SKKN: Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> 1. Lí do chọn đề tài<br /> Như  chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ  chung của vũ trụ. Toán hoc là<br /> ̣  <br /> một môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con người chúng ta <br /> trong bất kì hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán. Nghiên cứu về <br /> toán cũng chính là nghiên cứu một phần của thế  giới. Các kiến thức và phương  <br /> pháp toán học là công cụ  hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các môn học khác, <br /> hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh  <br /> phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư  tưởng <br /> đạo đức và thẩm mĩ của người công dân. <br /> Cùng với sự  phát triển của đất nước, sự  nghiệp giáo dục cũng đổi mới <br /> không ngừng. Để đào tạo ra những con  người nghiên cứu về  Toán học thì trước <br /> hết phải đào tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn Toán. Đây là  <br /> nhiệm vụ hết sức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo.  Do đó đòi <br /> hỏi mỗi thầy cô giáo phải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có  <br /> phương pháp dạy học hiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài toán một cách <br /> tốt nhất. Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng  trong  <br /> chương trình toán học  ở  trung học cơ  sở. Việc nắm vững các phương pháp phân  <br /> tích đa thức thành nhân tử không những giúp học sinh làm tốt các bài toán dạng này <br /> mà còn là công cụ  cần thiết giúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, <br /> chứng minh…….Đặc biệt giúp  học sinh  phát triển tư  duy sáng tạo một cách tốt <br /> nhất. Qua quá trình dạy toán  ở  trung học cơ  sở,  qua kinh nghiệm bồi dưỡng học <br /> sinh  giỏi   và qua  quá  trình  tìm  tòi của  bản thân  tôi  đã  hệ  thống  được  một  số <br /> phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  mà thiết nghĩ mỗi thầy cô giáo dạy <br /> toán đều cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán phân tích đa <br /> <br /> <br /> 1<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> thức thành nhân tử góp phần nâng cao tư duy toán học tạo điều kiện cho việc học  <br /> toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung.  Phân tích đa thức thành nhân tử <br /> là một dạng toán gặp rất nhiều trong toán trung học cơ sở, nó đa dạng nên khi giải <br /> các bài toán trên học sinh phải biết lựa chọn phương pháp phù hợp đối với từng <br /> bài để phân tích đúng và triệt để đến kết quả cuối cùng. Đối với giáo viên  khi dạy <br /> và bồi dưỡng  học sinh  giỏi cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức <br /> thành nhân tử sẽ bổ  sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ <br /> khắc phục những hạn chế  trước đây giúp các em có tinh thần tự  tin học tập bộ <br /> môn toán.<br /> Kĩ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải  <br /> bài tập là vấn đề mà giáo viên luôn phải quan tâm. Thông qua bài kiểm tra 15 phút,  <br /> bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kì cho thấy kĩ năng giải toán và vận dụng kiến  <br /> thức phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao. Đây là vấn đề băn khoăn của rất <br /> nhiều giáo viên dạy toán 8, kể  cả  toán 9. Vì vậy, với bản thân trong những năm <br /> dạy học ở toán 8 tôi xây dựng thành  “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng <br /> tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  trong giải toán 8 tại trường  <br /> THCS Lương Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk ”<br />  2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài<br /> a) Mục tiêu<br /> ­ Giúp cho học sinh  hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng toán liên <br /> quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và  <br /> học toán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi <br /> nhọn của bộ môn.<br /> ­ Giúp học sinh  có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử <br /> ­ Giúp học sinh yêu thích môn toán hơn, đồng thời phát triển năng lực tự <br /> học,  tự nguyên cứu.<br /> <br /> <br /> 2<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> b) Nhiệm vụ<br /> ­  Tìm hiểu các sai lầm phổ  biến, những khó khăn của học sinh lớp 8 khi  <br /> phân tích đa thức thành nhân tử.<br /> ­ Phân tích tìm ra được các sai lầm khi giải toán<br /> ­ Đề  xuất các biện pháp để  giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp <br /> phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán trung học cơ cở.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu <br /> ­ Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  để  từ  đó học sinh  <br /> biết vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán. <br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu<br /> ­ Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ  sở  Lương Thế  vinh huy ện Krông <br /> Ana tỉnh Đắklắk năm học 2017­ 2018. <br /> 5. Phương pháp nghiên cứu<br /> ­ Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩ <br /> năng, nâng cao và pháp triển toán 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các <br /> quá trình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh  <br /> theo từng đợt; nghiên cứu từ  thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học <br /> sinh.<br /> ­ Phương pháp thống kê toán học.<br /> ­ Phương pháp điều tra, khảo sát.<br /> ­ Phương pháp đàm thoại – gợi mở. <br /> ­ Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.<br /> ­ Phương pháp tác động giáo dục .