Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán cho học sinh thông qua chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm vào giải toán thực tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích tổng quát của đề tài "Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán cho học sinh thông qua chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm vào giải toán thực tế" là thiết kế nội dung và giải pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn thông qua bài bài toán về mối quan hệ ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm; ứng dụng đạo hàm vào giải quyết các bài toán kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán cho học sinh thông qua chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm vào giải toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN  SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Đề tài: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ: “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI TOÁN THỰC TẾ” Lĩnh vực: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CỬA LÒ  SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Đề tài: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ: “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI TOÁN THỰC TẾ” Lĩnh vực: TOÁN HỌC Tác giả: Phạm Thị Mai Hiên Điện thoại: 0985614458 Năm thực hiện: 2022-2023. Tổ: Toán - Tin.
MỤC LỤC TT NỘI DUNG Trang Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ 4 1 Lý do chọn đề tài. 4 2 Mục đích nghiên cứu. 5 3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu. 6 4 Giả thuyết khoa học. 6 5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu. 7 6 Phương pháp nghiên cứu. 7 7 Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài. 8 8 Đóng góp mới của đề tài. 8 Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 9 Chƣơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn. 9 1 Cơ sở lý luận. 9 2 Cơ sở thực tiễn. 12 3 Kết luận chương 1. 24 Chƣơng 2 Biện pháp nghiên cứu. 25 1 Định hướng nghiên cứu. 25 2 Các biện pháp. 25 2.1 Biện pháp 1. 25 2.2 Biện pháp 2. 27 2.3 Biện pháp 3. 42 2.4 Biện pháp 4. 56 3 Mối quan hệ giữa các biện pháp đề xuất. 60 4 Kết luận chương 2. 60 Phần III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 61 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp. 66 Phần IV KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 PHỤ LỤC 77
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: Một đòi hỏi mang tính nguyên tắc của nền giáo dục nước ta là “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn”. Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển. Theo Đỗ Đức Thái (2018), chủ biên chương trình môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới 2018, môn Toán sẽ không thay đổi nhiều về mặt kiến thức nhưng số lượng lý thuyết giảm đi đáng kể ở một số phần. Chú trọng nhất vào khả năng hiểu và tiếp cận toán học, hay còn gọi là hình thành năng lực tư duy toán học cho học sinh thay vì ghi nhớ, lắt léo và chỉ phục vụ thi cử. Chuyển từ dạy theo hướng truyền tải nội dung sang dạy học giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực toán học. Cụ thể, các thầy cô giáo phải biết cách biến bài học lý thuyết thành một chuỗi hoạt động trong các tiết học giúp học sinh hiểu bản chất một cách đơn giản nhất nhờ vào các ví dụ thực tiễn đời sống và học tập thực chất không đơn giản chỉ là ghi – chép và ghi – nhớ. Năm thành phần cốt lõi của năng lực toán học mà giáo viên cần xây dựng cho học sinh là: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Dạy học theo hướng ứng dụng toán học vào thực tiễn. Đây là điểm mà sách giáo khoa hiện hành và giáo viên ít nghĩ tới. Ví dụ ở bậc THPT mỗi lớp sẽ có 35 tiết chuyên đề tự chọn/năm nhằm giới thiệu cho học sinh