SKKN: Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến đã góp phần làm rõ cơ sở lí luận và thực tiễn trong việc khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS giáo dục thường xuyên khá và giỏi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác

MỤC LỤC MỤC TÊN MỤC TRANG I. LỜI GIỚI THIỆU 1 II. TÊN SÁNG KIẾN 1 III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 1 IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN 1 V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 1 VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ 1 VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 1 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2 1. Cơ sở lý luận 2 2. Thực trạng 2 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 LƯỢNG GIÁC 1. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác 4 1.1 Lí thuyết về đường tròn lượng giác 4 1.2 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác 5 1.3 Bài tập vận dụng 13 2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác 18 2.1. Công thức lượng giác 18 2.2. Kỹ năng dùng công thức lượng giác 18 2.3. Bài tập vận dụng 24 3. Kĩ năng dùng hàm số lượng giác 26 3.1 Hàm số lượng giác 26 3.2 Kĩ năng dùng hàm số lượng giác 27 3.3 Bài tập vận dụng 31 CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI 33 TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC” 1. Về phương diện lý luận 33 2. Về phương diện thực tiễn 33 3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến 34 KẾT LUẬN 36 VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT 36 IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 36 X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN 36 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ XI. 37 HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU TÀI LIỆU THAM KHẢO 38
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Chữ viết tắt Nội dung GD&ĐT Giáo dục và đào tạo GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I. LỜI GIỚI THIỆU Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Phương pháp giáo dục là phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên. Một trong những nội dung đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá. Năm 2017, lần đầu tiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm. Về kiến thức hàn lâm thì không thay đổi nhưng cách giải quyết vấn đề hoàn toàn thay đổi. Trong một bài thi học sinh phải giải quyết một lượng nhiều câu hỏi trải rộng trên nhiều vấn đề chỉ trong một thời gian ngắn xuất hiện nhiều dạng toán mới lạ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trọng tâm và phải có kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm. Đặc biệt với các em học sinh lớp 11 có rất nhiều dạng toán mới đòi hỏi các em đã bắt đầu cần có xu hướng tư duy nghiên cứu và sáng tạo. Lượng giác là một phần toán rất quan trọng trong chương trình toán 11. Để có kĩ năng cho học sinh giải bài tập trắc nghiệm phần lượng giác tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là “ Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”. II. TÊN SÁNG KIẾN “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác” III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ và tên: Doãn Hoài Nam. - Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc. - Số điện thoại: 0987272900. - Email: doanhoainam.c3yenlac@gmail.com. IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm. V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học lượng giác lớp 11 THPT. VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ Ngày 10 tháng 10 năm 2019. VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 1
MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận: 1.1. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì? Trắc nghiệm khách quan là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin. 1.2. Ưu điểm và nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Ưu điểm:  Khảo sát được số lượng lớn thí sinh.  Kết quả nhanh.  Điểm số đáng tin cậy.  Ngăn ngừa học tủ học lệch vì lượng kiến thức kiểm tra lớn. - Nhược điểm:  Do có nhiều học sinh lười học nên có khuynh hướng khoanh bừa vì vậy không thấy rõ diễn biến tư duy của học sinh.  Biên soạn đề tốn công sức. 1.3. Sự khác biệt giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm Bài toán tự luận yêu cầu thí sinh phải trình bầy lời giải một cách tuần tự với đầy đủ các bước để giải quyết vấn đề. Bài toán trắc nghiệm khách quan có nhiều dạng, tuy nhiên trong bài thi THPT quốc gia sẽ chỉ xuất hiện câu hỏi dạng lựa chọn 1 trong 4 phương án. Tức là cho trước 4 phương án lựa chọn, đáp số bài toán là một trong bốn phương án A, B, C, D. Trong đó một phương án đúng các phương án còn lại là các phương án nhiễu. Lưu ý có hai loại phương án nhiễu. +) Loại 1: Nhiễu xa tức là phương án này tách biệt hoàn toàn với phương án đúng, thí sinh dễ dàng tìm được đáp án đúng. +) Loại 2: Nhiễu gần tức là phương án này gần giống phương án đúng, có khả năng gây rối cao cho học sinh. Để loại được phương án này thí sinh cần có kiến thức cơ bản tốt và suy luận tốt. 2. Thực trạng: +) Khó khăn của học sinh khi làm bài thi bằng hình thức trắc nghiệm. Khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian bởi thí sinh phải vận dụng cả kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian ngắn. Khó khăn thứ hai là câu hỏi trắc nghiệm đa dạng từ dễ đến khó. +) Trước kia khi dạy học lượng giác mới chỉ có dạng bài tập giải phương trình lượng giác. Học sinh chưa biết cách làm bài tập trắc nghiệm dựa vào lí thuyết lượng giác. Để làm được điều này đòi hỏi học sinh phải rất vững về lí thuyết và thông qua bài tập trắc nghiệm rèn được học sinh tính sáng tạo, tư duy sâu sắc. 2
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm về lượng giác và kĩ năng giải quyết các câu hỏi đó. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả. 3
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC 1. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác: 1.1. Lí thuyết về đường tròn lượng giác + 𝐴 − +) Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương. Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy để được ký hiệu là AB Nhận xét: Đường tròn lượng giác, cung lượng giác, góc lượng giác là khái niệm rất khó đối với học sinh phổ thông. Mỗi điểm trên đường tròn là biểu diễn điểm cuối của vô số cung lượng giác và góc lượng giác. +) Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD . D Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM O M tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, C tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (𝑂𝐶, 𝑂𝐷). +) Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 vẽ đường tròn định hướng tâm 𝑂 bán kính 𝑅 = 1. B(0;1) Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại 4 điểm 𝐴(1; 0), 𝐴′ (−1; 0), 𝐵(0; 1), 𝐵′(0; −1). + Ta lấy 𝐴(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là A’(-1;0) A(1;0) đường tròn lượng giác (gốc A). O B’(0;- 1) +) Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2𝜋 . Ta viết: sđ AM = 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 4
+) Số đo của góc lượng giác (𝑂𝐴, 𝑂𝐶) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. +) Chọn điểm gốc 𝐴(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trêN đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo 𝛼 trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M thuộc cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức: sđ AM = 𝛼. 1.2. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác 1.2.1. Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong các câu hỏi về tính đồng biến nghịch biến của hàm lượng giác cần nắm rõ tính chất như sau: Hàm y = sin x đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên phải trục tung, nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trái trục tung. Hàm y = cos x đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên dưới trục hoành, nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trên trục hoành.  