Sử dụng phần mềm Geometer’s sketchpad hỗ trợ dạy và học môn Hình học xạ ảnh

Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26<br /> <br /> An Giang University<br /> <br /> SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC MÔN HÌNH<br /> HỌC XẠ ẢNH<br /> Trần Lê Nam1, Phan Thị Hiệp2<br /> 1<br /> <br /> ThS. Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp<br /> ThS. Khoa Giáo dục Tiểu học - Mầm non, Trường Đại học Đồng Tháp<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thông tin chung:<br /> Ngày nhận bài: 22/03/14<br /> Ngày nhận kết quả bình duyệt:<br /> 29/08/14<br /> Ngày chấp nhận đăng:<br /> 22/10/14<br /> Title:<br /> Using the geometer’s<br /> sketchpad software for<br /> supporting teaching and<br /> learning in projective<br /> geometry<br /> Từ khóa:<br /> GSP, projective geometry,<br /> drawing, infinite point<br /> Keywords:<br /> GSP, hình học xạ ảnh, vẽ hình,<br /> điểm vô tận<br /> <br /> ABSTRACT<br /> In this article we present: using the removing infinite point tool to change<br /> projective results into affine results; using the constructing conjugate point pair<br /> tool to draw images of problems about harmonic conjugates; using the<br /> constructing polar of a line tool and pole of a point tool to illustrate problems of<br /> pole and polar; drawing an oval through 5 points and tangent line of an oval<br /> through a point; using the tangent tool to construct a tangent line of an oval at a<br /> tangent point. The article also proposes a method to explore these tools to<br /> illustrate the degenerative cases of the Pascal’s Theorem and the Briangchon’s<br /> Theorem.<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Chúng tôi trình bày cách sử dụng các công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các<br /> kết quả xạ ảnh về kết quả afin, dựng cặp điểm liên hợp để vẽ hình cho các bài<br /> toán về liên hợp điều hòa, dựng cực điểm của một đường thẳng và đường thẳng<br /> đối cực của một điểm đối với một đường oval để vẽ hình cho các bài toán về cực<br /> và đối cực, vẽ đường conic qua 5 điểm và tiếp tuyến của đường oval qua một<br /> điểm, dựng tiếp tuyến của một đường oval tại tiếp điểm. Bài báo cũng đề xuất<br /> cách khai thác các công cụ này để minh họa trường hợp suy biến của Định lý<br /> Pascal và Định lý Briangchon.<br /> <br /> xạ ảnh trên mặt phẳng. Để thực hiện điều đó, các<br /> hình vẽ cần được chính xác, dễ quan sát và nhìn<br /> được nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, việc vẽ<br /> hình trong môn hình học xạ ảnh với các phương<br /> tiện truyền thống là rất khó và phức tạp.<br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Geometer’s Sketchpad (GSP) là một phần mềm<br /> hình học phẳng và động. Ngoài các công cụ vẽ đối<br /> tượng cơ bản như: đoạn thẳng, tia, đường thẳng,<br /> đường tròn, cung, đường phân giác,…nó còn hỗ<br /> trợ dựng ảnh qua các phép biến hình, thực hiện<br /> các phép lặp, đo đạc, hoạt hình. Đặc biệt, nó hỗ<br /> trợ tốt trong việc tạo ra các công cụ theo ý đồ của<br /> người sử dụng (Rasmussen, 2003).<br /> <br /> Để khắc phục các hạn chế và khó khăn đó, chúng<br /> tôi sử dụng các chức năng tạo công cụ, tạo hình<br /> động của phần mềm GSP tạo ra một số công cụ hỗ<br /> trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học xạ ảnh.<br /> Các công cụ này sẽ giúp cho người sử dụng vẽ<br /> được các hình nhanh chóng, chính xác.