zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT THPT: Trung học phổ thông HSG: Học sinh giỏi BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi SK: Sáng kiến SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách bài tập BT: Bài tập NC: Nâng cao CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát. CSC: Cấp số cộng CSN: Cấp số nhân CMR: Chứng minh rằng CM: Chứng minh BĐT: Bất đẳng thức Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 1
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: “Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi” I. LỜI GIỚI THIỆU: Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế. Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và hoàn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”. II. TÊN SÁNG KIẾN: Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: - Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan - Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái - Số điện thoại: 0978 205 898 - Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn IV. CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 2
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi - Đại số & giải tích 11. VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018 VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:  GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.  NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây: A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTSHTQ của dãy số. B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp. C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass. A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ: 1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ un của dãy số. 2. Phƣơng pháp: Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un Bước 2: Tính giới hạn của dãy số  un  bằng cách tính lim un  ? Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 3
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 3. Một số ví dụ: Ví dụ 1: u1  3  Tính giới hạn của dãy số  un  cho bởi:  un1  1  un ; n  1 2  Phân tích: Ta nhận thấy: u1  3  9  1  8 ; u2  10  2  8 ; u3  11  3  8 ; u4  12  4  8 ; u5  13  5  8  Dự đoán: un  n  8 Lời giải: * Chứng minh un  n  8 (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp). * Tính giới hạn của dãy số  un  : Ta có: lim un = lim n  8   Ví dụ 2: u1  1 Tính giới hạn của dãy số  un  cho bởi:  un1  un  3; n  1 Phân tích: Nhận thấy: un1  un  3; n  1 nên dãy số  un  là một CSC  un  ? Lời giải: u1  1 * Do  nên dãy số  un  là một CSC có số hạng đầu u1  1 và công un1  un  3; n  1 sai d = 3, do đó dãy số  un  có CTSHTQ là un  u1   n  1 d  un  3n  4 * Tính giới hạn của dãy số  un  : Ta có: lim un = lim  3n  4    Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 4
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007) u1  10  Cho dãy số  un  xác định bởi:  1 un1  5 un  3, n  1 15 a) CMR dãy số  vn  xác định bởi vn  un  là một CSN 4 b) Tính lim un Phân tích: - Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm lim un thì bài toán trở nên rất khó và lạ đối với học sinh. - Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số  un  nhờ vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để tính lim un . - Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt: 15 vn  un  để chứng minh dãy  vn  là một CSN? 4 Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy  vn  xác định bởi công 15 1 thức vn  un  là một CSN, với un1  un  3 (1), ta cần tìm số b sao cho 4 5 1 1 1 15 un1  b  (un  b)  un1  b  b  un (2). Từ (1) và (2) suy ra: b  . 5 5 5 4 15 1 Do vậy, nếu đặt vn  un  thì vn1  vn , n  1 nên  vn  là một CSN 4 5 u1  A - HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự:  ,  n1 u  B.u n  C , n  1 với A, B, C là các số thực. Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 5
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Ngoài ra, có thể đặt vn  5n.un , n  1 , khi đó ta có vn1  vn  3.5n1 , n  1 . Suy ra n 3 15 v 15 5n  1 35 1  1  15 vn  (5n  1)  35  un  nn  . n  n     4 5 4 5 5 45 4 Lời giải: 15 1 15 1 15 3 1 a) Thật vậy, ta có: vn1  un1   un  3   (vn  )   vn . 4 5 4 5 4 4 5 1 15 25 Vậy  vn  là một CSN có công bội q  và có số hạng đầu v1  u1   . 5 4 4 n 1 n 3 n 1 25  1  1 1 Do đó vn  v1.q  .   .  4 5 4 5 n 3 15 1  1  15 b) Từ câu a) suy ra un  vn   .   . 4 4 5 4  15   1  1 n2 15  15 Do đó lim un  lim  vn    lim  .     .  4  4  5  4  4 Ví dụ 4: u1  2 Tính giới hạn của dãy số  un  xác định bởi:  un1  2un  1; n  1 Phân tích: u1  2 - Ta nhận thấy: Dãy số  un  xác định bởi:  có dạng:  n1 u  2u n  1; n  1 u1  A  , với A, B, C  nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS  n1 u  B.u n  C , n  1 có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 6
