Số khuyết của hàm phân hình phi Acsimet

Chia sẻ: Năm Tháng Tĩnh Lặng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo giới thiệu một vài kết quả mới về số khuyết của hàm phân hình phi Acsimet. Các kết quả này liên quan đến bài toán ngược của Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet. Đó là vấn đề xây dựng các hàm phân hình phi Acsimet mà số khuyết của nó tại những điểm đã cho bằng các số cho trước.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Số khuyết của hàm phân hình phi Acsimet

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _____________________________________________________________________________________________________________ SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET MỴ VINH QUANG* TÓM TẮT Bài báo giới thiệu một vài kết quả mới về số khuyết của hàm phân hình phi Acsimet. Các kết quả này liên quan đến bài toán ngược của Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet. Đó là vấn đề xây dựng các hàm phân hình phi Acsimet mà số khuyết của nó tại những điểm đã cho bằng các số cho trước. Từ khóa: lí thuyết Nevanlinna, hàm phân hình, số khuyết. ABSTRACT Defect of non-Archimedean meromorphic functions This paper introduces several new results of the defect of non-Archimedean meromorphic functions. These results are related to the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, which is building non-Archimedean meromorphic functions of which defect at the given points are equal to given numbers. Keywords: Nevanlinna Theory, Meromorphic function, Defect. 1. Mở đầu Cho là K trường đóng đại số, đặc số không và | . | là chuẩn phi Acsimet đầy đủ trên K . Chuỗi lũy thừa  f  z    an z n , an  K n 0 hội tụ trên K được gọi là hàm chỉnh hình trên K . Tập A  K  các hàm chỉnh hình trên K với các phép toán thông thường làm thành miền nguyên. Trường các thương của A  K  , kí hiệu là M  K  , được gọi là trường các hàm phân hình trên K . Mỗi phần tử   M  K  gọi là hàm phân hình trên f  z K . Như vậy, một hàm phân hình   z  trên K đều có dạng:   z   với g  z f  z  , g  z  là các hàm chỉnh hình trên K . Với mỗi f  A  K  và số thực r  0 , ta định nghĩa hạng tử tối đại của f   r, f  f :   r , f   max  an r n  . Nếu   M  K  thì   r,   . n 0 g   r, g  * PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: quangmv@hcmup.edu.vn 76 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _____________________________________________________________________________________________________________ Với mỗi   M  K  , ta kí hiệu n  r ,  (tương ứng, n  r ,  ) là số các cực điểm kể cả số bội (tương ứng, không kể bội) của hàm phân hình  trong hình cầu đóng B  0, r  . Hàm đếm các cực điểm của  được định nghĩa như sau: n  t ,   n  0,  r N  r,   0 dt  n  0,  log r t r n  t ,    n  0,   N  r,   0 dt  n  0,  log r t Khi đó, mệnh đề dưới đây được gọi là tương tự phi Acsimet của công thức Poision – Jensen (xem [5], [7]). Mệnh đề 1.1.  