Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát triển tư duy bài toán truy ngược hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:134

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát triển tư duy bài toán truy ngược hàm" nhằm giúp giáo viên trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm, nắm bắt kịp thời những bài toán mới, dạng toán mới trong các kỳ thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo mà cụ thể là bài toán truy ngược hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát triển tư duy bài toán truy ngược hàm

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dạng toán hàm ẩn trong chương 1 giải tích 12 (Ứng dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) là một dạng toán luôn luôn có trong đề thi THPTQG những năm gần đây ở mức vận dụng và vận dụng cao. Đề thi THPTQG năm 2017 tạo ra sự bất ngờ và khó khăn cho nhiều em học sinh vì sự mới lạ của dạng toán này. Càng ngày dạng toán này càng tiến sâu và xa hơn về độ khó, và một bài toán mới của dạng toán hàm ẩn đang mang tính rất thời sự trong thời gian gần đây, đó là bài toán TRUY NGƯỢC HÀM. Đối với dạng toán hàm ẩn trước đây, đề bài cho những vấn đề liên quan đến hàm số y = f ( x ) hoặc những vấn đề liên quan đến hàm số y = f ' ( x ) và hỏi những vấn đề liên quan đến hàm số y = f v ( x )  . Tuy nhiên đề thi năm 2020, 2021 vừa qua dạng toán này đã không dừng lại ở đó mà tiến thêm một bước mới, đó là đề bài lại cho những giả thiết về hàm số y = f u ( x )  , buộc học sinh phải truy ngược lại được những vấn đề liên quan đến hàm số y = f ( x ) hoặc những vấn đề liên quan đến hàm số y = f ' ( x ) rồi mới giải quyết được yêu cầu bài toán. Đây là dạng toán mới lạ, gây không ít khó khăn cho các em học sinh hiện nay. Hiện tại sách giáo khoa hay các tài liệu chính thống vẫn chưa viết nhiều về vấn đề này. Thời gian qua, trên các trang mạng cũng có những bài viết về dạng toán này, tuy nhiên đó vẫn là những bài viết vẫn rời rạc, chưa có tính hệ thống. Để giúp, giúp các em có được những hiểu biết mang tính hệ thống, nắm vững, chắc chắn các kiến thức về dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM nên bản thân tôi mạnh dạn viết SKKN “MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY BÀI TOÁN TRUY NGƯỢC HÀM”. Sáng kiến được trình bày theo hướng: Phân dạng rõ ràng, logic từng dạng toán, từ đơn giản đến mức độ cao hơn. Ở các dạng có trình bày phương pháp giải hoặc các bài tập mẫu, sau đó là những bài tập tự luyện có đáp án giúp các em học sinh tự luyện tập và khắc sâu kiến thức. Sau mỗi dạng hoặc sau mỗi bài là lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu hơn về từng dạng hoặc từng bài, giúp học sinh phân biệt được từng dạng để tránh nhầm lẫn; giúp các em hiểu được bản chất của bài toán sau được phát triển từ bài toán trước như thế nào, dạng toán sau được phát triển từ dạng toán trước như thế nào, từ đó hình thành cho các em hệ thống kiến thức chắc chắn và phát triển được tư duy cho dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM. Với những ý tưởng đó, bản thân tôi mong SKKN này là một nguồn tài liệu bổ ích giúp các em học sinh tiếp cận dạng toán này một cách bài bản, có tư duy logic, từ đó giải quyết các bài tập của dạng toán này ở mức độ cao hơn. Tuy nhiên với tính thời sự của đề tài, với những hiểu biết hạn chế của bản thân nên chắc chắn trong quá trình biên soạn không thể tránh những sai sót, kính mong quý thầy cô giúp đỡ, đóng góp ý kiến để bản SKKN này được hoàn thiện hơn. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 1. Đối với giáo viên: 1
Đề tài giúp giáo viên trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm, nắm bắt kịp thời những bài toán mới, dạng toán mới trong các kỳ thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo mà cụ thể là bài toán TRUY NGƯỢC HÀM. 2. Đối với học sinh: Đề tài sẽ là một nguồn tài liệu bổ ích giúp các em học sinh có được những hiểu biết mang tính hệ thống. Sau mỗi dạng hoặc sau mỗi bài là lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu hơn về từng dạng hoặc từng bài, giúp học sinh phân biệt được từng dạng để tránh nhầm lẫn; giúp các em hiểu được bản chất của bài toán sau được phát triển từ bài toán trước như thế nào, dạng toán sau được phát triển từ dạng toán trước như thế nào, từ đó hình thành cho các em hệ thống kiến thức chắc chắn cho dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu một số dạng toán của bài toán truy ngược hàm, đồng thời đưa ra lời giải cơ bản, những lưu ý nhận xét quan trọng để học sinh phát hiện ra vấn đề, từ đó giúp học sinh phát triển được tư duy cho bài toán TRUY NGƯỢC HÀM. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết như: Phân tích, tổng hợp, so sánh-đối chiếu… V. