Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin Existence of the Gibbs phenomenon of Wavelets approximations functions and the method multiresolution analysis in information handling Nguyễn Kiều Hiên Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 14/01/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 25/3/2019 Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu (xem [2]). Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn. Abstract In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of functions with a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump if the scaling function approximation satisfies a certain decay condition (see [2]). Keywords: Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point. 1. GIỚI THIỆU Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không gian các hàm giảm nhanh Schwartz S (  ) và đưa ra Năm 1975, Morlet đã phát triển phương pháp đa điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm phân giải. Trong đó, Morlet đã sử dụng một xung bước nhảy gián đoạn. Và chỉ ra hiện tượng Gibbs dao động, được hiểu là một Wavelets (một sóng gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín kiện phân giải tín hiệu. hiệu ở từng đoạn riêng biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ Wavelets chứa các dao động tần số 2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu Định nghĩa 1 (xem [2]) phân tích để có hình ảnh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó, sóng nhỏ được nén lại Cho không gian Schwartz S (  ) hoặc không để nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này gian các hàm giảm nhanh C ∞ (  ) được định gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích. Khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết nghĩa bởi ở độ phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành ) { f ∈ C ∞ : f l ( x ) ≤ Cl ,k (1 + x ) } −k S (= phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu. Phương pháp đa phân giải Wavelets đã khắc ∀k , l ∈ Z + . phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là Định nghĩa 2 (xem [2]) chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn không chứa các Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được. C r (  ) trong S r (  ) bởi S r () = { f ∈ C r : f l ( x ) ≤ Cl ,k (1 + x ) } −k Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết 80 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