1 Cho   M  K  . Khi đó N  r ,   N  r ,    log   r ,    C ,   trong đó, C là hằng số chỉ phụ thuộc vào  . Cho  là hàm phân hình trên K . Khi đó: m  r ,   log    r ,    max 0, log   r ,  , được gọi là hàm xấp xỉ của  . T  r ,    m  r ,   N  r ,  , được gọi là hàm đặc trưng của  . Dễ thấy T  r ,  là hàm tăng theo biến r và nếu  là hàm phân hình khác hằng số thì lim T  r ,    . r  Mệnh đề dưới đây cho ta cách tính hàm đặc trưng. Mệnh đề 1.2. f Cho   M K  với f , g  A  K  và không có không điểm chung. Khi đó: g T  r ,   max log   r , f  ,log   r ,g   O 1 Hai định lí dưới đây đóng vai trò nền tảng trong lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet, được xây dựng bởi H.H. Khoái, M.V. Quang, A. Boutabaa. (xem [1], [5], [7]) 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _____________________________________________________________________________________________________________ Định lí 1.3. (Định lí cơ bản thứ nhất) Cho  là hàm phân hình trên K và a  K . Khi đó  1  T  r,   T  r ,    O 1   a Định lí 1.4. (Định lí cơ bản thứ 2) Cho r là số thực dương,  là hàm phân hình khác hằng số trên K và a1 , a2 ,..., aq  K là các phần tử phân biệt. Khi đó ta có q  1         N  r, q  1 T r ,   N r ,     N Ram  r ,    log r  O 1 i 1    ai  q  1   1  N  r ,    N  r ,   N 0  r ,   log r  O 1 i 1    ai   '  1 trong đó, N Ram  r ,    N  r ,   2 N  r ,    N  r ,  ' là hạng tử rẽ nhánh và  '  1 N 0  r ,  là hàm đếm các không điểm của  ' khi  không nhận các giá trị  ' a1 , a2 ,..., aq . Định nghĩa 1.5. Cho  là hàm phân hình khác hằng số trên K và a  K . Số khuyết của hàm  tại a được định nghĩa bởi:  1   1  m  r,  N  r,   a    a     a   lim inf  1  limsup r  T  r ,  r  T  r ,   1  N  r,   a    a   1  lim sup  r  T  r ,  Số khuyết của hàm  tại  được định nghĩa như sau: m  r ,  N  r ,       liminf  1  limsup r  T  r ,  r  T  r ,  N  r,       1  limsup r  T  r,  78 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _____________________________________________________________________________________________________________ Hiển nhiên 0    a     a   1 . Từ các định lí 1.3, 1.4, ta có các kết quả sau đây về số khuyết. (xem[5], [7]) Định lí 1.6. Cho  là hàm phân hình khác hằng số trên K . Khi đó tồn tại nhiều nhất một phần tử a  K   để   a   0 . Do đó    a   1 . aK  Định lí 1.7. Cho  là hàm phân hình khác hằng số trên K . Khi đó, ta có    a   2 . aK  Nội dung chính của bài báo này là một số kết quả liên quan đến bài toán ngược của Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet. Cụ thể là xây dựng hàm phân hình phi Acsimet với số khuyết tại các điểm đã cho bằng các số cho trước. 2. Các kết quả chính Ta bắt đầu bằng hai bổ đề rất hữu ích sau Bổ đề 2.1. Cho dãy an n1 trong K , an  0, n và lim an   . Khi đó tích vô hạn n    z  f  z    1   n 1  an  hội tụ và là hàm chỉnh hình trên K . Tập không điểm của f  z  chính là an n1 . Chứng minh. n  z  Đặt f n  z    1   . Với mỗi r  0 , tồn tại n0 sao cho an  r với mọi k 1  ak  n  n0 . Khi đó   r , f n    r , f n  với mọi n  n0 . Do đó, với n  n0 , 0  z  r   r , f n1  f n     r , f n1    r ,     r , f n .  0 khi n   .  an  an 0 Vậy f n  z  là dãy Cauchy do đó hội tụ trong hình cầu đóng B  0, r  . Do đó f  z  là hàm chỉnh hình trên K . Ta có ak là không điểm của f n  z  với n  k nên ak là không điểm của f  z  . Ngược lại, giả sử a  K là không điểm của f  z  . Gọi n 0 là số tự nhiên thỏa an  a với mọi n  n0 . Khi đó với mọi n  n0 , ta có: 79 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _____________________________________________________________________________________________________________ f n  a   f n  a  do đó fn0  a   lim f n  a   f  a   0 . 