Sử dụng phương pháp biến phân Ritz trong các bài tập cơ học lượng tử cho sinh viên chuyên ngành vật lý của trường Đại học Hồng Đức

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018<br /> <br /> SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN RITZ TRONG CÁC BÀI TẬP<br /> CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH<br /> VẬT LÝ CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC<br /> Nguyễn Thị Ngọc1<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong các bài toán cơ học lượng tử, phương trình S chrodinger áp d ụng cho các<br /> hệ phức tạp không thể giải chính xác mà phải dùng các phương pháp gần đúng. Phương<br /> pháp biến phân là phương pháp gần đúng tìm ra các trị riêng và hàm riêng c ủa<br /> Hamiltonian. Phương pháp biến phân dựa trên nhận định năng lượng trung bình của hệ<br /> lớn hơn hoặc bằng năng lượng của hệ ở trạng thái cân bằng. Việc tính năng lượng ở<br /> mức cơ bản đưa đến chọn một hàm thử chứa thông số chưa biết. Cực tiểu hóa năng<br /> lượng trung bình để tìm các thông số chưa biết trong hàm thử. Từ đó ta tính được năng<br /> lượng ở trạng thái cơ bản.<br /> <br /> Từ khóa: Hệ lượng tử, hàm Hamiltonian, hàm thử, phương pháp biến phân.<br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Trong quá trình giải bài tập cơ học lượng tử về phương trình Schrodinger cho các hệ<br /> lượng tử phức tạp, việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là một vấn đề rất khó khăn đối<br /> với các sinh viên. Tài liệu tham khảo cho học tập bộ môn là hạn chế, giáo trình của một số<br /> tác giả về phần bài tập hầu như không có lời giải hoặc hướng dẫn phương pháp giải. Do đó,<br /> các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải bài tập. Bài báo này sử dụng phương<br /> pháp biến phân Ritz trong giải bài tập cơ học lượng tử sẽ giúp cho các em nắm vững bản<br /> chất hiện tượng của các hệ lượng tử đó.<br /> 2. NỘI DUNG<br /> 2.1. Lý thuyết về phương pháp biến phân Ritz<br /> Phương pháp biến phân là một trong các phương pháp gần đúng tìm ra các trị riêng và<br /> hàm riêng của Hamiltonian.<br /> Phương pháp biến phân dựa trên nhận định năng lượng trung bình của hệ lớn hơn hoặc<br /> bằng năng lượng của hệ ở trạng thái cân bằng.<br /> Việc tính năng lượng ở mức cơ bản đưa đến chọn một hàm thử chứa thông số chưa biết.<br /> Cực tiểu hóa năng lượng trung bình để tìm các thông số chưa biết. Từ đó ta tính được<br /> năng lượng ở trạng thái cơ bản.<br /> 1<br /> <br /> Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức<br /> <br /> 93<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018<br /> <br /> Cơ sở lý thuyết<br /> <br /> ò<br /> Ta có giá trị trung bình của năng lượng: E =<br /> <br /> *<br /> <br /> Hˆ dx<br /> <br /> ò<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx<br /> <br /> =ò<br /> <br /> *<br /> <br /> Hˆ dx (1) ( hàm sóng<br /> <br /> đã được chuẩn hóa)<br /> Khai triển hàm sóng<br /> <br /> ( x) = å Cn<br /> <br /> 0<br /> n<br /> <br /> của toán tử không nhiễu loạn<br /> <br /> theo<br /> <br /> åC<br /> <br /> với<br /> <br /> 2<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> . Ta có<br /> <br /> =1<br /> <br /> (2)<br /> <br /> n<br /> <br /> Thay (2) và (1) ta được:<br /> <br /> E = ò å Cn<br /> <br /> *0<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> Hˆ å Cn<br /> n<br /> <br /> 0<br /> n<br /> <br /> dx = ò å Cn<br /> <br /> 2<br /> <br /> Hˆ<br /> <br /> *0<br /> n<br /> <br /> 0<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> dx = å Cn<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> ò<br /> <br /> *0<br /> n<br /> <br /> Hˆ<br /> <br /> 0<br /> n<br /> <br /> dx<br /> <br /> = å Cn En ³ å Cn E0 ³ E0<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> Vậy E = min<br /> <br /> ò<br /> <br /> *<br /> <br /> Hˆ dx<br /> <br /> Nhận xét: Việc tính năng lượng ở trạng thái cơ bản ở biểu thức trên dẫn đến việc chọn<br /> “hàm thử” chứa một số thừa số chưa biết nào đó:<br /> <br /> J ( , ,..) = ò<br /> <br /> Tính<br /> <br /> *<br /> <br /> x, , ,...