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Có: un1  2un  1 (1), ta cần tìm số b để un1  b  2(un  b)  un1  2un  b (2). Từ (1) và (2) suy ra: b  1 . Vậy ta sẽ đặt vn  un  1 để giải quyết bài toán trên. Lời giải: Đặt: vn  un  1  vn1  un1  1  2un  2  2(un  1)  2vn . Suy ra dãy số  vn  là một CSN có công bội q  2 và có số hạng đầu v1  u1  1  1  vn  v1.q n1  2n1  un  vn  1  2n1  1 . Do đó lim un  lim  vn  1  lim  2n1  1   . Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007) u  3 Cho dãy số  un  xác định bởi:  1 2un1  un  1, n  1 Đặt Sn  u1  u2  u3  ...  un ; n  1 a) CMR dãy số  vn  với vn  un  1 là một CSN lùi vô hạn b) Tính limSn Lời giải: 1 1 1 1 a) Ta có vn1  un1  1  un   1  (un  1)  vn , n  1 2 2 2 2 n2 Suy ra dãy số  vn  là một CSN lùi vô hạn với công bội q = . Nên vn    1 1 2 2 n2 b) Từ câu a) suy ra un  vn  1    1  1, n  1 2 n2 n n 1 1  1  n2 Vậy: Sn   uk   ( )k 2  n  4  n     limSn = lim  4  n       k 1 k 1 2 2   2   Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy  un  bằng phép đổi biến: vn  2n.un , n  1 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 7
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 1 1 Ta có vn1  2n1.un1  2n1 ( un  )  vn  2n , n  1  vn1  vn  2n , n  1 2 2 Do đó vn  vn  vn1  vn1  vn2  ....  v2  v1  v1  2n1  2n2  ...  2  6 n2 n 1 1 Hay vn  2(2  1)  6  2  4  un  1    n 2 Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007) u1  1  Cho dãy số  un  , xác định bởi:  un  4 un1  u  6 , n  1  n a) CMR: un  4, n  1 un  1 b) CMR: Dãy  vn  với vn  là một CSN. Tính lim un un  4 Lời giải: a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un  4, n  1. Khi n = 1 ta có u1  1  4 . Đúng Giả sử uk  4, k  1 , ta chứng minh uk 1  4 . Thật vậy, giả sử ngược lại uk 1  4 , uk  4 khi đó  4  uk  4 , trái với giả thiết quy nạp. Vậy un  4, n  1 uk  6 b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n  1 . Ta có: un  4 1 un1  1 un  6 2(un  1) 2 vn1     vn , n . un1  4 un  4  4 5(un  4) 5 un  6 2 u 1 2 Vậy  vn  là một CSN lùi vô hạn với công bội q = và số hạng đầu v1  1  . 5 u1  4 5 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 8
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 n n 2 2 n 4.    1 4.    1 2 Suy ra vn    nên un    n . Do đó lim un  lim   n  1 5 5 5 2 2 1   1   5 5 Ví dụ 7: u1  1  Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi:  1 u   u  , n  1 n(n  1) n 1 n  Phân tích: u1  1  - Nhận thấy dãy số  un  , xác định bởi:  1 không có dạng: u  n1  u  , n  1 n(n  1) n  u1  A  , với A, B, C  nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để un1  B.un  C , n  1 giải quyết bài toán này. 1 1 Để ý rằng: Từ un1  un   un1  un  nên suy ra: n(n  1) n(n  1) 1 1 u2  u1   1 1.2 2 1 1 1 u3  u2    2.3 2 3 1 1 1 u4  u3    3.4 3 4 ... 1 1 1 un1  un2     n  2  . n  1 n  2 n  1 1 1 1 un  un1     n  1 .n n  1 n Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 9
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 1 1 1 Cộng vế theo vế ta được: un  u1  1   un  u1  1   2 n n n - Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài toán tổng quát khi cho dãy số  un  , xác định u1  A  bởi công thức dạng:  , với A ; P  n  là đa thức ẩn n. u  n1  u n  P  n  , n  1 Lời giải: 1 1 1 1 Từ giả thiết ta có: un1  un   un1  un    n(n  1) n(n  1) n n  1  un  un  un1  un1  un2  .....  u2  u1  u1 1 1 1 1 1 1 1      ......    1  2  n 1 n n  2 n 1 1 2 n  1 Do đó lim un  lim  2    2  n Ví dụ 8: u1  1 Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi:  1 n un1  un    , n  1  2 u1  1 Phân tích: Dễ thấy dãy số  un  , xác định bởi:  1 n có dạng: un1  un    , n  1  2 u1  A   nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7 un1  un  P  n  , n  1  n 1 Lời giải: Ta có : un1  un    2 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 10
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 n 1 n2 1 1 1 1  un  un  un1  un1  un2  .....  u2  u1  u1       .....     1 2 2  2 1 1  ( )n n 1   1 n1  2 1  un   2     lim un  lim  2      2 1 1 2   2   2 4. Bài tập tƣơng tự: Bài 1: u1  5 Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi:   2 u n 1  un  6, n  1 3 (ĐS: lim un = -18) Bài 2: u1  a; a  Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi:  1 un1  2 un  1, n  1 (ĐS: lim un  2 ) Bài 3: u1  3 u Cho dãy số  un  xác định bởi  . Tính lim 2nn un1  4un  1, n  1 2 un 2 (ĐS: lim  ) 22 n 3 Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: un  2  2  ....  2 u1.u2 ....un (n dấu căn ; n  1 ). Tính lim 2n Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 11 un 2
