Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

704
lượt xem 286
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12

1 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 PHẦN MỤC LỤC Trang I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn : 1. www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… 2. Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14. … và một số tài liệu tham khảo khác . 15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 1 
2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y = 2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại . ĐS : m < -2 PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  3 1 + xsin2 x − 1, x = 0 − 2. Cho hàm số : f(x) =  / . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu 0 , x =0  tại x =0 .   3. Tìm cực trị của hàm số := f(x) y = | x | ( x − 3) . ĐS : x =0 ; x=1 4. Xác đị nh các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghi m thực : ệ 7 9 a) ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = : ≤ m ≤ 0 . ĐS 9 7 b) 4 x2 + 1 − x = . ĐS : 0 < m ≤ 1 m c) m ( 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2 )  x2 + y 3 = 2 5. Xác đị nh số nghiệm của hệ phương trình :  ĐS : 2 log3 x log 2 y = 1  x2 + 1  e y −x = 2 6. Giải hệ phương trình :  y +1 . ĐS : (x,y)=(7;7)  2 2  3log (x + 2y= 2log (x + y + 2) + 1 + 6) 3 2  x + x − 2x + 2= 3 + 1  7. Giải hệ phương trình :   2 y −1 y + y − 2y + 2= 3 + 1 2 x −1  1 + 42x−y .5y −2x+1 = + 1 22x−y +1  8. Giải hệ phương trình :  ( )  y + 4x + ln y + 2x + 1 = 0  3 2 ( ) 9. Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) =  x +2  1 10. Giải bất phương trì nh : (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 . ĐS : ≤ x ≤7  2 5 11. Giải bất phương trì nh : 3 3 − 2x + − 2x ≤ 6 2x − 1 12. Giải phương trình : 3x 2 + 9x 2 + 3 + ( 4x + 2) ( ) ( 1 + x + x2 + 1 = 0 ) 13. Giải phương trình : x3 − 4x 2 − 5x += 6 7x 2 + 9x − 4 3 2 xy − y + x + y = 5 14. Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm :  . ĐS : m ∈ 1; 5  5− x + 1− y = m    1  x + x − 1 m x + + 4 x ( x − 1)  = 1.  15. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x −1 (  )   x +1 + y +1 = 3   16. Tìm m để hệ có nghiệm:  x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 =m  f '''(x) 1  f ''(x)   2 17. Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại x1 ;x2 . CMR: , ∀x ≠ x1 ,x2 f '(x) 2  f '(x)  < 18. Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m . Tìm m sao cho f 2 (x) ≤ 36, ∀ m   19. Trong các nghiệm(x;y) của BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ 1 . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x ( x 2 +1 - x = 1 . ĐS : x=0 ) 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt :  x+y = m 3 3 ĐS : m ≥ ( y + 1 ) x + xy = m ( x + 1 ) 2   2  MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 2 
3  x − y4 = 240 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 4 22. Giải hệ PT :  3 x − 2y = 3 x − 4y − 4 ( x − 8y )  3 2 2 ( ) x 4 + x3 y + 9y = y 3 x + y 2 x2 + 9x  23. Giải hệ phương trình :  . ĐS : (x,y)=(1;2)  x y −x = 7  3 3 ( )  4x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2y = 0  24. Giải hệ phương trình :  ( ) 4x 2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7  2 xy − y + x + y = 5  25. Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm :  . ĐS : m ∈ 1; 5   5− x + 1− y = m    1 x + x − 1 m x + + 4 x ( x − 1)  = 1.  26. Xác đị nh m để phương trình sau có nghi m thực : ệ x −1  ( )  3( x + 1 )2 + y − m =0   27. Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt . x + xy = 1   x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 1  28. Giải hệ PT :  y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1  sin x   e = sin y  x −y 29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − 1   x,y ∈  0;   4   Π  30. Giải phương trình : 16x3 − 24x 2 + 12x − 3 = x   3  1 + 42x−y .5y −2x+1 = + 1 22x−y +1 31. Giải hệ phương trình :  ( )  y + 4x + ln y + 2x + 1 = 0  3 2 ( ) 32. Giải phương trình : 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x )  33. Giải phương trình : −2x3 + 10x 2 − 17x + 8 2x 2 3 5x − x3  x + xy =y + y = ĐS 5 4 10 6 34. Giải hệ phương trình :   4x + 5 + y + 8 = 6  2  x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1  35. Giải hệ phương trình :   y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1  1  x+ y= 2  36. Giải hệ phương trình :   x + 1  = y + 1   y x  y  x    1 1    37. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : (5x − 6)2 − = x2 − 5x − 7 x −1 7 Lời giải : ĐK : x > 5 4x − 6 3 Cách 1 : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + =0 ⇔ x = (x − 1)(5x − 7).  x − 1 + 5x − 7  2 1 1 Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : (5x − 6 ) − x2 −   2 (5x − 6) − 1 x −1 = 1 5 Và xét hàm số : f(t) t 2 − ,t> t −1 7 = MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 3 