Hàm y = tan x đồng biến trên các khoảng không chứa điểm k ( về hình ảnh 2 khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trái hoặc bên phải trục tung) Hàm y = cot x nghịch biến trên các khoảng không chứa điểm k ( về hình ảnh khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trên hoặc bên dưới trục hoành) Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?   A. y = tan x nghịch biến trong  0;  . B. y = cos x đồng biến trong  − ; 0  .  2   2    C. y = sin x đồng biến trong  − ; 0  . D. y = cot x nghịch biến trong  0;  .  2   2  Lời giải: Dựa vào nhận xét trên có ngay đáp án là A Ví dụ 2: Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 5 7 9 11  7 7 9 A.  ;  . B.  ; . C.  ;3  . D.  ;   4 4   4 4   4   4 4  Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D 11𝜋 9𝜋 4 4 5𝜋 7𝜋 4 4 5
Ví dụ 3: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng ( 0;  ) . B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ( ; 2 ) .   C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng  − ;  .  2 2 3 5 D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng  ;  .  2 2  Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D 5𝜋 2 𝜋 2𝜋 0 3𝜋 𝜋 − 2 2 1.2.2. Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong câu hỏi về phương trình lượng giác học sinh cần thành thạo kĩ năng biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn. +) Kĩ năng nhận dạng số điểm biểu diễn: 2 Luôn viết góc lượng giác dưới dạng  + k . Khi đó n là số điểm biểu diễn. n   Ví dụ 1: x = +k được biểu diễn 6 điểm trên đường tròn lượng giác. Khi đó ta 43  lấy mốc là điểm rồi chia đường tròn làm 6 phần. 4 7𝜋 12 𝜋 4 11𝜋 12 5𝜋 − 5𝜋 12 4 5𝜋 − 12 6
+) Kĩ năng xem một khoảng là bao nhiêu vòng quay: 3 Ví dụ 2: Khoảng  − ; 10  có điểm xuất phát và điểm cuối là điểm A, B và quay  2  5,75 vòng. +) Khi đó dựa vào câu hỏi của đề bài để xử lí câu trả lời Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 trên đoạn  0; 2  . A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải: Đoạn  0; 2  được biểu diễn bằng 1 vòng quay vậy số nghiệm của phương trình trên đoạn đó là 2 Đáp án: D 3 Ví dụ 4 : Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn  − ;10  là:  2  A. 12 . B. 11 . C. 20 . D. 21 . Lời giải : 3 Đoạn  − ;10  được biểu diễn bằng 5,75 vòng.  2  Vậy số nghiệm của phương trình là 12. Đáp án : A 1    Ví dụ 5: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x = trên đoạn  − 2 ; 2  2 5    A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 6 3 2 6 7
𝜋 Lời giải: 2 Vẽ đường tròn lượng giác    Suy ra nghiệm trên đoạn  − ;  là x = 𝜋  2 2 6 6 Đáp án: D 𝜋 − 2    Ví dụ 6: Phương trình sin  3x +  = − 3 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;   3 2  2 A. 3. B. 4. C. 1. D. 2 Lời giải: 𝜋 𝜋 𝜋 11𝜋 𝜋 Khi 𝑥 ∈ (0; ) suy ra 3𝑥 + ∈ ( ; ). 𝐴 2 3 3 6 3 Dùng đường tròn suy ra số nghiệm của phương trình là 2. Đáp án: D 𝐵 −√3 2 Ví dụ 7: Cho phương trình 3sin x −1 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc  0;   của phương trình là:  2 4 A.  . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải: Vẽ đường tròn lượng giác ta thấy 1 đường thẳng y = cắt đường tròn tại 3 2 điểm suy ra phương trình có 2 nghiệm là  và  −  . 1 𝑦= Vậy tổng nghiệm là  3 Đáp án : A 8
3 Ví dụ 8: Phương trình sin 2 x = − có hai công thức nghiệm dạng  + k ,  + k 2    ( k  ) với  ,  thuộc khoảng  − ;  . Khi đó,  +  bằng  2 2    A. . B. − . C.  . D. − . 2 2 3 Lời giải: x =  + k  2x = 2 + 2k và x =  + k  2 x = 2 + 2k   Do x   − ;   2 x  ( − ;  ) .  2 2 Dùng đường tròn lượng giác suy ra:   2 = −  = − 3 6 2  2 = −  =− 𝜋 3 3 −𝜋 Đáp án : B 2𝜋 𝜋 − − 3 3   Ví dụ 9: Tổng các nghiệm thuộc khoảng  − ;  của phương trình 4sin 2 2 x −1 = 0  2 2 bằng:   A.  . B. . C. 0 . D. . 3 6 1 Lời giải: 4sin 2 2 x − 1 = 0  cos4 x = 2   Do x   − ;   4 x  ( −2 ; 2 )  2 2 Vẽ đường tròn lượng giác nhận ra ngay 2𝜋 tổng các nghiệm bằng 0. −2𝜋 Đáp án: C Nhận xét: Bài toán trên nếu thay phương trình 4sin 2 2 x −1 = 0 bằng phương trình 6sin 2 2 x − 1 = 0 nếu không dùng đường tròn lượng giác sẽ rất dài dòng và gặp rất nhiều khó khăn. Ví dụ 10 : Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10 ) ? A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 9
