SKKN: Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú cho học sinh khi học toán. Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh. Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trường học thân thiện, học sinh tích cực”. Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực hành giải toán, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn ĐỀ TÀI SKKN: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa và hiện đại hóa, để thành công thì yếu tố con người đóng vai trò quyết định. Do vậy xã hội đang rất cần những con người có khả năng lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề khó. Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ động. Việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi là đặc biệt quan trọng và cần được bồi dưỡng thường xuyên bời chính các em là thế hệ nhân tài của đất nước. Trong chương trình Toán THPT, Phép biến hình được giảng dạy ở lớp 11, là một nội dung khó, tài liệu tham khảo không nhiều, và có nhiều ứng dụng hay nhưng chưa được khai thác. Vì vậy tôi xin trình bày một ứng dụng của phép biến hình trong giải toán hình học, cụ thể là “SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN” Khi gặp bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn trên mặt phẳng toạ độ Oxy chúng ta thường hướng học sinh vào suy nghĩ thông thường đó là tìm tâm và bán kính của đường tròn. Trong đa số các bài toán thì việc xác định tâm và bán kính của đường tròn dựa trên sự mô tả của giả thiết về đường tròn đó, tuy nhiên có một số bài toán giả thiết lại không mô tả về đường tròn đó mà lại mô tả về một đường tròn có liên quan đến đường tròn phải tìm, bằng một phép biến hình bài toán đó được giải quyết thế nào? Trong nội dung bài viết này tôi xin trình bày cách sử dụng phép biến hình để giải quyết một số bài toán như vậy. Do kinh nghiệm công tác còn hạn chế, thời gian tìm hiểu nội dung còn hạn chế nên bài viết chắc chắn còn thiếu sót rất mong nhận được sự chia sẻ của các đồng nghiệp. 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục tiêu 1/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú cho học sinh khi học toán. Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh. Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trưòng học thân thiện, học sinh tích cực”. Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực hành giải toán, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. 2.2.Nhiệm vụ Nêu và giải quyết một số bài toán viết phương trình đường tròn bằng phép biến hình. Giúp học sinh biết thêm về việc vận dụng phép biến hình trong giải toán. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng Ứng dụng của phép biến hình trong thực hành giải toán trên mặt phẳng toạ độ. 3.2. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm. Học sinh khá, giỏi lớp 11A4 năm học 20132014. 3.3. Phạm vi nghiên cứu, kế hoạch nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của phép biến hình trong việc giải một số bài toán viết phương trình đường tròn.(Áp dụng với đối tượng học sinh khá, giỏi). Kế hoạch nghiên cứu: Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong năm học từ 2013 2014 (11A4, 11A6, 11A8) và trực tiếp giảng dạy các lớp khối 12 năm học 2014 2015. Thời gian nghiên cứu: Năm học 20132014. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: 2/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, từ điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan đến đề tài. Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu có liên quan đến nội dung kỹ năng, ứng dụng phép biến hình vào giải toán THPT. Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học . Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm. 5. Cấu trúc của đề tài: Đề tài gồm 3 phần: Mở đầu, Nội dung và Kết luận Phần Nội dung gồm 2 phần: I: Cơ sở khoa học của đề tài II: Thực trạng của đề tài III: Giải quyết vấn đề 3/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh lớp 11 vận dụng phép biến hình vào thực hành giải toán và và biết tư duy tìm ra tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán viết phương trình đường tròn. 2. Cơ sở thực tiễn Trong chương trình môn toán THPT, sách giáo khoa mới trình bày nội dung phép biến hình ở chương I sách giáo khoa hình học lớp 11, đây là nội dung kế tiếp của chương trình hình học lớp 10 sau khi học sinh học xong chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Do vậy cùng với việc trình bày khái niệm các phép biến hình trong chương này học sinh biết được biểu thức toạ độ của các 4/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn phép biến hình, các bài tập trong chương này cũng chủ yếu là các bài tập sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình