Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Chia sẻ: Chubongungoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến nhằm trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng u1   , a.u n1  b.un  f n , n  N * trong đó a,b,  là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , a. un 1  b .un  0 (1.1) trong đó a, b,  cho trước n  N * Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 để tìm  Khi đó un  q n (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1   Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có u n 1  2 un , u1  1 (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm   2 Vậy u n  c.2 n . Từ u1  1 suy ra 1 c Do đó u n  2n 1 2 Dạng 2 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , a un 1  bun  f n , n  N * (2 .1) 2
trong đó f n là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  Ta có u n  u n0  u n* Trong đó u n0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và u n* là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy u n0  q. n q là hằng số sẽ được xác định sau Ta xác định un* như sau : 1) Nếu  #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu  1 thì u n*  n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n Thay u n* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của u n* Bài toán 2: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  2; u n1  un  2n, n  N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   1  0 có nghiệm   1 Ta có u n  u n0  u n* trong đó un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay u n* và phương trình (2.2) ta được  n  1 a  n  1  b   n  an  b   2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3a  b  2  a  1   5a  b  4 b  1 Do đó un  n  n  1 Ta có un  un0  un*  c  n  n  1 Vì u1  2 nên 2  c  11  1  c  2 Vậy un  2  n  n  1 , hay un  n2  n  2 Dạng 3 Tìm u n thoả mãn điều kiện 3
u1   , a.un 1  bu n  v. n , n  N * (3.1) trong đó f n là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  Ta có u n  u n0  u n* Trong đó u n0  c. n , c là hằng số chưa được xác định , un* được xác định như sau : 1) Nếu  #  thì u n*  A. n 2) Nếu    thì u n*  A.n. n Thay u n* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của u n* . Biết u1 , từ hệ thức u n  un0  u n* , tính được c Bài toán 3: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  1; un 1  3.u n  2 n , n  N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   3  0 có nghiệm   3 Ta có u n  u n0  u n* trong đó u n0  c.3n , un*  a.2 n Thay u n*  a.2 n vào phương trình (3.2) , ta thu được a.2n 1  3a.2n  2n  2a  3a  1  a  1 Suy ra u n  2n Do đó u n  c.3n  2n vì u1  1 nên c=1 Vậy u n  3n  2n Dạng 4 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , a.un 1  bun  f1n  f 2 n , n  N * (4.1) Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n  v. n Phương pháp giải Ta có u n  un0  u1*n  u2*n Trong đó u n0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun1  bun  0 , u n* là một nghiệm riêng của phương trình 4
* không thuần nhất a.un 1  b.u n  f1n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất a.un 1  b.u n  f 2 n Bài toán 4: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  1; un 1  2un  n 2  3.2 n , n  N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2  0 có nghiệm   2 Ta có u n  un0  u1*n  u2*n trong đó u n0  c.2 n , un*  a.n 2  b.n  c , u2*n  An.2 n Thay u n* vào phương trình u n1  2.u n  n 2 , ta được 2 a  n  1  b  n  1  c  2an 2  2bn  2c  n2 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình  2a  c  1  a  1   a  b  c  4  b  2  2a  2b  c  9 c  3   Vậy u1*n   n 2  2n  3 thay u 2n * vào phương trình u n1  2.u n  3.2 n Ta được 3 A  n  1 2n1  2 An.2n  3.2n  2 A  n  1  2 An  3  A  2 Vậy 3 u2*n  n.2n  3n.2n1 2 Do đó un  c.2n    n 2  2n  3  3n.2n 1 . Ta có u1  1 nên 1  2c  2  3  c  0 Vậy u n  3n.2 n1  n 2  2n  3 B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N * 5