<br /> <br /> Một trong các mục tiêu chính của môn hình học<br /> xạ ảnh trong chương trình đào tạo Sư phạm Toán<br /> học là sử dụng hình học xạ ảnh soi sáng, sáng tạo<br /> và tìm lời giải các bài toán hình học sơ cấp, đặc<br /> biệt là các bài toán hình học phẳng (Văn Như<br /> Cương, 1999; Hartshorne, 1967). Do đó, sinh viên<br /> cần phải tìm hiểu thật kỹ các kết quả của hình học<br /> <br /> 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> 2.1 Sử dụng công cụ trong Geometer’s<br /> Sketchpad<br /> Download tệp Congcuxaang.gsp tại địa chỉ:<br /> https://drive.google.com/file/d/0B5zGtvvq1D5YR<br /> 23<br /> <br /> Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26<br /> <br /> An Giang University<br /> <br /> Ví dụ: Để vẽ 1 đường oval qua 5 điểm. Chọn nút<br /> Conic và click 5 điểm sao cho không có 3 điểm<br /> nào trong 5 điểm đó thẳng hàng (Hình 1).<br /> <br /> mNPeWxabFFlRTg/edit?usp=sharing<br /> Mở tệp Congcuxaang.gsp, click vào nút<br /> chọn công cụ cần sử dụng.<br /> <br /> ,<br /> <br /> Hình 1. Sử dụng công cụ conic vẽ đường oval<br /> <br /> 2.2 Công cụ loại bỏ điểm vô tận<br /> <br /> BC’ với B’C thẳng hàng (<br /> <br /> Như chúng ta đã biết, nếu 2 đường thẳng AB và<br /> BC cắt nhau tại điểm vô tận B trên mặt phẳng xạ<br /> ảnh thì chúng sẽ trở thành 2 đường thẳng song<br /> song qua A và C trên mặt phẳng afin. Để thực<br /> hiện trên GSP, chúng ta click vào nút<br /> VotanDuongthang. Sau đó lần lượt click vào các<br /> điểm A, C và B. Khi đó, GSP sẽ vẽ ra 2 đường<br /> thẳng song song qua A và C, cùng với 2 điểm<br /> phụ. Các bạn đặt tên cho 2 điểm này để dễ nhớ.<br /> <br /> Chọn đường thẳng CC’ làm đường thẳng vô tận.<br /> Để thể hiện kết quả loại bỏ CC’ trên GSP, chúng<br /> ta chọn công cụ VotanDuongthang, click vào 3<br /> điểm A’, A và C. Tiếp tục, click vào điểm B’, A<br /> và C. Khi đó, hai đường thẳng A’C, B’C lần lượt<br /> trở thành hai đường thẳng qua A’, B’ song song<br /> với AB (<br /> Hình 3).<br /> Thực hiện tương tự đối với điểm C’, chúng ta<br /> được kết quả như<br /> Hình 4. Ẩn đi các<br /> đối tượng ban đầu, dựng lại các giao điểm Q, R sẽ<br /> được một kết quả trong mặt phẳng afin như<br /> Hình<br /> 5.<br /> <br /> Ví dụ: Từ định lý Pappus: Trên mặt phẳng xạ ảnh,<br /> cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A’, B’, C’<br /> thẳng hàng, sao cho AB khác với A’B’. Khi đó,<br /> các giao điểm của AB’ với A’B, AC’ với A’C và<br /> <br /> 24<br /> <br /> Hình 2).<br /> <br /> Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26<br /> <br /> An Giang University<br /> <br /> Hình 2. Định lý Pappus<br /> <br /> Hình 4. Loại bỏ điểm C’<br /> <br /> Hình 3. Loại bỏ điểm C<br /> <br /> Hình 5. Dạng định lý Pappus trên mặt phẳng afin<br /> <br /> tiếp tuyến qua một điểm của một đường oval<br /> (Hình 7).<br /> <br /> 2.3 Công cụ dựng điểm liên hợp<br /> Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng. Để<br /> dựng điểm D liên hợp với điểm B đối với 2 điểm<br /> A, C. Chúng ta chọn công cụ Diemlienhop, lần<br /> lượt click vào các điểm A, C và B. Khi đó, GSP<br /> sẽ vẽ ra điểm D.<br /> Ví dụ: Chúng ta chuyển kết quả ba đường trung<br /> tuyến trong một tam giác đồng quy về kết quả xạ<br /> ảnh.<br /> <br /> (O)<br /> Hình 7. Hai tiếp tuyến AA1 và AA2 của (O)<br /> <br /> - Dựng tam giác ABC và một đường thẳng (d)<br /> không đi qua các điểm đã cho. Dựng các giao<br /> điểm A’, B’, C’ của các đường thẳng BC, AC, AB<br /> với (d).<br /> <br /> 2.5 Công cụ dựng cực điểm của 1 đường thẳng<br /> Để dựng cực điểm của đường thẳng (a) đối với<br /> đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm A, B trên<br /> đường thẳng (a), 2 điểm C, D trên đường oval<br /> (O). Chọn công cụ Doicuccuaduongthang. Lần<br /> lượt click vào 3 điểm A, C, D và oval (O), tiếp tục<br /> click tiếp 3 điểm B, C, D và (O). Khi đó, GSP sẽ<br /> vẽ ra cực điểm của đường thẳng (a).