về đồ họa, kỹ thuật, bản vẽ cơ bản, tài chính, lãi suất, tín dụng… giúp người học tăng cường hiểu biết, mở rộng tư duy và kích thích vận dụng toán học. Từ đó, học sinh sẽ thích thú với môn Toán vì thấy gần gũi và phục vụ được chính cuộc sống của các em. Cách dạy học mới này thực chất chỉ là mô hình hóa các nội dung bài học, nhưng để làm được điều này, đòi hỏi năng lực của người giáo viên phải giúp cho các em hiểu được bản chất của các định lý, định luật; sau đó sử dụng để giải quyết vấn đề thực tiễn rồi lại đem kết quả thu được để quay lại kiểm chứng lý thuyết là có ý nghĩa trong đời sống. Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề Toán học 4
gắn vào thực tiễn. Tuy nhiên đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học. Đối với kiến thức về đạo hàm, tôi nhận thấy khía cạnh ý nghĩa hình học, vật lý, giải tích của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong thực tế chưa được chú ý đúng mức. Thật vậy, nhiều học sinh chỉ ghi nhớ một cách máy móc các công thức và quy tắc tính đạo hàm mà không hiểu bản chất, ý nghĩa của đạo hàm trong các ngữ cảnh khác nhau. Do đó khi cần công cụ đạo hàm để giải quyết những vấn đề liên quan đến ý nghĩa vật lý, ý nghĩa hình học hay ý nghĩa giải tích, đặc biệt trong việc vận dụng đạo hàm vào các vấn đề liên môn thì học sinh và kể cả giáo viên cũng gặp nhiều khó khăn (Trần Văn Thương ( 2019)). Đặc biệt, ứng dụng của khái niệm đạo hàm trong các bài toán thực tế, chẳng hạn như : Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số; Chứng minh bất đẳng thức; Tính diện tích hình đa diện hình trụ, hình nón; Các bài toán thực tiễn rất gần gũi với cuộc sống... Tuy vậy, chương trình toán bậc trung học phổ thông hiện hành chỉ đề cập đến ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, hầu như không có bất kỳ ứng dụng nào của đạo hàm trong thực tế được đề cập. Chương trình môn toán phổ thông mới năm 2018 của Việt Nam đã bổ sung khía cạnh này, bằng cách nhấn mạnh ý nghĩa của đạo hàm trong các vấn đề kinh tế và sản xuất kinh doanh. Vì vậy việc đánh giá, phát triển kiến thức và vận dụng vào phát triển năng lực của học sinh để dạy học ý nghĩa của đạo hàm là vấn đề cần thiết, khoa học và có ý nghĩa thực tiễn, góp phần chuẩn bị cho việc triển khai chương trình môn toán phổ thông mới. Chính vì những lý do đó mà tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này, với đề tài: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ: “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI TOÁN THỰC TẾ” Trong đề tài này tôi không tham vọng nêu ra tất cả các giải pháp áp dụng đạo hàm vào tất cả các lĩnh vực, mà tôi đưa ra một số thực nghiệm thể hiện được ứng dụng của đạo hàm vào các bài toán hình học, vật lý và bài toán kinh tế. Đồng thời đưa ra các tình huống nhằm đánh giá kỹ năng ghi nhận, lý giải của học sinh. Với mong muốn góp phần tạo hứng thú cho học sinh đồng thời phát triển phương pháp dạy học toán đạt hiệu quả cao hơn qua các bài giảng. 2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích tổng quát của đề tài là thiết kế nội dung và giải pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn thông qua bài 5
bài toán về mối quan hệ ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm; ứng dụng đạo hàm vào giải quyết các bài toán kinh tế. Cụ thể hơn, nghiên cứu này hướng đến: Mục đích 1: Đặc trưng các kiểu kiến thức toán để dạy học ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm, đặc biệt là kiến thức nội dung đặc thù, kiến thức về việc học của học sinh. Mục đích 2: Đánh giá kỹ năng ghi nhận, lý giải, ra quyết định trong tình huống của học sinh thông qua phân tích bài học. Mục đích 3: Đánh giá tính phù hợp, phân loại các kiểu kiến thức của học sinh để dạy học đúng đối tượng học sinh. Mục đích 