Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes với trễ vô hạn

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> <br /> SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA<br /> HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES VỚI TRỄ VÔ HẠN<br /> Đặng Thị Phương Thanh, Nguyễn Thanh Bình<br /> Trường Đại học Hùng Vương<br /> <br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Một trong những biến dạng của hệ phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu nhiều trong những<br /> năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001.<br /> Việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của hệ g - Navier - Stokes với trễ vô hạn đã<br /> được nhóm tác giả C.T.Anh, D.T.Quyet trình bày trong [1]. Trong bài báo này, mục đích của chúng tôi<br /> là giảm nhẹ các điều kiện trong [1, Theorem 3.2] (cụ thể là bỏ đi điều kiện 2g > nl1g0) mà không làm<br /> ảnh hưởng đến các kết quả đã đạt được.<br /> Từ khóa: g-Navier-Stokes, trễ vô hạn, nghiệm yếu, phương pháp Galerkin.<br /> <br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Cho W là miền bị chặn trong ¡2 với biên G. Chúng ta xét hệ phương trình g-Navier-Stokes với<br /> trễ vô hạn sau:<br /> ∂u<br /> -νDu + (u.∇)u + ∇p = f (t) + F (t,ut), trong (t, + ∞) × Ω ,<br /> ∂t<br /> ∇. (gu) = 0, trong (t, + ∞) × Ω (1)<br /> u (t, x) = 0, trên (t, + ∞) × G,<br /> u (τ + s, x) = f (s, x), với s ∈ (-∞, 0), x ∈ W,<br /> trong đó u = u (t,x) = (u 1 ,u 2 ),p = p (x,t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất<br /> cần tìm, v = const > 0 là hệ số nhớt và u0 là vận tốc ban đầu, f = f (x, t) là ngoại lực.<br /> Để nghiên cứu bài toán (1) ta giả thiết:<br /> • W là miền tùy ý (bị chặn hoặc không bị chặn) trong ¡2 thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré:<br /> Tồn tại l1 > 0 sao cho: 1<br /> ∫|j | ∀j ∈ H 01 ( W )<br /> l∫<br /> 2<br /> gdx ≤ | ∇j | 2<br /> gdx,<br /> W 1W<br /> <br /> <br /> • g ∈ W1,∞ (W) là hàm thỏa mãn:<br /> 1<br /> 0 < m0 ≤ g (x) ≤ M0 với mọi x = (x1, x2) ∈ W, và |∇g|∞ < m0 l12 .<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> • f ∈ L2loc ;Vg' thỏa mãn: ∫e<br /> ss<br /> f ( s ) V ' ds < +∞ , trong đó s là số dương cố định thỏa mãn<br /> g<br /> -∞<br /> | ∇g |∞<br /> s < 2vl1g0 (Chú ý rằng g 0 = 1 - 1 ).<br /> ml 0 1<br /> 2<br /> <br /> • F (t, ut) : (τ, T) × Cγ (Hg) → L2 (W, g) sao cho:<br /> (i) ∀x ä Cγ (Hg), ánh xạ (t, T)åt  F (t, x) là đo được,<br /> (ii) F (t, 0) = 0 với mọi t ä (τ, T),<br /> <br /> KHCN 1 (30) - 2014 67<br /> KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> (iii) tồn tại một hằng số LF > 0 sao cho ∀t ä (τ, T) và x, h ä Cg (Hg):<br /> |F (t, x) - F (t, h)| ≤ LF||x - h||g.<br /> Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Trước<br /> hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1).