<br /> <br /> - Chọn công cụ Diemlienhop, click vào 3 điểm A,<br /> B, C’ được điểm C1, click vào 3 điểm B, C, A’<br /> được điểm A1, click vào 3 điểm A, C, B’ được<br /> điểm B1. Dựng các đường thẳng AA1, BB1, CC1.<br /> Chúng ta thấy chúng đồng quy (Hình 6).<br /> <br /> 2.6 Công cụ dựng tiếp tuyến của đường oval<br /> tại tiếp điểm<br /> Để dựng tiếp tuyến tại điểm A của đường oval<br /> (O), chúng ta dựng 4 điểm phân biệt khác A trên<br /> (O). Chọn công cụ Tieptuyen, lần lượt click vào<br /> điểm A và 4 điểm vừa dựng. Khi đó, GSP sẽ vẽ<br /> tiếp tuyến (a) của (O) (Hình 8).<br /> Hình 6. Ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy<br /> <br /> 2.4 Công cụ dựng đường thẳng đối cực<br /> Để dựng đường thẳng đối cực (a) của điểm A đối<br /> với đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm B, C<br /> phân biệt trên (O). Chọn công cụ<br /> Duongthangdoicuc, click 3 điểm A, B, C và<br /> đường oval (O). Khi đó, GSP sẽ vẽ ra đường<br /> thẳng (a).<br /> <br /> Hình 8. Dựng tiếp tuyến của đường Oval tại tiếp<br /> điểm<br /> <br /> Nhận xét: Để minh họa cho các trường hợp suy<br /> biến của Định lý Pascal, chúng ta có thể dựng tiếp<br /> tuyến tại điểm A của đường oval (O) và đường<br /> <br /> Nhận xét: Sử dụng công cụ này, chúng ta vẽ được<br /> <br /> 25<br /> <br /> Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26<br /> <br /> An Giang University<br /> <br /> thẳng AB. Cho điểm B chạy về điểm A, đường<br /> thẳng AB sẽ chạy về tiếp tuyến (a) (Hình 9). Do<br /> đó, khi 2 đỉnh của một hình 6 đỉnh toàn phần<br /> trùng nhau thì một cạnh trở thành tiếp tuyến.<br /> <br /> của đường oval (O). Dựng giao điểm I của 2 tiếp<br /> tuyến. Cho điểm B chạy về điểm A, chúng ta sẽ<br /> thấy 2 điểm B, I tiến về điểm A (Hình 10). Do đó,<br /> khi 2 cạnh của một hình 6 cạnh toàn phần trùng<br /> nhau thì tiếp điểm của cạnh trở thành đỉnh của nó.<br /> <br /> Để minh họa các trường hợp suy biến của Định lý<br /> Briangchon, chúng ta dựng 2 tiếp tuyến tại A và B<br /> <br /> Hình 9. Đường thẳng AB dần về (a)<br /> <br /> Hình 10. Hai điểm B, I dần về điểm A<br /> <br /> cho các minh họa có tính chất động, sự di chuyển<br /> của các điểm, tiếp tuyến. Đó là một điều khó thực<br /> hiện với các phương tiện dạy học truyền thống.<br /> Nhờ vào tính năng động này, người học có thể<br /> phát hiện các yếu tố, các mối quan hệ bất biến xạ<br /> ảnh, sáng tạo được các bài toán mới.<br /> <br /> 3. KẾT LUẬN<br /> Bài báo đã giới thiệu 6 công cụ trên phầm mềm<br /> GSP hỗ trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học<br /> xạ ảnh. Cụ thể là các công cụ vẽ đường oval qua 5<br /> điểm, công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các<br /> kết quả xạ ảnh về các kết quả afin. Công cụ vẽ<br /> điểm liên hợp của một điểm đối với một cặp<br /> điểm, công cụ vẽ đường thẳng đối cực và điểm<br /> đối cực, công cụ vẽ tiếp tuyến tại tiếp điểm của<br /> một đường oval. Đối với mỗi công cụ, chúng tôi<br /> trình bày cách sử dụng, ví dụ minh họa và cách<br /> khai thác chức năng của công cụ đối với môn học.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> Hartshorne, R. (1967). Foundations of Projective<br /> Geometry. Lecture in Harvard university. The<br /> United States.<br /> Rasmussen, S. (2003). Discovering Geometry<br /> Dynamically with The Geometer's Sketchpad.<br /> http://www.dynamicgeometry.com/General_Resour<br /> ces /Recent_Talks.html<br /> Văn Như Cương. (1999). Hình học xạ ảnh. Hà Nội:<br /> Nhà xuất bản Đại học sư phạm.<br /> <br /> Với các tính năng ưu việt của phần mềm GSP và<br /> sự hỗ trợ của các công cụ, người sử dụng sẽ vẽ<br /> được các hình minh họa nhanh chóng và chính<br /> xác, có được nhiều góc nhìn khác nhau đối với<br /> một bài toán. Hơn nữa, các công cụ còn hỗ trợ tốt<br /> <br /> 26<br /> <br />