<br /> ­ Phương pháp thực nghiệm. <br /> II. PHẦN NỘI DUNG<br /> <br /> <br /> 3<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> 1. Cơ sở lí luận<br /> Căn cứ  công văn hướng dẫn số  04/PGDĐT­TĐKT ngày 06 tháng 01 năm <br /> 2015 của Phòng GD­ĐT huyện Krông Ana về việc hướng dẫn viêt, đánh giá SKKN<br /> ́  <br /> từ   năm   học   2015­   2016   (Kèm   theo   Công   văn   số   232   /PGDĐT­TĐKT   ngày   09  <br /> tháng11 năm 2017).<br /> Để việc dạy học đạt kết quả  thì giáo viên  phải hiểu sâu rộng vấn đề  cần <br /> truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy <br /> học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả  năng tự  học, tính <br /> tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự <br /> trao đổi qua các đồng nghiệp, tôi thấy kết quả  của học sinh trong khi học mảng  <br /> kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử được thể  hiện rất rõ qua việc luyện  <br /> tập trên lớp, bài kiểm tra 15 phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một. Có <br /> những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày <br /> sơ  sài, dư  thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều bài không định hình được <br /> cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm cho các em những mẹo nhớ, những  <br /> cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện được chất lượng bài làm, <br /> nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến thức này.<br /> <br /> Việc dạy học phải bám sát vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình <br /> giáo dục phổ thông để xác định mục tiêu của bài học, chú trọng dạy học nhằm đạt  <br /> được các yêu cầu cơ  bản và tối thiểu về  kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không quá  <br /> tải; mức độ  khai thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả  năng tiếp thu <br /> kiến thức của học sinh; sáng tạo về  phương pháp dạy học, phát huy tính chủ <br /> động, tích cực, tự giác của học sinh tạo niềm vui, phấn khởi, nhu cầu hành động <br /> và thái độ  tự  tin trong học tập cho học sinh; dạy học thể hiện mối quan hệ tích <br /> cực giữa giáo viên với học sinh, giữa học sinh với học sinh, chú trọng đến việc <br /> động viên, khuyến khích kịp thời tiến độ của học sinh trong quá trình học.<br /> Muốn phân tích đa thức thành nhân tử  một cách thành thạo và nhanh chóng <br /> thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> thành tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các <br /> phương pháp nâng cao để phân tích, đó là:<br /> a) Phương pháp đặt nhân tử chung  A.B + A.C = A ( B + C).<br /> b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức<br /> Duøng khi caùc haïng töû cuûa ña thöùc coù daïng haèng ñaúng thöùc.<br />  ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2<br />  ( A ­ B )2 = A2 ­ 2AB + B2<br />  A2 ­ B2 = ( A + B )( A ­ B )<br />  ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3<br />  ( A ­ B )3 =  A3 – 3A2B + 3AB2 ­ B3<br />  A3 ­ B3 = ( A ­ B )( A2 + AB + B2) <br />  A3 + B3 = ( A + B )( A2 ­ AB + B2)<br /> c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử<br /> Kết hợp nhiều hạng tử  thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử <br /> chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:<br />         + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.<br /> + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.<br /> + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.<br /> d) Phối hợp các phương pháp cơ bản<br /> Vận dụng và phát triển kỹ  năng  là sự  kết hợp nhuần nhuyễn các phương <br /> pháp cơ bản: <br /> + Phương pháp đặt nhân tử chung<br /> + Phương pháp dùng hằng đẳng thức<br /> + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử<br /> e) Phöông phaùp tìm nghiệm của đa thức: <br /> <br /> <br /> 5<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số <br /> tỉ lệ người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.<br /> Khái niệm của đa thức: số  a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0.  <br /> Như vậy nếu đa thức có nghiệm là a thì nó chứa nhân tử x­ a.<br />   Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước <br /> của hệ số tự do. <br /> Thật vậy giả sử  đa thức a0xn + a1xn­1 +…+  an­1x + an   với các hệ  số  a0 ; a1 ; <br /> a2  ;a3 ;…….an  nguyên, có nghiệm x = a ( a là số nguyên) . <br /> Từ đó suy ra a0xn + a1xn­1 +…+  an­1x + an  = (x – a) (b0xn­1 + b1xn­2 +…+  bn­1)<br /> Trong đó    b0 ; b1 ; b2   ;…….bn­1  nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích <br /> ở vế phải bằng –abn­1,  Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an  <br /> Vì vậy –abn­1= an   suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an<br />   Chú ý khi xét nghiệm nguyên của đa thức,  Cần sử dụng định lí bổ sung sau:<br /> + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số <br /> tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất <br /> + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1<br /> + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số <br /> của các hạng tử bậc lẻ thì ­1 là nghiệm của đa thức  f(x). f(x) có một nhân tử là x <br /> + 1<br /> +  Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(­ 1) khác 0 thì   và   đều là số <br /> nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do<br /> f) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử <br /> + Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình thường. <br /> + Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.<br /> g) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử<br /> h) Phương pháp đặt biến phụ (phương pháp đổi biến)<br /> <br /> <br /> 6<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> k) Phương pháp hệ số bất định<br />  Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy ra các hệ số cần tìm <br /> trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.