0 n  Vậy f n  a   0 hay f n  a   0 do đó a  ak . 0 0 Vậy tập không điểm của f  z  chính là an n1 □ Bổ đề 2.2. Cho 0    1 ,  là số thực dương. Giả sử n là số lớn nhất trong các số nguyên k  k thỏa     . Khi đó ta có:   n k  2 n       O k 1    2 Chứng minh. k k  k Ta có  1     , do đó       1  n      1  *  2    n      2    ** n k  1 n 1 n  n  1 2 Suy ra     k     O    (do (*)) k 1    k 1  2 2 n k  1 n 1 n  n  1 2     k  n   n    O    (do (*)). k 1    k 1  2 2 n k  2 Bởi vậy,       O    . Kết hợp với (**), ta có k 1   2 n k  2 n        O   . k 1    2 Bổ đề đã được chứng minh. □ Định lí dưới đây giải quyết trọn vẹn vấn đề ngược của Định lí 1.6. Định lí 2.3. Cho    0,1 và   K   . Khi đó luôn luôn tồn tại hàm phân hình  trên K sao cho      . Chứng minh. 80 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _____________________________________________________________________________________________________________ Đầu tiên ta chứng minh tồn tại  M  K  để       . Nếu   1 thì  f     1 với mọi hàm chỉnh hình f . Do đó có thể xem   0,1 . Khi đó xét các hàm số     z , g  z    1  z  , f  z    1   i    i 1     i 1  ai   a 1   trong đó, a  K và a  1 . Theo bổ đề 2.1, f  z  , g  z  là các hàm chỉnh hình trên K với tập không điểm lần   i   lượt là  a 1   và  a i  . i 1  i 1 i  Gọi n là số lớn nhất trong các số tự nhiên i thỏa   log a  log r . 1    n  i  i  . Suy ra log   r , f   n log r     Khi đó   r , f   r n  a  1  log a i 1 1    log r Áp dụng Bổ đề 2.2 với   1   và   , ta có log a 2 log   r , f   1     log r   O  log r  . 2 log a 2 Hoàn toàn tương tự, ta có: log   r , g    log r   O  log r  2log a g  z Xét hàm phân hình   z   . Áp dụng các mệnh đề 1.1 và 1.2, ta có f  z 2  1 N  r ,   N  r ,   log r   O log r   1       f  2 log a 2 T  r ,    log r   O  log r  2log a N  r ,  Do đó,      1  lim sup  r  T  r ,  1 Bây giờ, chọn     , ta có      và định lí đã được chứng minh □  81 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _____________________________________________________________________________________________________________ Định lí 2.4.  1  Cho 1   0,1 ,  2  1  k   và 1 ,  2  K   . Khi đó luôn luôn tồn tại  k  hàm phân hình trên K sao cho  1   1 ,   2   2 . Chứng minh. Đầu tiên, ta xây dựng hàm phân hình  thỏa      1 ,   0   2 . Xét các trường hợp sau 1 1) 1  1 và  2  1  . k  z Xét hàm   g k với g  z     1  i  . Vì  là hàm chỉnh hình trên K nên  i 1  a       1. Mặt khác,  1  1 N  r,  N  r,   g 1   0   1  lim sup   1  lim sup   1 r  T  r ,  r  kT  r ,g  k Vậy      1 ,   0   2 . 1 2) 1   0,1 ,  2  1  . Xảy ra một trong những khả năng sau k 1 fk a) k  . Khi đó, xét hàm   1  1 g      z z với g  z    1   và f  z     1   i  , i 1  ai  i 1      a 1   1 trong đó a  K , a  1 và   1   0    1 . k 1  1  Theo chứng minh trong Định lí 2.3, ta có 2 log   r , g    log r   O  log r  2log a 2 log   r , f   1     log r   O  log r  2 log a 2 log   r , f  log r  k   k 1    2log a  O  log r  82 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _____________________________________________________________________________________________________________ 1 1 Do   1  nên k 1      1. k 