Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

Chia sẻ: Hồ Dũng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm "Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm" được nghiên cứu với mục đích: Giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

Mục lục Trang Phần mở đầu 1. Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm 2. Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm 3. Cấu trúc của sáng kiến, kinh nghiệm Phần nội dung Chương I: Cơ sở lý luận Chương II: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải Chương III: Giải pháp Phần kết luận Tài liệu tham khảo PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm Học sinh trên địa bàn huyện Sơn Hà đa phần là con em người dân tộc thiểu số, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thời gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 19 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học. Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A.Stoliar 1969 tr.5). Ở trường phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Toán học là môn học nghiên cứu về “ hình và số”. Môn toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường là mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải các bài toán giải tích trong trường THPT là rất khó khăn. Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích
phân. Những khó khăn, sai lầm của học sinh được thể hiện trong quá trình làm bài tập, làm bài kiểm tra, các bài thi. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc. Đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần. Rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua các quá trình quan sát có thể nhận thấy rằng: học sinh rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn và sai lầm khi đứng trước những bài toán giải tích nói chung và các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy toán giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những bài toán liên quan đến tích phân. Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi gặp các bài toán liên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài toán về tích phân, thì tôi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên. Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm" 2. Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân? Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân? Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? 4. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12C3, 12C4 trường THPT Sơn Hà. Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán. 5. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có
kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh. Vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Thực trạng. Khi dạy chương III “ Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”(Giải tích 12), tôi nhận thấy học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau: Tính tích phân rất máy móc: Không để ý hàm số cần tính tích phân có nguyên hàm trên đoạn lấy tích phân không, các phép biến đổi hàm số, biến số có tương đương không. Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân. Không nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân từng phần. Không nắm vững công thức và vận dụng đúng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; đổi biến số nhưng không đổi cận; khi đổi biến không tính vi phân; giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. Những lỗi khó phát hiện mà học sinh thường mắc phải như:
+ Hàm số không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng vẫn sử dụng được công thức Newtơn Leibnitz; + Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và đạo hàm liên tục trên [a; b]; + Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời; + Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác)… II. Các giải pháp của sáng kiến. Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau : II.1 Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững. Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất các khái niệm, định nghĩa, định lý đó. Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý. Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải. II.2 Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp. Kĩ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bài toán. Tư duy: Phân tích, so sánh, tổng hợp. Phương pháp: Phương pháp giải toán. II.3 Đổi mới phương pháp dạy học. Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng đối tượng học sinh: vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề…