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI TRUY NGƯỢC HÀM là dạng toán mới lạ, gây không ít khó khăn cho các em học sinh hiện nay. Hiện tại sách giáo khoa hay các tài liệu chính thống vẫn chưa viết nhiều về vấn đề này. Thời gian qua, trên các trang mạng cũng có những bài viết về dạng toán này, tuy nhiên đó vẫn là những bài viết vẫn rời rạc, chưa có tính hệ thống. Đề tài cung cấp cho các em học sinh nguồn tài liệu quan trọng, là hệ thống bài tập logic giúp các em có tư duy tốt hơn cho bài toán truy ngược hàm. VI. CẤU TRÚC PHẦN 1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: NỘI DUNG PHẦN 3: KẾT LUẬN PHẦN 2: NỘI DUNG 1. CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  HOẶC CHO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 1.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) 1.2: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f ( x ) 1.3: Cho bảng xét dấu của hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) 1.4: Cho bảng xét dấu của hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f ( x ) 2
2. CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f u ( x )  HOẶC CHO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ f u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 2.1: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) 2.2: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f ( x ) 2.3: Cho bảng biến thiên của hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) 2.4: Cho bảng biến thiên của hàm số f u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f ( x ) 3. CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  HOẶC CHO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f  v ( x )  3.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f  v ( x )  3.2: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f  v ( x )  3.3: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f  v ( x )  3.4: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f  v ( x )  4. CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f u ( x )  HOẶC CHO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ f u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f  v ( x )  4.1: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f  v ( x )  4.2: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f  v ( x )  4.3: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f  v ( x )  4.4: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f  v ( x )  5. ĐỌC ĐỒ THỊ HÀM ẨN 5.1: Cho đồ thị hàm số f ' ( x ) , đọc đồ thị của hàm số f ( x ) 5.2: Cho bảng biến thiên hàm số f ' ( x ) , đọc đồ thị của hàm số f ( x ) 5.3: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  , đọc đồ thị của hàm số f ( x ) 5.4: Cho bảng biến thiên hàm số f ' u ( x )  , đọc đồ thị của hàm số f ( x ) PHẦN 3: KẾT LUẬN 1. Tính mới. - SKKN là sản phẩm hoàn toàn của bản thân từ ý tưởng tới các bài tập, bài toán, dạng toán. Các bài tập, bài toán, dạng toán được trình bày theo hướng phát triển từ các bài tập, bài toán, dạng toán cơ bản tới nâng cao, giúp học sinh hiểu được bản chất của từng dạng toán chứ không phải là trình bày một cách rời rạc các bài tập. - Trước (hoặc sau) khi giải các bài toán (hoặc dạng toán) là các lưu ý hoặc các chú thích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn và phân biệt, so sánh sự giống nhau và khác nhau của từng bài toán hay các dạng toán, giúp học sinh phát triển tư duy về bài toán TRUY NGƯỢC HÀM. 3
- Trước các dạng toán có trình bày phương pháp giải nhằm giúp học sinh nắm vững cách giải của từng dạng toán. - Đặc biệt trong phần 5 là phần trình bày dạng toán “TRUY NGƯỢC HÀM ĐỂ ĐỌC ĐỒ THỊ HÀM SỐ”. Với sự hiểu biết hạn chế của bản thân thì tôi thấy dạng toán này hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh và các tài liệu khác cũng chưa đề cập tới, là dạng toán hứa hẹn sẽ tạo ra nhiều điều thú vị cho các em học sinh. 2. Tính hiệu quả. - SKKN đã được bản thân đưa ra phục vụ giảng dạy cho các em học sinh một số lớp của trường THPT Đô Lương 2 và được các em đón nhận với thái độ hưởng ứng nhiệt tình, tính hiệu qủa cao. 3. Một số kiến nghị và đề xuất. - Rất mong được quý thầy cô đóng góp ý kiến để SKKN này được hoàn thiện hơn và đưa vào ứng dụng rộng hơn. Đô lương ngày 18/01/2022 Tác giả: Nguyễn Đôn 4
1. CHO ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 1.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) Đây là dạng toán cơ bản nhất của bài toán truy ngược hàm. Để giải quyết được những dạng toán sau, các em phải thông thạo dạng 1.1 này. Phương pháp: Từ đồ thị hàm số f ' u ( x )  , các em suy ra được: - Nghiệm của phương trình f ' ( x) = 0 . - Xét dấu của f ' ( x ) trên một khoảng . - Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' (1 − 2 x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. ( −;1) B. ( −; −1) C. ( −1;1) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 2 x ) ta có: g ( −1) = g ( 0) = g (1) = 0 1  f ' ( 3) = f ' (1) = f ' ( −1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 1 3 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −; −1) . 5
Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( 3 − x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( −1;1) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − x ) ta có: g ( −4) = g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 7 ) = f ' ( 4) = f ' (1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0) = g ( 3)  0 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − 1 4 7 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1;4 ) . Chọn đáp án A. Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( 2 x + 1) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( −1;5) D. ( 5; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −2 , x = 1 và x = 2 .  g ( −2) = g (1) = g ( 2) = 0  f ' ( −3) = f ' ( 3) = f ' ( 5) = 0  f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −3, x = 3, x = 5 .  1 Đồng thời f ' ( 0 ) = g  −   0  2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) 6
x − −3 3 5 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 5; + ) . Chọn đáp án D. Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( 5; + ) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm x = −1 và x = 2 .  g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 5) = f ' ( −1) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 2 là nghiệm bội chẵn.  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = −1 là nghiệm bội chẵn. 3 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 5 + f ' ( x) − 0 − 0 + f ( x) 7
Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 5; + ) . Chọn đáp án C. Nhận xét: Ở bài toán này, các em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( 3 − 2 x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm bội chẵn là x = 2 . Do đó phương trình f ' ( x ) = 0 có x = −1 là nghiệm bội chẵn. Do đó đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu khi x đi qua x0 = −1 Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. ( −3; 4 ) B. ( −; −1) C. ( −3; + ) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm x = −1 , x = 1 , x = 2 và x = 4 .  g ( −1) = g (1) = g ( 2) = g ( 4) = 0  f ' ( −7 ) = f ' ( −3) = f ' ( −1) = f ' ( 3) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 4 là nghiệm bội chẵn.  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 3 là nghiệm bội chẵn. 5 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −7 −3 −1 3 + f ' ( x) − 0 + 0 − 0 + 0 + f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3; + ) . Chọn đáp án D. 8
Nhận xét: Ở bài toán này, các em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( 2 x − 5) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x = 4 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm bội chẵn là x = 4 . Do đó phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 3 là nghiệm bội chẵn. Do đó đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu khi x đi qua x0 = 3 Câu 6. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. ( −8; −5) B. ( −; −1) C. ( −3; + ) D. ( −3; −2 ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm x = 0 , x = 1 , x = 2 và x = 3  g ( 0) = g (1) = g ( 2) = g ( 3) = 0  f ' (1) = f ' ( −2) = f ' ( −5) = f ' ( −8) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 0 là nghiệm bội chẵn.  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 1 là nghiệm bội chẵn. 1 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 3 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −8 −5 −2 1 + f ' ( x) − 0 + 0 − 0 + 0 + 9
f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −8; −5) . Chọn đáp án A. ( ) Câu 7. Đồ thị của hàm y = f  x 2 + 4 x − 1 như hình vẽ đưới đây. Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. ( −8; −5) B. ( −; −1) C. ( −3; + ) D. ( −3; −2 ) Lời giải: ( Đặt g ( x ) = f  x 2 + 4 x − 1 )  x +1 = 0  x = −1   x 2 + 4 x − 1 = −4   Từ giả thiết ta có f  ( x 2 + 4 x − 1) = 0   x − 1 = 0   x = 1   x2 + 4x −1 = 4    ( x − 2 ) = 0 ( x − 2 ) = 0  ( x 2 + 4 x − 1) − 11 = 0 2 2 2    t = −4  Từ đó suy ra f ' ( t ) = 0   t = 4 .  ( t − 11) = 0 2 Suy ra phương trình f ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm bội lẻ là x = −4; x = 4 và 1 nghiệm bội chẵn x = 11 . Mặt khác g ( 0) = f ' ( −1)  0 nên ta có BBT của hàm số y = f ( x ) như sau: x − −4 4 11 + f ' ( x) − 0 + 0 − 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −3; −2 ) . Chọn đáp án D. 10
