đó Sα∞ = sup Sα ( t )<br /> t ≥0<br /> và l∞ = sup l ( t ) .<br /> t ≥0<br /> t α E3 ( t ) =<br /> tα <br />  ∫0<br /> + ∫t /2<br />  Sα ( t − s ) L( X )<br /> <br /> <br /> <br /> Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng toán tử nghiệm<br /> F ánh xạ BCα vào chính nó và là ánh xạ co. Ta<br /> k ( s ) u ( s ) + us<br /> X ( Ct ) ds<br /> nhắc lại rằng = t α E3a ( t ) + t α E3b ( t ) ;<br /> h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 )  − t α E3a ( t )<br />   <br /> ( ) ds<br /> t/2<br /> − Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) ) + tα<br /> = ∫<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k (s) u (s) + us Ct<br />  0 X<br /> F ( u )( t ) =  t<br /> + Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t > 0,<br /> ∫<br /> 2 RCt α t/2<br /> <br />  0<br /> ≤<br /> 1 + ω (t / 2)<br /> α ∫ 0<br /> k ( s ) ds<br /> <br /> ϕ ( t ) − g ( u )( t ) ,<br />  t ∈ [ −t , 0] .<br /> 2 RCt α khi t → ∞.<br /> ≤ k O (1) ,<br /> =<br /> 1 + ω (t / 2)<br /> α ( )<br /> L1  +<br /> Cho u ∈ BCα sao cho= R u ∞ > 0. Ta chứng minh<br /> rằng F ( u ) ∈ BCα , tức là, tα F ( u )( t ) = O (1) khi t<br /> t α E3b ( t ) = Sα ( t − s ) ∫ k (s) u (s)<br /> X<br /> t → ∞. Do u ∈ BCα , tồn tại hằng số K > 0 sao cho tα ds +<br /> t/2 L( X ) X<br /> t<br /> tα u ( t ) ≤ K, + tα ∫ Sα ( t − s ) k ( s ) us ds<br /> t/2 L( X ) Ct<br /> X<br /> (5) α<br /> t t<br /> α<br /> t ut C t<br /> = α<br /> sup u ( t + µ )<br /> X<br /> ≤ K , ∀t ∈ t . =<br /> t/2 ∫<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )  s <br />  <br /> k ( s ) sα u ( s )<br /> X<br /> ds +<br /> t<br /> µ∈[ −t ,0]<br /> α<br /> t t<br /> Khi đó với t > 0,<br /> + ∫ t/2<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )  s <br />  <br /> k ( s ) sα us Ct<br /> ds<br /> <br /> F ( u )( t ) ≤ h ( t , ut ) + <br /> X X t ( t / s )α<br /> + Sα ( t ) (ϕ + g (u ) )<br /> ≤ 2 KC ∫t / 2 1 + ω ( t − s )α k ( s ) ds<br /> L( X ) Ct Ct<br /> <br /> <br /> +l∞ Sα ( t )<br /> L( X ) (ϕ Ct<br /> + g (u )<br /> Ct ) ≤ 2α +1 KC ∫<br /> t<br /> <br /> t /2<br /> k ( s ) ds ≤ 2α +1 KC k<br /> ( ).<br /> L1  +<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 53<br />  NGHIÊN CỨU KHOA HỌC<br /> <br /> <br /> Do đó t α E3 ( t ) = O(1) khi t → ∞. Thay vào (6) ta được tử quạt kiểu ( λ1 , 0 ) với λ1 < 0 là giá trị riêng đầu<br /> t α F ( u )( t ) ≤ t α  E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t )  tiên của A , tức là<br /> <br /> = O (1) , khi t → ∞.<br /> −λ=<br /> 1 sup ∇v { 2<br /> L2 ( Ω )<br /> : v L2 ( Ω )<br /> = 1. }<br /> Hệ phương trình (7) - (8) là dạng tổng quát của<br /> Điều này chỉ ra rằng F ( BCα ) ⊂ BCα .