4 38. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các gi á trị của tham số m để BPT sau có nghi ệm : Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM x3 + 3x2 − 1 ≤ m( x − x − 1)3 HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : x + x − 1 (x3 + 3x2 − 1) ≤ m 3 ( ) 39. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình : x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + 1 HD : PT ⇔ (x + 1)3 + = (x + 1) 3x + 1 + 3x + 1 . Xét hàm số : f ( t) = t 3 + t ,t > 0 3 ( ) 40. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình : 2 3 2x −= 27x3 − 27x 2 + 13x − 2 1 HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2 3 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 3 2x − 1) = − 1) f(3x (4x 2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0 41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  4x + y + 2 3 − 4x = 7  2 2 HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x=  5 − 2y + 1 5 − 2y ⇒ f(2x)= f( 5 − 2y )  2 ( ) 5 − 4x 2     = (t 2 + 1).t ⇒ f '(t) =+ 1 > 0 ⇒ 2x = 5 − 2y ⇒ 4x 2 =5 − 2y ⇒ y = Hàm số : f(t) 3t 2 2  5 − 4x 2  3 2 Thế vào (2) ta có : 4x 2 +   + 2 3 − 4x = với 0 ≤ x ≤ 7 , ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có  2  4 1 nghiệm duy nhất : x = . 2  x+ y= 4 42. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ:  (a là tham số).  x +7 + y +7 ≤ a  Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ 9.  HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của bi ến khi muốn quy về 1 biến để khảo s át : 4 − x =y ≥ 0 ⇒ x ≤ 16 . Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : a ≥ 4 + 2 2 y 4 − 4x + 2xy −2x+4 = 5 43. Giải hệ phương trình : 2 + x = y + 2   x 3 3 y 44. Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với mọi x : (e − e + 1 − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 1  2 sinx ) 45. ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : log 2+ 5 (x 2 − 2x − 11) log (x2 − 2x − 12)   2 2+ 5 = 46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =0  y 2 −x2 x 2 + 1  e 47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trì nh sau:  y +1 = 2 3log (x + 2y= 2log (x + y + 2) + 1 + 6)  3 2  Cho f(x) =  (x2 + 1)e , x > 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) . 48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : −x −x − ax + 1, x ≤ 0  acosx + bsin x, x ≤ 0 Cho F(x) =  . Tìm a,b để tồn tại f’(0) .  ax + b + 1, x < 0   x2 x2  ln x − , x > 0 x ln x, x > 0 F(x) =  2 4 và f(x) =  . CMR : F'(x) = f(x)  0, , x = 0  0, x = 0  Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2  . Chứng minh f(x) là hàm hằng .  MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 4 
5 tanx − 1 e−2x − 3 1 + x2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Tính giới hạn : N1 = lim Tính gi ới hạn : N2 = lim 3 2 x→ 2sin2 x − 1 x→0 ln(1 + x 2 ) 4 x 2 + x + 1 − 3 1 + x3 esin 2x − esinx π  Tính giới hạn : N3 = li→0 m Tính giới hạn : N4 = lim 3 x x x→0 sin x e−2x − 3 1 + x2  Tính giới hạn : N5 = lim x + 8 − 2 Tính giới hạn : N6 = lim 3 2 x→0 sin10x x→0 ln(1 + x 2 ) 4x − x 4  Tính giới hạn : N7 = lim e − e Tính giới hạn : N8 = lim sin2x 3 sin 3x x→0 sin4x x→0 3 x−32 2 .32x − cos4x  Tính giới hạn : N9 = lim 3x x→0 1 + sinx − 1 − sinx Cho P(x) là đa th bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x3 ...x n . Chứng minh các đẳng thức sau : ức P''(x1 ) P''(x 2 ) P''(x n )  a) + ... + 0 P'(x1 ) P'( x2 ) P'(x n ) + = 1 1 1 b) + ... + 0 P'(x1 ) P'(x 2 ) P'(x n ) + = Tính các tổng sau : a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx  1 x 1 x 1 x b) Tn (x) tan + 2 tan 2 + ... + n tan n 2 2 2 2 2 2 = c) CMR : 2.1.C2 + 3.2.C3 + ... + n(n − 1)Cn= n(n − 1).2n−2 n n n d) Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + ... + n2sinnx 2x + 1 2x + 3 2x + (2n − 1) e) = Sn (x) + ... + x (x + 1) (x + 1) (x + 2)  x + (n − 1) (x + n) 2 2 2 2 2 2 +   a+b a n + bn 49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : Cho α ∈ R: a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng :   2  