Câu 8. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên . Hàm số y = g ( x) = f  ( 2x + 3) + 2 có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh I ( 2; −1) và đi qua điểm A (1;2) . Hỏi hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 5;9) B. (1;2 ) . C. ( −;9 ) . D. (1;3) . Lời giải Xét hàm số g ( x) = f  ( 2 x + 3) + 2 có đồ thị là một Parabol nên có phương trình dạng: y = g ( x) = ax2 + bx + c ( P)  −b  =2 −b = 4a  4a + b = 0 Vì ( P ) có đỉnh I ( 2; −1) nên  2a   .  g ( 2 ) = −1  4 a + 2b + c = −1  4 a + 2b + c = −1  ( P ) đi qua điểm A (1;2) nên g (1) = 2  a + b + c = 2  4a + b = 0 a = 3   Ta có hệ phương trình 4a + 2b + c = −1  b = −12 nên g ( x ) = 3x2 −12 x + 11 . a + b + c = 2 c = 11   Đồ thị của hàm y = g ( x) là Theo đồ thị ta thấy f (2 x + 3)  0  f (2 x + 3) + 2  2  1  x  3 . t −3 t −3 Đặt t = 2 x + 3  x = khi đó f (t )  0  1   3  5  t  9. 2 2 Vậy y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( 5;9) . Chọn đáp án A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' (1 − 2 x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( −3;3) D. ( 3; + ) 11
Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( 2 x + 1) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. ( −;1) B. ( −; −1) C. ( −1;1) D. ( 3; + ) 1.2: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị của hàm số f ( x ) Sau khi đã giải quyết được dạng toán 1.1 thì dạng toán này sẽ dễ dàng hơn đối với các em học sinh, bởi vì khi lập được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) thì cực trị của hàm số y = f ( x ) cũng sẽ dễ dàng suy ra được. Phương pháp: Từ đồ thị hàm số f ' u ( x )  , các em suy ra được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như các bước trong 1.1. Sau đó từ BBT các em suy ra được các vấn đề về cực trị của hàm số y = f ( x ) . Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' (1 − 2 x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 2 x ) ta có: 1 g ( −1) = g ( 0) = g (1) = 0  f ' ( 3) = f ' (1) = f ' ( −1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 1 3 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị 12
Đáp án C Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( 3 − x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại xCT = 1 B. B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại xCT = 4 C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại xCT = 2 D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại xCT = 3 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − x ) ta có: g ( −4) = g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 7 ) = f ' ( 4) = f ' (1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0) = g ( 3)  0 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − 1 4 7 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu là: xCT = 4 Chọn đáp án B. Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( 2 x + 1) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu B. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu C. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại D. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu 13
Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −2 , x = 1 và x = 2  g ( −2) = g (1) = g ( 2) = 0  f ' ( −3) = f ' ( 3) = f ' ( 5) = 0 .  f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −3, x = 3, x = 5  1 Đồng thời f ' ( 0 ) = g  −   0  2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −3 3 5 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu Chọn đáp án A. Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm x = −1 và x = 2 .  g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 5) = f ' ( −1) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 2 là nghiệm bội chẵn. 3  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = −1 là nghiệm bội chẵn. Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 5 + f ' ( x) − 0 − 0 + 14
f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực trị Nhận xét: Ở bài toán này, các em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( 3 − 2 x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm bội chẵn là x = 2 . Do đó phương trình f ' ( x ) = 0 có x = −1 là nghiệm bội chẵn. Do đó đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu khi x đi qua x0 = −1 Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f ( x ) có 4 điểm cực trị B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = −1 C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = −5 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm x = −1 , x = 1 , x = 2 và x = 4  g ( −1) = g (1) = g ( 2) = g ( 4) = 0  f ' ( −7 ) = f ' ( −3) = f ' ( −1) = f ' ( 3) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 4 là nghiệm bội chẵn.  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 3 là nghiệm bội chẵn. 5 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −7 −3 −1 3 + f ' ( x) − 0 + 0 − 0 + 0 + 15