<br /> m) Phương pháp xét giá trị riêng<br /> Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhận tử  chứa biến  <br /> của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại. <br /> 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu<br /> Điểm kiểm tra khảo sát đầu năm môn toán các lớp 8A1 và 8A3 kết quả như <br /> sau:<br /> Lớp Sĩ số Trên Trung bình Tỉ lệ %<br /> 8A1 27 5 18,5%<br /> 8A3 32 10 31,3%<br /> <br /> <br /> <br />     Từ  kết quả  khảo sát trên thông qua việc điều tra tình hình học tập của các <br /> em học sinh tôi nhận thấy một số thuận lợi như: <br />     + Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường.<br />     + Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.<br />     + Nhà trường có tương đối đầy đủ  phương tiện trang thiết bị phục vụ cho  <br /> dạy học.<br /> Tuy nhiên vẫn còn nhiều khó khăn:<br />     + Trình độ  nhận thức của các em không đồng đều (có nhiều học sinh khá <br /> giỏi nhưng cũng có không ít học sinh yếu kém).<br />  + Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học.<br />     + Học sinh không có sự ôn luyện hè ở nhà.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br />       + Học sinh còn chịu  ảnh hưởng của bệnh thành tích  ở  những năm trước  <br /> không cần học cũng vẫn lên lớp.    <br /> + Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học<br /> + Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân <br /> tử  đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham <br /> khảo. Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng  <br /> nào ? Không biết liên hệ  những gì đã cho trong đề  bài với các kiến thức đã học.  <br /> Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán <br /> khác nhau. Trình  bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. Các em chưa có phương <br /> pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài toán <br /> khó.<br />      + Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưa <br /> thuộc).<br />      + Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa  <br /> tuổi các em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ.<br />    + Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh  <br /> yếu kém.<br />     + Nhiều gia đình kinh tế  khó khăn, bố  mẹ  thường xuyên vào rẫy xa để  trồng  <br /> mía, trồng sắn... chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập.<br />    Từ những thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để <br /> các em học sinh   ngày thêm yêu thích môn toán hơn, hình thành cho học sinh kĩ  <br /> năng giải toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ  động, sáng  <br /> tạo.<br /> Từ  những nguyên nhân các yếu tố  tác động tôi có thể  phân tích các vấn đề <br /> về thực trạng như sau:<br /> + Đối với học sinh : Có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ <br /> thì học sinh  gặp ngay một dạng toán mới tương đối khó đó là phân tích đa thức  <br /> 8<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> thành nhân tử. Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ  đóng vai trò rất quan trọng <br /> trong việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em <br /> phần lớn chưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.  <br /> Hơn nữa, một số kĩ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như <br /> nhân – chia đơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số  công thức về  lũy thừa là chưa <br /> thành thạo. Chính vì thế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.<br /> Đối với giáo viên: Có thể  trong tiết luyện tập, ôn tập về nội dung bài toán <br /> liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những  <br /> đặc điểm trên của học sinh. Cũng có thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ  thể <br /> nhưng chưa định hướng cách giải chung cho dạng toán này.<br />          3. Nội dung và hình thức của giải pháp <br /> a. Mục tiêu của giải pháp <br /> <br />      Đề  xuất các biện pháp sư  phạm để  giúp học sinh biết sử  dụng các <br /> phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  vào giải toán. Góp phần nâng cao <br /> chất lượng dạy học toán ở lớp 8. Tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp <br /> dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại ­ gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò <br /> chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em… để  các em có thể <br /> tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất. <br /> b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp<br /> * Biện pháp 1: Củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản.<br /> <br /> Để  phân tích đa thức thành nhân tử  học sinh phải nắm vững các kiến thức <br /> liên quan đã học. Vì vậy giáo viên phải củng cố, khắc sâu  cho học sinh cña m×nh <br /> c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a <br /> thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a <br /> thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®∙ s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt <br /> thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.<br /> <br /> <br /> <br /> 9<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br />          Đặc biệt giáo viên phải cho học sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch <br /> ®a thøc thµnh nh©n tö.<br />      §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøc <br /> thµnh tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.<br /> Khi giải một số bài toán đơn giản người ta có thể sử  dụng một trong các phương  <br /> pháp giải thông thường như:<br /> + Đặt nhân tử chung.<br /> Ví dụ1:   x2 – 2x= x( x–2) <br /> + Dùng hằng đẳng thức.