Sử dụng công thức véc tơ từ thế để tính toán dòng điện xoáy trong lõi thép máy biến áp bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1<br /> <br /> 69<br /> <br /> SỬ DỤNG CÔNG THỨC VÉC-TƠ TỪ THẾ ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG ĐIỆN XOÁY<br /> TRONG LÕI THÉP MÁY BIẾN ÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN<br /> USING A MAGNETIC VECTOR POTENTIAL FORMULATION FOR CALCULATING EDDY<br /> CURRENTS IN IRON CORES OF TRANSFORMERS BY A FINITE ELEMENT METHOD<br /> Trần Thanh Tuyền1, Đặng Quốc Vương2<br /> 1<br /> Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh; tuyenttbk48@gmail.com<br /> 2<br /> Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; vuong.dangquoc@hust.edu.vn<br /> Tóm tắt - Các mô hình bài toán điện từ xuất hiện hầu hết trong các<br /> loại máy điện nói chung và máy biến áp nói riêng. Do đó, việc xây<br /> dựng mô hình toán để nghiên cứu và tính toán sự phân bố của từ<br /> trường, dòng điện xoáy trong máy biến áp (MBA) điện là cần thiết<br /> và cấp bách đối với các nhà nghiên cứu, nhà thiết kế và chế tạo<br /> MBA. Phương pháp phần tử hữu hạn được phát triển với công<br /> thức véc-tơ từ thế a cho bài toán từ động để tính toán sự phân bố<br /> của từ trường, dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện trong<br /> lõi thép của MBA. Trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã<br /> đưa ra kết quả về phân bố từ trường và dòng điện xoáy trong lõi<br /> thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn,<br /> <br /> Abstract - Modelling of electromagnetic problems almost occur in<br /> machines in general and transformers in particular. Hence, the<br /> establishment of mathematic model for computing distribution of<br /> magnetic fields and eddy currents in transformers is neccesary and<br /> imperative for transformer researchers, designers and<br /> manufacturers. The finite element method is developed with a<br /> magnetic vector potential a for magnetodynamic problems to<br /> calculate the distribution of magnetic fields and eddy currents in<br /> iron cores of transformers. This paper show the results of<br /> computing magnetic fields and calculating eddy curents in the iron<br /> cores of transformers by the finite element method.<br /> <br /> Từ khóa - phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); dòng điện<br /> xoáy; véc-tơ từ thế; bài toán từ động; lõi thép.<br /> <br /> Key words - finite element method (FEM); eddy current; magnetic<br /> vector potential; magnetodynamics; steel core.<br /> <br /> 1. Đặt vấn đề<br /> Lõi thép trong các máy điện thường được làm bằng các<br /> lá thép kỹ thuật điện để giảm tồn hao do từ trễ và dòng điện<br /> xoáy do từ thông biến đổi theo thời gian. Để tính toán sự<br /> phân bố của từ thông, dòng điện xoáy và tổn hao trong lõi<br /> thép, một số phương pháp được áp dụng như: phương pháp<br /> giải tích; phương pháp mạch từ không gian thay thế;<br /> phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH).<br /> Phương pháp giải tích có ưu điểm là cho phép tìm được<br /> nghiệm cụ thể, dễ dàng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và<br /> giải thích được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay<br /> tính toán các đại lượng liên quan. Ngoài ra, nghiệm của bài<br /> toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán, đặc<br /> tính của nguồn trường cung cấp [1]. Tuy nhiên, đối với bài<br /> toán có mô hình và điều kiện biên giữa các môi trường tiếp<br /> giáp phức tạp, miền giá trị phi tuyến thì việc áp dụng<br /> phương pháp giải sẽ gặp khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi<br /> khi không thể thực hiện được. Phương pháp mạch từ không<br /> gian thay thế [1] có thể giải bài toán có cấu trúc phức tạp<br /> với độ chính xác cao, tuy nhiên với bái toán có số bậc tự<br /> do lớn hơn 100, thì việc áp dụng phương phường này gặp<br /> khó khăn và không đáp ứng được [1].<br /> Để khắc phục được nhược điểm của hai phương pháp<br /> trên, một phương pháp PTHH [2-5] được để xuất để phát<br /> triển cho công thức véc-tơ từ thế a với mô hình bài toán từ<br /> động để tính toán sự phân bố từ trường, dòng điện xoáy,<br /> tổn hao trong lõi thép và vỏ của máy điện.<br /> <br /> pháp PTHH để giải bài toán trong miền nghiên cứu Ω. Sơ<br /> đồ Tonti, còn được gọi là sơ đồ cơ bản hay sơ đồ kép liên<br /> quan đến các phương trình yếu nhận cần tìm của bài toán.<br /> Điều này có nghĩa, dọc theo hàng ngang phía trên và phía<br /> dưới của sơ đồ (hình 1) là các biểu thức liên quan đến<br /> phương trình từ trường. Trong khi đó, dọc theo hàng dọc<br /> (vuông góc với hàng ngang) của sơ đồ biểu diễn luật trạng<br /> thái của đặc tính vật liệu.<br /> <br /> 2. Mô hình bài toán từ động<br /> 2.1. Hệ phương trình Maxwell<br /> Trong phần này, tác giả giới thiệu về hệ phương trình<br /> Maxwell tổng quát cùng với các luật trạng thái, và kết hợp<br /> với sơ đồ Tonti (hình 1) [6] để thiết lập công thức véc-tơ<br /> từ thế a của bài toán nghiên cứu, sau đó áp dụng phương<br /> <br /> Hình 1. Sơ đồ Tonti [6]<br /> <br /> Xét một hình bài toán điện từ kinh điển được xác định<br /> trên miền Ω với điều kiện biên được phân tích ∂Ω = Γ = Γh<br /> ∪ Γe trong miền không gian hai chiều và ba chiều. Miền<br /> dẫn từ trong miền nghiên cứu của Ω được ký hiệu Ωc và<br /> miền không dẫn trong miền nghiên cứu của Ω ký hiệu ΩcC.<br /> Miền Ωs của cuộn dây thuộc về miền ΩcC. Hệ phương trình<br /> Maxwell bao gồm các phương trình đạo hàm riêng được<br /> liên kết với nhau thông qua các véc-tơ điện trường e và từ<br /> trường h, các luật trạng thái, và các điều kiện biên được<br /> viết trong không gian ba chiều Eculidean Ε3 [2], [4]:<br /> <br /> curlh = j , divb = 0 , curle = −∂ t b<br /> <br /> (1a-b-c)<br /> <br /> h = μ −1b + hs j = σ e + js<br /> <br /> (2a-b)<br /> <br /> = 0 , n⋅b<br /> <br /> (2a-b)<br /> <br /> n×h<br /> n×e<br /> <br /> Γh<br /> <br /> Γe ⊂Γb<br /> <br /> =0<br /> <br /> Γb<br /> <br /> =0<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Phương trình (1a) là phương trình “Ampere”, phương<br /> trình (1b) là phương trình “Gauss”, và phương trình (1c) là<br /> <br /> 70<br /> <br /> Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương<br /> <br /> phương trình “Faraday”. Các véc-tơ trường: h là véc-tơ<br /> cường độ từ trường (A/m); e là véc-tơ cường độ điện<br /> trường (V/m); b là véc-tơ mật độ từ thông (T) với Γb là mặt<br /> biên bao quanh của b; j là mật độ dòng điện (A/m2); μ là<br /> độ từ thẩm (H/m), σ là độ dẫn điện (S/m); ∂t là đạo hàm<br /> theo thời gian và n là véc-tơ pháp tuyến đơn vị có hướng<br /> từ trong ra ngoài của miền Ω. Trường hs trong (2a) có thể<br /> được xác định thông qua mật độ dòng điện js được đặt vào<br /> cuộn dây [6] hoặc trường hs cũng có thể được xác định<br /> thông qua định luật Biot-Savart [1]. Các phương trình<br /> Maxwell trên được giải cùng với các điều kiện biên, với<br /> các thành phần tiếp tuyến của trường e và trường h lần lượt<br /> được đặt lên biên Гh và Гe (được biểu diễn ở mục 2.2).