<br /> Định nghĩa: Hàm u được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (1) trên khoảng (τ, T)<br /> nếu u ä L∞ (τ, T; Hg) Ç L2 (τ, T; Vg), với uτ = φ và với mọi v ä Vg ta có<br /> d (u (t), u) + V ((u (t), u)) + b (u (t), u (t), u)+ v (Cu (t), u)<br /> g g g<br /> dt<br /> =< f (t), u > + (F (t,ut), u)g trong Vg <br /> '<br /> (2)<br /> với h.k t ä (t, T).<br /> 2. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC<br /> Định lý: Giả sử φ ∈ Cγ (Hg) xác định. Khi đó, bài toán (1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên<br /> khoảng (t, T).<br /> Chứng minh. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán, ta chia thành các bước như sau:<br /> Bước 1: Lược đồ Galerkin<br /> Do Vg khả li và n trù mật trong Vg nên tồn tại dãy {w1, w2, ...,} ⊂ n độc lập tuyến tính và tạo<br /> m<br /> thành cơ sở của Vg. Ký hiệu Vm = span{w1,..., wm} và phép chiếu Pmu = ∑ ( u , w j ) w j<br /> m j =1<br /> Đặt u m ( t ) = ∑ a m , j ( t ) w j , trong đó các hệ số am,j thỏa mãn hệ sau:<br /> j =1<br /> d m<br /> (u (t),wj)g + v(Aum(t),wj)g + v(Cum (t),wj)g + b(um(t), um(t),wj)<br /> dt<br /> =< f(t), wj > +(F(t, utm ),wj)g, ∀j = 1, ..., m,<br /> và điều kiện ban đầu um(τ + s) = Pmj(s) với s ä(-∞, 0].<br /> Đây là hệ phương trình vi phân thường chứa trễ vô hạn với các ẩn (am,1 (t),..., am, n (t)) thỏa mãn điều<br /> kiện tồn tại nghiệm, do đó xấp xỉ um tồn tại.<br /> Bước 2: Xây dựng ước lượng tiên nghiệm<br /> Nhân (3) với am,j (t) và lấy tổng theo j, ta có:<br /> d m<br /> (u (t),um(t))g+v(Aum(t),um(t))g +v(Cum(t), um(t))g + b(um(t), um(t),um(t))<br /> dt<br /> = +(F(t, utm ),um(t))g.<br /> Do b(um(t),um(t),um(t))=0<br /> ∇g<br /> và (Cum(t),um(t))g = b( ,um(t),um(t)), từ (4) ta được:<br /> g<br /> d m<br /> |u (t)|2 + 2v||um(t)||2 =2 < f(t),um(t) ><br /> dt ∇g m<br /> + 2(F(t, utm ),um(t))g - 2vb( ,u (t) ,um(t)).<br /> g<br /> Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2<br /> f (t ) * 2 ∇g ∞ m 2<br /> d |um(t)|2 +2 v||um(t)||2 ≤ 2òv||um(t)||2 + + 2L F utm + 2v ||u (t)|| ,<br /> dt 2 ò v g 1<br /> m l20 1<br /> <br /> <br /> 68 KHCN 1 (30) - 2014<br />  KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> suy ra<br /> d m 2 || f (t ) ||*2 2<br /> |u (t)| + 2v(l0- )||um(t)||2 ≤ 2( + LF utm (3)<br /> dt 4ò v g<br /> <br /> <br /> ∇g ∞<br /> trong đó g0 = 1 - 1<br /> > 0 và ò > 0 được chọn sao cho g0 - ò > 0.<br /> ml 0 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Với chú ý ||um(t)||2 ³ l1|um(t)|2 ta cũng có:<br /> t - vl1 ( g 0 -ò )( t - s ) 2<br /> |um(t)|2 + v(g0 - ) ∫t e um ( s ) ds ≤e-vl (g -ò)(t-s) |um(t)|2<br /> 1 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> +2<br /> t - vl1 ( g 0 -ò )( t - s ) || f (t ) ||*2 2<br /> ∫t e (<br /> 4òv<br /> + LF usm<br /> g<br /> ds<br /> Hơn nữa<br /> 2<br /> ≤ max { sup e 2gq j ( t + q - t ) , sup (e2gq u (t ) + e2gq ∫ ( || f ( s) ||* + 2 LF usm ds}<br /> 2 2<br /> u m (t )<br /> 2 t +q 2<br /> <br /> g q ∈( -∞ ,t -t ) t g<br /> q ∈(t -t ,0 ) v<br /> <br /> 2<br /> ≤ max { sup e 2gq j ( t + q - t ) , u (t ) 2 + t ( || f ( s ) ||* + 2 L u m 2 ds}<br /> 2<br /> <br /> q ∈( -∞ ,t -t ) ∫t v F