Sử dụng phương tiện dạy học: bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử… II.4 Đổi mới kiểm tra, đánh giá. Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan ở nhiều mức độ nhận thức. Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh. II.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải. Phân dạng bài tập và phương pháp giải theo chủ đề: bài toán tính tích phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác…); Bài toán tính diện tích (Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị); Bài toán tính thể tích khối tròn xoay (quay quanh Ox, quay quanh Oy). Mỗi dạng bài tập đưa ra phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập tương tự, bài tập nâng cao. Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát (phát triển) bài toán.
CHƯƠNG II NHỮNG SAI LẦM MÀ HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI 1. Sai lầm khi biến đổi, vận dụng định nghĩa tích phân. 2 1 1.1 Ví dụ 1: Tính tích phân I = 2 dx 0 (x − 1) 1.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : 2 1 2 d(x − 1) 1 2 I= 2 dx = 2 = − = −1 − 1 = −2 0 (x − 1) 0 (x − 1) x −1 0
1.1.2 Phân tích sai lầm : 1 Hàm số y = không xác định tại x = 1 [0; 2] nên hàm số không (x − 1) 2 liên tục trên [0; 2]. Do đó không tồn tại tích phân trên. Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép tính tích phân đó. Học sinh không chú ý đến một điều tích phân I = b f (x)d(x) chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm số liên a tục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học để tính tích phân trên. Còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. 1.1.3 Lời giải đúng 1 Hàm số y = không xác định tại x= 1 [2; 2] nên suy ra hàm số (x − 1) 2 không liên tục trên [2; 2] Do đó tích phân trên không tồn tại. 1 x2 1 1.2 Ví dụ 2: Tính I = dx 11 x4 1.2.1 Học sinh trình bày như sau 1 1 1− 2 1 1 1− 2 x = x dx I = �1 � 2 −1 +x 2 −1 � 1� x 2 �x + �− 2 � x� 1 1 Đặt t = x+ � dt = (1 − 2 )dx x x x = −1 � t = −2 Đổi cận: x =1� t = 2 2 dt 2 1 1 2 Khi đó I = � 2 = �( − )dt = (ln | t + 2 | − ln | t + 2 |) −2 t − 2 −2 t + 2 t− 2 −2 t+ 2 2 2+ 2 −2 + 2 2+ 2 = ln = ln − ln = 2ln t− 2 −2 2− 2 −2 − 2 2− 2
1 2 1− x −1 x 2 là sai vì trong [1; 1] chứa x = 0 1.2.2 Phân tích sai lầm: = 1 + x4 1 2 + x2 x nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Do đó giáo viên lưu ý cho học sinh khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x x 0 thì cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = x0. 1.2.3 Lời giải đúng: x2 − x 2 + 1 1 Xét hàm số F(x) = ln 2 2 x2 + x 2 + 1 ' 1 � x2 − x 2 + 1 � x2 −1 �= ’ F (x) = ln � 2 2 � x2 + x 2 + 1 � x4 + 1 1 x2 −1 1 � x 2 − x 2 + 1 �1 1 2− 2 Do đó I = 4 = ln � � = ln −1 x + 1 2 2 � x + x 2 + 1 � 2 −1 2 2+ 2 1.3 Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 5 1 dx 3 2 1. 2. x(x 1) 2 dx 0 (x 4)4 2 π 2 1 1x 3.e x + x 2 3. dx 4. dx 4 1 x3 0 cos x 2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân. 1 3 2.1 Ví dụ 3: Tính tích phân I = (3x − 1) dx 0 2.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : 1 1 3 4 1 15 I = (3x − 1) dx = (3x − 1) = 0 4 0 4 2.1.2 Phân tích sai lầm:
Học sinh đã vận dụng công thức trong bảng nguyên hàm: 1 α+1 x αdx = x + C . Mà lẽ ra phải vận dụng công thức: α +1 1 α+1 u α .du = u +C α +1 2.1.3 Lời giải đúng : 1 1 d(3x − 1) 1 1 1 15 (3x − 1)3 dx = � Ta có : I = � (3x − 1)3 = . (3x − 1) 4 = 0 0 3 3 4 0 12 2.2 Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: π 1 7 2 1. (2x − 1) dx 2. sin 3 xdx 0 0 3. Sai lầm khi biến đổi hàm số. 3 3.1 Ví dụ 4: Tính tích phân I = x 2 − 4x + 4 dx 0 3.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : 3 3 3 x2 3 3 I = � x 2 − 4x + 4 dx = � (x − 2) 2 dx = � (x − 2) dx = ( − 2x) = − 0 0 0 2 0 2 3.1.2 Phân tích sai lầm : Phép biến đổi: (x − 2) 2 = x 2, x [0; 3] là không đúng vì b b 2n 2n 2n f 2n (x) =| f (x) | . Do đó: � f (x)dx = � | f (x) |dx . Ta xét dấu f(x) trên a a [a;b] để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi mối tính tích phân. 3.1.3 Lời giải đúng : 3 3 2 3 2 � (x − 2) dx = � | x − 2 | dx = � (2 − x)dx + � (x − 2)dx 0 0 0 2
x2 2 x2 3 1 5 = (2x − ) + ( − 2 x) = 2 + = 2 0 2 2 2 2 π 3.2 Ví dụ 5: Tính tích phân I = 1 + sin 2xdx 0 3.2.1 Học sinh đã trình bày như sau: π π π 2 I= �1 + sin 2xdx = �1 + 2sin x cos xdx = � (sin x + cos x) dx 0 0 0 π π = (sin x + cos x)dx = (sin x − cos x) = 1 + 1 = 2 0 0 3.2.2 Phân tích sai lầm : Phép biến đổi: (1 + sin 2x) 2 = sinx + cosx , x [0; ], là không đúng. 3.2.3 Lời giải đúng: π π π 2 I= �1 + sin 2xdx = �1 + 2sin x cos xdx = � (sin x + cos x) dx 0 0 0 3π π 4 π | sinx + cosx|dx = �(sinx + cosx)dx − �(sinx + cosx)dx =� 0 0 3π 4 3π π = (sinx cosx) 4 (sinx cosx) 3π = 2 2 1 0 4 3.3 Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: π 3 1. I = 1 − sin 2x dx 2. I= x 3 − 2x 2 + x dx 0 0 π 2 1 3. I= 1 x 2 + 2 − 2 dx 4. I = 3 tan 2 x + cot 2 x − 2 dx x π 2 6 4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