NGÀNH TOÁN 0 ≤ l ≤ r , ∀k , l ∈ Z + . f ( 0+ ) lim+ f ( x ) < ∞, = x →0 Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ f ( 0− ) lim− f ( x ) < ∞, = Wavelets x →0 f :  → , f ∈ L2 () hàm f ( 0+ ) ≠ f ( 0− ) . Được xác định với hàm bước nhảy gián đoạn ở Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f ( x ) tồn tại gốc tương tự như định nghĩa sau. hiện tượng Gibbs ở phía phải của x = 0 nếu dãy Định nghĩa 3 (xem [3]) x j > 0. Cho ϕ ∈ L2 () khi đó hàm ϕ j ,k được cho bởi Tại x = 0 thỏa mãn ϕ j ,k ( x ) 2 j 2 ϕ j ,k ( 2 j x − k ) = lim+ Pj f ( x j ) > f ( 0+ ) nếu f ( 0+ ) > f ( 0− ) , thì hệ Wavelets {ϕ } j ,k j , k∈Z trực chuẩn trong j →0 không gian L2 () . Hơn nữa {ϕ j ,k } là cở sở hoặc j , k∈Z trực giao của không gian L2 (  ) . Khi đó hàm ϕ j ,k lim+ Pj f ( x j ) < f ( 0+ ) nếu f ( 0+ ) < f ( 0− ) . j →0 gọi là các Wavelets, và ϕ ∈ L2 () gọi là hàm sinh Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm bởi các Wavelets. f ( x ) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của Định nghĩa 4 (xem [3]) x = 0 nếu dãy x j < 0. Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy Tại x = 0 thỏa mãn {V } j j∈Z không gian con đóng của không gian L2 () thỏa mãn lim− Pj f ( x j ) < f ( 0− ) nếu f ( 0+ ) > f ( 0− ) , j →0 i ) V j ⊂ V j +1 , ∀j ∈ Z , hoặc lim− Pj f ( x j ) > f ( 0− ) nếu f ( 0+ ) < f ( 0− ) . ii )  V j = {0} , j →0 j∈Z iii )  V j trù mật trong L2 () , Ví dụ 1: Cho ϕ ∈ S r (  ) và hàm f ( x ) ∈ L2 () được cho j∈Z Mỗi ∀j ∈ Z , f ( x ) ∈ V0 khi và chỉ khi bởi như sau f ( 2 j x ) ∈V j , −1 − x, − 1 ≤ x < 0,  Mỗi ∀k ∈ Z , f ( x ) ∈ V0 khi và chỉ khi f ( x ) = 1 − x, 0 < x ≤ 1, 0, f ( x − k ) ∈ V0 ,  x < −1, x > 1. Gọi hình chiếu trực chuẩn của f trên V j xác định Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ V0 là hàm gộp, hoặc hàm bởi sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn {ϕ ( x − k )} Pj f ( x j ) = ∑ f , ϕ j ,k ϕ j ,k ( x ) k∈Z là cơ sở trực giao của không gian V0 . k∈Z Định nghĩa 5 (xem [2]) =∑ (∫ ∞ −∞ ) f ( y ) ϕ j ,k ( y )dy ϕ j ,k ( x ) f ( x ) có bước nhảy gián đoạn tại k∈Z ( y ) dy )ϕ Giả sử hàm = ∑(∫ ∞ f ( y )ϕ j ,k j ,k ( x) x=0 k∈Z −∞ ∞   =∫ ( )  ∑ϕ ( )ϕ ( )   ∈ 1859-4190 Số 1(64).2019 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN  −∞ 81
( ∫ ( ) ϕ ( ) )ϕ ∞ =∑ ( ) −∞ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ∈ = ∑(∫ ( )ϕ ( ) )ϕ ∞ −∞ ( ) −= + + − − ∈ ∞    x− y   x+ y =∫ f ( y )  ∑ ϕ j ,k ( y ) ϕ j ,k ( x )  dy =  −k −−  −∞  k∈Z   2   2  ∞ x− y x+ y =∫ f ( y ) K j ( x, y )dy. ≥ −k − −∞ 2 2 trong đó: x− y 1 ≥ −k − , (1) K j ( x, y ) = ∑ ϕ j , k ( y ) ϕ j , k ( x ) . 2 2 k∈Z Và Khi đó ta gọi K j ( x, y ) là hạt nhân của V j . Ta cần x+ y x− y y −= k − −k 2 2 chỉ rõ K j trong thỏa mãn điều kiện K 0 của hạt  x− y   x+ y nhân trong V0 trong trường hợp cụ thể như sau =− −k −−   2   2  K j ( x, y ) = ∑ ϕ j , k ( x ) ϕ j , k ( y ) x− y x+ y ≥ +k − k∈Z 2 2 = ∑2 j 2 ϕ j ,k ( 2 j x − k ) 2 j 2 ϕ j ,k ( 2 j y − k ) ≥ x− y 1 x− y 1 +k − ≥ − . (2) k∈Z 2 2 2 2 = 2 j ∑ ϕ j ,k ( 2 j x − k ) ϕ j ,k ( 2 j y − k ) Từ (1) và (2) ta có k∈Z = 2 j ∑ ϕ j ,k ( 2 j x − k ) ϕ j ,k ( 2 j y − k ) (1 + x − k )(1 + y − k ) ≥ k∈Z  x− y 1  x − y 1  =2 j ∑ ϕ0,k ( 2 j x ) ϕ0,k ( 2 j y ) k∈Z  2 − k + 2  2 + 2     (3) = 2 K 0 ( 2 j x, 2 j y ) . j = 1 ( x − y − 2k + 1) ( x − y + 1) . 