2 α a) ≤ b) Chứng minh rằng với a > 3,n ≥ 2 ( n ∈ N,n chẵn ) thì phương trình s au vô nghiệm :  (n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 = 0  x2   x2  2 c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : y = (m + 1)  − 3m  + 4m 1 + x  1 + x  2 2 x2 xn   x2 xn  d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) . CMR : ∀x = , ta có : 1 + x + + ... +  1 − x + − ... −  < 1 /0 2! n!   2! n!   e) Tìm cực trị của hàm số : y = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1  Tìm a để hàm số : y f(x) = −2x + a x 2 + 1 có cực tiểu . msin x − cosx − 1  9π  f) = g) Tìm m để hàm số : y = đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng  0; 4  mcosx   50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 2 + ( b + c ) x + d + e = có nghiệm thực thuộc 0 nửa khoảng [1; +∞ ) thì phương trình : ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = có nghiệm. 0 a) b) Cho phương tr : P( x ) = x5 − 5x 4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 =. Chứng minh rằng, phương trình có một nghi ệm thực ình 0 duy nhất. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 5 
6 Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC 1. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : f(x) a) lim =1 x→0 x b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x 2 + 3xy + 2y 2 , ∀x,y ∈ R 2. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) = x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R f ( ) ( ) 3. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R ( ) 4. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : f ( x ) ≥ e2009x f ( x + y ) ≥ f ( x ) .f ( y ) , ∀x,y ∈ R c) 5. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f = f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R (x + y ) d) 6. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x += f(y.f ( x )) + x 2 y) ( ) 7. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f :  →  thỏa mãn : f 2 (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 6 
7 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1. Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 =. Chứng minh rằng : a2b + b2c + c2a ≤ 3 3 2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng : a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 2 2 2 2 2 a2 b2 c2 81 a2b 13 3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : ≥ (a + b + c) b c a 4 (2a + b) 4 2 + + + ∑ 4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc = . Tìm Max của : P = a7 b8 c9 2 a b c 3 5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR : a+b b+c c+a 2 + + ≤ (a + b + c) 6 6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : P= ab2c3 7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x 2 + y 2 + z2 = 1 2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2 CMR : yz zx xy + + bc ca ab a+b+c Cho các số thực dương a,b,c . CMR : a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 8. + + ≤ 1 1 1 1 Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 3 a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 9. + + ≤ 1 1 1 Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2 = : ab + bc + ca ≤ 3 1 . CMR a +2 b +2 c +2 10. + 2 + 2 Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 =. CMR : 3 1 1 1 ≥3 11. 2−a 2−b 2−c + + x y z 3 2 12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR : x+y y +z z+x 2 + + ≤ a2 b2 c2 4(a − b)2 13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : + + ≥a+b+c+ b c a a+b+c 1 1 1 3 14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : 3 a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 + 3 + 3 ≥ 15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( x − 1 )( y − 1 )( z − 1 ) = 0 . CMR :  x   y   z  / 2  x −1  +  y −1  +  z −1  ≥ 1 2 2 (3a − b + c)2 (3b − c + a)2 (3c − a + b)2 9       16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR : 2a2 + (b + c)2 2b + (c + a)2 2c + (a + b)2 2 + 2 + 2 ≥ 17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =. CMR : 1 1 1 1 9 1 − ab 1 − bc 1 − ca 2 + + ≤ 18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =. CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc 9 a3 b3 c3 1 19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR : (1 − a) (1 − b) (1 − c)2 4 2 2 + + ≥ 20. (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : 9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 0. a2 b2 c2 F= b + 2c c + 2a a + 2b + + MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 7 