4: Đưa ra những đề xuất có cơ sở khoa học đối với việc đổi mới nội dung dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu. 3.1. Khách thể nghiên cứu. Tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng là học sinh trường THPT Cửa Lò năm học 2021-2022 và 2022-2023. Các học sinh này đã được học đầy đủ về kiến thức đạo hàm ở lớp 11. Với 15% học sinh giỏi; 35% học sinh khá; và 50% học sinh trung bình. Thực Thực Thực nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 3 Thời gian (năm học) 2021-2022 2021-2022 2022-2023 Số lượng D2.2 15 15 10 người tham gia D3.2 15 15 10 Tổng 30 30 20 3.2. Đối tƣợng nghiên cứu.  Đánh giá năng lực vận dụng đạo hàm vào thực tiễn của học sinh.  Hình thành và phát triển năng lực toán học vào thực tiễn cho học sinh. 4. Giả thuyết khoa học. Với nội dung đạo hàm nếu giáo viên quan tâm đến việc khai thác nội dung kiến thức và xây dựng, sử dụng hệ thống câu hỏi, bài tập có nội dung thực tiễn một 6
cách hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh và thực hiện mục tiêu giáo dục môn toán ở trường THPT. 5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu. 5.1 Nhiệm vụ nghiên cứu.  Nghiên cứu một số vấn đề cơ sở lý luận về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.  Tìm hiểu thực tế dạy học đạo hàm và thực trạng hình thành và phát triển năng lực vận dụng đạo hàm vào thực tiễn.  Xây dựng nội dung và giải pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.  Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá sự cấp thiết, tính khả thi của các giải pháp sư phạm đã đề xuất. 5.2. Phạm vi nghiên cứu. - Về nội dung: Phạm vi nghiên cứu là vận dụng đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn, áp dụng cho học sinh 11 sau khi đã được trang bị đầy đủ kiến thức về đạo hàm và học sinh 12. - Về địa điểm: Trường THPT Cửa Lò. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu. Các phân tích trên giúp tôi định vị cách nhìn khoa học đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây: Câu hỏi 1: Đặc trưng các kiểu kiến thức để học ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm của học sinh, đặc biệt là kiến thức nội dung đặc thù, kiến thức về việc học của học sinh được thể hiện như thế nào? Câu hỏi 2: Đặc trưng các kiểu kiến thức để dạy học ý nghĩa của đạo hàm trong thực tế của học sinh, đặc biệt là kiến thức nội dung đặc thù, kiến thức về việc học của học sinh được thể hiện như thế nào? Câu hỏi 3: Kỹ năng tri nhận, lý giải, ra quyết định trong tình huống dạy học của học sinh được thể hiện như thế nào thông qua phân tích bài học? Câu hỏi 4: Ảnh hưởng của kiến thức nội dung và kiến thức của HS đến kỹ năng tri nhận, lý giải, ra quyết định trong tình huống của học sinh được thể hiện như thế nào? 7
Câu hỏi 5: Từ các kết quả nghiên cứu của đề tài, có thể đưa ra những đề xuất như thế nào để đổi mới nội dung phù hợp với từng đối tượng học sinh. Mỗi học sinh tham gia có 2 giờ đồng hồ để hoàn thành các câu hỏi trong Bảng hỏi. Các học sinh hoàn toàn có quyền tham khảo các tài liệu trong lúc trả lời. Sau khi thu phiếu, tôi tiến hành mã hóa và nhập dữ liệu. Ngoài ra tôi cũng tiến hành phỏng vấn bán cấu trúc hướng đến làm rõ câu trả lời và thăm dò suy nghĩ của các học sinh bao gồm các câu hỏi theo mẫu có sẵn và những câu hỏi không theo mẫu. Câu hỏi theo mẫu đại diện cho những chủ đề phổ biến trong bảng hỏi và câu hỏi không theo mẫu dựa trên các câu trả lời đặc biệt của học sinh nhằm làm rõ các câu trả lời còn mơ hồ hoặc nhấn mạnh vào một chiến lược quan trọng nào đó. 7. Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài.  Tình huống thực tiễn được cụ thể hóa qua các bài toán phù hợp với trình độ học sinh.  Học sinh tìm cách giải bài toán, xử lý các tình huống mà giáo viên đưa ra. Từ đó giáo viên đưa ra điều chỉnh phù hợp với từng đối tượng học sinh.  