<br /> 2.2. Điều kiện biên<br /> Các phương trình Maxwell được trình bày ở mục 2.1<br /> xác định trường điện từ trong miền hữu hạn, nếu những<br /> điều kiện biên thích hợp được đặt lên biên của miền nghiên<br /> cứu. Đối với các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của<br /> trường điện từ, điều kiện biên được xác định như sau:<br /> - Đối với vật liệu dẫn từ lý tưởng (tức là μ ~ ∞), phương<br /> trình (3a-b) ngụ ý h ~ 0 trên miền Γh và thỏa mãn<br /> n×h<br /> <br /> Γh<br /> <br /> = 0.<br /> <br /> - Đối với vật liệu dẫn điện lý tưởng (tức là σ ~ ∞),<br /> phương trình (4c) ngụ ý e ~ 0 trên miền Γe và thỏa mãn<br /> n×e<br /> <br /> Γe<br /> <br /> = 0.<br /> <br /> Trường hợp, nếu khác 0, các trường là không liên tục và<br /> được xem như là các nguồn mặt, được xác định thông qua<br /> miền mỏng lý tưởng [.]γ [2] (với [.]γ = .|γ+ - .|γ+ là sự kết nối<br /> giữa hai miền dẫn hoặc giữa miền dẫn và không dẫn).<br /> 3. Phương trình yếu nhận với véc-tơ từ thế<br /> Phương pháp PTHH cho phép rời rạc hóa miền nghiên<br /> cứu/liên tục Ω thành các miện rời rạc Ω1… Ωn. Hệ phương<br /> trình Maxwell được xác định trên miền rời rạc gọi là<br /> phương trình yếu nhận. Ở đây, phương trình yếu nhận với<br /> véc-tơ từ thế a cho mô hình bài toán từ động được thiết lập<br /> dựa trên hệ phương trình Maxwell tổng quát và các luật<br /> trạng thái đã được thể hiện trong mục 2.1. Như chúng ta đã<br /> biết, để thỏa mãn được định luật Faraday (1c), thì trường<br /> b thuộc không gian hàm He (div, Ω) (b ∈ He (div, Ω)) và<br /> trường e thuộc không gian hàm He (curl, Ω) (e ∈ He (curl,<br /> Ω)) [6]. Điều này tương đương với việc kiểm chứng lại sơ<br /> đồ Tonti (mục 2.1 [6]). Hơn nữa, để thỏa mãn chính xác<br /> các luật trạng thái (2a-b), thì trường h ∈ He (div, Ω) và j ∈<br /> He (curl, Ω). Định luật Ampere (1a) cũng được kiểm chứng<br /> một cách yếu nhận “weakly”. Công thức yếu nhận cho véctơ từ thế a được thiết lập dựa vào định luật Ampere (1a)<br /> như sau [1], [2]:<br /> <br /> (curl h, a ')Ω = ( j, a ')Ω , ∀ a ' ∈ He0 (curl h; Ω), (5)<br /> trong đó He0 (curl ; Ω) là không gian hàm được xác định<br /> miền nghiên cứu Ω (bao gồm Ωc và ΩcC), và bao gồm các<br /> hạm nội suy (hàm dạng) cho trường a và hàm thử “test<br /> function” a' (tại miền rời rạc, không gian hàm này được<br /> xác định thông qua các phần tử hữu hạn cạnh [6]). Các ký<br /> <br /> hiệu ( , ·)Ω và < ·, ·>Γ lần lượt là các ký hiệu của tích phân<br /> khối được xác định trong miền Ω, và tích phân mặt được<br /> xác định trên biên ∂Ω = Γ (với Γ = Γh U Γe) (hình 2) của<br /> các tích trường véc-tơ của chúng. Trong đó, tích phân mặt<br /> trên biên Γh kể đến điều kiện biên (3a), được xác định bằng<br /> 0. Bằng cách áp dụng công thức Green với curl-curl [6]<br /> trong miền Ω cho các trường h và a’, với j = js ta có:<br /> <br /> (h, curla ')Ω + n × h, a '<br /> 0<br /> <br /> ∀ a ' ∈ He (curl h; Ω),<br /> <br /> Γ<br /> <br /> = ( js , a ')Ω ,<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Hình 2. Miền nghiên cứu Ω và mặt biên bao quanh Γ<br /> <br /> Để thỏa mãn sơ đồ Tonti (cho cả định luật Faraday và<br /> định luật Gauss), các luật trạng thái (2a-b) được giới thiệu<br /> vào phương trình yếu nhận (6), đó là:<br /> <br /> (μ−1b, curl a ')Ω − (σe, a ')Ω + n × h, a '<br /> 0<br /> <br /> ∀ a ' ∈ He (curl h; Ω).