8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Từ giả thiết : Lời giải : 9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a 4 + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2 0 16 ⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 3 Ta lại có : a2 b2 c2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 F= b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b) + + = 2 + 2 + 2 ≥ 2 2 (a2 + b2 + c2 )2 Lại có : a2 b + b2c + c2a a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2 3 = a2 + b2 + c2 Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 . 3 a +b +c Từ đó ta có : F ≥ ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1. 2 2 2 3 ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a2 (b + 2c)a2 a2 (b + 2c)a2 2a2 ≥2 . b + 2c 9 b + 2c 9 3 + = b2 (c + 2a)b2 2b2 c2 (a + 2b)c2 2c2 Tương tự , . c + 2a 9 3 a + 2b 9 3 + ≥ + ≥ a2 b2 c2 Suy ra: F= b + 2c c + 2a a + 2b + + 2 1 ≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) . 3 9 ( ) Lại áp dụng AM – GM, ta có  a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3 a2c + b2a + c2b ≤ =a3 + b3 + c3 (**) . 3 3 3 Từ (*) và (**) suy ra: + + 2 1 2 1 F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 ) 3( a + b2 + c2 . 3 9 3 9 2 ( ) ( ) ( ) t Đặt = 3 a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có: ( ) 25( a + b + c ) − 48 9 ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 16 = ⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a + b + c . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ 2 1 Do đó F ≥ t 2 − t 3 = với t ∈3; 4  (* * *) . f(t) 9 27 Mà min f(t) f(3) 1 (* * **) . Từ (***) và (****) suy ra F ≥ 1.   t ∈3;4  Vậy minF = 1 xảy ra khi a = b= c = 1 . = =   21. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng : 1 1 1 36 x y z 9 + x y + y 2 z2 + z2 x 2 2 2 + + ≥ 1 1 1 Lời giải : BĐT đã cho tương đương với : (9 + x y + y 2z2 + z2 x2  + +  ≥ 36 x y z 2 2 )  xy + yz + zx  Ta = (xy)(yz)(zx) ≤  có : ( xyz ) 3 2  3   MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 8 
9  1 1 1   xy + yz + zx  27 ( xy + yz + zx ) 27 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 2 2 Do đó : =  x y z  xyz (xy + yz + zx) xy + yz + zx 3 + +   ≥ = Lại có : 9 + x 2 y 2 + y 2z2 + z2 x2 =2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 2 3 + (xy + yz + zx) 6 + x 2 y 2 + 1 + (y  ( ) Nên :   27 9 ( VT ) ≥ 4 3 + (xy + yz + zx) = 108   . xy + yz + zx + 6 + (xy + yz + zx) ≥ 2 2  xy + yz + zx    9  ≥ 108  6 + 2 (xy + yz + zx) = 1296 ⇒ VT ≥ 36 xy + yz + zx        ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2z2 (1) Và 9+ x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 12 x 4 y 4 z 4 hay 9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 3 xyz (2) Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 22. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + 1 = . Tìm giá trị 3xy 3x 3y 1 1 lớn nhất của : M y(x + 1) x( y + 1) x y = + − 2− 2 Ta có : 3xy = x + y + 1 ≥ 2 xy + 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 (*) Lời giải : Ta có : 3x 3y 1 1 1 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − 1 ) − (1 − 3xy) + 2xy M 2 y 2 (3x − 1) x (3y − 1) x y y (3x − 1) x (3y − 1) x y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y 2 = + 2 − 2− 2= 2 + 2 = 2 2 =   23. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR : a3 b3 c3 a b c b3 c a b c a + 3 + 3≥ + +  a3 a3 a + 3 +1≥3  b 3 b b  a3 b3 c3 3 ≤ 3 + 3 + 3 HD :  b c a  24. ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : x 2 + y 2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất của 1.  biểu thức : P 6(y + z − x) + 27xyz y 2 + z2 1 − x2 = HD : P ≤ 6  2(y 2 + z2 ) − x  + 27x. 2 = 6  2(1 − x 2 ) − x  + 27x 2 ( PMax = 10) 25. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 = . Chứng minh rằng : 1         6 a3 + 2b3 + 3c3 ≥ 7 HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ 26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = 1 . Chứng minh rằng : (x 4 + y 4 )3 (y 4 + z4 )3 (z4 + x 4 )3 ≥ 12 x6 + y 6 y +z z + x6 + 6 6 + 6 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 9 