Đưa ra khung bài học để đánh giá năng lực của học sinh kết hợp hai khía cạnh: nhận thức và tình huống thực tế. 8. Đóng góp mới của đề tài.  Phát triển cho học sinh năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.  Nghiên cứu đã đóng góp một bằng chứng thực nghiệm cho sự quan trọng và hữu ích của việc áp dụng kiến thức toán vào thực tiễn.  Nghiên cứu đã đề xuất ra một số phương pháp đổi mới trong dạy học, bằng cách chú trọng nhiều hơn vào các kiểu kiến thức để dạy học và kỹ năng đặc thù trong tình huống dạy học. 8
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. I. Cơ sở lý luận: 1.1. Kiến thức về đạo hàm. 1.1.1. Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x  (a, b) . Giới hạn nếu có, của 0 tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x . Khi số gia của biến số dần 0 về 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x . 0 y f(x  Δx)  f(x 0 ) KH: y ' ( x ) hay f ' ( x ) : y’(xo) = x 0 lim lim hay f (x 0 ) = óm0 0 0 0 x Δx 1.1.2. Đạo hàm một bên: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thuộc TXĐ  Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại x0 , ký hiệu là f ( x0 ) ,được định nghĩa là: y f ( x0 )   lim x0  x  Đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x0 , được ký hiệu là f ( x0 ) ,được định nghĩa là: y f (x  )  0 lim x0  x 1.1.3. Đạo hàm trên một khoảng, trên một đoạn:  Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.  Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn a; b nếu có đạo hàm trên đoạn (a,b) và có đạo hàm bên phải tại a, có đạo hàm bên trái tại b. 1.1.4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x 0 và (C) là đồ thị của hàm số. Định lý 1: Đạo hàm f  (x) của hàm số f(x) tại x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M 0 ( x 0 ,f(x 0 )). Định lý 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) là: y  y 0  f (x 0 ).(x  x 0 ) 1.1.5. Các quy tắc tính đạo hàm: Định lý 1: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và: ( u  v)  u  v ( u  v)  u  v 9
Định lý 2: Nếu u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm tại x thì tích của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và: (uv)  uv  uv u Định lý 3: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x và v  0 thì thương cũng có v đạo hàm tại x và :  u uv  uv     v v2 1.1.6. Tính đơn điệu của hàm số: Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). 1) Nếu f (x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. 2) Nếu f (x) < 0 với mọi x(a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. 1.2. Ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý. 1.2.1. Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó hay nói cách khác đạo hàm của hàm số phản ánh độ dốc của đồ thị hàm số tại điểm đó. Cụ thể, ta có định lý sau được phát biểu trong SGK lớp 11: Định lý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và có đạo hàm tại x  (a, b) . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó, khi đó đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) . Từ định lý này chúng ta có thể viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước. 1.2.2. Ý nghĩa vật lý: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm được thể hiện trong SGK toán 11 qua hai bài toán: Vận tốc tức thời và cường độ tức thời, được giới thiệu ngay từ đầu bài học. a) Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số tại t0 : v(t )  s' (t ) . 0 0 b) Cƣờng độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q = Q(t) (trong đó Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại t0 : I (t )  Q' (t ). 0 0 10