s g<br /> <br /> <br /> <br /> Trước hết, ta nhận thấy:<br /> sup egq j ( t +=<br /> q - t ) sup=<br /> j (q ) e -g (t -t ) || f ||g<br /> q ∈( -∞ ,t -t ) q ≤0<br /> <br /> <br /> và |u(t)| = |j(0)| ≤ ||j||g, nên ta có:<br /> 2 2 t || f ( s ) ||*2 2<br /> utm ≤ j g +∫ ( + 2 LF usm )ds<br /> g t v g<br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:<br /> 2 t<br /> ≤ e 2 LF (t -t ) ( j g + ν -1 ∫ || f ( s ) ||*2 ds<br /> 2<br /> utm<br /> g t<br /> Sử dụng bất đẳng thức trên ta có đánh giá sau: Tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào V,LF, f,t,T<br /> và R > 0 sao cho:<br /> 2<br /> utm ≤ C(t, T, R) ∀t ä [t,T], ||j|| ≤ R, ∀m ³ 1,<br /> g<br /> <br /> Þ {um} bị chặn trong L∞(t,T; Hg); {um}chặn trong L2(t,T; Vg). (4)<br /> Mặt khác, từ (3) ta có:<br /> du m<br /> = -vAum - vCum - PmB(um, um) + Pmf(t) + PmF(t, um) (5)<br /> dt<br /> <br /> du m '<br /> Þ{ } bị chặn trong L2(t,T;Vg ) (6)<br /> dt<br /> Vì vậy, tồn tại u ä L∞(t, T; Hg) Ç L2(t, T; Vg) với u’ ∈ L2(t, T; Vg' ), và dãy con của {um} hội tụ<br /> mạnh đến u trong L2(t, T; Hg).<br /> Bước 3: Sự hội tụ trong Cg(Hg(W)) và sự tồn tại nghiệm yếu.<br /> Ta sẽ chứng minh:<br /> utm → ut trong Cg(Hg(W)), ∀t ä(-∞, T].<br /> Để làm được điều đó, ta cần chứng minh<br /> <br /> KHCN 1 (30) - 2014 69<br /> KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> Pmj → j trong Cg(Hg(W)), (7)<br /> um → u trong C([t,T]; Hg(W)). (8)<br /> Bước 3.1. Xấp xỉ trong Cg(Hg(W)) của điều kiện ban đầu<br /> Trước hết, ta chứng minh (11).<br /> Thật vậy, giả sử ngược lại, dẫn đến tồn tại ò > 0 và một dãy con, sao cho<br /> egqm |Pmj(qm) - j(qm)| > ò. (9)<br /> Nếu ký hiệu x = lim egqj(q), ta thu được<br /> q →-∞<br /> <br /> e gqm<br /> |P mj(q m) - j(q m)| = |P m(e gqmj(q m)) - e gqmj(q m)|<br /> ≤ |P m(e gqmj(q m))- P mx| + |P mx - x| + |x -(e gqmj(q m)|→ 0<br /> Điều này mâu thuẫn với (9), vậy (7) đúng.<br /> Bước 3.2. Sự hội tụ của um tới u trong C([t, T]; Hg(W)) .<br /> Từ sự hội tụ mạnh của {u m} đến u trong L 2 (τ, T; H g (W)), ta có<br /> u m (t) → u trong H g (W) h.k. t ä (t,T).<br /> Do<br /> ∫ ( u ) ’(r)dr trong V<br /> t<br /> u m (t) - u m (s) = m<br /> g<br /> '<br /> (W), ∀s,t ä [t,T ],<br /> s<br /> <br /> ta có {um} đồng liên tục trên [t,T] với giá trị trong Vg' (W). Bởi H g (W) ⊂ Vg' (W) nhúng<br /> compact, sử dụng định lý Ascoli-Arzela ta có<br /> um → u trong C([t,T]; Vg' (W)) (10)<br /> Bây giờ ta có thể chứng minh (8) bằng phương pháp phản chứng.<br /> Giả sử ngược lại, coi như u ä C([t,T]; H g' (W)), tồn tại ò > 0, t0 ä [t, T], dãy con {um| và {tm|⊂ [t,T]<br /> với lim tm = t0 sao cho<br /> m→+∞<br /> <br /> |um(tm) - u(t0)| ³ ò, ∀m. (11)<br /> Để chứng minh điều này là vô lý, ta sẽ sử dụng phương pháp năng lượng. Nhận thấy bất đẳng<br /> thức năng lượng đúng đối với um:<br />  <br /> 1 m  ∇g ∞  t m 2 t 1 2<br /> ≤ ∫s < f (r ), u m (r ) > dr + u m ( s ) + C (t - s ), ∀s, t ä [t, T].