trong đó a,b,c,  ,  là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Dạng 1 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  0, n  N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 tìm  Khi đó 1) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì u n  A.1n  B.2n , trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 2) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm kép 1  2   thì un   A  Bn  . n , trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm u n thoả mãn điều kiện sau u0  1, u1  16, un  2  8.un1  16.u n (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng  2  8  16  0 có nghiệm kép   4 Ta có un   A  B.n  .4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình u0  1  A A 1   u1  1  B  .4  16  B  3 Vậy un  1  3n  .4 n Dạng 2 Tìm u n thoả mãn điều kiện 6
u1   , u2   , a.un 1  b.un  c.un 1  f n , n  2, (6.1) trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 để tìm  . Khi đó ta có u n  un0  un* , trong đó u n0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un 1  b.un  c.un 1  0 và u n* là một nghiệm tuỳ ý của phương trình a.un1  b.un  c.un1  f n Theo dạng 1 ta tìm được u n0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un* được xác định như sau : 1) Nếu  #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu   1 là nghiệm đơn thì u n*  n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n 3) Nếu   1 là nghiệm kép thì u n*  n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với f n , Thay u n* vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un* . Biết u1 , u 2 từ hệ thức u n  u n0  u n* tính được A, B Bài toán 6: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  1; u2  0, un 1  2un  un 1  n  1, n  2 (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 Ta có u n  un0  u n* trong đó u n0   A  B.n  .1n  A  Bn, un*  n 2  a.n  b  Thay u n* vào phương trình (6,2) , ta được 2 2  n  1  a  n  1  b   2n2  a.n  b    n  1  a  n  1  b   n  1 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 7
 1  4  2a  b   2  a  b   2 a  6   9  3a  b   8  2a  b    a  b   3 b  1  2 n 1 Vậy un*  n 2    6 2 Do đó n 1 un  un0  un*  A  Bn  n 2    6 2 Mặt khác  1 1  A  B  6  2  1  A  4   11  A  2 B  4  1  1   0  B  3  3 2 Vậy 11 n 1 un  4  n  n2    3 6 2 Dạng 3 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  d . n , n  2 (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 để tìm  Khi đó ta có u n  u n0  u n* , trong đó u n0 được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, un* được xác định như sau 1) Nếu  #  thì u n*  k . n 2) Nếu    là nghiệm đơn thì u n*  k .n n 3) Nếu    là nghiệm kép thì u n*  k .n.2  n 8
Thay u n* vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức u n  u n0  u n* tính được A,B Bài toán 7: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1  0; u 2  0, u n1  2un  un 1  3.2n , n  2 Bài giải Phương trình đặc trưng  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 Ta có u n  un0  u1*n trong đó un0   A  B.n  .1n  A  Bn, un*  k .2n Thay u n* vào phương trình , ta được k .2 n1  2k .2n  k .2 n1  3.2n  k  6 Vậy u n*  6.2 n  3.2 n1 . Do đó u n  un0  u n*  A  bn  3.2 n1 . (1) Thay u1  1, u 2  0 vào phương trình ta thu được 1  A  B  12 A  2   0  A  2 B  24  B  13 Vậy u n  2  13n  3.2 n1 Dạng 4 Tìm u n thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  f n  g n , n  2 (8.1) trong đó a # 0 , f n là đa thức theo n và g n  v. n Phương pháp giải Ta có u n  un0  u1*n  u2*n trong đó u n0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a un 1  bun  c.un 1  0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của * phương trình không thuần nhất a un 1  bun  c.un 1  f n u2n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất a un 1  bu n  c.u n 1  g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện 9