<br /> <br /> và<br /> <br /> x, , ,... Hˆ<br /> <br /> x, , ,... dx<br /> <br /> Tìm cực trị của J ( , ,..) đồng nghĩa với việc giải phương trình:<br /> <br /> ¶J ¶J<br /> =<br /> = ... = 0 Þ<br /> ¶<br /> ¶<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,...<br /> <br /> Nếu chọn tốt hàm thử ta có giá trị năng lượng E = J (<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,<br /> <br /> E0 và lúc đó hệ số trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần đúng với hàm<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,...) gần với giá trị thật<br /> <br /> x, , ,... .<br /> <br /> 0<br /> <br /> Phương pháp tính năng lượng cơ bản nói trên gọi là phương pháp biến phân Ritz.<br /> Ngoài ra, người ta còn có thể tính năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất E1 hoặc<br /> trạng thái E2 .<br /> <br /> Hˆ 1dx với<br /> <br /> E1 = min ò<br /> <br /> *<br /> 1<br /> <br /> E2 = min ò<br /> <br /> *<br /> 2<br /> <br /> Hˆ<br /> <br /> 2<br /> <br /> ò<br /> dx với ò<br /> <br /> *<br /> 1<br /> *<br /> 2<br /> <br /> dx = 1; ò<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx = 1; ò<br /> <br /> *<br /> 1<br /> <br /> 0<br /> *<br /> 2<br /> <br /> dx = 0<br /> <br /> dx = 0; ò<br /> <br /> 1<br /> <br /> *<br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> dx = 0 . Tiếp tục thực<br /> <br /> hiện các phép tính ta có thể tính năng lượng ở mức kích thích cao hơn.<br /> <br /> 2.2. Các bài tập s dụng phương pháp biến phân Ritz<br /> 2.2.1. Phương pháp giải<br /> Bước 1: Chọn một hàm thử chứa một thông số chưa biết nào đó<br /> <br /> 94<br /> <br /> x, , ,...<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018<br /> <br /> Bước 2: Lập hàm J ( , ,..) =<br /> <br /> ò<br /> <br /> *<br /> <br /> x, , ,... Hˆ<br /> <br /> x, , ,... dx<br /> <br /> Tìm cực trị của J ( , ,..) đồng nghĩa với việc giải phương trình:<br /> <br /> ¶J ¶J<br /> =<br /> = ... = 0 Þ<br /> ¶<br /> ¶<br /> Viết lại<br /> <br /> x,<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,...<br /> <br /> ,...<br /> <br /> Bước 3: Suy ra E = J (<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,<br /> <br /> 0<br /> <br /> ,...)<br /> <br /> 2.2.2. Các dạng bài tập áp dụng<br /> Bài tập 1: Dùng phương pháp biến phân tìm năng lượng ở trạng thái cơ bản của hạt<br /> chuyển động trong trường thế U ( x) = U 0 x 4 ,U 0 = const với hàm thử được chọn<br /> - x2<br /> 2<br /> <br /> ( x) = A.e<br /> <br /> với<br /> <br /> Bài giải: Chuẩn hóa hàm sóng: 1 =<br /> <br /> +¥<br /> <br /> òAe<br /> 2<br /> <br /> -<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> x2<br /> <br /> dx<br /> <br /> -¥<br /> <br /> ta có: 1 = A2<br /> <br /> Áp dụng tích phân<br /> <br /> 2<br /> <br /> Þ A=<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Lập hàm<br /> <br /> J( ) = ò<br /> <br /> *<br /> <br /> Hˆ dx = A<br /> <br /> - x2<br /> <br /> òe<br /> <br /> -¥<br /> <br /> +¥<br /> <br /> Đặt I ( ) =<br /> <br /> +¥<br /> <br /> 2<br /> <br /> òe<br /> <br /> -¥<br /> <br /> - x2<br /> <br /> dx =<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> æ<br /> ö<br /> d2<br /> + U 0 .x 4 ÷e<br /> ç2<br /> è 2m dx<br /> ø<br /> <br /> suy ra<br /> <br /> - x2<br /> 2<br /> <br /> dx<br /> <br /> +¥<br /> ¶I ( )<br /> = ò - x 2e¶<br /> -¥<br /> +¥<br /> <br /> ¶2 I ( )<br /> = ò x 4e2<br /> ¶<br /> -¥<br /> <br /> dx =<br /> <br /> -1<br /> 2<br /> <br /> dx =<br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br /> x2<br /> <br /> x2<br /> <br /> -3/2<br /> <br /> -5/2<br /> <br /> 95<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018<br /> <br /> Do đó: + I1 =<br /> <br /> +¥<br /> <br /> ò x .e<br /> 2<br /> <br /> -<br /> <br /> 2 x2<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> dx =<br /> <br /> 2<br /> <br /> -¥<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy J ( ) =<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx =<br /> <br /> -¥<br /> <br /> I1 + A2 I 2 =<br /> 2m<br /> <br /> 2 x2<br /> <br /> -<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> -<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2m<br /> <br /> 5<br /> <br /> +<br /> <br /> 3<br /> U0<br /> 16<br /> <br /> 3.U 0<br /> 4<br /> <br /> æ 2 ö<br /> ç 2÷<br /> è<br /> ø<br /> <br /> 5<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> ¶J ( )<br /> (-2)<br /> =0Û<br /> 2m<br /> ¶<br /> <br /> Þ<br /> <br /> 2<br /> <br /> ò U x .e<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2m<br /> <br /> 2<br /> 0<br /> <br /> và I 2 =<br /> <br /> +¥<br /> <br /> -3<br /> <br /> 3<br /> + U0<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> =0<br /> <br /> 4 2<br /> =<br /> 3.mU 0<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy E0 =<br /> <br /> 2m 3<br /> <br /> 4 2<br /> 3.mU 0<br /> <br /> +<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> 4 2<br /> U0 3<br /> 16<br /> 3.mU 0<br /> <br /> Bài tập 2: Sử dụng phương pháp biến phân tìm năng lượng ở trạng thái cơ bản của<br /> <br /> (r ) = A.e-<br /> <br /> nguyên tử Hidro với hàm thử<br /> <br /> .r<br /> <br /> - 2 é 1 ¶æ 2 ¶ ö 1<br /> ˆ<br /> H<br /> r<br /> =<br /> + D<br /> Với<br /> 2.m êë r 2 ¶ çè ¶r ÷ø r 2<br /> <br /> ,<br /> <br /> ù e2<br /> ú- r<br /> û<br /> <br /> Bài giải: Chuẩn hóa hàm sóng:<br /> 2<br /> <br /> 1 = ò (r ) dV =<br /> <br /> +¥<br /> <br /> ò A .e<br /> 2<br /> <br /> r dr ò sin d<br /> <br /> 0<br /> <br /> +¥<br /> <br /> 2<br /> <br /> òd<br /> <br /> -2 .r 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> =4 A<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> òe<br /> <br /> -2 .r 2<br /> <br /> r dr<br /> <br /> 0<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> +¥<br /> <br /> Suy ra I =<br /> <br /> òe<br /> <br /> r dr =<br /> <br /> 0<br /> <br /> Lập hàm J ( ) =<br /> <br /> ò<br /> <br /> *<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> -2 .r 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> ÞA =<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> (r )Hˆ (r )dV<br /> <br /> Ta có:<br /> 2<br /> ìï - 2 é 1 æ ¶<br /> 1<br /> 2 ¶ ö<br /> Hˆ (r ) = í<br /> 2<br /> r<br /> +<br /> r<br /> + 2D<br /> ê 2ç<br /> 2 ÷<br /> ¶r ø r<br /> ïî 2.m ë r è ¶r<br /> <br /> - 2 é 2 ¶ ¶2 ù =<br /> +<br /> A.e<br /> 2.m êë r ¶r ¶r 2 úû<br /> 96<br /> <br /> .r<br /> <br /> e2<br /> + 0 - A.e r<br /> <br /> .r<br /> <br /> ,<br /> <br /> ù e2 üï ú - ý A.e<br /> û r ïþ<br /> <br /> = A.e<br /> <br /> - .r<br /> <br /> .r<br /> <br /> 2<br /> é 2<br /> ê r.m - 2.m<br /> ë<br /> <br /> 2<br /> <br /> e2 ù<br /> - ú<br /> rû<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018<br /> <br /> 2<br /> ¶J<br /> =0Û<br /> ¶<br /> m<br /> <br /> Vậy: E0 =<br /> <br /> 2<br /> <br /> - e2 = 0 Þ<br /> e4 .m2<br /> 4<br /> <br /> 2.m<br /> <br /> - e2<br /> <br /> 0<br /> <br /> e2 .m<br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> m<br /> 2<br /> <br /> =-<br /> <br /> e2<br /> e4 .m<br /> 2<br /> <br /> Bài tập 3: Dùng phương pháp biến phân hãy tính gần đúng năng lượng trạng thái cơ bản<br /> của hạt trong hố thế sâu vô cùng, bề rộng a (0 £ x £ a) .<br /> <br /> ( x) = A.x x - a<br /> <br /> Chọn hàm thử:<br /> <br /> Bài giải: Đối với giếng thế sâu vô hạn bề rộng là a ta có:<br /> 2 2 2<br /> <br /> 2<br /> n x<br /> n<br /> 0<br /> sin<br /> và n ( x) =<br /> .<br /> 2<br /> a<br /> a<br /> 2ma<br /> Năng lượng trung bình được tính theo công thức:<br /> En =<br /> 0<br /> <br /> ( Vì<br /> <br /> ò<br /> <br /> U ( x) dx = 0 do tính chất của giếng thế sâu vô hạn)<br /> <br /> *<br /> <br /> Chuẩn hóa hàm sóng:<br /> <br /> ( x) = A.x x - a<br /> a<br /> <br /> ò<br /> 0<br /> <br /> a<br /> <br /> *<br /> <br /> a<br /> <br /> dx = 1 Û ò A2 x 2 x - a dx = 1 Û A2 ò x 4 - 2ax 3 + a 2 x 2 dx = 1<br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 30<br /> a5<br /> Vậy năng lượng trung bình là:<br /> Þ A2 =<br /> <br /> 97<br /> <br />