1.3. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế: a) Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế: Xét mô hình hàm số: y = f(x) trong đó x và y là các biến số kinh tế (ta coi biến độc lập x là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một điểm x 0 khi biến phụ thuộc x thay đổi một lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm: y f(x 0  Δx)  f(x 0 ) lim y’(xo) = x 0 lim hay f (x 0 ) = óm0 x Δx Khi có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có: y f ( x0  x)  f ( x0 )   f '(x ) x x 0  y  f ( x  x)  f ( x )  f ' ( x )x 0 0 0 Khi x  1, ta có y  f ' ( x0 ) . Như vậy, đạo hàm f ' ( x0 ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng thêm một đơn vị. Khi xét mô hình y = f(x) biểu diễn ảnh hưởng của biến số kinh tế x đối với biến cố kinh tế y, các nhà kinh tế gọi f ' ( x0 ) là giá trị y - cận biên của x tại điểm x . 0 Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có các tên gọi cụ thể khác nhau; đối với mô hình hàm sản xuất, giá trị cận biên được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động; đối với mô hình hàm doanh thu, giá trị cận biên được gọi là doanh thu cận biên; đối với mô hình hàm chi phí, giá trị cận biên được gọi là chi phí cận biên; đối với hàm tiêu dùng, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên; đối với hàm tiết kiệm, được gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên. Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi xét mô hình hàm chi phí. b) Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên: Trong kinh tế, người ta dùng hàm chi phí biểu diễn tổng chi phí TC ở mỗi mức sản lượng Q: TC = TC(Q). Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là TC (Q) lượng chi phí tính bình quân trên 1 đơn vị sản phẩm: AC  . Q Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí cận biên là đạo hàm của hàm tổng chi phí: MC  TC ' (Q) . 11
Ta có: TC '  TC  (TC )' Q  TC (TC )' Q MC  AC AC ' (Q)        Q  Q 2 Q Q Do Q > 0 nên dấu của AC ' (Q ) cùng dấu với MC - AC. Từ đây suy ra:  Nếu MC > AC thì AC ' (Q)  0 , tức là chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng.  Nếu MC < AC thì AC ' (Q)  0 , tức là chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm.  MC = AC khi và chỉ khi AC ' (Q)  0 , tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí bình quân bằng chi phí cận biên. II. Cơ sở thực tiễn: 2.1.Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn: Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn được đúc kết qua khả năng thực hiện các hoạt động vận dụng toán học và có thể rèn luyện được nhờ sự bền bỉ trong hoạt động của người làm toán. Như vậy vận dụng toán học vào thực tiễn là những hoạt động rất cần thiết trong đời sống. Xem xét cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là một vấn đề phức tạp. Vấn đề này được trình bày trên cơ sở quan điểm của lý thuyết thông tin để thấy được một số biểu hiện của người có khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn, như là:  Khả năng thu, nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn.  Khả năng ước lượng trong xử lý thông tin toán học từ tình huống thực tiễn.  Khả năng chuyển đổi thông tin giữa toán học và thực tiễn.  Khả năng áp dụng các mô hình toán học vào tình huống thực tiễn.  Khả năng vận dụng tri thức của các môn Toán cơ bản để giải các mô hình toán học của tình huống thực tiễn.  Khả năng thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn.  Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tiễn. Từ những phân tích trên, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là khả năng giải thích những vấn đề, hiện tượng trong toán học có liên quan đến thực tiễn, giải quyết các vấn đề trong thực tiễn và các bài toán do thực tiễn đặt ra. 12