<br /> <br /> Γ<br /> <br /> = ( js , a ')Ω ,<br /> (7)<br /> <br /> Thay biểu thức véc-tơ mật độ từ thông b = curl a và<br /> véc-tơ cường độ điện trường e = - ∂ta – gradυ vào phương<br /> trình (7), ta có:<br /> (μ −1curl a , curl a ')Ω + (σ∂t a , a ')Ωc + (σgradv, a ')Ωc<br /> + n × h, a ' Γ + n × h, a ' Γ = ( js , a ') Ω ,<br /> h<br /> <br /> ∀ a ' ∈ H e 0 (curl h; Ω),<br /> <br /> e<br /> <br /> (8)<br /> <br /> từ thế véc-tơ a trong (8) được xác định là duy nhất trong<br /> các miền dẫn Ωc, thì một điều kiện Gauss phải được đặt<br /> vào mọi nơi trong miền Ω [6, 7]. Phương trình yếu nhận<br /> (8) cho thấy rằng, bằng cách lấy a’ = gradv’ như là một<br /> hàm thử để có:<br /> <br /> (σ∂t a, gradv ')Ωc + (σgradv, gradv ')Ωc = n ⋅ j, v ' Γ ,<br /> g<br /> ∀v ' ∈ H e10 (Ω),<br /> (9)<br /> trong đó Γg là một phần của biên Ωc và mang một dòng<br /> điện. Phương trình (9) thực tế là một phương trình yếu nhận<br /> của divj = 0 trong miền dẫn Ωc. Các trường trên biên Γe với<br /> các điều kiện biên cần thiết trên n ⋅ b thì thường bỏ qua bởi<br /> vì tại đó thì giá trị của hàm thử bằng không, vì vậy nó<br /> không đóng góp trong phương trình (8). Sự tồn tại của<br /> trường n × h trong (9) được sử dụng điều kiện biên tự<br /> nhiên trên biên của Γh của miền nghiên cứu Ω (có nghĩa là<br /> thành phần tiếp tuyến của trường h bằng 0 trên Γh) , đó là:<br /> <br /> (n × h |Γh = 0 ⇒ n ⋅ curl h |Γh = 0 ⇔ n ⋅ j |Γh = 0)<br /> <br /> (10)<br /> <br /> 4. Bài toán ứng dụng<br /> Dựa vào công thức véc-tơ từ thế a đã được phát triển ở<br /> phần 3, nhóm tác giả sử dụng phần mềm Gmsh [8] để xây<br /> dựng mô hình nghiên cứu với kích thước hình học thực tế<br /> của bài toán và phần mềm GetDP [9] để xây dựng mô hình<br /> <br /> ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1<br /> <br /> toán với các phương trình yếu nhận. Kết quả đạt được từ<br /> GetDP sẽ được mô phỏng thông qua phần mềm Gmsh.<br /> Xét một với mô hình 2D bao gồm cuộn dây và lõi thép<br /> có nguồn dòng bao quanh lõi thép (gồm nhiều lá thép mỏng<br /> ghép lại với nhau). Đây là một dạng bài toán liên quan đến<br /> mô hình lõi thép và cuộn dây của máy biến áp. Hình 3 chỉ<br /> ra một mô hình mà lõi thép được bao quanh bởi cuộn dây.<br /> Trong đó, lõi thép gồm 12 lá thép kỹ thuật điện được sơn<br /> cách điện với nhau và có chiều dày của mỗi lá thép là<br /> 0,3mm (với độ từ thẩm tương đối μr = 500 và độ dẫn điện<br /> σ = 10MS/m). Cuộn dây được kích thích bởi dòng điện<br /> xoay chiều 1A với tần số f = 50Hz (số vòng của cuộn dây<br /> là w = 1.000 vòng). Trong mô hình, do dây quấn quấn xung<br /> quanh lõi thép nên có tính chất đối xứng. Do đó hình 3, tác<br /> giả chỉ mô phỏng ½ lõi thép và dây quấn.<br /> <br /> Hình 3. Mô hình chia lưới cuộn dây và lõi thép<br /> <br /> Mô hình chia lưới 2D cũng được thể hiện trong hình 3<br /> với hai cấu trúc phần tử lưới khác nhau. Để đảm bảo được<br /> kích thước của phần từ lưới luôn nhỏ hơn<br /> δ = 2 / 2π f .