1  1  1  1 Theo Mệnh đề 1.2 ta có:  T  r ,   max log   r , f k  ,log   r , g   2  k 1     log r   O  log r  2 log a 2  1   log r  N  r ,   N  r ,    O  log r   g  2log a 2  1   1  log r   O log r N  r,   N  r ,   1          f  2log a Do đó, N  r ,  1      1  lim sup  1  1  1  1   1 r  T  r ,  k 1     1 N  r,   1   0   1  limsup   1   2 r  T  r ,  k k 1 b) k  . Khi đó, xét hàm   g với 1  1 f  z       z  g  z    1  i  và f  z   1  i  , i 1  a  i 1      a 1   trong đó, a  K, a  1 và   1  k 1  1   0    1 . Vì   1  k 1  1  nên 1    k 1  1   k Bởi vậy, theo tính toán ở phần trên ta có 2  log r   T  r ,   max log   r ,g  , log   r , f  k  k 2 log a  O  log r  83 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _____________________________________________________________________________________________________________ 2  1 N  r ,   N  r ,   log r   O log r   1       f  2 log a 2  1   1   log r  N  r,   N  r,    O  log r      g  2 log a N  r ,  1      Do đó,      1  lim sup 1 1 r  T  r ,  k  1 N  r,   1   0   1  lim sup   1   2 r  T  r ,  k  1  Vậy, với mọi 1  0,1 ,  2  1  k   luôn tồn tại hàm chỉnh hình  sao cho  k       1 ,   0  2 . 1   2 Bây giờ, đặt   . Khi đó, ta có  1       1,  2     0  2  1 và định lí đã được chứng minh □ Định lí dưới đây cho thấy số 2 trong Định lí 1.7 không thể thay thế bởi một số nhỏ hơn. Định lí 2.5. Cho  ,   K   ,    . Tồn tại hàm phân hình  trên K sao cho          1 và do đó      2  K  Chứng minh. i      Xét hàm g  z    1  z  và h  z    1  z   i 1  ai  i 1  ai    Theo Bổ đề 2.1, ta có g, h chỉnh hình trên K và N  r , 1   N  r , 1  .  h  g  1 Từ định lí 1.3, ta có: T  r , h   T  r ,   O 1  h  1  1 N  r,  N  r,  Do đó:  h  0   1  lim sup  h   1  lim sup  g  r  T  r, h  r   1 N  r,   h 84 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _____________________________________________________________________________________________________________ Với mỗi số nguyên dương k , ta có  1  1  N  r ,   N  r, k   O  log r   h  g   1 N  r,  1 Do đó, lim sup  g   1 , suy ra  h  0   1  với mọi k . Cho k   r   1 k k N  r,   h ta có  h  0   1 . Mặt khác, do h là hàm chỉnh hình trên K nên N  r , h   0 và  h     1 . h   Bây giờ, đặt   . Khi đó, ta có          1 và định lí đã được h 1 chứng minh. □ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. Boutabaa (1990), “Theorie de Nevanlinna p - adique”, Manuscripta Math., 67, 251 – 269. 2. W. Cherry and Z.Ye (1997), “Non- Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the Non – Archimedean Nevanlinna inverse problem”, Trans. Amer. Math. Soc., 349 (12), 5043 – 5071. 3. W. Cherry and Z.Ye (2000), Nevanlinna Theory of Value Distribution, Springer 4. D. Drasin (1976), “The Inverse Problem of Nevanlinna Theory”, Acta Math., 138, 83- 151. 5. H.H. Khoai and M.V. Quang (1988), “On p-adic Nevanlinna theory”, Lecture Notes in Math, 1351, 146 – 158. 6. M.V. Quang (1989), “Some applications of p-adic Nevanlinna Theory”, Acta Math – Vietnamica, 14 (1), 39 – 50. 7. C.C. Yang and P.C. Hu (2000), Meromophic functions over Non- Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers. (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 06-3-2015; ngày phản biện đánh giá: 02-4-2015; ngày chấp nhận đăng: 18-5-2015) 85