Lời giải: sin x = −1  PT đã cho  −2sin 2 x + 4sin x + 6 = 0    x=− + k 2 , ( k  ). sin x = 3 (VN ) 2 Theo đề: x  ( 0;10 ) . Khoảng này được biểu diễn bởi 5 vòng tròn vì vậy phương trình có 5 nghiệm trên khoảng đó. Đáp án : A Ví dụ 11: Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2 ) . 11 7 A. S = . B. S = 4 . C. S = 5 . D. S = . 6 6 Lời giải: Ta có: ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0  − ( 2 cos 2 x + 5 ) cos 2 x + 3 = 0 . 7𝜋 3  −2cos 2 (2 x) − 5cos 2 x + 3 = 0 𝜋 1 3 ⇔ cos𝑥 = 2 0 x  ( 0; 2 )  2 x  ( 0; 4 ) . 2𝜋 4𝜋 Dùng đường tròn lượng giác suy ra: 5𝜋  5 7 11 3 2x = ; 2x = ; 2x = ; 2x = 11𝜋 3 3 3 3  5 7 11 3 Do đó: S = + + + = 4 . 6 6 6 6 Đáp án: B 1.2.3. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong giải phương trình lượng giác có điều kiện Ví dụ 1: Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x = tan3x (1) 171 190 A. 55 . B. . C. 45 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn C    x  + k  cos x  0  Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa   2 (*) cos 3x  0  x   + k  6 3 k Khi đó, phương trình (1) 3x = x + k  x = (2) 2 Dấu X biểu thị điểm cuối của góc bị loại (*), 10
dấu . biểu thị điểm của góc tìm được (2) . Nhìn trên đường tròn ta được nghiệm là  x = k 2  x =  + k 2 , x =  0;30  k = 0;...; 4  x  0;  ; 2 ;....;9   Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 . 2sin 2 x − 3 Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình: = 0 (1) 2 cos x − 1      x = + k .  x = + k . 6 6 A.  , (k  Z ) B.  , (k  Z )  x =  + k .  x = −  + k .  3  3      x = 6 + k .  x = 6 + k .2 C.  , (k  Z ) D.  , (k  Z )  x = − 2 + k .2  x =  + k .  3  3 Lời giải: Chọn C Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa 1  cosx   x   + k 2 2 3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc bị loại là dấu X.    x = + k 3 6 Khi đó, phương trình (1) sin 2 x =  (2) 2  x =  + k  3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc (2) là . 11
So sánh với điều kiện bằng đường tròn lượng giác ta được đáp án C. Ví dụ 3: Cho phương trình cos 4 x − cos 2 x + 2sin x = 0. Tính diện tích đa giác có các 2 cos x + sin x đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. 2 2 A. 2. B. 2 2. C. . D. . 2 4 Lời giải:  Điều kiện: sin x + cos x  0  x  − + k , k  . 4 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc bị loại là 2 điểm Phương trình tương đương: cos 4 x − cos 2 x + 2sin 2 x = 0  2cos2 2 x − 1 − cos 2 x + 1 − cos 2 x = 0  cos2 2 x − cos 2 x = 0  x = k cos 2 x = 1   x =  + k  . (*) cos 2 x = 0  4 2 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc nghiệm (*)là 6 điểm. Trong đó có 2 điểm trùng với góc bị loại.  x = k Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là   x =  + k .  4 Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật ACA’C’  như hình vẽ, trong đó AOC = . 4 1  Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là S ACA 'C' = 4SOAC = 4. .OA.OC.sin = 2. 2 4 12
1.3. Bài tập vận dụng 1    Câu 1. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x = trên đoạn  − 2 ; 2  . 2 5    S= S= S= S= A. 6 . B. 3. C. 2. D. 6. Câu 2. Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? 2. A. Điểm D , điểm C . B. Điểm E , điểm F . C. Điểm C , điểm F . D. Điểm E , điểm D .  Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin  x +  = 1 thuộc đoạn  ; 2  là: 4   A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . Câu 4. Phương trình 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x  ( 0; 2 ) ? A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô số nghiệm. Câu 5. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  −2018 ; 2018  ? A. 20179 . B. 20181 . C. 16144 . D. 16145 . 5 Câu 6. Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình 2sin x 1 0 là: 2 A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . Câu 7. Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc  0;   của phương trình là: 4  2 A. 3 . B.  . C. 3. D. 3 . 1    Câu 8. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x = trên đoạn  − 2 ; 2  . 2    5 S= S= S= S= A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. 6 . 3 Câu 9. Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn  − ;10  là:  2  13