10 Lời giải : Đặt = a;y b;z c ⇒ abc = 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành : x Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 2 2 (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 = = + 3 3 + 3 3 ≥ 12 a3 + b3 b +c c +a Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có : (a2 + b2 )3 = a6 + a 4 b2 + a 4 b2 + a 4 b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 4 a6 b6 a3 + b3 ( ) ( ) ( ) 27. (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng : 1 1 1 3(a + b + c) a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 ) + + ≥ (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 )  1 1 1  3(a + b + c) HD : BĐT ⇔  2 a + b + b + c + c + a  ≥ 2  (a + b)2   Và chú ý : a2 + b2 ≥ 2 28. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z = . Chứng minh rằng : 9 x 3 + y 3 y 3 + z3 z 3 + x 3 ≥9 xy + 9 yz + 9 zx + 9 + + 29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh 272 rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤ 27 HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm . a3 b3 c3 30. (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho a,b,c >0 . CMR : ≥a+b+c bc ca ab + + a 4 (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4 HD : VT = ∑ ≥a+b+c abc 3abc 27abc ≥ ≥ 31. ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : 2 xy + xz = giá trị nhỏ 1 . Tìm 3yz 4zx 5xy nhất của : S = x y z + + 1 2 3 32. ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện : 1. 1+ x 2+ y 3+z Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = xyz + + = 33. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho a,b, c > 0 :a2 + b2 + c2 =. Chứng minh bất đẳng thức : 3 1 1 1 ≤1 4 − ab 4 − bc 4 − ca + + 34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : x 2 y y 2 z z2 x 13xyz P z3 x y 3(xy 2 + yz2 + zx2 ) = + 3 + 3 + x y z a b c 13 Đặt : = = = abc = . Lúc đó : P = 2 + 2 + 2 + a; b; c⇒ 1 Lời giải 1 : y z x b c a 3(a + b + c) (ab + bc + ca)2 Ta có : (a + b += abc(a + b += (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤ c) c) 3 1 a 1  a + b2 ≥ 2 b 1 b 1 a b c 1 1 1 Lại có :  + 2 ≥ 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + = ab + bc + ca  b c c b c a a b c 1 c 1  + 2 ≥2 c a c 13 Do đó : P ≥ (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ≥ 1 ) (ab + bc + ca)2 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 10
11 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ y x z a2 b2 c2 13abc 13 Lời giải 2 : Đặt : = = = abc = . Lúc đó : P = + + + a; b; c⇒ 1 ≥ (a + b + c) + x z y b c a 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 x y z 3 35. Bài toán tương tự : Cho x,y,z > 0 : xyz ≤ 1 . Chứng minh rằng : ≥4 y 2 z2 x 2 x + y + z + + + 1 1 1 Lời giải : Đặt : = = = abc ≥ 1 . a; b; c⇒ x y z a2 b2 c2 3abc (a + b + c)2 9 BĐT đã cho trở thành : . Với : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3 c a b ab + bc + ca a+b+c (a + b + c)2 + + + ≥ + 36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a + b + c = . Tìm giá 1 1 1 1 trị lớn nhất và nhỏ nhất của : P a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 = + + 1 1 1 HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2 ≥1+ , ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ 1 x +1 y +1 (x + y )2 + 1 + 2 37. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) . Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng : a2 b2 c2 + + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2 b c a  a2   b2   c2 a2 b2 c2 Lời giải : C1 : ( THTT) Ta có :  + b  +  + c  +  + a  ≥ 2(a + b + c) ⇒ + + ≥ a + b + c b   c  a b c a   a2 b2 c2   a 2  a2 − ab + b2    Do đó = 2 + +  ≥ ∑  + b − a  + b : 2.VT  + b ≥ 2VP b c a  b b   = ∑  C2 : Ta có : a2 − ab + b2 ≥ a + b + c(Mincopxki)         ∑ a − ab + b ≥ a2 − ab + b2 ∑ a2 − ab + b2 Mà : VT = ∑ 2 2 b a+b+c Svacxo ∑ 38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 : abc = 1 . Chứng minh ≥ rằng : ab2 + bc2 + ca2 ≥ a + b + c a b c a b 2 a HD : BĐT ⇔ + + ≥ a + b + c . Chú ý là : + + a c ≥ 3a  a c = b c a b c b  2 Lời giải 2 : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 3 (a2 b2c2 )b3 = 3b   39. ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ). Cho a,b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :  a  3  b  3  c  33 2 2 2 2 3  b+c  + c+a  + a +b ≥ 2 b+c b+c  b+c a 1  a        HD : 2 + ≥ 3 3 2 2 2 a a  a   ⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 3  b + c  3 2  + 40. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho 3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của :  bc ca ab P= . a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab + + a b c HD : Đặt x; y; = xyz = Lúc đó : z⇒ 1. b c a = = z x y 1 x  P=+ + 1 . Lại có : x + 3z y + 3x z + 3y 3  x + 3z  + = − ∑ x x2 (x + y + z)2 (x + y + z)2 3  ∑ x + 3z ∑ x2 + 3zx (x + y + z)2 + (xy + yz + zx) ≥ (x + y + z)2 4 (x + y + z)2 + = ≥ = 3 13 3 Do đó : P ≤ 1 − = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 . 34 4 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 11