f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = −1 Chọn đáp án B. Nhận xét: Ở bài toán này, các em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( 2 x − 5) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x = 4 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm bội chẵn là x = 4 . Do đó phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 3 là nghiệm bội chẵn. Do đó đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu khi x đi qua x0 = 3 Câu 6. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 1 B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 2 C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = −5 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm x = 0 , x = 1 , x = 2 và x = 3  g ( 0) = g (1) = g ( 2) = g ( 3) = 0  f ' (1) = f ' ( −2) = f ' ( −5) = f ' ( −8) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 0 là nghiệm bội chẵn.  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = 1 là nghiệm bội chẵn. 1 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 3 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −8 −5 −2 1 + f ' ( x) − 0 + 0 − 0 + 0 + f ( x) 16
Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = −5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và hàm số y = f ' (1 − 2 x ) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 3 C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 3 D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 9 Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = f ' ( 2 x + 1) có đồ thị như hình vẽ sau đây Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu B. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu C. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại D. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu 1.3: Cho bảng xét dấu của hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ( x ) Về mặt phương pháp, dạng toán này cũng không khác nhiều so với dạng 1.1, bởi vì khi cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  thì ta sẽ suy ra được dấu của hàm số f ' u ( x )  trong các khoảng (tức là sẽ biết được bảng xét dấu của hàm số f ' u ( x )  ). Do đó dạng toán 1.3 này về bản chất cũng là dạng toán 1.1. Chẳng qua là cách phát biểu giả thiết khác đi mà thôi. Phương pháp: Từ bảng xét dấu của hàm số f ' u ( x )  , các em suy ra được: - Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 . - Xét dấu của f ' ( x ) trên một khoảng nào đó. 17
- Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và hàm số y = f ' (1 − 2 x ) có bảng xét dấu sau đây: − −1 0 1 + x Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên y = f ' (1 − 2 x ) − 0 + 0 − 0 + khoảng nào? A. ( −;1) B. ( −; −1) C. ( −1;1) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 2 x ) ta có: 1 g ( −1) = g ( 0) = g (1) = 0  f ' ( 3) = f ' (1) = f ' ( −1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 1 3 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −; −1) . Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và hàm số y = f ' ( 3 − x ) có bảng xét dấu sau đây: − −4 −1 2 + x y = f ' (3 − x ) − 0 + 0 − 0 + Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( −1;1) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − x ) ta có: g ( −4) = g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 7 ) = f ' ( 4) = f ' (1) = 0 . Đồng thời f ' ( 0) = g ( 3)  0 18
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − 1 4 7 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1;4 ) . Chọn đáp án A. Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = f ' ( 3 − 2 x ) có bảng xét dấu sau đây: x − −2 1 2 + y = f ' (3 − 2x ) − 0 + 0 − 0 + Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( −1;5) D. ( 5; + ) Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −2 , x = 1 và x = 2  g ( −2) = g (1) = g ( 2) = 0  f ' ( −3) = f ' ( 3) = f ' ( 5) = 0  f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −3, x = 3, x = 5  1 Đồng thời f ' ( 0 ) = g  −   0  2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −3 3 5 + f ' ( x) + 0 − 0 + 0 − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 5; + ) . Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) có bảng xét dấu sau đây: 19
x − −1 2 + + 0 − 0 − y = f ' (3 − x ) Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. (1;4 ) B. ( −; −1) C. ( 5; + ) D. ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = g ( x ) = f ' ( 3 − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm x = −1 và x = 2 .  g ( −1) = g ( 2) = 0  f ' ( 5) = f ' ( −1) = 0 . Lại do phương trình g ( x ) = 0 có x = 2 là nghiệm nhưng g ( x ) không đổi dấu khi x đi qua x0 = 2  phương trình f ' ( x ) = 0 có x = −1 là nghiệm nhưng f ' ( x ) không đổi dấu khi x đi qua x0 = −1 3 Đồng thời f ' ( 0 ) = g    0 2 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : x − −1 5 + f ' ( x) − 0 − 0 + f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 5; + ) . Nhận xét: Ở bài toán này, các em học sinh lưu ý: Đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu khi x đi qua x0 = −1 Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên , hàm số y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) có bảng xét dấu sau đây: x − −1 1 2 4 + y = g ( x ) = f ' ( 2 x − 5) − 0 + 0 − 0 + 0 + Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào? A. ( −3; 4 ) B. ( −; −1) C. ( −3; + ) D. ( 3; + ) Lời giải: 20