<br /> Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2<br /> + Nhóm nhiều hạng tử  (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử  khác <br /> nhau)<br /> Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y)  <br /> =  (1– 3y)(x+ 1+3y)  <br /> Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo <br /> các phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể <br /> trên để có thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử.    <br /> Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:<br /> A =  <br />      =  ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y)       (Nhóm các hạng tử)<br />      = 3x( x–y) –5( x–y)                  (Đặt nhân tử chung)<br />      = ( x–y) ( 3x –5)             (Đặt nhân tử chung)<br /> Ví dụ 5:  Phân tích đa thức thành nhân tử:<br />   B = x ­ 2y + x2 ­ 4xy + 4y2<br /> = (x ­ 2y) + (x2 ­ 4xy + 4y2) (Nhóm các hạng tử)<br /> = (x ­ 2y)  + (x ­ 2y)2                          (Dùng hằng đẳng thức)<br /> <br /> 10<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> = (x­ 2y) (1 + x ­ 2y)                (Đặt nhân tử chung)<br /> Vậy muốn  các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các <br /> em lưu ý một số bước sau:<br /> + Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa <br /> thức.<br /> + Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay không ?<br /> + Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải biết <br /> cách nhóm các hạng tử  để  làm xuất hiện nhân tử  chung của các nhóm hoặc xuất <br /> hiện hằng đẳng thức.<br /> Ví dụ 6:  Phân tích đa thức thành nhân tử:<br /> M = x4 +2x3 + x2 ­ 9x2y2  <br /> Nhìn vào biểu thức ta cần dùng phương pháp nào trước để  phân tích? Ta thấy  <br /> các hạng tử có nhân tử chung là x2<br /> + Đặt nhân tử chung: x2( x2 +2x + 1­ 9y2)<br /> Trong ngoặc có 4 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không<br /> + Nhóm hạng tử:   M = x2 x2 ­ 2x + 1 ) ­ 9y2 <br /> +Dùng hằng đẳng thức: M  = x2  ( x ­ 1)2 ­ (3 y)2  xem xét hai hạng tử  trong <br /> ngoặc   có   dạng   hằng   đẳng   thức   nào.Sử   dụng   hằng   đẳng   thức   hiệu   hai   bình <br /> phương ta có:                M = x2 (x ­ 1+ 3y) (x ­ 1 ­ 3y)<br /> Vậy để phân tích tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử  đòi hỏi chúng ta cần <br /> quan sát kĩ  bài toán và sử  dụng linh hoạt các phương pháp trên giải bài toán một <br /> cách logic và chính xác. <br /> Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:<br /> a ­ a = a( a2­ 1 ) = am(a+1)(a­1)      <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 11<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br />            *  Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở  rog các phương pháp thông  <br /> thường cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.<br /> Trong thực tế  làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử  dụng linh hoạt hầu hết tất  <br /> cả  các phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả  mong muốn,   do đó <br /> chúng ta cần  giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài toán  <br /> phức tạp hơn đó là:<br /> + Phương pháp tách hạng tử.<br /> + Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.<br /> + Phương pháp đặt ẩn phụ.<br /> + Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.<br /> + Phương pháp dùng hệ số bất định.<br /> + Phương pháp đặt biến phụ<br /> + Phương pháp xét giá trị riêng.<br /> Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:<br /> 1. Phương pháp tách hạng tử<br /> Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với  <br /> các hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung <br /> với các hạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán.<br /> Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách <br /> tách  tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử <br /> chung.<br /> Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx +c thành nhân tử chung, <br /> ta làm như sau:<br /> Bước 1: Tìm tích ac<br /> Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.<br /> Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b <br /> <br /> <br /> 12<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:<br />   N = 3x2 + 4x – 7.<br />   Cách 1: N = 3x2 +4x ­ 4 ­ 3 (Tách ­7 = ­4 ­ 3)<br /> = (3x2 ­ 3) +(4x­ 4)             (Nhóm hạng tử)<br /> = 3(x2 ­ 1) + 7(x ­ 1)           (Đặt nhân tử chung)<br /> = 3(x ­ 1)(x+1)+7(x ­ 1)      (Dùng hằng đẳng thức)<br /> = (x ­ 1) (3x+7)                   (Đặt nhân tử chung)<br />  Cách 2: 3x2 +7x ­ 3x­ 7     (Tách 4x =  7x ­ 3x<br /> = (3x2 ­ 3x) + (7x ­ 7)         (Nhóm hạng tử)<br /> = 3x (x ­ 1) + 7(x ­ 1)         (Đặt nhân tử chung)<br /> = (x ­ 1) (3x+7)                  (Đặt nhân tử chung)<br /> Ngoài ra tùy từng bài toán cụ thể ta có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử <br /> tự do, hạng tử bậc nhất)<br /> 2. Phương pháp thêm bớt hạng tử<br /> a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương<br /> Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:<br />               P = x4  + 324  = x4  + 182 =  x4  + 182 + 36x2 ­ 36x2  ( thêm bớt 36x2)<br />        = (x2 + 18)2­  (6x)2   ( nhóm hạng tử)<br />         = (x2 + 6x + 18)(x2 ­  6x + 18)  ( dùng hằng đẳng thức)<br /> b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung<br /> Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:<br /> a) Q = a5  + a  + 1<br /> b)  P= x7 + x2 + 1<br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br /> a) Q = a5  + a  + 1 <br /> <br /> <br /> 13<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> =  a5  + a  + 1+ a2 ­ a2                         ( Thêm bớt a2)<br /> = (a5 ­ a2   )+( a2 + a + 1)                     ( Nhóm hạng tử)<br />         = a2(a­ 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng <br /> thức)<br />  =  ( a2 + a + 1)(a3 ­ a2 + 1)                  (Đặt nhân tử chung )<br /> b) P= x7 + x2 + 1<br /> = x7 – x + x2 + x + 1                            (Thêm bớt  x ) <br /> = x(x3+1) (x3­1)+ (x2 + x + 1 )             (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức) <br /> = x(x3+1)(x­1)(x2 + x + 1) +(x2 + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)<br /> =  (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 ­  x + 1 )<br /> Chú ý: Các đa thức dạng  x3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 1,<br /> …. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1<br /> Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên <br /> cần thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.<br /> 3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)<br /> Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br /> a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12<br /> b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128<br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br /> a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12<br />  Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có <br /> thể đặt  ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.<br /> Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1)  ­12  = t2 + t ­ 12 <br /> Sau đó có thể phân tích t2 + t ­ 12 = t2 + 4t ­ 3t ­ 12 ( tách t = 4t ­ 3t)<br />    =( t2 + 4t) ­ (3t +  12)  ( nhóm hạng tử)<br />   =  t( t + 4) ­ 3( t + 4) =  (t + 4)( t ­ 3)  ( đặt nhân tử chung)<br /> <br /> <br /> 14<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Hay  A = (x2 + x+5)( x2 + x ­ 2)<br />  Ta x2 + x+5= (x+  )2 +     0 nên không phân tích được nữa <br /> còn x2 + x ­ 2= (x­1)(x+2)<br /> vậy A = (x2 + x+5)(x ­1 )( x+ 2) <br /> b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128= (x2+ 10x)(x2+10x +24)+128<br /> Đặt x2+10x +12 = y  đa thức đã cho có dạng <br />  ( y +12) ( y­12) +128 = y2 – 16  =( y +4) ( y­4)<br /> = ( x2+10x +16)( x2+10x +8)<br /> =   ( x+2)(x+8)( x2+10x +8)<br /> Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biết, ta đã đứa đa thức bậc bốn  <br /> đối với x thành đa thức bậc hai đối với biến y <br /> 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:<br /> Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d  (1) <br /> Phương pháp:Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lí Bơ  Zu có m là <br /> nghiệm của  (1)thì đa thức  chứa nhân tử (x – m) khi đó dùng phép chia đa thức ta <br /> có: <br /> ax3 + bx2 + cx + d = (x ­ m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp <br /> được dựa vào các phương pháp nêu trên.<br /> Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.<br /> Chú ý: khi xét nghiệm nguyên của đa thức, cần sử dụng định lí bổ sung sau:<br /> + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số <br /> tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất <br /> + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 15<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số <br /> của các hạng tử bậc lẻ thì ­1 là nghiệm của đa thức  f(x). f(x) có một nhân tử là x <br /> + 1<br /> +  Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(­ 1) khác 0 thì  và  đều là số <br /> nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do<br /> + Cũng có thể  tìm nghiệm bằng máy tính casio rồi từ  đó phân tích đa thức <br /> thành nhân tử. <br /> Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br /> a)  A(x) = x3 ­ 5x2 + 8x ­ 4 .<br /> b) B(x)  = 4x3 ­ 13x2 + 9x ­ 18 .<br /> c) C(x) = 3x3 ­ 7x2 + 17x ­ 5<br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br /> a) A = x3 ­ 5x2 + 8x ­ 4  xét tổng các hệ số ta thấy<br /> a + b + c +d = 1 +(­5)+ 8+ (­4) = 0   x1 = 1<br /> A = (x ­ 1) (x2 ­ 4x + 4)  Chia hết cho (x ­ 1) <br /> Sau đó dùng các phương pháp đã có để các em làm tiếp<br /> A= (x ­ 1) (x ­ 2)2<br /> b) B = 4x3 ­ 13x2 + 9x ­ 18 <br /> Ta thấy các ước của 18 là ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18<br /> B(1) = ­18 ; B(­1) = ­44  vì vậy ±1 không phải là nghiệm của B(x) . <br /> Ta thấy ­18/(­3­1); ­18/(±6­1); ­18/(±9­1); ­18/(±18­1) không nguyên nên ; ­3; ±6; ±9;  <br /> ±18 không là nghiệm của B(x)<br />  Ta thấy ­44/ (2+1) không nguyên nên 2 không là nghiệm của B(x). Chỉ còn ­2 và 3  <br /> kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của B(x) do đó ta tách hạng tử  để xuất hiện nhân tử <br /> chung là x – 3 như sau:<br /> B = 4x3 ­ 13x2 + 9x ­ 18 <br /> <br /> <br /> 16<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> = 4x3 ­ 12x2­ x2 +3x + 6x ­ 18 <br /> = 4x2(x – 3) – x(x­3) +6 ( x­3) <br /> = ( x – 3) (4x2– x+6 )<br /> Các em có thể lấy đa thức B chia cho x – 3 được thương là (4x2– x+6 ) số dư là 0 <br /> Các em cũng có thể dùng máy tính casio tìm nghiệm của B rồi dùng sơ đô hoocne  <br /> để phân tích đa thức thành nhân tử.<br /> Ấn như sau:<br /> 4 aphal  x  ^  3 ­13 aphal  x   ^  2 + 9 aphal  x – 18= 0  shift  solve<br /> Nghiệm là x = 3<br />  Ta có sơ đồ hoocne như sau:<br /> 4 ­13 9 ­18<br /> <br /> 3 4 ­1 6 0<br /> <br /> <br /> B = 4x3 ­ 13x2 + 9x ­ 18 <br /> <br /> = ( x – 3) (4x2– x+6 )<br /> c) C(x) = 3x3 ­ 7x2 + 17x – 5<br /> Các số  ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như  vậy,  đa thức không có <br /> nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể  có nghiệm hữa tỉ  khác. Ta chứng minh  <br /> được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữa tỉ nếu có phải có dạng  <br /> p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. <br /> Vì vậy ta xét các số  ±1/3; ±5/3 thì 1/3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức <br /> chứa thừa số 3x­1 nên ta tách đa thức có nhân tử chung là 3x­ 1 như sau:<br /> C(x) = 3x3 ­ 7x2 + 17x – 5<br />  = 3x3 – x2 – 6x2  + 2x + 15x – 5<br />  = x2( 3x ­1)  –2x(3x ­1)  +5(3x ­1)  <br />  = ( 3x ­1)  (x2–2x+ 5)  <br /> <br /> <br /> <br /> 17<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> 5. Phương pháp dùng hệ số bất định (Đồng nhất hệ số)<br /> Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc <br /> ở hai đa thức phải có hệ số bằng nhau . Chẳng hạn  <br /> P(x) = bx2 + 2cx­ 3<br /> Q(x) = x2 ­ 4x ­ p <br /> Nếu P(x) = Q(x)  thì ta có b = 1 (Hệ số của lũy thừa 2) <br /> 2c = ­4   C = ­2                (Hệ số của lũy thừa 1) <br /> p = 3   (Hạng tử không đổi) <br /> Ví dụ 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br /> H =  2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8<br /> Đa thức 2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8 có nghiệm x = 2 nên có nhân tử x ­ 2 <br /> Do đó 2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8 = ( x ­ 2)(2x3 + ax2 + bx+ c)<br /> 2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8  =2x4  +( a ­ 4)x3 + (b ­ 2a)x2 + (c ­ 2b)x ­ 2c<br /> Suy ra:        <br /> Vậy  a = 1,  b = ­5 ,  c = ­ 4<br /> Khi đó  H =  2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8 = ( x ­ 2)(2x3 + x2 ­ 5x­ 4)<br />          2x3 + x2 ­ 5x­ 4 = ( x + 1)(2x2 ­x­ 4)<br /> Do đó: H =  2x4   ­ 3x3 ­ 7x2 + 6x + 8 = ( x ­ 2)( x + 1)(2x2  ­ x­ 4)<br /> Các ví dụ  trên là một trong nh ững bài toán cơ  bản dùng phối kết hợp các <br /> phươ ng pháp phân tích  đa thức thành nhân tử, qua  đó giúp các em nắm bắt  <br /> đượ c một số  bài toán khó khi phân tích đa thức thành nhân tử. Đồ ng thời từ  đó <br /> giúp HS có công cụ  sắc bén để  giải quyết các bài toán rút gọn phân thức cũng  <br /> như giải phươ ng trình.<br /> 6. Phương pháp xét giá trị riêng<br /> Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến  <br /> của đa thức, rồi gán các biến có giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.<br /> <br /> 18<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Ví dụ 13 : Phân tích đa thức thành nhân tử:<br /> A= x2 (y – z) + y2( z­x) +z2( x – y) <br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br /> Thử thay x bởi y thì A = y2 (y – z) + y2( z­y) +z2( y – y)= 0 <br /> Như vậy A chia hết cho x – y <br /> Ta lại thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì A không đổi ta nói đa thức  A có  <br /> thể hoán vị vòng quanh x yzx . Do đó nếu A chia hết cho x – y thì cũng chia hết <br /> cho y – z , z – x.do đó A có dạng k (x – y )(y – z )( z – x) và k là hằng số.<br />  Vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích  (x – y )(y – z )( z – x) <br /> cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z.<br /> Vì đẳng thức x2 (y – z) + y2( z­x) +z2( x – y) = k (x – y )(y – z )( z – x) đúng với <br /> mọi x, y, z nên ta gán x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y= 1, z= 0 chỉ cần  <br /> chúng đôi một khác nhau ta được kết quả như sau:<br /> 4.1+1.(­2)+0=k 1.1.(­2) <br /> Suy ra k = ­1 <br /> Vậy A = ­1 (x – y )(y – z )( z – x)<br /> * Biện pháp 3: Giúp HS sử dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức  <br /> thành nhân tử vào giải toán<br />          Bài 1:Giải phươ ng trình:<br /> a) 6x4 – x3 – 7x2 + x +1 = 0<br /> 6x4 – x3 – x2  ­ 6x2 + x +1 = 0<br /> x2( 6x2 – x – 1) – ( 6x 2 ­  x – 1) = 0<br /> (x2­ 1)(2x­1)(3x+1) = 0<br /> Nghiệm là ­1;1;;<br /> b) x3 – 5x2+ 8x­4 =  0<br /> <br /> <br /> 19<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Ta thấy x=1 là nghiệm của ph ươ ng trình (vì 1­5+8­4=0)<br /> do đó : x3 – 5x2+ 8x­4 chia h ết cho x­1.<br /> Thực hiện phép chia đa thức đượ c thươ ng x 2­ 4x +4<br /> Khi đó x3 – 5x2+ 8x­4 =  0 (x­1)(x 2­ 4x +4) = 0 (x­1)(x­ 2) 2 = 0<br /> Nghiệm của ph ương trình là 1 và 2<br /> Bài  2:Rút gọn phân thức<br /> A= = =  2<br /> B==  <br /> B=<br />  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />   M = 2x2 + 4x + 10<br /> Biến đổi  M =  2(x+ 1)2 + 8<br /> Vì (x+1)2  0 nên M 8<br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8 tại x= ­1<br /> Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 24 với n là số tự nhiên:<br /> N = <br /> Giải: Trước tiên ta phân tích : n5­ 5n3 + 4n = n( n4 – 5n2+4) = n( n4 – n2 ­ 4n2+4)<br /> = n[n2( n2 – 1) – 4(n2 – 1)] = n2( n2 – 1)(n2 – 4)<br /> = n(n­1)(n + 1)(n­2)(n+2)<br /> Khi đó:      N = .<br /> Kết quả của biểu thức trên là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp. Trong 4 số tự <br /> nhiên liên tiếp có 2 số chẵn và 2 số lẻ. Trong hai số chẵn đó, một số chia hết cho 4 <br /> nên tích hai số chẵn chia hết cho 8. Trong hai số lẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 3.  <br /> Từ đó suy ra tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 hay N chia hết cho 24.<br /> Bài 5: Chứng minh rằng x8n + x4n  + 1 Chia hết cho x2n + xn  + 1 với mọi số tự nhiên <br /> n.<br /> <br /> 20<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br /> x8n + x4n  + 1= x8n  + 2 x4n +1 ­  x4n = (x4n+1)2 – (x2n)2 <br /> =  (x4n+1– x2n) (x4n+1+ x2n)<br /> = (x4n+1– x2n) (x4n+ 2x2n + 1­ x2n)<br /> = (x4n+1– x2n) (x2n + 1­ xn) (x2n + 1+ xn)<br /> Vậy x8n + x4n  + 1 Chia hết cho x2n + xn  + 1<br /> Bài 6: Chứng minh rằng x3m+1 + x3n+2   + 1 Chia hết cho x2 + x   + 1 với mọi số  tự <br /> nhiên n, m.<br /> Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:<br />    x3m+1 + x3n+2  + 1= x3m+1 – x + x3n+2  ­ x2+x2 +x + 1<br />    = x(x3m­ 1)+ x2( x3n – 1) + (  x2 +x + 1)<br /> Ta thấy x3m­ 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1) , do đó chia hết cho x2 +x + 1<br /> Vậy x3m+1 + x3n+2  + 1 Chia hết cho x2 + x  + 1 với mọi số tự nhiên n, m.<br /> Một số  phương pháp và có dạng bài tập tương  ứng trên mong sao giúp các  <br /> em HS rèn luyện cho mình kỹ  năng giải các bài toán về  phân tích đa thức thành  <br /> nhân tử, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bài toán chứng minh.