12 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Đặt x a ,y b,z c;x,y,z ∈ ( 0; + ∞ ) . ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT : yz zx xy = = = Khi đó: P = . x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy + + 3yz 3zx 3xy Ta có 3P = x 2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy + +  x2 y2 z2  3− 2 3−Q  x + 3yz y + 3zx z + 3xy  = + 2 + 2 = áp dụng bđt BCS ta được x y z 2 x2 + 3yz + y 2 + 3zx + z2 + 3xy   x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy     ≤ Q. x2 + y 2 + z2 + 3xy + 3yz + 3zx   ( ) (x + y + z) (x + y + z) 2 2 ⇔Q≥ . Mặt khác xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) + xy + yz + zx 2 3 3 9 3 Suy ra Q ≥ , do đó 3P ≤ ⇒ P ≤ . 4 4 4 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 4 41. ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) . Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ nhất 1. a2 b2 c2 của biểu thức : P = . b+c c+a a+b + + 1 1 1 Lời giải 1 : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ . Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có : b+c c+a a+b ≥ ≥ a2 b2 c2 1  1 1 1  1 1 1 1  P= . ≥ a2 + b2 + c2  b+c c+a a+b 3  b+c c+a a+b  = 3 b + c + c + a + a + b  ≥ + + ( + ) + 3 3   2(a + b + c) 2 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ ≥ Lời giải 2 : Áp dụng BĐT Swcharz : a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 P= 2 .≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) b(a2 + c2 ) + a(b2 + c2 ) + c(a2 + b2 ) + 2 + 2 2a b2 + c2 . b2 + c2 1  2a2 + 2(b2 + c2 )  3 Lại có : a(b2 + c2 ) 2 2 3 = ≤    a3 b3 c3 3 42. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . Cho a,b,c >0 . CMR : (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 8 + + ≥ b c a 1 1 1 3 = y; = z ;⇒ xyz 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành : Lời giải : = x; a b c (1 + x) (1 + y) (1 + z) 8 3 3 3 = + + ≥ 1 1 1 1 3 Áp dụng AM-GM ta có : ≥ 33 (1 + x ) 3 (1 + x ) 3 8 8(1 + x)6 2(1 + x ) 2 + + = 1 1 1 3 Ta cần CM bất đẳng thức : (1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 4 + + ≥ MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 12
13 1 1 1 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bổ đề : ( ∀x,y > 0) (1 + x ) 2 (1 + y ) 2 1 + xy + ≥ Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ 0 1 1 z 1 z(z + 1) + 1 z2 + z + 1 Do đó : VT ≥ 1 + xy (1 + z) z + 1 (1 + z) 2 2 (1 + z)2 z2 + 2z + 1 + = + = = z2 + z + 1 z2 − 1 = Max{x,y,z} ⇒ 1 xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ 1 . Xét hàm số : f(z) = Giả sử : z ;= f '(z) ≥ 0, ∀z ≥ 1 z + 2z + 1 2 (z + 1)4 = 3 Suy ra : f (z ) ≥ f(1) = . 4 43. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 1 1−x 1−y 1−z P= 1+ x 1+ y 1+z + + 1−x x2 ≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ( luôn đúng ) 1+ x 1 + 1 − x2 Lời giải 1 : ( ) Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2 1−x 1−y 1−x −y 4 2 ≤1+ , x + y ≤ và MaxP= 1 + 1+ x 1+ y 1+ x + y 5 3 Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : + 44. ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z = . Chứng minh bất đẳng thức : 1 1+ x 1+ y 1+z x y z ≤ 2 + +  y +z z+x x+y y z x + +  x y z  x y z 3 xz xy yz Giải : BĐT ⇔ 2  + 3 ≤ 2 + +  ⇔ ≤  y +z z+x x+y  y z x 2 y(y + z) z(z + x) x(x + y) + + + + xz xy yz (xz)2 (xy)2 (yz)2 ( xz + yz + zx ) 2 Ta lại có : VP = y(y + z) z(z + x) x(x + y) xyz(y + z) xyz(z + x) xyz(x + y) 2xyz(x + y + z) + + = + + ≥ (xy + yz + zx)2 3 Mà : xyz(x + y + z) (xy)(yz) + (xz)(zy) + (zx)(xy) ≤ ⇒ VP ≥ 3 2 = 45. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho a , b,c ≥ 0 :a + b + c = . Chứng minh rằng : 3 a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 ≤ 5 2a 2b 2c 46. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC . Tìm GTNN của : P = 2b + 2c − a 2a + 2c − b 2b + 2a − c + + 2a 6a 6a 2b + 2c − a (3a)(2b + 2c − a) (a + b + c) HD : = ≥ 47. Cho a , b,c ≥ 0 : a + b + c = . Tìm GTLN, GTNN của : P 1 = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 Tìm GTNN : Áp dụng BĐT Mincopxki ta có : HD . 1  3  3 3 3  2 2 P = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 = a+  + ≥ a + b + c +  +  2 2 2  2  2  2    ∑          Bổ đề : CM bất đẳng thức : 1 + a + a2 + 1 + b + b2 ≤ 1 + 1 + (a + b) + (a + b)2 Tìm GTLN : Bình phương 2 vế ta có : (1 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + 1 + a + b + (a + b)2 ⇔ 1 + a + b + (a + b)2 + (1 − a − b) ≥ 0 48. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . Cho a,b,c > 0 :a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu 3 a2 b2 c2 thức : P = a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 HD : AM-GM ngược dấu . + + a2 2ab3 2ab3 2 2 2 4 Ta có : =a− ≥a− = a − b 3 a2 ≥ a − b(a + a + 1) = a − b − ab a + 2b3 a + 2b3 3 ab 3 6 3 9 9 9 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 13