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Hƣớng dẫn: Ta có:   u1  2  2.cos  2.cos 4 22       u2  2  2  2  2.cos  2  1  cos   2.2.cos2  2.cos  2.cos 3 4  4 8 8 2       u3  2  2  2  2  2.cos  2  1  cos   2.2.cos2  2.cos  2.cos 4 8  8 16 16 2  ....  un  2 cos , n  2 n1 u1.u2 ....un 2 Từ đó tính được: lim  2n  Bài 5: Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: un  2n. 2  2  ....  2 (n dấu căn ; n  1 ). Tính lim un (ĐS: lim un   ) B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦAuDÃY 2SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY (ĐS: lim 2nn  ) HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG 2 PHÁP3 ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ KẸP 1. Mục đích: Tìm giới hạn của dãy số Vn  bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa. Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang 153/NXBGD2007) U n  Vn  Wn ; n Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho:   limVn  a limU n  lim Wn  a Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 12
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 2. Phƣơng pháp: Bước 1: Chứng minh: vn  un  w n , n  n0 ; n, n0  bằng phương pháp quy nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét. Bước 2: Chỉ ra : lim vn  lim wn  a , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới hạn của dãy số  vn  cho bởi hệ thức truy hồi. 3. Một số ví dụ: Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007) 1 Biết dãy số  un  thỏa mãn un  1  ; n . Chứng minh rằng lim un  1 n3 Phân tích: 1 1 1 - Ta có: un  1  3 ; n   3  un  1  3 ; n n n n 1 1 - Coi như: Dãy U n  , U n   3 ; dãy Vn  , U n  un  1 ; dãy  Wn  , Wn  3 n n  1 1 - limU n  lim   3   0;lim Wn  lim 3  0  limVn  lim  un  1  0  lim un  1  n  n Lời giải: 1 1 1 Từ giả thiết ta có: un  1  3 ; n   3  un  1  3 ; n n n n  1 1 Mà lim   3   0;lim 3  0  lim  un  1  0  lim un  1 (Theo nguyên lí kẹp)  n  n 1 1 Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác: un  1  ; n  0  u n  1  ; n n3 n3 1 Mà lim0  0;lim  0  lim un  1  0 (Theo nguyên lí kẹp) n3  lim un  1 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 13
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)  1 u1   Cho dãy số  un  xác định bởi :  4 u  u 2  un , n  1   n 1 n 2 1 a) CMR: 0  un  , n 4 un1 3 b) CMR:  , n . Tính lim un un 4 Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy  un  sẽ gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản. Lời giải: a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0  un , n 1 * Chứng minh un  , n bằng phương pháp quy nạp: 4 1 1 Với n = 1 ta có: u1   . Đúng 4 4 1 1 Giả sử BĐT uk  ; k  1 đúng, ta cần chứng minh BĐT uk 1  ; k  1 cũng đúng 4 4 1 1 u 1 u 1 1 3 1 Thật vậy: Do 0  uk   uk 2  và k  nên uk 1  uk 2  k     4 16 2 8 2 16 8 16 4 1 Vậy 0  un  , n 4 b) Từ câu a) suy ra un1  un  1  1  1  3 , n un 2 4 2 4 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 14
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 n 1 u u u 3 3 3 1 3 Do đó ta có 0  un  n . n1 ...... 2 .u1  . ..... .u1  .   , n un1 un2 u1 4 4 4 4 4 n1 1 3 Mà lim0  0;lim .    0 , nên theo nguyên lí kẹp thì lim un  0 4 4 Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)  1 u1  2 Cho dãy số (un) xác định bởi  u  un , n  1  n 1 n 1 un1 1 a) CMR: un  0 và  , n un 2 b) Tính lim un Hƣớng dẫn: a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un  0, n un 1 1 1 Từ hệ thức truy hồi ta có   , n  1 un n 1 2 n u u u 1 1 1 1 1 b) Từ câu a) ta có : 0  un  n . n1 ....... 2 .u1  . ..... .    , n  1 un1 un2 u1 2 2 2 2 2 n 1 Mà lim0  0;lim    0 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0 2 Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007) u1  10 Cho dãy số (un) xác định bởi  . Tính lim un  n1 u  u n , n  1 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 15