2.2. Quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn. Mô hình (b2) toán học (b1) Tình huống Bài toán (b3) thực tiễn thực tiễn (b5) Lời giải bài (b4) toán Sơ đồ quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn Trong dạy học ở THPT hiện nay, hầu như học sinh chỉ rèn luyện vận dụng toán học trong các tình huống thực tiễn dưới dạng đã được phát biểu sẵn thành một bài toán thực tiễn. Như vậy, mặc dù vẫn được coi là rèn luyện kỹ năng Toán học hóa tình huống thực tiễn, nhưng thực chất chỉ là rèn luyện từ bước 2. 2.3. Một số biểu hiện của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ở trƣờng THPT.  Hiểu được bản chất của các kiến thức toán học, hiểu được sự biểu hiện, ý nghĩa thực tiễn của các kiến thức toán học trong chương trình.  Có khả năng phát hiện, xác định, tìm hiểu, phân tích và chuyển hóa các tình huống thực tiễn thành các tình huống toán học và ngược lại.  Đưa ra kế hoạch và các giải pháp, từ đó chọn giải pháp phù hợp để gải quyết tình huống thực tiễn. Để học sinh hiểu được các cách vận dụng toán học vào thực tiễn, cần cho học sinh hiểu được bản chất của đạo hàm là gì; những khái niệm khác nhau của đạo hàm và ý nghĩa của chúng. Đó là những khái niệm cơ bản nhưng học sinh thiếu sót. 2.4. Một số nét về việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trƣờng phổ thông hiện này. a) Đối với giáo viên: Để làm sáng tỏ hơn thực trạng việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông hiện nay tôi thiết kế phiếu điều tra và tổng hợp ý kiến từ 82 giáo viên toán ở 4 trường (THPT Cửa Lò, THPT Cửa Lò 2, THPT Nghi Lộc 3, THPT Nghi lộc 4) và thu được kết quả như sau: Câu 1: Theo thầy (cô) việc tăng cƣờng các yếu tố vận dụng Toán học vào thực tiễn ở mức độ nào dƣới đây? a) ất cần thiết. 13
b) ần thiết. c) ần thiết. Biểu đồ 1.1: Vai trò việc vận dụng toán học vào thực tiễn. Câu 2: Theo thầy (cô) việc ứng dụng kiến thức đạo hàm vào thực tiễn ở mức độ nào? ất cần thiết. ần thiết. ần thiết. Biểu đồ 1.2: Sự cần thiết về việc giới thiệu ứng dụng thực tiễn của kiến thức đạo hàm. Câu 3: Trong khi dạy học, thầy (cô) có thƣờng xuyên đƣa ra những ví dụ, những tình huống thực tiễn hay bài toán thực tiễn áp dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết không? a) giờ. b) thoảng. c) xuyên. 14
Biểu đồ 1.3: Mức độ đƣa ra các tình huống thực tiễn trong quy trình dạy học. Câu 4: Tại trƣờng các thầy (cô) đang công tác, việc tổ chức các hoạt động ngoại khóa toàn trƣờng; tổ chức nói chuyện chuyên đề về các chủ đề kiến thức môn Toán ở mức độ nào dƣới đây? a) xuyên. b) thoảng. c) giờ.. Biểu đồ 1.4: Mức độ tổ chức các buổi hoạt động ngoại khóa về kiến thức Toán học. Câu 5: Khi học sinh đặt ra các câu hỏi liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tiễn; ứng dụng toán học đến các môn khác; hoặc nội dung thầy (cô) đang dạy có ứng dụng gì. Thầy cô sẽ phản ứng ra sao? a) Lờ đi, không nhắc gì đến việc giải thích, yêu cầu học sinh tự tìm hiểu. b) tượng HS khó có thể hiểu. Hoặc cho rằng việc này mất thời gian của lớp, không 15
liên quan đến bài học. c) của nội dung này. d) ứng dụng của Toán học. Từ đó sẽ nhiệt tình giới thiệu về nguồn gốc thực tiễn của nội dung. Biểu đồ 1.5: Phản ứng của giáo viên khi học sinh hỏi về các vấn đề liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tiễn. Câu 6: Trong giảng dạy thầy (cô) có thƣờng xuyên gợi động cơ mở đầu hay gợi động cơ kết thúc xuất phát từ thực tiễn hay không? a) xuyên. b) thoảng. c) giờ. Biểu đồ 1.6: Mức độ gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ kết thúc từ thực tiễn của giáo viên khi dạy học. 16
Câu 7: Thầy (cô) có sử dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết tình huống thực tiễn trong các bài toán liên môn hay không? Thường xuyên. Đã từng. giờ. Biểu đồ 1.7: Mức độ vận dụng kiến thức đạo hàm cho các bài toán liên môn. Câu 8: Khi ra kiểm tra, đánh giá. Thầy (cô) có thƣờng xuyên đƣa ra các dạng câu hỏi có nội dung thực tiễn vào đề kiểm tra hay không? a) luôn. b) thoảng. c) khi. d) giờ. Biểu đồ 1.8: Tần suất đƣa ra các nội dung ứng dụng thực tiễn vào việc kiểm tra, đánh giá. 17