μ.σ (độ sâu của bề mặt nghiên cứu) sự phân<br /> bố của dòng điện xoáy theo chiều dày của lá thép hoặc màn<br /> chắn có cấu trúc vỏ mỏng, tác giả sử dụng phần tử lưới là<br /> dạng chữ nhật với 8 lớp/1 lá thép. Đối với khu vực cuộn<br /> dây và xung quanh cuộn dây (không khí) sử dụng phần tử<br /> lưới thưa có dạng tam giác.<br /> <br /> Hình 4. Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây<br /> <br /> Hình 5. Phân bố mật độ từ thông trong lõi thép (μr = 500,<br /> σ = 10MS/m), với tần số f = 50Hz (trên) và f = 1kHz (dưới)<br /> <br /> 71<br /> <br /> Hình 6. Phân bố mật độ từ thông b trong các lá thép kỹ thuật<br /> điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x<br /> <br /> Hình 4 biểu diễn sự phân bố nguồn dòng điện trong<br /> cuộn dây với tần số công nghiệp f = 50Hz. Hình 5 cho thấy<br /> sự phân bố của b do dòng điện chạy trong cuộn dây sinh ra<br /> ở tần số là 50Hz (trên) và 1kHz (dưới). Đối với trường hợp<br /> tần số f = 50Hz, do tần số thấp và độ sâu của bề mặt<br /> (skindepth) lớn cho nên hiệu ứng bề mặt nhỏ và từ thông<br /> được phân bố đều trên các lá thép. Khi tần số tăng lên f =<br /> 1kHz, sự phân bố của b trong lõi thép thay đổi, skindepth<br /> nhỏ, hiệu ứng bề mặt lớn, dẫn đến từ thông chỉ tập trung ở<br /> hai bên của lá thép dọc theo chiều dày như hình 5 (dưới).<br /> Sự phân bố của mật độ từ thông phần thực (real part) và từ<br /> thông phần ảo (imaginary part) theo chiều dày của các lá<br /> thép thông qua một vết cắt được thể hiện như trong hình 6.<br /> Trên từng lá thép mật độ từ thông phân bố theo chiều dày<br /> của các lá thép và có dạng hypecbol.<br /> <br /> Hình 7. Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong lõi thép<br /> (μr = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz)<br /> <br /> Sự phân bố của dòng điện xoáy trên từng lá thép kỹ<br /> thuật điện sinh ra bởi từ thông biến thiên theo thời gian<br /> (hình 4 và 5) được mô tả trong hình 7, với μr = 500, σ =<br /> 10MS/m, f = 1kHz. Tương tự như hình 6, sử dụng một vết<br /> cắt vuông góc/dọc theo chiều dày của các lá thép, sự phân<br /> bố của dòng điện xoáy được miêu tả trong hình 8. Do các<br /> lá thép kỹ thuật điện được sơn cách điện với nhau, cho<br /> nên hình 8 cho thấy dòng điện xoáy khép vòng kín trong<br /> từng lá thép mà không khép vòng từ lá thép này qua lá<br /> thép khác. Điều đó chứng tỏ rằng, nếu chiều dày của lá<br /> thép càng nhỏ thì sự khép vòng của dòng điện xoáy càng<br /> nhỏ và giảm được tổn hao trong lõi thép. Đây cũng chính<br /> là câu trả lời cho việc khi chế tạo MBA nói riêng và máy<br /> điện nói chung, việc sử dụng các lá thép kỹ thuật điện có<br /> chiều dày càng nhỏ thì sẽ càng giảm được tổn hao do từ<br /> trễ và dòng xoáy.<br /> <br /> Hình 8. Phân bố mật độ dòng điện xoáy trong các lá thép<br /> kỹ thuật điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x<br /> <br /> 72<br /> <br /> Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương<br /> <br /> 5. Kết luận<br /> Phương pháp PTHH đã được phát triển cho việc tính<br /> toán, mô phỏng từ trường và dòng điện xoáy trong lõi thép<br /> của MBA. Các kết quả đạt được đã chỉ ra rằng, với độ từ<br /> thẩm và độ dẫn điện không đổi, từ trường và dòng điện xoáy<br /> phụ thuộc hoàn toàn vào tần số. Có nghĩa rằng khi tần số<br /> tăng, hiệu ứng mặt ngoài lớn và sự phân