<br /> <br /> Tôi đã chú trọng đến nhân tố tác động đến chất lượng giờ dạy tiết học.<br /> * Kỹ năng sư phạm<br /> Khâu tổ  chức lớp: Nếu làm tốt khâu này thì rõ ràng hiệu quả  tiết dạy sẽ <br /> được nâng cao. Học sinh ra vào lớp theo hướng dẫn của giáo viên, học sinh thực <br /> hiện nghiêm túc theo nội quy trong giờ học; Giáo viên kiểm tra sĩ số, GV bám sát  <br /> tình hình học tập của học sinh <br /> Tầm bao quát lớp: Giáo viên có tầm bao quát lớp tốt sẽ  nắm bắt tình hình <br /> học tập chung của cả  lớp, của từng học sinh. Bên cạnh đó, còn thúc đẩy các em  <br /> học tập tích cực hơn. <br /> Biện pháp quản lí học sinh: Thể  hiện trong suốt tiết học, quản lí việc làm <br /> bài tập và ý thức học tập của các em.<br /> <br /> <br /> <br /> 21<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> * Một số nhân tố khác:<br /> Biện pháp xử lí những trường hợp học sinh vi phạm: Đòi hỏi ở giáo, viên <br /> một phong cách chuẩn mực về cả chuyên môn và nhân cách để  có những cách <br /> xử sự hợp lí, để  học sinh của mình tâm phục, khẩu phục. Giáo viên phải thực <br /> sự nghiêm minh nhưng phải quan tâm, gần gũi với học sinh, đặc biệt là những <br /> học sinh cá biệt. …<br /> * Phương pháp dạy học của giáo viên<br /> Tổ  chức hài hòa, nhịp nhàng tiết học: Để  hoàn thành mục tiêu của từng <br /> tiết học thì sự phân chia thời gian của từng nội dung, điều khiển tiến trình dạy  <br /> học một cách lôgic là cần thiết.<br /> Vận dụng linh hoạt các phương pháp sư phạm: Thực hiện mục tiêu của  <br /> tiết dạy: Tùy theo đặc thù kiến thức của mỗi tiết dạy mà giáo viên có phương <br /> pháp riêng cho phù hợp như: vấn đáp tái hiện, vấn đáp minh họa, phát hiện và  <br /> giải quyết vấn đề, … đặc biệt vận dụng bản đồ tư duy ở một số tiết dạy.<br /> Củng cố tiết học: Giáo viên củng cố lại kiến thực trọng tâm của tiết học <br /> để học sinh nắm bắt được những kiến thức quan trọng của tiết học.<br /> Ra nhiệm vụ về nhà cho học sinh: Mỗi tiết học giáo viên phải có những <br /> yêu cầu cụ  thể  cho tiết học sau như: về  nhà học bài cũ, chuẩn bị  kiến thức  <br /> mới, ôn tập, …<br /> * Phương tiện dạy học<br /> Đồ  dùng dạy học: Sự  chuẩn bị của giáo viên cho mỗi tiết dạy – thước  <br /> gỗ là đồ dùng không thể thiếu: Giáo dục học sinh đức tính cẩn thận, tạo ra âm <br /> thanh lớn gây sự chú ý của học sinh, giúp giáo viên dễ dàng ổn định trật tự, lớp <br /> học thực sự nghiêm túc thì thành công của tiết dạy đó rất lớn.<br /> * Một số nhân tố khác<br /> Thứ  nhất, giáo viên truyền đạt chính xác, đầy đủ  các kiến thức cơ  bản về <br /> phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên.<br /> Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy  <br /> lý thuyết về những bài tập cơ  bản, sau đó luyện giải các dạng bài tập cụ  thể, đa <br /> dạng từ  dễ  đến khó trong tiết luyện tập. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và  <br /> trình bày bài làm cho học sinh yếu, trung bình vì đây là đối tượng học sinh rất mau <br /> quên kiến thức, hay chán nản và dễ bị mất kiến thức, thờ  ơ với phương pháp học <br /> tập ở cấp THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm <br /> bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.<br /> <br /> <br /> <br /> 22<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Thứ  ba, bài tập về  về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  tuy đa <br /> dạng nhưng với chương trình Sách giáo khoa yêu cầu các dạng bài tập cơ bản, do  <br /> đó với mỗi dạng bài tập giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến <br /> thức đã áp dụng, cách trình bày…sau khi giải hoặc hướng dẫn, giáo viên nên chỉ ra  <br /> một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để  khi gặp bài tương tự, học sinh có thể <br /> tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.<br />   Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm  <br /> thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều <br /> em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn bực,  <br /> thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả <br /> khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh, bởi đối với  <br /> cấp THCS, lứa tuổi lớp 8 và lớp 9 chưa ổn định..<br /> Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức  <br /> mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng <br /> kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào <br /> biết được mức độ nắm bắt kiến thức của bản thân để  điều chỉnh tốt hơn. Thông <br /> qua đó, kịp thời liên hệ với giáo viên chủ nhiệm lớp (nếu không làm công tác chủ <br /> nhiệm)   hoặc  liên   hệ   trực  tiếp   với  phụ   huynh   học   sinh   (nếu  là   giáo  viên   chủ <br /> nhiệm) để thông báo tình hình học tập, chất lượng kiểm tra chủ đề kiến thức đang <br /> học để nhắc nhở, chấn chỉnh các em.<br /> c. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp<br /> <br /> Các biện pháp trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và tác động qua lại để <br /> đem lại kết quả  chung. Khi được giáo viên củng cố  khắc sâu kiến thức cơ  bản  <br /> học sinh sẽ nắm các kiến thức một cách vững chắc giúp các em dễ dàng hơn cho <br /> việc biến đổi để phân tích đa thức thành nhân tử. Khi được giáo viên cung cấp cho <br /> nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sẽ giúp học sinh linh hoạt hơn  <br /> khi vận dụng vào giải các bài toán.<br /> <br /> ­ Giáo viên xây dựng kế hoạch kèm theo những giải pháp cụ thể, sau đó  <br /> trình ban giám hiệu nhà trường để xin ý kiến chỉ đạo.<br /> ­ Giáo viên vận dụng linh hoạt các phương pháp trong từng tiết dạy cụ <br /> thể.<br /> ­ Giáo viên phải nghiêm khắc giáo dục đạo đức, ý thức học cho học sinh.