2 1 4.1 Ví dụ 6: Tính tích phân I = 2 dx 1 x − 4x + 5 4.1.1 Học sinh đã trình bày như sau: 2 1 2 1 2 π π I = � 2 dx = � 2 dx = arctan(x − 2) = 0 + = 1 x − 4x + 5 1 (x − 2) + 1 1 4 4 4.1.2 Phân tích sai lầm: 1 Học sinh dùng công thức dx = arctan x + C , không có trong SGK 2 x +1 hiện hành. Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này 1 nữa. Vì vậy khi tính tích phân đối với hàm số dạng y = ta (x − x 0 ) 2 + a 2 dùng phương pháp đổi biến số đặt đặt: x x0 = a tant hoặc x x0 = a cot t. 1 Còn tích phân của hàm số dạng y = thì đặt x x0 = a sint a 2 − (x − x 0 )2 hoặc x x0 = acost. 4.1.3 Lời giải đúng : Đặt x 2= tant dx= 1+ tan2t dt π x =1� t = − Đổi cận: 4 x =2�t =0 0 01 + tan 2 t 0 π Khi đó : I= � 2 dt = �dt = t = π tan t + 1 π − π 4 − − 4 4 4 4.2 Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân sau: 0 dx 1. I = 2. I = 8 x 2 − 16 2 dx −1 x + 2x + 2 4 x 1 1 2x 3 + 2x + 3 3. I = dx 4. I = 3 x3 x2 + 1 dx 0 0 1 − x8 5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số. 6 3 + 2x 5.1 Ví dụ 7 : Tính tích phân I = dx 2 1 + 4x 5.1.1 Học sinh đã trình bày như sau: udu Đặt u = 1 + 4x � u 2 = 1 + 4x � dx = 2 6 u 2 + 5 5u u 3 6 I= du = ( + ) = 67 2 4 4 12 2 3 5.1.2 Phân tích sai lầm : Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận. 5.1.3 Lời giải đúng: udu Đặt u = 1 + 4x � u 2 = 1 + 4x � dx = 2 x =2�u =3 Đổi cận: x =6�u =5 5 u 2 + 5 5u u 3 5 Khi đó: I = du = ( + ) = 32 3 4 4 12 3 3 1 5.2 Ví dụ 8: Tính tích phân I = 4 x3 dx 0 1 x2 5.2.1 Học sinh đã trình bày như sau : Đặt x= sint dx= costdt
x =0�t =0 Đổi cận : 1 1 x = � t = arcsin 4 4 1 1 arcsin arcsin 1 Khi đó : I = 4 3 4 2 cos3t arcsin 4 � sin t dt = � (cos t − 1)d(cost) = ( − cost) 0 0 3 0 Học sinh lúng túng không tính ra được kết quả vì số lẻ. 5.2.2 Phân tích sai lầm: Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a 2 x 2 học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint hoặc x = acost. Nhưng trong trường hợp này học 1 sinh gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = không tìm được chính xác 4 giá trị của t. Do đó giáo viên cần lưu ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa a 2 − x 2 thì thường đặt x = asint (x = acost) hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2+ x2 thì đặt x = atant (x = atant) nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. Chẳng hạn với bài toán này thì ta có thể đổi biến số theo cách đặt thông thường bằng cách đặt u = a 2 − x 2 . 5.2.3 Lời giải đúng: Đặt u = 1 − x 2 u2 = 1 x2 xdx= udu x = 0 � u =1 Đổi cận : 1 15 x= �u = 4 4 15 15 Khi đó: I = 4 2 u3 2 33 15 (u − 1)du = ( − u) 4 = − 1 3 3 192 1
dx 5.3 Ví dụ 8: Tính tích phân: I = 0 1 sin x x 2dt Học sinh đã trình bày như sau: Đặt t = tan thì dx = ; 2 1 + t2 1 1 + t2 = 1 + sinx (1 + t) 2 dx 2dt −2 2 � =� = 2(t � + 1) d(t + 1) = − +C 1 + sinx (1 + t) 2 t +1 π dx −2 π −2 −2 = = − I = 0 1 + sinx x x tan + 1 0 tan + 1 tan 0 + 1 2 2 π Do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại. 2 5.3.2 Phân tích sai lầm: x x Đặt t = tan , x [0; ] . Tại x = thì tan không có nghĩa. Diáo viên 2 2 cần lưu ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số thì khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]. 5.3.3 Lời giải đúng: x π π π d( − ) π I=� dx =� dx =� 2 4 = tan( x − π ) π 0 1 + sinx 0 1 + cos(x + π ) 0 cos 2 ( x − π ) 2 4 0 2 2 4 π π = tan − tan(− ) = 2 . 4 4 * Chú ý đối với học sinh: 5.4 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân: 7 x3 2 dx 1. I = dx 2. I = 0 1 + x2 1x x2 + 1
π dx π dx 3. 4. 0 sinx 0 1 + cosx 6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần. 2 6.1 Ví dụ 9: Tính tích phân I = x sin xdx 0 6.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : �u=x �u' =1 Đặt � � �v' = sinx �v = −cosx π π 2 Khi đó I = − x cos x 2 + cosx dx = 1 0 0 6.1.2 Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong công thức lấy tích phân từng phần. 6.1.3 Lời giải đúng: �u=x �du = dx Đặt � � dv = sinxdx � �v = −cosx π π 2 Khi đó: I = − x cos x 2 + cosx dx = 1 0 0 6.2 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau: e ln x e 2 1. 2 dx 2. x ln xdx 1 x 1 π ln 3 2 3. x sin 2xdx 3. xe−3x dx 0 0 7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.