u1  0; u2  0, un 1  2un  3un 1  n  2 n , n  2 (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2  2  3  0 có nghiệm 1  1, 2  3 Ta có u n  un0  u1*n  u2*n trong đó n un0  A  1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k .2n Thay u1n* vào phương trình u n1  2un  3un 1  n , ta được a  n  1  b  2  an  b   3  a  n  1  b   n   4a  1 n  4  a  b   0 Vậy 1 ab 4 Do đó 1 un*   n  1 4 * Thay u 2n vào phương trình un 1  2un  3u n1  2 n , ta được 2 k .2n1  2.k.2 n  3.k.2 n1  2n  k   3 Do đó 2 1 u2*n   .2n   .2 n1 3 3 Vậy n 1 1 un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n   n  1  .2n 1 (8.3) 4 3 Ta thay u1  1, u 2  0 vào (8.3) ta được hệ phương trình  1 4  61   A  3B  2  3  1  A   48   3 8  A  9B    0  B  25  4 3  48 10
Vậy 61 n 25 1 1 un   . 1  .3n  . n  1  .2n 1 48 48 4 3 C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng u1   , u2   , u3   , a.u n 2  bun1  c.u n  d .un 1  f n , n  2 (a.1) trong đó a,b,c, d,  ,  ,  là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng u n  un0  u n* , trong đó u n0 là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, u n* là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biết thì u n0  a1 .1n  a2 .2n  a3 .3n b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (1  2 # 3 ) thì u n0  ( a1  a2 n )1n  a3 .3n 11
c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (1  2  3 ) thì u n0  ( a1  a2 n  a3 n 2 )1n 2) Xác định nghiệm riêng u n* của phương trình (a.1)  Xét f n là đa thức của n ta có a) Nếu  #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n b) Nếu   1 (nghiệm đơn ) thì u n*  n.g n g n là đa thức cùng bậc với f n c) Nếu   1 (bội 2 ) thì u n*  n 2 .g n g n là đa thức cùng bậc với fn d) Nếu   1 (bội 3) thì u n*  n3 .g n g n là đa thức cùng bậc với fn  Xét f n  v. n ta có a) Nếu  #  thì u n*  k .n. n b) Nếu    (nghiệm đơn ) thì u n*  k . n c) Nếu    (nghiệm bội s ) thì u n*  k .n s . n Bài toán 9: Tìm dãy số an biết rằng u1  0, u2  1, u3  3, un  7un 1  11.un 2  5.un 3 , n  4 (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng  3  7 2  11  5  0 có 3 nghiệm thực 1  2  1, 3  5 Vậy an  c1  c2 n  c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1 c1   , c2  , c3  16 4 16 12
1 3 1 Vậy an     n  1  .5n1 16 4 16 D. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số an được xác định theo công thức sau a1  0; a2  1, an 1  2an  an 1  1, n  2 (10.1) Chứng minh số A  4.an .an 2  1 là số chính phương Bài giải Ta có an 1  2an  an 1  1 (10.2) Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được an  2an 1  an 2  1 (10.3) Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được an 1  3an  3an1  an 2  0 (10.4) Phương trình đặc trưng của (10.4) là  3  3 2  3  1  0 có nghiệm   1 là nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là an  (c1  c2 n  c3 n 2 )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta được 0  c1 c1  0   1  c2  c2  c3   1 3  c  2c  4c c2  c3  2  1 2 3 n  n  1 Ta thu được an  và từ đó ta có 2 2 A  4an .an 2  1   n 2  3n  1 Điều này chứng tỏ A là một số chính phương 13