để giải quyết, điều đó không chỉ làm giảm tính hàn lâm của việc trình bày các khái niệm về phép biến hình mà còn trang bị cho học sinh một công cụ giải toán hữu ích, công cụ này làm cho các bài toán như: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng, bài toán tìm đỉnh của hình bình hành, bài toán viết phương trình đường thẳng là ảnh của một đường thẳng cho trước qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, viết phương trình đường tròn là ảnh của một đường tròn cho trước qua qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự và sau này là bài toán tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng, mặt phẳng, ảnh của mặt cầu qua phép đối xứng qua mặt phẳng trong không gian được giải quyết một cách đơn giản, gần gũi và phong phú hơn. Ở đây tôi chỉ đề cập đến việc sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán viết phương trình đường tròn, đây là một bài toán khá mới mẻ và ít gặp. II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tình hình chung việc dạy và học toán ở trường THPT tôi nhận thấy : Việc sử dụng phép biến hình vào giải toán hình học được dạy và học rất ít, cụ thể là chỉ dừng lại ở bài toán tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn qua một phép biến hình bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình. Nhiều học sinh khi học về phép biến hình các em thường không biết sử dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn lý thuyết vào thực hành. Qua trao đổi với một số đồng nghiệp thì nguyên nhân ít sử dụng phép biến hình vào giải bài toán viết phương trình đường tròn cho học sinh là do : Phần lớn các bài tập trong sách cũng chỉ là dạng cơ bản về viết phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm, bán kính thông qua biểu thức tọa độ của các phép biến hình. Trong các kỳ thi hiện nay, phép biến hình chưa phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa thời lượng chương trình dành cho nội dung này không nhiều nên không có điều kiện để đi sâu thêm các vấn đề có liên quan. Bản thân giáo viên có thể chưa thực sự quan tâm đến nội dung mới mẻ này. Mặt khác tài liệu viết về sử dụng phép biến hình để giải toán còn ít. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài Tham khảo trên 50 HS lớp 11A4, Trường THPT Phú Xuyên A, năm học 20132014. 5/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài toán trong mặt phẳng tọa độ yêu cầu tìm ảnh của một đường tròn qua một đường tròn đã biết em sẽ :  Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thông qua biểu thức tọa độ.  Cố gắng giải bằng phép biến hình  Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ hoặc phép biến hình) tùy theo đặc điểm từng bài. Kết quả : Nội dung Kết quả Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ 48 Cố gắng giải bằng phép biến hình 0 Lựa chọn phương pháp giải tùy theo 2 đặc điểm từng bài. Phần lớn HS chưa biết sử dụng phép biến hình để viết phương trình đường tròn. Nguyên nhân : Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình. Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế. III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ tính chất của các phép biến hình mà ta đã biết 1 Tính chất của phép dời hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay) : Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. 2 Tính chất của phép đồng dạng (phép vị tự): Biến một đường tròn có bán kính R thành một đường tròn có bán kính k R (k là tỉ số vị tự) Và hai bài toán quen thuộc: Bài toán 1 6/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C cố định trên (O), A là điểm thay đổi trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi Sơ lược cách giải: Cách 1(Sử dụng phép tịnh tiến) Gọi BB’ là đường kính của (O) thì B’ là điểm cố định, dễ dàng chứng minh uuur uuuur r ( A) = H được tứ giác AHB’C là hình bình hành do vậy: AH = B ' C hay Tuuuu B 'C Do tập hợp A là (O) nên tập hợp {H} là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép uuuur tịnh tiến theo B ' C . Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C. O' B C H O B' A Phân tích: Nếu biết hai đỉnh và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn đi qua hai đỉnh đó và trực tâm của tam giác. Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm) Gọi AA’ là đường kính của (O) dễ dàng chứng minh HBA’C là hình bình uuuur uuuur hành. Gọi D là trung điểm của BC thì D là điểm cố định và DA ' = − DH hay phép đối xứng tâm D biến A’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm D. Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C. 7/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn A' B O' D O C H A Phân tích: Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đồng thời có thể xác định được các đỉnh và trực tâm của của tam giác ABC. Cách 3 (dùng phép đối xứng trục) Gọi AA’ là đường kính của (O), H’ là giao của AH và (O), D là trung điểm của BC. Dễ dàng chứng minh được BC song song với A’H’ từ đó suy ra DK là đường trung bình của tam giác HA’H’ vậy BC là đường trung trực của HH’ hay phép đối xứng trục BC biến H’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng trục BC.Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C. H' B O' K A' D H O C A Phân tích: Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài toán 2 8/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , các điểm A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB. CMR: A’, B’, C’ thuộc (O) Sơ lược cách giải Gọi AA’’ là đường kính của đường tròn (O) , D là giao của AH và BC, I là trung điểm của BC. Ta dễ chứng minh được tứ giác HCA’’B là hình bình hành. Do đó I là trung điểm của HA’’, mặt khác D là trung điểm của HA’ nên DI là đường trung bình của tam giác HA’A’’ hay DI //A’A’’ suy ra A ' A '' ⊥ AA ' hay A’ thuộc (O). Tương tự chứng minh B’, C’ thuộc (O) A B' C' H O B D I C A' A'' Phân tích: Từ bài toán trên ta thấy (O) cố định, H là điểm cố định, D là chân đường uuuur uuur cao hạ từ A của tam giác ta luôn có HA ' = 2 HD hay phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến D thành A’. Như vậy nếu biết trực tâm tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác thì có thể xác định đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác và ngược lại. Tôi tìm cách giải một số bài toán ví dụ sau: Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết B(1;1), C(4;2) và đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B,C của tam giác. Phân tích: Đây là bài toán có yêu cầu: Viết phương trình đường tròn. Khi gặp bài toán này học sinh sẽ nghĩ đến một trong hai hướng giải sau: Hướng thứ nhất: Tìm tâm I của đường tròn cần tìm dựa trên các giả thiết của bài toán sau đó tính R= IB hoặc R= IC 9/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Hướng thứ hai: Tìm toạ độ điểm H là trực tâm tam giác ABC sau đó viết phương trình đường tròn qua ba điểm H, B, C. Tuy nhiên giả thiết của bài toán không cho phép làm được các việc trên vì ở đây có vô số tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đầu bài do điểm A không xác định cụ thể. Nhưng nếu suy nghĩ kĩ học sinh có thể để ý thấy mặc dù điểm A không xác định cụ thể về vị trí nhưng quỹ tích của A đã xác định và đặt câu hỏi đường tròn cần tìm có liên quan gì đến (quỹ tích của điểm A) đường tròn đã cho? Và nếu học sinh đã biết bài toán ở trên thì dễ ràng đưa ra ba cách giải cho ví dụ này như sau: Cách 1 (Dùng phép tịnh tiến) B1: Gọi BB’ là đường kính của đường tròn. Chứng minh đường tròn cần tìm là uuuur ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo B ' C uuuur B2: Tìm toạ độ tâm I và bán kính của (C) từ đó suy ra toạ độ B’ và toạ độ B ' C uur uuuur B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức II ' = B ' C và viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’ , bán kính R. Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm) B1: Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm D B2: Tìm tâm I và bán kính của (C), tìm toạ độ D uuur uuur B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức DI ' = − DI , viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R Cách 3 (Dùng phép đối xứng trục) B1: Chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục BC. B2: Tìm tâm I và bán kính R của (C), tìm I’ đối xứng I qua BC B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R Ví dụ 2. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Biết trực tâm tam giác là H(2;2) và đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác là (C): x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cách giải: B1: Chứng minh phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến chân các đường cao của tam giác thành các điểm tương ứng trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Suy ra phép vị tự 10/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn tâm H tỉ số 2 biến đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác thành đường tròn ngoại tiếp tam giác B2: Tìm I là tâm, R là bán kính của đường tròn (C), tìm I’ là ảnh của I qua phép uuur uuur vị tự tâm H tỉ số 2 qua hệ thức HI ' = 2 HI , R’=2R B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R’ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Hd Giải: a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì O1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) . b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác O1O2O3 . Ví dụ 4 ( bài toán 2tr17HH11NC). Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định . Với mỗi điểm M, ta xác định uuuuur uuur uuur điểm M’ sao cho MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) . HD Giải: Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì : uuur uuur uuur uuuuur uuur MA + MB = 2MI , suy ra : MM ' = 2MI . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’ Vì A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó DI : M M ' . Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R . Ví dụ 5 ( Bài 17tr19HH11NC). 11/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. (Hay: tìm quỹ tích của H khi A thay đổi ). Hd Giải: Nối đường kính AM, tìm vị trí của H. Ta thấy CH ⊥ AB và MB ⊥ AB suy ra CH//BM. Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành, do đó hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC. Do B, C cố định cho nên I cố định. Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Mặt khác M chạy trên (O; R) do đó H chạy trên đường tròn (O’; R) là ảnh của (O; R) qua phép đối xứng tâm I. Ví dụ 6 ( Bài 35tr10BTHH11NC). Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua A, M 2 là điểm đối xứng với M 1 qua B và M 3 là điểm đối xứng với M 2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M 3 ? Giải . 12/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Từ hình vẽ ta có : Do M 1 , M 2 đối xứng nhau qua B cho nên BM 1 = BM 2 ( 1) Vì M 2 và M 3 đối xứng nhau qua C cho nên : CM 2 = CM 3 (2). Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình của tam giác M 1M 2 M 3 , có nghĩa là BC// M 1M 3 (3). Gọi D là trung điểm của M M 3 thì AD là đường trung bình của tam giác MM 1M 3 AD / / M 1M 3 (4). Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành. Có nghĩa là D cố định. Như vậy : DD : M M 3 . Mà M chạy trên (O) cho nên M 3 chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D. Ví dụ 7 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A( có bán kính khác nhau ) .Một điểm M nằm trên đường tròn (O) . Dựng đường tròn đi qua M và tiếp xúc với O và O’. HD Giải: Vẽ hình minh họa cho học sinh . Gọi S là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’) ,N là ảnh của M qua phép vị tự tâm S, M’ là giao điểm thứ hai của AN với (O’) , Gọi O’’ là giao của OM với O’M’ O '' M O '' M ' ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : = ( O ' N = O ' M ') nên O’’M=O’’M’ . Chứng O'N M 'O ' tỏ (O’’) tiếp xúc với (O) và (O’) tại M và M’ . Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung của O và O’ cắt OO’ tại S . Nối SA cắt (O’) tại N và M’. O’ chính là giao của OM với O’M’ Ví dụ 8 ( Bài 29tr29HH11NC) . Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N. Phương pháp: Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C) cho sẵn. Trước hết ta cần phải làm một số việc sau 1. Trong hình H đã cho, ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó (có thể là đường tròn, có thể là một đường thẳng) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó. 13/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn 2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng, từ đó tìm ra một tỉ số không đối k. uuur uur 3. Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k . 4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k. Nêu cách dựng (C’) . HD Giải: Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diện làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó. Ta có kết quả sau : * Do O, I cố định cho nên OI=a không đổi. Gọi N là chân đường phân giác của góc MOI ( N thuộc IM), từ đó ta có : NI OI a NI a a = = � = � IN = IM NM OM R NM + NI a + R a+R a uur a uuur Hay: � IN = IM � IN = IM . a+R a+R Vì I cố định cho nên V( I ,k ) : M N . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k . * Cách xác định (O’;R’) như sau uuur uur Nối OI , tìm O’ sao cho : IO ' = kOI , từ đó suy ra O’. Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra : R’=kR . ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường tròn có bán kính là O’N ) 14/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Một số bài tập tương tự 1. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có H (0;1) là trực tâm biết phương trình cạnh BC là x − y + 3 = 0 , phương trình đường tròn qua H,B,C là ( x + 2) 2 + ( y + 4) 2 = 13 . Tìm toạ độ đỉnh A của tam giác và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác. 2. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC, cạnh AB nằm trên trục Ox, phương trình đường tròn đia qua trực tâm tam giác và các đỉnh A, B là x 2 + y 2 + x + 2 y − 2 = 0 . Tìm các đỉnh A, B của tam giác và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Biết trực tâm của tam giác là H(1;1) và đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 16 . Viết phương trình đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác. 15/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn 4. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6x + 2 y + 1 = 0 . Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : xy0 . 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R, các dỉnh B,C cố định còn A thay đổi trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn . 6. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu? 7. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R. M là một điểm di động trên O, phân giác góc IOM cắt IM tại M’. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên đường tròn O. 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ từ A cắt (O), (O’) theo thứ tự tại B, C. Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O); (O’) tại M, N. Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM, khi d thay đổi? 9. Cho đường tròn O và một điểm A nằm trong O, M là một điểm di động trên đường tròn O. a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM? b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O tại P và P’. Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’? c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’? 10. Cho đường tròn (O) và một điểm P ngoài O. M là một điểm thay đổi trên O. H là hình chiếu vuông góc của của O trên PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM? b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH? PHẦN III. KẾT LUẬN 1. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ ĐỐI CHỨNG: Sau khi thực hiện đề tài, tôi thấy học sinh hứng thú hơn với sử dụng phép biến hình vào giải toán. Tôi cho học sinh trả lời câu hỏi điều tra kết quả thay đổi rõ ràng so với trước khi thực hiện đề tài. Cụ thể là: Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài toán trong mặt phẳng tọa độ yêu cầu tìm ảnh của một đường tròn qua một đường tròn đã biết em sẽ :  Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thông qua biểu thức tọa độ.  Cố gắng giải bằng phép biến hình 16/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn  Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ hoặc phép biến hình) tùy theo đặc điểm từng bài. Kết quả : Nội dung Kết quả Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ 15 Cố gắng giải bằng phép biến hình 6 Lựa chọn phương pháp giải tùy theo 29 đặc điểm từng bài. Như vậy đứng trước một bài toán học sinh đã có sự linh hoạt, tự tin để lựa chọn phương pháp giải phù hợp; từ đó mà năng lực giải toán của các em cũng được phát triển. 2. BÀI HỌC KINH NGHIỆM Từ bài toán trên tôi rút ra một số bài học kinh nghiệm sau: Về bài toán viết phương trình đường tròn: Để viết phương trình nói chung cần đi xác định tâm và bán kính của đường tròn. Để làm được điều này cần chú ý đến sự mô tả của giả thiết về đường tròn cần tìm và mối quan hệ giữa các đối tượng cho trong bài toàn. Tìm hiểu thêm các bài toán trong chương III SGK hình học lớp 10 cũ và chương I sách giáo khoa lớp 11 mới để đưa ra một số bài toán viết phương trình đường tròn bằng việc ứng dụng phép biến hình. Về việc bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn: Không ngừng tìm hiểu học tập, sáng tạo trong quá trình công tác. Về phương pháp dạy học: Cần tìm cách khai thác kết quả các bài toán trong sách giáo khoa để đưa ra các bài toán cụ thể, phù hợp hoặc tổng quát các bài toán cụ thể thành một bài toán có phương pháp giải chung. Điều này giúp nâng cao khả năng sáng tạo của giáo viên đồng thời cũng giúp học sinh có những “ Bữa ăn cải thiện” trong quá trình học toán, tạo sự hứng thú, phấn khởi, khơi dậy lòng đam mê và khả năng sáng tạo của học sinh. 3. KIẾN NGHỊ Đề nghị hội đồng khoa học nhà trường xem xét thẩm định và giới thiệu đề tài đến các giáo viên dạy toán cùng tham khảo. 17/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn Tôi nghĩ đây là một nội dung khá phong phú rất mong được các đồng nghiệp quan tâm khai thác, đề xuất ý kiến bổ xung cho đề tài ngày càng hoàn thiện. Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết không sao chép nội dung của người khác! 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa hình học, sách bài tập 10 2003, NXB Giáo dục. 2. Sách giáo khoa, Sách bài tập hình học 11 chương trình chuẩn, 2007, NXB Giáo dục. 3. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11 chương trình nâng cao, 2007, NXB Giáo dục. 4. Các bài giảng luyện thi môn Toán, NXB Giáo dục, Tác giả Nguyễn Mạnh Sơn, Nguyễn Doãn Phú, Lê Duy Nam. 5. Internet. 6. Phần mềm vẽ hình Cabri II. 18/19
Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn MỤC LỤC 19/19