A. 12 . B. 11 . C. 20 . D. 21 .  Câu 10. Phương trình: 2sin  2 x −  − 3 = 0 có mấy nghiệm thuộc khoảng ( 0;3 ) .  3 A. 8 . B. 6 . C. 2 . D. 4 . 1  Câu 11. Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x = − có dạng x = + k và 2 m  x=− + k , k  ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m + n bằng n A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Câu 12. Phương trình 2cos  x +   = 1 có số nghiệm thuộc đoạn  0; 2  là 3   A. 1 B. 2 C. 0 D. 3   k Câu 13. Nghiệm của phương trình cot  x +  = 3 có dạng x = − + , k  , m ,  3 m n k n * và là phân số tối giản. Khi đó m − n bằng n A. 5 . B. −3 . C. −5 . D. 3 . Câu 14. Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x −1 = 0 trong đoạn  0;   là: 11 2 5 A. x =  . B. x = . C. x = . D. x = . 12 3 6 1 Câu 15. Cho hai phương trình cos3x −1 = 0 (1); cos 2 x = − (2). Tập các nghiệm của 2 phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là  A. x = + k 2 , k  . B. x = k 2 , k  . 3  2 C. x =  + k 2 , k  D. x =  + k 2 , k  . 3 3 Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là 1 nghiệm của phương trình cos 2 x = − . 2 2      2   A.  , ,  . B.  , ,  ;  , ,  .  3 6 6 3 3 3  3 6 6           C.  , ,  ;  , , . D.  , ,  . 3 3 3 4 4 2 3 3 3 5 Câu 17. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0;  là  2 A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . 1 Câu 18. Số nghiệm của phương trình cos x = thuộc đoạn  −2 ; 2  là? 2 A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Câu 19. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ;  ) ? 14
A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x − cos x = 0 trên khoảng ( 0; 2 ) bằng T . Khi đó T có giá trị là: 7 4 A. T= . B. T = 2 . C. T= . D. T = . 6 3  5  Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0; là  2  A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 22. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10  của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 . 105 105 297 299 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Câu 23. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10 ) ? A. 5 B. 4 C. 2 D. 3 Câu 24. Phương trình cos 2 x + 2cos x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; 2019 ) ? A. 320 . B. 1009 . C. 1010 . D. 321. Câu 25. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10 ) ? A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 26. Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2 ) . 11 7 A. S = . B. S = 4 . C. S = 5 . D. S = . 6 6 5 Câu 27. Số nghiệm thuộc khoảng 0;3 của phương trình cos 2 x cos x 1 0 là 2 A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 28. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .   A. x = . B. x = 0 . C. x =  . D. x = . 2 4 Câu 29. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ;  ) ? A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 9 15 Câu 30. Số nghiệm của phương trình sin  2 x +  − 3cos  x −   = 1 + 2sin x với  2   2  x   0;2 là: A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 15