Bài toán 11: Cho dãy số  xn  được xác định theo công thức sau x1  7; x2  50, xn 1  4 xn  5 xn 1  1975  n  2  (11.1) Chứng minh rằng x1996  1997 Bài giải Xét dãy số  yn  với y1  7, y2  50 và yn 1  4 yn  5 yn 1  22  n  2  (11.2) Dễ thấy yn  xn  mod1997  . Do đó chỉ cần chứng minh y1996  0  mod 1997  Đặt zn  4 yn  11 suy ra z1  39, z2  211 . Nhận xét rằng zn1  4 yn 1  11  16 yn  20 yn 1  99  4 zn  20 yn1  55 (11.3) Ta lại có zn1  4 yn 1  11 suy ra 20 yn1  5 zn 1  55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta được zn1  4 zn  5 zn 1 Suy ra zn1  4 zn  5 zn 1  0 (11.5) Phương trình đặc trưng của (11.5) là  2  4  5  0 có nghiệm 1  1, 2  5 Nghiệm tổng quát của (11.1) là n zn   1   5n  Ta có  8     z1    5  39 3    z2    25  211    25  3 Do đó ta nhận được 14
8 n 25 zn  . 1  .5n (11.6) 3 3 Từ (11.6) ta suy ra 8  25.51996 z1996  3 Ta cần chứng minh z1996  11 mod1997  Do 51996  1  1997  1996 5  1  3 Nên 51996  1 3.1997 . Từ đó , ta có 51996  3n.1997  1 , và khi đó 8 25  3n.1997  1 z1996    25.n.1997  11 3 3 Vậy z1996  11 mod 1997  E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức của dãy số  xn  thoả mãn các điều kiện sau 1) x1  11, xn1  10.xn  1  9 n , n  N 2) x0  2, x1  8, xn 2  8.xn1  9 xn 3) x0  1, x1  3, 2. xn 2  5 xn1  2 xn  n 2  2n  3 4) x0  0, x1  1, xn1  4 xn  4 xn1  n 2  6n  5 5) x1  1, x2  2, xn 2  5 xn 1  6 xn  4 Bài 2: Cho dãy số a  thoả mãn điều kiện n  an  an 1  2.an 2  n N  n  3  a1  a2  1 15
Chứng minh rằng an là một số lẻ Bài 3: Cho dãy số b  xác định bởi n bn  2.bn 1  bn  2  n N  n  3 b1  1, b2  2 n 5 Chứng minh rằng bn    , n  N 2 Bài 4: Cho dãy số u  thoả mãn điều kiện n un  2  2.un 1  u n  2  n N  n  2 u  0  1, u1  0 Chứng minh rằng u n là một số chính phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số u  thoả mãn như sau n un  Z  ,  N  u0  1, u1  9 u  10.u  u n  N , n  2  n n 1 n 2 Chứng minh : k  N , k  1 1) u k2  uk21  10uk .uk 1  8 2) 5.uk  uk 1  4 va 3.uk2  1 2 (  kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số u  thoả mãn điều kiện n u n 2  2u n1  2un  un 1 , n  N * Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M  4.an1an đều là số chính phương Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) 16
Cho dãy số u  ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi i a1  1, a2  1, an  an1  2an 2 , n  3, 4,... Tính giá trị của biểu thức 2 2 A  2.a2006  a2006 .a2007  a2007 Bài 8: Cho dãy số nguyên dương un  thoả mãn điều kiện u0  20, u1  100, un  2  4.u n1  5.un  20, n  N * Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất an  h  an  1998 , n  N F. XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình    1   9   0   2  8  9  0 (12.1) phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số u n được xác định theo công thức sau u n 2  8.un 1  9.un  0 có thể cho u0  2, u1  8 . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau 17
Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định như sau  xn 2  8.xn1  9.xn  0  n N  x0  2, x1  8 Xác định công thức của dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau  xn 2  8.xn1  9.xn  0  n N  x0  2, x1  8 Tính giá trị của biểu thức A  x2006  5.x2007  4 Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình 2    1  0   2  2  1  0 (12.2) phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số u n được xác định theo công thức sau u n 2  2.un1  u n  2 có thể cho u0  1, u1  0 khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức tổng quát của dãy số 2 xn   n  1 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau  xn 2  2 xn 1  xn  2  n N  x0  1, x1  0 Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau  xn 2  2 xn 1  xn  2  n N  x0  1, x1  0 Chứng minh rằng xn là một số chính phương Bài toán 3: Cho dãy số xn xác định như sau 18
 xn 2  2 xn 1  xn  2  n N  x0  1, x1  0 Xác định số tự nhiên n sao cho xn1  xn  22685 KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán 3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán 19
bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003 20