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Hƣớng dẫn: Dễ ràng chứng minh được un  1; n bằng phương pháp quy nạp toán học. 1  un Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có un1  un  1.un  . Tuy nhiên dấu 2 1  un u 1 “=” không xảy ra vì un  1; n . Do đó un1  , n  un1  1  n , n (*) 2 2 Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có: un1  1 un2  1 u 1 9 9 0  un  1   2  ....  1 n1  n1 , n  1  1  un  1  n1 , n  1 2 2 2 2 2 9 Mà lim( 1  ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1 2n1 Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007) u1  a  u 1 Cho dãy số (un) xác định bởi :  , (với – 1 < a < 0) un1  n  1, n  1  un 2  1  1 a) CMR: 0  un1  1  (un  1), n  1 a2  1 b) Tính limun lim un Hƣớng dẫn: Dễ dàng chứng minh được: 1  un  0, n bằng chứng minh quy nap. 1  un  1  0, n  un  1 un  1 Từ đó suy ra   u n 1   1   1  un , n  1  u  n 2  1  1 un  1 2 1 Do đó dãy (un ) là dãy giảm  1  un  un1  ....  u1  a  0, n  1 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 16
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 1 1  un 2  a 2  un 2  1  a 2  1   un  1 2 a2  1 un  1 1 Nên 0  un1  1   (un  1), n  1 un  1 2 a2  1 2 n 1 1  1   1   0  un  1  (un1  1)    (un2  1)  ....    (u1  1), n  1 a2  1  a 1  2  a 1  2 n 1  1  Hay 1  un    .(a  1)  1, n  1  a 1  2 1   1  n 1  Vì 0   1  lim (a  1)    1  1 . a2  1   a 2  1   Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1 4. Bài tập tƣơng tự: Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) u1  1  Cho dãy số  un  , xác định bởi:  1 un1  un  n , n  1  2 1 a) CMR un1  un  , n  1 2n1 b) Tính lim un (ĐS: lim un = 1) Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008) un  0  Cho dãy số  un  , xác định bởi:  2 un  un  un1 , n  1  1 a) CMR un  , n  1 n b) Tính lim un (ĐS: lim un  0 ) Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 17
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)  1  u 0  Cho dãy số  un  xác định bởi  2 u  u  1 u 2 , k  0, n  1  k 1 k n k 1 a) CMR: 1   un  1 n b) Tính lim un (ĐS: lim un  1 ) C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS 1. Mục đích: Tìm giới hạn của dãy số  un  bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass. Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang 154/NXBGD2007) : “ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm và bị chặn dƣới thì có giới hạn hữu hạn” 2. Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới Bƣớc 2: Tính giới hạn của dãy số Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau: - Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  M , n và tồn tại giới hạn lim un thì lim un  M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  m, n và tồn tại giới hạn lim un thì lim un  m Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 18
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1 n n 3. Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN)  u1  2 Cho dãy số ( un ) xác định bởi  . Tính lim un  u n 1  2  u n , n  1  Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là un  2cos , n  1 , tuy 2n1 nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) không phải là đơn giản. Ta có thể sử dụng phần C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này. Lời giải: * Chứng minh dãy số ( un ) tăng bằng phương pháp quy nạp  CM : un1  un , n  1 Với n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 . Đúng Giả sử uk 1  uk , khi đó uk 2  2  uk 1  2  uk  uk 1 . Vậy un1 > un , n  1 nên dãy số ( un ) tăng và bị chặn dưới bởi u1  2 . * Chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp : Khi n = 1 ta có u1  2  2 Giả sử uk  2, k  1 , khi đó uk 1  2  uk  2  2  2 . Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. * Tìm giới hạn của dãy số (un) : Giả sử limun = a, thì 2  a  2 . Ta có lim un1  lim 2  un Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 19
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11  a  1 Hay a  2  a  a 2  a  2    a  2 . Vậy lim un  2  a  2 Ví dụ 2: (Giáo trình giải tích 1 - Jean-Maria Monier) u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un un1  u 2  1 , n  1  n Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới hạn đó? Hƣớng dẫn: * HS chứng minh un  0, n bằng phương pháp quy nạp * Xét tính tăng – giảm của dãy số  un  : un3  0  Dãy  un  giảm un un Từ hệ thức: un1  2  un1  un  2  un  2 un  1 un  1 un  1 Vậy dãy số  un  giảm và bị chặn dưới nên dãy  un  có giới hạn hữu hạn * Tìm giới hạn của dãy số  un  : un Giả sử lim un  a , chuyển qua giới hạn của hệ thức un1  ta có phương trình: u 1 2 n a a  a  0 . Vậy lim un  0 a 1 2 Ví dụ 3: u1  u2  1  Cho dãy số ( un ) xác định bởi  . Tính lim un  u n 1  u n  u n 1 , n  2 Lời giải: Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.