<br /> 2<br /> u (t ) + v 1 - 1  ∫s<br /> u ( r ) dr<br /> 2  2<br />  m l2 <br />  0 1 <br /> D<br /> trong đó: C = với D thỏa mãn:<br /> 2vl1 t<br /> ∫ | F (r , urm ) |2 dr ≤ D ( t - s ) , ∀t ≤ s < t ≤ T<br /> s<br /> <br /> Mặt khác, tồn tại xF ä L2(t, T; L2(W, g)) sao cho {F(t, um)} hội tụ yếu đến xF trong L2(t, T; L2(W, g)).<br /> Vì vậy, ta có thể chuyển qua giới hạn trong (5) và thu được u là nghiệm của:<br /> d<br /> dt<br /> ( )<br /> ( u ( t ) , v ) g + v ( u ( t ) , v ) g + v ( Cu ( t ) , v ) g + b ( u ( t ) , u ( t ) , v ) =< f(t), v > +(xF(t), v)g<br /> Vì vậy u thỏa mãn đẳng thức năng lượng:<br /> 2<br /> u ( r ) dr + 2v ∫ ( Cu ( r ) , u ( r ) ) g dr <br /> t t<br /> |u(t)| 2 + 2v ∫ s s<br /> 2 t<br /> = u ( s ) + 2 ∫ (< f (r ), u (r ) > + (x ( r ) , u (r ))<br /> F g )dr , ∀s, t ä [t, T]<br /> s<br /> <br /> <br /> 70 KHCN 1 (30) - 2014<br />  KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> và với giới hạn yếu xF ta có đánh giá:<br /> t t<br /> ∫ s<br /> | x F |2 dr ≤ liminf ∫ | F (r , urm ) |2 ≤ D(t - s ), ∀t ≤ s ≤ t ≤ T.<br /> m→+∞ s<br /> <br /> Tiếp theo, xét hai hàm J m ,J : [t,T] → R xác định bởi<br /> 1 t<br /> Jm(t) = | u m (t ) |2 - ∫ < f (r ), u m (r ) > dr - Ct ,<br /> 2 t<br /> <br /> <br /> 1 t<br /> | u (t ) |2 - ∫ < f (r ), u (r ) > dr - Ct.<br /> J(t) =<br /> 2 t<br /> <br /> Dễ thấy Jm, J là các hàm liên tục không tăng. Hơn nữa, bởi tính hội tụ của um tới u h.k.n theo thời<br /> gian với giá trị trong H g (W) , và hội tụ yếu trong L 2 (t,T; H g (W)), ta có:<br /> Jm(t) → J(t) h.k. t ä [t,T]. (12)<br /> Ta sẽ chứng minh um(t) → u(t0) trong Hg(W), (13)<br /> điều này dẫn đến mâu thuẫn với (11).<br /> Trước hết, từ (10) ta có: um(t) → u(t0) yếu trong Hg(W). (14)<br /> Vì vậy |u(t0)| ≤ liminfm→+∞ |um(tm)|. Do đó, nếu ta có<br /> lim sup |um(tm)| ≤ |u(t0)|, (15)<br /> m→+∞<br /> <br /> ta sẽ thu được lim |u (t )| = |u(t0)|, điều này cùng với (l4) cho ta (13).<br /> m<br /> m<br /> m→+∞<br /> <br /> Bây giờ, nhận xét rằng trường hợp t0 = t kéo theo ngay với s = τ và um(t) = Pmj(0). Vậy, ta có thể giả<br /> thiết t0 > t. Điều này rất quan trọng, do ta sẽ xấp xỉ giá trị t0 từ bên trái bởi {t’k}, nghĩa là lim t 'k Z t0.<br /> k →+∞<br /> Do u(.) liên tục tại t0 nên tồn tại kò sao cho<br /> ò<br /> , ∀k ³ kò |J(t’k) - J(t0)| <<br /> 2<br /> Mặt khác, lấy m ≤ m(kò) sao cho tm > t’kò , do Jm không tăng và với mọi t’k sự hội tụ trong (20)<br /> đúng, ta có<br /> Jm(tm) - J(t0) < | J m (t 'k ) - J (t 'k ) | + | J (t 'k ) - J (t0 ) | ,<br /> ò ò ò<br /> <br /> <br /> và rõ ràng, lấy m ≤ m’(k ò), ta có | J m (t 'kò ) - J (t 'kò ) | < ò .<br /> 2<br /> Từ Bước 2 ta cũng có kết luận rằng<br /> tm t0<br /> ∫t < f (r ), u m (r ) > dr → ∫ < f (r ), u (r ) > dr 0<br /> t<br /> Do đó (13) đúng và cuối cùng (8) cũng đúng như mong muốn.<br /> Do đó, ta có<br /> F(.,u m ) → F(.,u) trong L2(t,T; L2(W,g)). (16)<br /> Từ các kết quả hội tụ trên, ta sẽ chứng minh u là nghiệm của bài toán (l).