4 Với K 0 ( x, y ) = ∑ϕ ( y − k )ϕ ( x − k ) . k∈Z Tương tự nếu k < 0 ta được Định lý 1 (xem [1]) (1 + x − k )(1 + y − k ) ≥ (4) Cho hàm ϕ ∈ Sr (  ) và 1 ( x − y + 2k + 1) ( x − y + 1) . 4 K 0 ( x, y ) = ∑ϕ ( y − k )ϕ ( x − k ) . k∈Z Giả sử rằng ϕ ∈ Sr (  ) khi đó tồn tại hằng số K Khi đó và β > 1 sao cho Cβ i ) K 0 ( x, y ) ≤ , β ∈ N, K (5) (1 + x − y ) β ϕ ( x) ≤ . (1 + x ) β ∞ ii ) ∫ K 0 ( x, y ) dy = 1, ∀x ∈. Từ (5) suy ra −∞ K Chứng minh ϕ (x −k) ≤ , (1 + x − k ) β i ) Vì Và K 0 ( x, y )= K 0 ( y, x )= K 0 ( x + 1, y + 1) . K ϕ(y −k) ≤ . (1 + y − k ) β Không mất tính tổng quát giả sử x + y ≤ 1 và x ≥ y . Nếu k ≥ 0 có Do vậy: x+ y x− y K 0 ( x, y ) ≤ ∑ ϕ ( x − k ) ϕ ( y − k ) x −= k + −k k∈ 2 2 K K  −   +  ≤∑ ∈ ( + − ) ( + − ) β β =  − −−      82 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 − + ≥ − −
NGÀNH TOÁN ( ) ≤∑ϕ( − ) ϕ( − ) k∈ ≤∑ K K V− j = span {ϕ− j ,k } . (1 + x − k ) (1 + y − k ) β β k∈ k∈ 1 1 có ϕ − j ,0 ( x ) Nên = 2− j 2 ϕ ( 2− j x ) ∈ V− j . = K 2 (∑ (1 + x − k ) (1 + y − k ) β β k >0 Do vậy: 1 1 h ( x ) : ϕ ( 2− j x ) ∈ V− j . = +∑ ). (1 + x − k ) (1 + y − k ) β β k 0 Và +∑ k 0 = −∞ Từ (6) có Chọn hàm x ) ϕ ( 2− j x + d ) ∈ V0 . g (= (1 + t − 2k ) β β ≥ t − 2k . Thu được Vì vậy g ( x) = P  g ( x), 1 1 ≤ . Và (1 + t − 2k ) β β t − 2k x ) ϕ ( 2 − j x += g (= d) Cho cố định t ∈  , nên ta tìm N ∈  + thỏa mãn K 0 ( x, y ) ϕ ( 2− j y + d ) dy. ∞ t − 2k ≥ k với k ≥ N . ∫−∞ Khi đó Hơn nữa K 0 ( x, y ) khả tích và ϕ ( x ) có điều kiện 1 1 ≤ β. ràng buộc. Theo sự hội tụ của tích phân Lebesgue β t − 2k k cho j → ∞ có ∞ Dùng phép so sánh ta đạt được ϕ ( d ) = ∫ K 0 ( x, y ) ϕ ( d ) dy −∞ 1 1 ∑ ≤∑ ∞ = ϕ ( d ) ∫ K 0 ( x, y ) dy. (1 + t − 2k ) β β k >0 k >0 t − 2k −∞ 1 Bây giờ chỉ ra tồn tại số d là số nhị nguyên thỏa ≤∑ β < ∞, β > 1. k >0 k mãn ϕ ( d ) ≠ 0 . Do vậy: Cβ Giả sử ϕ ( d ) = 0 với d là số nhị nguyên. Và K 0 ( x, y ) ≤ , β > 1. đồng thời cho a là số thực thỏa mãn ϕ ( a ) ≠ 0. (1 + x − y ) β Theo định nghĩa cần tìm dãy {d n }n =1 thỏa mãn ∞ ii ) Cho d n → a, n → ∞, khi đó m d= , m ∈ , n ∈  + , ϕ ( d n ) → ϕ ( a ) , n → ∞, 2n là số nhị nguyên, và j ∈  thỏa mãn j ≥ n . ∞ Do vậy ∫ K 0 ( x, y ) dy = 1, ∀x ∈. −∞ Biết rằng: Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 83