Thông qua số liệu thống kê ở trên cho thấy, phần đa giáo viên dạy môn Toán trong trường THPT hiện nay đã nhận thức được việc dạy học tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh là rất cần thiết. Điều này cho thấy giáo viên phổ thông hiện nay đều có sự quan tâm đến vấn đề vận dụng toán học vào thực tiễn, nhưng đa phần giáo viên chưa thực hiện lồng ghép toán học vào thực tiễn, vì khi dạy vẫn còn phục vụ thi cử; do giáo viên còn nặng về việc dạy lý thuyết thuần túy SGK, ít quan tâm đến sự liên hệ giữa kiến thức toán với thực tiễn. Mặt khác giáo viên còn hạn chế về năng lực cũng như chưa quan tâm nhiều đến các vấn đề thực tế. Việc sử dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết tình huống thực tiễn trong các bài toán được ít giáo viên quan tâm đến. Đa số giáo viên chỉ thỉnh thoảng hoặc chưa bao giờ thực hiện. Qua đó, tỷ lệ giáo viên đã thực hiện các định hướng tăng cường vận dụng kiến thức toán ở trường phổ thông còn thấp mặc dù có ý thức được rằng việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng toán vào tực tiễn là rất cần thiết trong giai đoạn hiện nay. b) Đối với học sinh: Ở khía cạnh người học, tôi tiến hành điều tra bằng phiếu hỏi với 202 học sinh lớp 12 ở trường THPT Cửa Lò để làm rõ hơn những khó khăn, thuận lợi của các em khi học tập nội dung đạo hàm. Cụ thể tập trung vào một số vấn đề chính sau: Câu 1: Theo em, việc học Toán ở trƣờng THPT hiện nay có cần tăng cƣờng hơn nữa các yếu tố vận dụng Toán học vào thực tiễn hay không? a) thiết. b) thiết. c) thiết. Biểu đồ 1.9: Sự cần thiết tăng cƣờng các yếu tố vận dụng Toán học vào thực tiễn. 18
Câu 2: Theo em, việc tìm hiểu về ứng dụng thực tiễn liên quan đến nội dung đạo hàm nói riêng và môn Toán nói chung là: Cần thiết. cần thiết. thiết. Biểu đồ 1.10: Sự cần thiết của nội dung ứng dụng đạo hàm. Câu 3: Khi đƣợc học nội dung ứng dụng đạo hàm, các thầy (cô) có hƣớng dẫn, thiết kế các bài toán liên quan đến vấn đề thực tiễn hay không? Nếu có thì các thầy (cô) trình bày nhƣ thế nào? a) hút cao HS chú ý. Bài toán đem lại ý nghĩa thiết thực. b) Bài toán chưa thực sự đưa ra kết luận có ý nghĩa. c) tế. Các ví dụ khá sơ sài và thiếu thực tế. d) giờ. Biểu đồ 1.11: Mức độ nhiệt tình của giáo viên khi dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm. 19
Câu 4: Khi học nội dung đạo hàm - ứng dụng đạo hàm. Các em thƣờng làm các công việc sau đây hay không? - Sử dụng trí nhớ kiểm tra lại các kiến thức đã học để có thể vận dụng vào nội dung cần giải quyết. - Trao đổi nhóm với bạn bè hoặc nhờ sự định hướng của giáo viên. - Liên hệ ngay nội dung cần giải quyết đến những mô hình trong thực tế để kiểm nghiệm. - Đề xuất hướng giải quyết hoặc khắc sâu nội dung đã giải quyết được để sử dụng cho các lần tiếp theo. Hoặc áp dụng nó vào các vấn đề liên môn. - Chỉnh sửa nội dung nghiên cứu cho phù hợp. Lập báo cáo kết quả tìm được. a) xuyên. b) thoảng. c) giờ. Biểu đồ 1.12: Khả năng tìm hiểu của học sinh về ứng dụng thực tiễn của nội dung đạo hàm - ứng dụng đạo hàm. Câu 5: Khi đƣợc học nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm. Em thấy thầy (cô) thƣờng xuyên làm các công việc sau hay không? - Nhắc lại về nội dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm. - Đưa ra các bài toán, tình huống thực tiễn liên quan nội dung bài học. - Sử dụng phiếu học tập, chia nhóm để thảo luận. - GV và HS cùng nhau trao đổi, thảo luận về nội dung bài học. - Sử dụng các công cụ hỗ trợ giảng dạy hiện đại, trực quan giúp HS hiểu sâu và tường minh các vấn đề. - Củng cố và nêu ra ý nghĩa của bài học. 20