<br /> (1) - (2) với<br /> Ta chứng minh F là ánh xạ co. Giả sử u , v ∈ BCα ,<br /> f ( t , v, w )( x ) k ( t ) f ( x, v ( x ) , w ( −t , x ) ) ,<br /> =<br /> sử dụng (F), (G) và (H) ta có m<br /> <br /> ( )( )<br /> F u t −F v t ≤ l t u −v ( )( ) g (<br /> () u )( s<br /> t<br /> )( x ) =−<br /> t C<br /> t<br /> βi u ( ti + s, x ), ∑i =1<br /> + Sα ( t ) g ( u )( 0 ) − g ( v )( 0 ) 0<br /> h ( t , w )( x ) ∫ t a ( s ) w ( s, x ) ds, a ∈ L ( −t , 0;  )<br /> L( X ) 2<br /> X<br /> =<br /> −<br /> +l ( t ) Sα ( t ) g (u ) − g (v )<br /> L( X ) Ct với u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; L ( Ω ) ) , v ∈ L ( Ω ) , 2 2<br /> <br /> <br /> và w ∈ Ct := C ([ −t , 0] ; L ( Ω ) ) ,<br /> t<br /> ∫ Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) − f ( s, v ( s ) , vs )<br /> 2<br /> + ds<br /> 0 L( X ) X<br /> ở đây ti > 0, βi ∈ , i ∈ {1,..., m} .<br /> ≤ l∞ u − v + Sα∞η u − v + l∞ Sα∞η u − v<br /> <br />  t<br /> ∞ ∞<br /> <br /> <br /> ∞<br /> Giả sử rằng k ∈ L1  + ( ) và f : Ω ×  ×  → <br /> +2<br />  ∫0<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k ( s ) ds  u − v<br />  ∞<br /> . sao cho<br /> f ( x, 0, 0 ) = 0,<br /> Suy ra<br /> f ( x, y , z ) − f ( x, y , z )<br /> F (u ) − F (v ) ≤  u −v ∞<br /> , 1 1 2 2<br /> ∞<br /> ≤ µ ( x ) ( y1 − y2 + z1 − z2 ) , µ ∈ L∞ ( ∞ ) ,<br /> trong đó<br />  =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ + với mọi x ∈ Ω, y1 , y2 , z1 , z2 ∈ .<br /> t<br /> Cho v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct , khi đó ta có<br /> + 2sup<br /> t ≥0<br /> ∫ 0<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k ( s ) ds ≤ 1.<br /> 2<br /> f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )<br /> X<br /> Hoàn thành chứng minh.<br /> <br /> Sau đây chúng ta xét một ví dụ về mô hình bài<br /> ≤ 2 k (t )<br /> 2<br /> ( v ( x ) − v ( x ) ) dx<br /> µ<br /> 2<br /> ∞ ∫ Ω<br /> 1 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> + ∫ ( w ( −t , x ) − w ( −t , x ) ) dx<br /> 2<br /> toán đặt ra: Ω<br /> 1 2<br /> <br /> <br /> Ví dụ:<br /> ≤ 2 k (t )<br /> 2<br /> µ<br /> 2<br /> ∞ ( v −v 1<br /> 2<br /> 2 X + w1 ( −t ,.) − w2 ( −t ,.)<br /> 2<br /> X )<br /> Cho Ω là miền bị chặn trong  n với biên trơn ∂Ω.<br /> Xét bài toán sau đây:<br /> α −2<br /> ≤ 2 k (t )<br /> 2<br /> µ<br /> 2<br /> ∞ ( v −v1<br /> 2<br /> 2 X + w1 − w2<br /> 2<br /> Ct ).<br /> ∂ (t − s ) t<br /> <br /> ∂t<br /> H ( u )( t , x )<br /> = ∫0 Γ (α − 1) ∆ x H (u )( s, x ) ds Vì vậy<br /> <br /> + k ( t ) f ( x, u ( t , x ) , u ( t − t , x ) ) , t > 0, x ∈ Ω, f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )<br /> (7) X<br /> <br /> u ( t ,=<br /> x ) 0, t > 0, x ∈ ∂Ω,<br /> m<br /> ≤ 2 k (t ) µ ∞ ( v −v 1 2 X + w1 − w2 Ct ).