bố của từ trường,<br /> dòng điện xoáy chủ yếu tập trung lớn về hai phía của từng lá<br /> thép (dọc theo chiều dày). Giá trị của từ trường thông qua<br /> mật độ từ cảm và dòng điện xoáy được thể hiện thông qua<br /> việc khép vòng (loop) trên từng lá thép. Điều này chứng tỏ<br /> rằng nếu chiều dày lá thép càng lớn thì tổn hao sinh ra do từ<br /> trường và dòng điện xoáy càng lớn, và ngược lại. Các kết<br /> quả đạt được đã cho thấy được sự ảnh hưởng của từ trường,<br /> dòng điện xoáy đối với lõi thép là rất quan trọng. Từ việc<br /> tính toán và mô phỏng của từ trường và dòng điện xoáy trong<br /> lõi thép của MBA là cơ sở để các nhà nghiên cứu, thiết kế và<br /> chế tạo MBA có thể tính toán được chính xác tổn hao công<br /> suất do dòng điện xoáy sinh ra trong lõi thép, từ đó tối ưu<br /> hóa được các thông số khi thiết kế và chế tạo. Với kết quả<br /> đạt được từ việc áp dụng công thức véc-tơ từ thế a, sẽ là cơ<br /> sở để phát triển cho công thức véc-tơ cường độ từ trường h,<br /> và sẽ được phát triển ở nghiên cứu tiếp theo.<br /> SỰ GHI NHẬN<br /> <br /> Bài báo được thực hiện từ nguồn kinh phí thực hiện đề<br /> tài nghiên cứu khoa học với mã số T2016-PC-085 của<br /> Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.<br /> Các kết quả mô phỏng của bài báo được thực hiện<br /> <br /> dựa trên hai phần mềm mã nguồn mở được viết bởi hai thầy<br /> giáo tại Trường Đại học Liege, Vương Quốc Bỉ: Gmsh<br /> (https://geuz.org/svn/gmsh/)<br /> và<br /> GetDP<br /> (http://geuz.org/getdp/).<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1] Đặng Văn Đào, Lê Văn Doanh, Các phương pháp hiện đại trong<br /> nghiên cứu tính toán thiết kế kỹ thuật điện, Nhà xuất bản Khoa học<br /> và Kỹ thuật, 2000.<br /> [2] P. Dular, Vuong Q. Dang, R. V. Sabariego, L. Krähenbühl and C.<br /> Geuzaine, “Correction of thin shell finite element magnetic models<br /> via a subproblem method,” IEEE Trans. Magn., Vol. 47, no. 5, 2011,<br /> pp. 158 –1161.<br /> [3] P. Dular, R. V. Sabariego, M. V. Ferreira da Luz, P. Kuo-Peng and<br /> L. Krähenbühl, “Perturbation Finite Element Method for Magnetic<br /> Model Refinement of Air Gaps and Leakage Fluxes”," IEEE Trans.<br /> Magn., vol.45, no. 3, 2009, pp. 1400-1403.<br /> [4] Gerard Meunier, The Finite Element Method for Electromagnetic<br /> Modeling, John Wiley & Sons, Inc, 2008.<br /> [5] S. V. Kulkarni, J. C. Olivares, R. Escarela-Perez, V. K. Lakhiani,<br /> and J. Tur-owski (2004), “Evaluation of eddy currents losses in the<br /> cover plates of distribution transformers”, IET Sci., Meas. Technol<br /> 151, no. 5, pp. 313-318.<br /> [6] C. Geuzaine (2001), High oder hybrid finite element schems for<br /> Maxwell’s equations taking thin structures and global quantities<br /> into account, Ph.D. thesis, University of Liege, Belgium.<br /> [7] C. Geuzaine, P. Dular, and W. Legros, “Dual formulations for the<br /> modeling of thin electromagnetic shells using edge elements”, IEEE<br /> Trans. Magn., vol. 36, no. 4, 2000, pp. 799–802.<br /> [8] Christophe Geuzaine, Jean-François Remacle (2015), Gmsh<br /> Reference Manual, University of Liege, Belgium.<br /> [9] Patrick Dular, Christophe Geuzaine (2014), GetDP Reference<br /> Manual, University of Liege, Belgium.<br /> <br /> (BBT nhận bài: 27/7/2016, hoàn tất thủ tục phản biện: 20/3/2017)<br /> <br />