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 3. SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM XẤP XỈ WAVELETS 1, x ≥ 0, h ( x) =  Định lý 2 (xem [4]) −1, x < 0. Từ định lý 2 có Cho f là một số thực. Khi đó lim Pj f ( 2− j x ) = 2 ∫ K 0 ( x, y ) h ( y ) dy. ∞ Pj f ( 2 a ) 2 ∫ K 0 ( a, u ) du − 1. ∞ −j = lim j →∞ −∞ j →∞ 0 Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs. Chúng ta xác Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của định hàm r ( x ) như sau; hiện tượng Gibbs. ∞ Định lý 3 (xem [3]) ( x ) h ( x ) − ∫ K 0 ( x, y ) h ( y ) dy. r= −∞ Cho hàm f như sau Áp dụng kết quả định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs ∞ ∞ −1 − x, − 1 ≤ x < 0 ∫ ( x, y ) h ( y ) dy 2∫ K 0 ( x, y ) dy − 1. K0=  −∞ 0 f ( x ) = 1 − x, 0 < x ≤1 0, Vì vậy thay vào hàm r ( x ) được  x < −1, x > 1. Và cho ϕ ∈ Sr (  ) . Khi đó xuất hiện hiện tượng r ( x) = ( ∞ h ( x ) − 2 ∫ K 0 ( x, y ) dy − 1 0 ) 2 − 2 ∞ K ( x, y ) dy Gibbs của hàm f gần x = 0 nếu tồn tại một số  = ∫0 0 x ≥ 0, thực a > 0 thỏa mãn ∞ −1 − 2∫ K 0 ( x, y ) dy + 1, x < 0. ∞  ∫ K 0 ( a, u ) du > 1. 0 0 Hoặc tồn tại một số thực a < 0 thỏa mãn  = ( 2 − 2 ∞ K x, y dy − 0 K x, y dy x ≥ 0, ∫−∞ 0 ( ) ∫−∞ 0 ( ) ) ∞ ∞ K 0 ( a, u ) du < 0. −2 K 0 ( x, y ) dy, ∫0  0 ∫ x < 0. 2 0 K ( x, y ) dy (6)  ∫−∞ 0 Chứng minh x ≥ 0, = = Cho xj 2 − j a, a ∈ R , ∞ −2 ∫ K 0 ( x, y ) dy + 1, x < 0.  0 Do đó Nếu ϕ ( x ) là hàm liên tục thì lim f ( x= j) lim f ( 2− j a=) 1, a > 0, j →∞ j →∞ ∞ ( x ) h ( x ) − ∫ K 0 ( x, y ) h ( y ) dy r= lim f ( 2− j a ) = lim f ( x j ) = −1, a < 0. −∞ j →∞ j →∞ liên tục. Tiếp theo chúng ta sử dụng hàm r ( x ) Áp dụng định lý 2 có được phát biểu trong bổ đề sau. lim Pj f ( x j ) > lim f ( x j ) . Bổ đề 1 (xem [4]) j →∞ j →∞ Nếu Giả sử ϕ ( x ) là hàm liên tục trong không gian ∞ hàm suy rộng ∫ K 0 ( a, u ) du > 1, ∀a > 0. 0 C Hoặc ϕ ( x) ≤ x ∈ , C > 0, β > 1. ( (7) (1 + x ) β lim Pj f ( x j ) < lim f ( x j ) , j →∞ j →∞ Khi đó nếu tồn tại M > 0 thỏa mãn Nếu M r ( x) ≤ ∞ ∫ K 0 ( a, u ) du < 0, ∀a < 0. x ∈ , (1 + x ) 0 β −1 Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện trong đó: của hàm ϕ ∈ Sr (  ) . r ( x ) được định nghĩa như (6). Hơn nữa nếu Nhận xét 1 3 β> thì r ( x ) ∈ L (  ) là trực chuẩn trong V0 . 2 Cho hàm h( x) được định nghĩa như sau; 2 84 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
NGÀNH TOÁN Bổ đề 2 (xem [4]) Trong đó: Giả sử ϕ ( x ) là hàm liên tục trong không gian hàm Hàm r ( x ) được định nghĩa như (6) suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức Bên cạnh đó, vì β >3 theo bổ đề 2 thì d với ϕ ′ ( d ) ≠ 0. Cho g ∈ L2 (  ) là r ( x ) ∈ L2 (  ) là trực chuẩn trong V0 . Bây giờ trực chuẩn trong V0 , và xg ( x ) ∈ L (  ) . Thì 1 ta chỉ ra rằng xr ( x ) ∈ L () thật vậy 1 ∞ ∫ xg ( x ) dx = 0. −∞ xM xr ( x ) dx ≤ ∫ () ∫ dx < ∞ β > 3. Nếu ϕ ( x ) thỏa mãn điều kiện (7) thì (1 + x ) β −1 ϕ ∈ Sr   và sử dụng kết quả định lý 3. Giả sử hàm r ( x ) thỏa mãn bổ đề 2 với Nếu a > 0 thỏa mãn r ( x ) < 0 thì ∞ g ( x) = r ( x) . 