14 2 4 7 4 (a + b + c) Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 Do đó : P ≥ (a + b + c) − (a + b + c) − (ab + bc + ca) ≥ − 1 9 9 3 9 3 = 1 1 49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho x,y,z ≥ 0 . Tìm GTLN của : M = x + y + z + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z) −  x + y +z +3 1 27 Giải : Đặt x + y + z =≥ 0 , ta có : (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤  t  . Lúc đó : M ≥ t + 1 − 3 3 (t + 3)3 1 27 Xét hàm số : f( t ) = , t ≥0   t + 1 (t + 3)3 − 3a 4 + 1 3b4 + 1 3c4 + 1 a2 + b2 + c2 50. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng : b+c c+a a+b 2 + + ≥ HD : Ta có : 3a 4 + 1 = a 4 + a 4 + a 4 + 1 ≥ 4 4 a1 2 = 4a3 4a3 4a 4 Do đó : VT ≥ ∑ ≥ ... b+c = ∑ ab + ac Svacxo 1 1 1 9 4 4 4 51. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng : a b c a+b+c a+b a+c b+c + + + ≥ + + b c c a a b 3 3 HD : 52. Cho a,b,c > 0 : a + b + c = . Chứng minh rằng : 1 a 3c + ab ) b( 3a + bc ) c( 3b + ac 4 + + ≥ ( ) a b c 11 1 1 53. Cho a,b,c > 0 . CMR : 3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 6  a b c  + + ≤  + +  a b c 54. Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca = CMR : 3. ≥ abc 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2 + 2 + 2 1 + a3 1 + b3 1 + c3 55. Cho a,b,c > 0 . CMR : ≥3 1 + a2c 1 + c2b 1 + b2a + + 1 1 1 3 56. Cho a,b,c > 0 : abc = : 27 . CMR 1+a 1+b 1+c 2 + + ≤ 1 1 1 27 57. Cho a,b,c > 0 . CMR : b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c)2 + + ≥ b+c c+a a+b 58. Cho a,b,c > 0 . CMR : ≥ a + b + c +3 a b c + + b a a c c b 59. Cho a,b,c ∈(1;2) . CMR : ≥1 4b c − c a 4a b − b c 4c a − a b + + 3 6 60. Cho a,b,c > 0 : abc = : 1 + 1 .CMR a + b + c ab + bc + ca ≥ x 2z y2x z2 y 1 x y z  61. Cho x,y,z > 0 . CMR : xyz + y 3 xyz + z xyz + x 3 3 2 y z x  + + ≥  + +  1 1 1 a2 b2 c2 a+b+c 62. Cho a,b,c > 0 : + + = . CMR : 1 a b c a + bc b + ac c + ba 4 + + ≥  x y z  63. Cho x,y,z > 0 . Tìm Min của : = P 4(x3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z3 ) + 3 4(z3 + x3 ) + 2 2 + 2 + 2  y z x  3 64. Cho a,b,c > 0 :a + b + c = . CMR : 3 a + b + c ≥ ab + bc + ca 1 1 1 65. Cho a,b,c > 0 :abc = 1 . CMR: ≤1 a + b+1 b+c +1 c +a +1 + + x y z 66. Cho x,y,z > 0 . CMR : ≤1 x + (x + y)(x + z) y + (x + y)(y + z) z + (x + z)(y + z) + + a3 b3 c3 a+b+c 67. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ). Cho a,b,c > 0 . CMR : a +b b +c c +a 2 2 2 + 2 2+ 2 2≥ MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 14
15 68. ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) .Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất 3. Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ của biểu thức: F 3x 2 + 7y + 5y + 5z + 7z + 3x 2 69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a + b + c =. Chứng minh: 3 = a2 b2 c2 3 b +1 c +1 a +1 2 2 + 2 + 2 ≥ . 2a 2b 2c 70. Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng : ≤3 a+b b+c c+a + + a b c 1 1 2 HD : Đặt x = ;y = ;z = ⇒ xyz = 1 . Áp dụng Bổ đề : ( xy ≤ 1) b c a 1 + x2 1 + y 2 1 + xy + ≤ a) log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ 3 ( a,b,c > 2) 71. Chứng minh các Bất đẳng thức :  log bc log c a log a  9 2 ( a,b,c > 1) b+c c+a a+b a+b+c b) + + ≥  72. Cho x,y , z ≥ 0 : xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x 2 y 3 + y 2z3 + z2 x3 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 3. c) Giải : 73. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 15