7.1 Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 – 1; x = 2; trục Ox và trục Oy. 7.1.1 Học sinh đã trình bày như sau 2 2 x3 2 2 S = (x − 1)dx = ( − x) = (đvdt) 0 3 0 3 7.1.2 Nguyên nhân của sai lầm : Công thức tính diện tích giới hạn bởi hàm số y = f(x), trục hoành và hai b đường thẳng x = a ; x = b là: S = | f (x) | dx . Do đó, khi tính S phải xét dấu a f(x) trên [a ;b] để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 7.1.3 Lời giải đúng : 2 1 2 x3 2 x3 2 (x 2 − 1)dx = � S= � (1 − x 2 )dx + � (x 2 − 1)dx = (x − ) + ( − x) = 2 (đvdt) 0 0 1 3 0 3 0 7.2 Bài tập áp dụng: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1. x = 0; x = 1 ; y = 0 ; y = 5x4 + 3x2 + 3 2. x = 0 ; x = ; y = cosx ; y = sinx. 3. y = x3 – x ; y = x – x2. 4. y = x3 ; y = x5. 8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích . 8.1 Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x ; y = x – 6 và trục hoành. 8.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x=4 x = 6 − x � x = (6 − x) 2 � x 2 − 13x + 36 = 0 � x =9
9 9 2 3 1 2 9 | x + x − 6 | dx = � Khi đó S = � ( x + x − 6)dx = ( x + x − 6x) 4 4 3 2 4 91 = (đvdt) 4 C A O 4 6 9 B 8.1.2 Phân tích sai lầm: Phép biến đổi x = 6 x = (6 – x)2 là không tương đương. Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x ; y = x – 6 (miền AOB). Trong khi miền cần tính là miền AOC. 8.1.3 Lời giải đúng : Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị : 6−x 0 + x = 6 − x �� x = 4 x = (x − 6)2 + x = 0 � x = 0 + 6 – x = 0 x = 6 Khi đó: 4 6 2 3 4 x 2 6 22 S= � xdx + � (6 − x)dx = x + (6x − ) = (đvdt) 0 4 3 0 2 4 3
8.2 Bài tập áp dụng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: 1. y = x2 ; y = 3x + 10 ; y = 1 (miền x>0) 2. y = x2 + 1; y = 2 |2x + 2| 9. Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay. 9.1 Ví dụ 12: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 quay quanh trục Oy. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. 9.1.1 Học sinh đã trình bày như sau : Ta có : y= lnx x = ey 2 2y e2y 2 π � VOy = π e dy = π = (e 4 − e 2 ) (đvtt) 1 2 1 2 9.1.2 Nguyên nhân của sai lầm: Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d 2 + Trong công thức � VOy = π x dy thì cận là các giá trị của biến y. Trong c bài này học sinh chưa đổi cận. + Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do đường cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0; ln2]. 9.1.3 Lời giải đúng: Ta có : y = lnx x = ey x =1� y = 0 Đổi cận : x = 2 � y = ln 2 ln 2 e2y ln 2 π 3 � VOy = π (22 − e2y )dy = π(4y − ) = (4ln 2 − ) (đvtt) 0 2 0 2 2 y