2 ∫ K 0 ( a, u ) du − 1 > 1. 0 Do đó Với ∞ xr ( x ) dx = 0. (8) ∞ K 0 ( a, u ) du > 1. ∫ ∫ −∞ 0 Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại Giả sử rằng r ( x ) ≥ 0 với x > 0, và r ( x ) ≤ 0 với phía phải của điểm x = 0 . x < 0. Tương tự, nếu a < 0 thỏa mãn r ( x ) > 0 và Do vậy r ( x ) = 0 hầu như ở khắp nơi. ∞ 2 ∫ K 0 ( a, u ) du − 1 < −1. Tuy nhiên trong nhận xét 1, r ( x ) − h ( x ) liên tục 0 Khi đó trong khi h ( x ) là hàm bước nhảy gián đoạn tại ∞ ∫ K 0 ( a, u ) du < 0. x = 0. 0 Vì vậy kết quả của định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Khi đó, nếu tồn tại x > 0 thỏa mãn r ( x) < 0 , Gibbs xảy ra tại phía trái của điểm x = 0 . hoặc x < 0 thỏa mãn r ( x ) > 0. Định lý 4 4. KẾT LUẬN Giả sử ϕ ( x ) là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, với số nhị thức d thỏa mãn Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets và đưa ra điều kiện mở ϕ ′ ( d ) ≠ 0. và rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy C gián đoạn, và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước ϕ ( x) ≤ x ∈ , C > 0, β > 3. (1 + x ) nhảy. Ngoài ra Shannon Wavelets dùng dãy β xấp xỉ dương để loại bỏ hiện tượng Gibbs trong Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện Wavelets. Tuy nhiên do khuôn khổ bài báo, chúng tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm tôi không đề cập ở đây. x =0. Chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Giả sử hàm ϕ ( x) thỏa mãn bổ đề 1. Khi đó tồn [1]. Anders Vretblad (2003), Fourier analysis and its tại M > 0 thỏa mãn applications, SpingerVerlag, New York. M [2]. Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier r ( x) ≤ x ∈ . (1 + x ) β −1 analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford. Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 85
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC [3]. H.T. Shim (1994), On Gibbs phenomenon in wavelet [4]. Kourosh Raeen (2008), A study of the Gibbs subspaces and summability, Ph.D.thesis, The phenomenon in Fourier series and wavelets, University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee. M.A.thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico. THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ Nguyễn Kiều Hiên - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Năm 2007: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán học khoa Khoa học tự nhiên - Đại học Thái Nguyên + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ ngành Toán giải tích Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Toán giải tích - Email: nguyenkieuhien@gmail.com - Điện thoại: 0985330644 86 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019