<br /> Thật vậy, với y là hàm khả vi liên tục trên khoảng [0,T ] nhân (3) với y(t), ta có<br /> du m ( t ) T T<br /> ∫t (Cu (t ), w j y(t )) g dt + ∫ b(u m (t ), u m (t ), w j y(t ))dt<br /> T T<br /> , y ( t ) w j ) g dt + v ∫ dt + v<br /> m<br /> ∫t (<br /> dt t t<br /> T T<br /> = ∫t < f (t ), w y(t ) > dt + ∫t ( F (t , u<br /> m<br /> j t ), w j y(t )) g dt<br /> Lấy dãy chéo, ta vẫn ký hiệu là um, dãy này thỏa mãn với dãy các tập mở bị chặn W chứa giá trị<br /> của các hàm ωj của cơ sở. Chuyển qua giới hạn, ta có:<br /> <br /> KHCN 1 (30) - 2014 71<br /> KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG<br /> <br /> T du ( t ) T T T<br /> <br /> ∫t ( , y ( t ) w j ) g dt + v ∫ dt + v ∫t (Cu (t ), w j y(t )) g dt + ∫t b(u (t ), u(t ), w j y(t ))dt<br /> dt t<br /> <br /> T T<br /> = ∫t < f (t ), w y(t ) > dt + ∫t ( F (t , u<br /> m<br /> j t ), w j y(t )) g dt<br /> đúng với mọi wj và hàm y khả vi liên tục trên [0, T]. Vì vậy, ta có u thỏa mãn (2).<br /> Bước 4: Tính duy nhất nghiệm<br /> Cho u, v là hai nghiệm yếu của bài toán (l) với cùng điều kiện ban đầu và đặt w = u - v. Sử<br /> dụng bất đẳng thức năng lượng ta có:<br /> t t ∇g<br /> |w(t)|2 + 2v ∫ || w( s) ||2 ds + 2v ∫ b( , w( s), w( s))ds<br /> t t g<br /> t t<br /> = -2 ∫ b(w( s ), v( s ), w( s )ds + 2 ∫ (F ( s, us ) - F ( s, vs ), w( s )) g ds<br /> t t<br /> Mặt khác<br /> 2<br /> t t c t t<br /> | 2 ∫ b(w( s ), v( s ), w( s )ds | ≤ 2c1 ∫ |w( s ) ||| w( s ) |||| v( s ) || ds ≤ v ∫ ||w( s) ||2 ds + 1 ∫ ||v( s) ||2 | w( s) |2 ds,<br /> t t t v t<br /> và 2<br /> t ∇g ∇g ∞ t t v ∇ g t<br /> | 2v ∫ b( , w( s ), w( s ))ds | ≤ 2v 1/2 ∫t<br /> ||w( s ) ||| w( s ) | ds ≤ v ∫t ||w( s ) || ds + 2 ∞ ∫t |w( s ) | ds<br /> 2 2<br /> t g m0l1 m l<br /> 0 1<br /> Do tính chất của trễ nên<br /> t t t<br /> 2 ∫ (F ( s, us ) - F ( s, vs ), w( s ))ds |≤ 2 ∫ (F ( s, us ) - F ( s, vs ) || w( s ) | ds ≤ 2LF ∫t || w s ||g | w( s ) | ds.<br /> t t<br /> <br /> Từ w (s) = 0, ∀s < τ, ta có<br /> gq<br /> ||ws||g = sup egq | w( s + q ) | ≤ sup e | w( s + q ) | với t ≤ s ≤ T<br /> q ≤0 q ∈[t -s,0]<br /> <br /> Mặt khác<br /> 2<br /> c2 t v ∇g t<br /> |w(t)| ≤ 1 ∫t || v(s) || | w(s) | ) ∫ sup | w(r ) |2 ds<br /> 2 2<br /> 2<br /> ds + (2 LF + ∞<br /> <br /> v ml2<br /> 0 1<br /> t r∈[t ,s]<br /> <br /> Vì vậy:<br /> 2<br /> 2 t v ∇g ∞ c12 2 2<br /> sup w(r) ≤ ∫ (2 LF + + v( s ) sup w(r) ds<br /> r∈[τ ,t ] τ m02 λ1 ν r∈[ τ,s ]<br /> <br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được tính duy nhất nghiệm của bài toán.<br /> <br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> 1. C.T. Anh and D.T. Quyet (2012), “g-Navier-Stokes equations with infinite delays”, Viet. J.<br /> Math. 40, 57-78.<br /> 2. J. Garcia - Luegno, P. Marín-Rubio and J. Real (2014), “Regularity of pullback attractors and<br /> attraction in H1 in arbitrarily large finite intervals for 2D Navier-Stokes equations with infinite de-<br /> lay”, Discret. Cont. Dyna. Syst. B 01, 181 - 201.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 72 KHCN 1 (30) - 2014<br />