<br /> u ( s, x ) − ∑ β u (t +=<br /> i =1<br /> s, x )<br /> i i ϕ ( s ) , s ∈ [ −t , 0] ,<br /> (8) Với hàm không cục bộ g , rõ ràng rằng<br /> 2<br /> trong đó g ( u1 ) − g ( u2 )<br /> Ct<br /> 0<br /> H ( u )( t , x ) =<br /> u (t, x ) − ∫ t a ( s ) u (t + s, x ) ds,<br /> − ≤ m sup βi2∑ ∫<br /> m<br /> u1 ( ti + s, x ) − u2 ( ti + s, x ) dx<br /> 2<br /> <br /> s∈[ −t ,0] i =1 Ω<br /> ∆ x là toán n<br /> tử Laplace (đối với biến x ), tức<br /> ∂2<br /> là ∆x =∑ . Cho = X L2 ( Ω ) , A = ∆ x với<br /> m<br /> <br /> ∑β 2 2<br /> i =1 ∂xi<br /> 2<br /> ≤m i u1 − u2 CT<br /> ,<br /> D( A =) H ( Ω ) ∩ H 0 ( Ω ) . Ta biết rằng A là toán<br /> 2 1<br /> i =1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 54 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018<br />  NGÀNH TOÁN HỌC<br /> <br /> <br /> T<br /> C [ t , T ] ; L2 ( Ω ) .<br /> với mỗi T > 0, ở đây C =− ( )  =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ +<br /> t<br /> Do đó,<br />  m <br /> +2 2 µ ∞<br /> sup<br /> t ≥0<br /> ∫<br /> 0<br /> Sα ( t − s )<br /> L( X )<br /> k ( s ) ds ≤ 1,<br /> g ( u1 ) − g ( u2 )<br /> Ct<br /> ≤ m<br />  ∑ βi  u1 − u2<br />  CT<br /> ,<br /> m<br />  i =1 <br /> ∀T > 0.<br /> trong đó l∞ = t a L2 ( −t ,0 ) và η = m ∑β . i<br /> i =1<br /> Với w1 , w2 ∈ Ct , ta có<br /> 2<br /> h ( t , w1 ) − h ( t , w2 )<br /> X<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 2<br />  0 <br /> ∫ ∫<br /> <br /> Ω −t<br /> a ( s )  w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  ds  dx<br />  [1]. T.A. Burton (2006). Stability by Fixed Point Theory<br /> <br /> <br /> ∫ t (∫ )<br /> 2 0 2 for Functional Differential Equations. Dover<br /> ≤ a  w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  dx ds<br /> L2 ( −t ,0 ) − Ω Publications, New York.<br /> 0 2<br /> ∫t<br /> 2<br /> ≤ a L2 ( −t ,0 )<br /> w1 ( s,.) − w2 ( s,.) ds [2]. T.A. Burton, T. Furumochi (2001). Fixed points and<br /> − X<br /> problems in stability theory for ordinary and functional<br /> 2 2<br /> ≤t a L2 ( −t ,0 )<br /> w1 − w2 Ct<br /> . differential equations. Dyn. Sys. Appl. 10 89-116.<br /> Do đó<br /> [3]. E. Cuesta (2007). Asymptotic behaviour of the<br /> h ( t , w1 ) − h ( t , w2=<br /> ) t a L2 ( −t ,0 ) w1 − w2 Ct<br /> X<br /> . solutions of fractional integro-differential equations<br /> <br /> Áp dụng Định lý 2, bài toán (7) - (8) có duy nhất and some time discretizations. Discrete Contin.<br /> nghiệm tích phân trong BCα , với điều kiện Dyn. Syst. (Supplement) 277-285.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 55<br />