Câu 31. Phương trình 4 tan 2 x − 5 tan x + 1 = 0 có m nghiệm trong khoảng  2017 2017  − ; ?  2 2  A. m = 2017 . B. 4032 . C. m = 4034 . D. m = 2018 . Câu 32. Trong khoảng ( 0; 2 ) , phương trình cos 2 x + 3cos x + 2 = 0 có tất cả m nghiệm. Tìm m . A. m = 1. B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Câu 33. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10  của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 . 105 105 297 299 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Câu 34. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn 0; 200  của phương trình 2cos2 x + 3sin x + 3 = 0 10403 A. T = 10150 . B. T = 10050 . C. T = . D. 2 20301 T= . 2   Câu 35. Số nghiệm của phương trình cos 2 x + 3 cos x − 1 = 0 trong đoạn  − ;  là:  2 2 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . x x Câu 36. Tính tổng S các nghiệm của phương trình (2 cos x + 5)(sin 4 − cos 4 ) + 3 = 0 2 2 trong khoảng ( 0; 2 ) 11 5 7 A. S = . B. S = . C. S = 2 . D. S = . 12 2 12 Câu 37. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Câu38. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 5x cos 7 x = cos 4 x sin8x trên ( 0; 2 ) bằng 19 9 A. . B. . C. 5 . D. 7 . 3 2 Câu 39. Phương trình sin 2x + 3cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0;  ) A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 40. Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;13  của phương trình 2cos3 x + cos2 x + cos 2 x = 0 . Tính tổng các phần tử của S . 380 420 400 A. B. C. 120 D. 3 3 3 Câu 41. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 trên khoảng ( 0;3 ) là 16
11 25 A. 5 . B. . C. . D. 6 . 3 6 Câu 42. Cho phương trình ( 2sin x − 1) ( 3 tan x + 2sin x ) = 3 − 4 cos 2 x . Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn  0; 20  của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T . 570 875 880 1150 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 43. Số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 trong 0; 2018 là A. 1008 . B. 2018 . C. 2017 . D. 1009 . Câu 44. Số nghiệm của phương trình sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x trong khoảng ( 0;5 ) là: A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Câu 45. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8cot 2 x ( sin 6 x + cos 6 x ) = sin 4 x 1 2 trên đường tròn lượng giác là : A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 . 3 3 Câu 46. Số nghiệm thuộc  − ; −  của phương trình 3 sin x = cos  − 2 x  là:  2   2  A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 .  4   Câu 47. Số nghiệm thuộc khoảng  − 3 ; 2  của phương trình   cos ( + x ) + 3 sin x = sin  3 x −  là  2 A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . Câu 48. Với −  x   số nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x + cos 4 x = 0 là A. 3 . B. 6 . C. 8 . D. 0 . Câu 49. Phương trình (1 + cos 4 x ) sin 2 x = 3cos 2 2 x có tổng các nghiệm trong đoạn 0;   là:  3 2 A. . B. . C.  . D. . 3 2 3 Câu 50. Tìm số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + cos 2 x − 1 = 0, x  0; 4 ) . A. 8 B. 2 C. 4 D. 12 Câu 51. Phương trình sin 3x + 2cos 2 x − 2sin x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc  7  − ;0  .  8  A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 . 17
cos x − 3 sin x Câu 52. Tìm nghiệm của phương trình =0. 2sin x − 1  7 A. x = + k ; k  . B. x = + k 2 ; k  . 6 6 7  C. x = + k ; k  . D. x = + k 2 ; k  . 6 6 Câu 53. Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 trên đường tròn lượng giác là: tan x + 3 A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác: 2.1. Công thức lượng giác: sin( x + y ) = sin x cos y + cosx sin y sin( x − y ) = sin x cos y − cosx sin y Công thức cộng: cos( x + y ) = cosx cos y − sin x sin y cos( x − y ) = cosx cos y + sin x sin y sin 2 x = 2sin x cosx cos2x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x Công thức nhân đôi, nhân ba: cos3x = 4 cos3 x − 3cos x sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 Công thức tổng thành tích: x+ y x− y co s x + co s y = 2co s cos 2 2 x+ y x− y co s x − co s y = −2sin sin 2 2 1 cosx.cosy = [cos( x + y ) + c os( x − y )] 2 1 Công thức tích thành tổng: s inx.sin y = − [cos( x + y ) − c os( x − y )] 2 1 sinx.cosy = [sin( x + y ) + sin( x − y )] 2 2.2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác: Dùng công thức lượng giác để biến đổi điều kiện phù hợp với bài toán cos 2 x + 3sin x − 2 Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình = 0 là: cos x 18