<br /> <br /> 23<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> ­ Giáo viên cần xác định rõ mục tiêu và kế  hoạch cụ  thể  của từng tiết <br /> học.<br /> d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu phạm <br /> vi và hiệu quả ứng dụng<br /> <br /> Theo tôi nghĩ nội dung đề  tài SKKN này đã góp phần không nhỏ  trong  <br /> việc dạy và học. Bởi nó đã  cung cấp được cơ  bản lượng kiến thức cần thiết  <br /> về tỉ lệ thức cho các em học sinh, giúp các em có thể tự học, tự rèn luyện thêm, <br /> đồng thời đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cũng cần thường xuyên tham khảo tài <br /> liệu, tự tích lũy trang bị thêm cho bản thân vốn kiến thức cơ  bản tối thiểu để <br /> tự tin  hơn mỗi khi đứng trên bục giảng. <br /> Bản thân tôi đã trực tiếp vận dụng các giải pháp vào các lớp dạy của <br /> mình thì thấy sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại hiệu quả một cách thiết thực.<br /> Qua khảo nghiệm kết quả qua các năm học, thì sau khi áp dụng các biện <br /> pháp của sáng kiến kinh nghiệm chất lượng của bộ môn tăng dần.<br /> Học sinh học tập một cách tích cực, chủ động.<br /> Mỗi tiết học đều có những chuyển biến tích cực trong việc lĩnh hội kiến  <br /> thức, kĩ năng thực thực đối với học sinh.<br /> Qua thực tế  giảng dạy học kì I đại số  8 năm học 2017 ­ 2018. Sau khi xây <br /> dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2016 ­ <br /> 2017 tôi đã vận dụng vào các giờ  dạy  ở  các lớp 8A1, 8A3 chủ  yếu vào các tiết  <br /> luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy  <br /> rằng tỉ lệ bài tập học sinh  giải đúng tăng lên.Cụ thể : <br /> <br /> Bài kiểm tra 15 phút số 1: Tổng số 59 em<br /> <br /> Số  bài kiểm tra đạt trung bình trở  lên là 51 em chiếm 86,44%. (Ở  năm học  <br /> 2015­2016 là 78%) Tuy mới dừng lại  ở  các bài tập chủ  yếu mang tính áp dụng <br /> nhưng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.<br /> <br /> Bài kiểm tra chương I : Tổng số 59 em<br /> <br /> Số bài kiểm tra đạt trung bình trở lên là 57 em chiếm 96,7% (ở năm học 2015­<br /> 2016 là  71%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận.<br /> <br /> 24<br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Bài kiểm tra 15 phút số 2 : Tổng số 59 em<br /> <br /> Số  bài kiểm tra đạt trung bình trở  lên là 58 em chiếm 98,3% (ở  năm học <br /> 2015­2016 là  83%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư duy cao.<br /> <br /> Sau khi áp dụng các biện pháp trên, tôi thấy học sinh có nhiều tiến bộ, các em  <br /> tiếp cận kiến thức một cách nhẹ  nhàng hơn, kết quả  học tập của các em khả <br /> thi hơn; học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn, trình bày một bài toán khoa học  <br /> chặt chẽ  hơn, đặc biệt các em yêu thích, hứng thú học toán hơn. KÕt qu¶ häc <br /> tËp cña häc sinh ®îc n©ng lªn râ rÖt qua c¸c giê häc, qua mçi kú thi, ®Æc biÖt lµ <br /> c¸c em høng thó häc to¸n h¬n, sö dông thµnh th¹o c¸c thñ thuËt ph©n tÝch ®a <br /> thøc thµnh nh©n tö ®Ó lµm c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n tÝch ®a <br /> thøc ®¹t kÕt qu¶ tèt. Bªn c¹nh ®ã c¸c ph¬ng ph¸p nµy gióp c¸c em dÔ dµng tiÕp <br /> cËn víi c¸c d¹ng to¸n khã vµ c¸c kiÕn thøc míi còng nh viÖc h×nh thµnh mét sè kü <br /> n¨ng trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ gi¶i to¸n khi häc bé m«n to¸n. <br /> Kết quả giảng dạy năm học 2016 – 2017 sau khi áp dụng các biện pháp trên đạt <br /> được như sau:<br /> Lớp Sĩ số Trên TB Tỉ lệ %<br /> 8A1 37 36 97,2%<br /> 8A3 32 28 87,5%<br /> <br /> Kết quả giảng dạy sau năm học 2017 ­ 2018 khi áp dụng các biện pháp trên đạt  <br /> được như sau:<br /> Lớp Sĩ số Trên TB Tỉ lệ %<br /> 8A1 27 26 96,2%<br /> 8A3 32 32 100%<br /> <br />  Kết quả mủi nhọn năm học 2016 – 2017 sau khi áp dụng các biện pháp trên <br /> đạt được 1 học sinh công nhận, 1học sinh đạt giải khuyến khích cấp huyện.<br /> <br /> <br /> 25<br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam ­ Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk    <br />  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017­2018<br /> Kết quả mủi nhọn năm học 2017 – 2018 sau khi áp dụng các biện pháp trên <br /> đạt được 1 học sinh công nhận, 1học sinh đạt giải nhất cấp huyện.<br /> Theo tôi nghĩ nội dung nghiên cứu của SKKN này sẽ đáp ứng được lượng kiến  <br /> thức cần thiết cho các em học sinh có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời đối <br /> với mỗi  giáo viên, đã tạo cho chúng ta nhiều suy nghĩ để  mỗi người tự  tích lũy  <br /> thêm cho bản thân vốn kiến thức ngày một trọn vẹn để  mỗi ngày dạy tốt hơn, có <br /> nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau này hay và giá trị hơn những ý tưởng có trước.<br /> III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ<br />        1. Kết luận<br />        Các biện pháp trình bày trên đây chưa hết những gì mà người giáo viên thực  <br /> hiện trong quá trình giảng dạy đối với các em học sinh. Với lượng kiến thức ngày <br /> một nâng cao và khó thêm học sinh sẽ  gặp khó khăn hơn để  ghi nhớ  những kiến <br /> thức đồ  sộ  của tất cả  các môn học trong đầu. Vì thế  rất cần sự  truyền đạt kiến  <br /> thức của thầy, cô giáo tới học sinh một cách dễ  hiểu. Từ  đó tôi thấy mình cần <br /> phải học hỏi nhiều hơn nữa, nghiên cứu nhiều hơn nữa những loại sách để bổ trợ <br /> cho môn toán. Giúp bản thân mình ngày một vững vàng hơn về  kiến thức và <br /> phương pháp giảng dạy, giúp cho học sinh  không còn coi môn toán là môn học khó  <br /> khăn  và đáng sợ nhất. Đồng thời không chỉ  với môn đại số 8 mà tôi cần tiếp cận <br /> với những mảng kiến thức khác của môn toán để làm sao khi giảng dạy kiến thức <br /> truyền đạt tới các em sẽ k