16 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ x1 = 1 PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 1. Cho dãy số :  . Chứng minh dãy số có giới hạn v à tính giới hạn đó. x n+1 = 3 x n + 11 7 − log 2   ( ) −2x HD : Xét hàm số : f (x)= 7 − log3 (x 2 + 11),x ∈ (0;5) , ta có : f '(x) = < 0, ∀x ∈ (0;5)  (x2 + 11)ln3 Do đó : 0 < f(5) < f(x) < f(0) < 5 . Mà x n+1 = f (x n ) , do đó bằng quy nạp ta CM được rằng : 0 < x n < 5, ∀n −2x Lại xét hàm số : g( x)= 7 − log3 ( x 2 + 11) − x, x ∈ (0;5) . Ta có : g'(x) − 1 < 0, ∀x ∈ (0;5) (x + 11)ln3 2 = Suy ra phương trnh f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4 . ì 1 Theo định lý Lagrage ∃c ∈ (x n ; 4) sao cho : f(x n ) −= f '(c) x n − 4 ≤ f(4) xn − 4 11 ln3 2c 2c 1 1 n−1 ( Vì f '(c) = ). Do đó : x n+1 − 4 ≤  x1 − 4 → 0 (c + 11)ln3 2 11c2 ln3 11 ln3  11 ln3    2 ≤ =  2. Cho phương tr : x 2n+1= x + 1 với n nguyên dương . Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm ình thực với mỗi n nguyên dương c ho trước. Gọi nghiệm đó là x n . Tìm limx n x > 1 Giải : Từ phương trình : x 2n+1 = x + 1 ⇔ x(x 2n − 1) =1 ⇒ x(x 2n − 1) > 0 ⇒ x(x − 1) > 0 ⇒  x < 0 Đặt fn (x ) = x 2n+1 − x −1 . +) Nếu x 1 , ta có : fn '(x) (2n + 1).x 2n − 1 > 0 . Hơn nữa f(1) = −1; lim f(x) = +∞ , suy ra phương trình x→+∞ có nghiệm x n ∈ (1; +∞ ) duy nhất . = Xét hiệu : fn+1 (x n ) − fn (x n ) (x 2n+2 n − x n − 1 − x2n+1 −= x 2n+1 (x n − 1) > 0, ∀x n > 1 ⇒ fn+1 (x n ) > fn ( x n ) ) ( n xn − 1 n ) Hay : fn+1 (x n ) > fn (x n ) = =n+1 (x n+1 ) ⇒ x n > x n+1 . (Do hàm f(x) tăng ) . 0 f = Vậy dãy {x n } là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử : lim x n a(a ≥ 1) Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 . = u1 = 1 u1 u2 u 3. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số {un } :  u2 . Đặt : Sn = + + ... + n . u2 u3 un+1  un+1 un +  2010 n = Tìm : limSn  u2 u − uk u u − uk u u 1 1  Lời giải : Ta có : uk +1 − uk =k ⇒ k +1 2010  (*) 2010 uk 2010 uk .uk +1 2010.uk +1 uk +1  uk uk +1  =k ⇒ k +1 = k ⇒ k =  − 1  Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có : Sn 2010  1 − un+1   =  u2  Lại có : un+1 = un + ≥ un ⇒ Dãy {u n } tăng . 2010 n Giả sử {u n } bị chặn trên . Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn : limun a(a > 1) . Do đó, từ : u2 u2  a2 = un+1 = un + ⇒ limun+1 = lim  un + n  ⇒ a = a + ⇒ a = 0 ( Vô lý ) 2010 2010  2010 n  1   Suy ra dãy {u n } tăng và không bị chặn trên, nên : limun = +∞ ⇒ lim = 0 ⇒ limSn = 2010  un+1 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 16
17 1 < x1 < 2 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 4. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho dãy số { x n } :  x2 . Chứng minh dãy số {x n }  x n+1= 1 + x n − , ∀n ≥ 1  2 n có giới hạn và tìm giới hạn đó .  x2 Lời giải : Xét hàm số : f(x)= 1 + x − , x ∈ (1;2) . Ta có : f '(x) = 1 − x < 0, ∀x ∈ (1;2) . Do đó : 2 3 1 = < f(x) < f(1) =< 2 . Từ đó thay x bởi : x1 ; x 2 ,...,x n ta có : 1 < x1 ,x2 ,..., x n < 2 f(2) 2 Suy ra dãy {x n } bị chặn . a2 Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt : a = 1 + a − ⇒a= 2 2 Ta sẽ CM giới hạn này bằng định lý kẹp : x2   ( 2)  1 2 Xét hiệu : x n+1 − 2  1 + x n −  −  1 + 2 −  = 2 xn − 2 xn + 2 − 2   2   2 n  =    ( )  Lại có : 1 < x n < 2 ⇒ 2 − 1 < x n + 2 + 2 < 2 ⇒ x n + 2 + 2 < 2   2 Do đó : x n+1 − 2 < x n − 2 (*) . Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với nhau ta có : 2 ( )  2  2 n−1 n−1 x n+1 − 2 <  x1 − 2 . Mà lim  x1 − 2 = limx n = 0⇒ 2  2  (  2  ) ( ) 1   u1 =     3 5. ( Bài toán tương tự ) . Cho dãy số {un } :  . Tìm limun .  u2  u = n − 1, ∀n ≥ 1   n+1 2 x1 = 1  6. ( Đề thi HS G Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho dãy số {x n } :  . Chứng minh rằng = x n + x n + 1 − x2 − x n + 1 x n+1   2 n dãy số trên có giới hạn v à tìm giới hạn đó .  2x n Ta có : x n+1 = x2 + x n + 1 − x2 − x n + 1 Lời giải : x2 + x n + 1 + x2 − x n + 1 n n = n n Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng : x n > 0, ∀n =1,2,... Lại có : 1 3 1 3 x2 + x n + 1 + x2 − x n += 1  x n + 2  +  2  +  −x n + 2  +  2  2 2 2 2   n n Mincopxki ≥         1  1   3 3 2 2  x n +  +  − x n +   +  2 2  2   2 2   Mincopxki ≥ +  = Từ đó suy ra : x n+1 < x n    Vậy dãy {x n } giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limx n = a ⇒ a = a2 + a + 1 − a2 − a + 1 ⇒ a = 0 x1 = 2 7. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Cho dãy số : {x n } :  x1 + 2x2 + ... + (n − 1)x n−1  x n = , n >1  n(n2 − 1) Tính limUn với U= (n + 1)3 .x n  Lời giải : Ta có : n MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 17
18 1 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ +) x 2 = 3 +) Với n ≥ 3 ta có :  x1 + 2x 2 + ... + (n − 1)x n−1  = n(n2 − 1)x n = n3 x n  + nx n + nx n  x1 + 2x 2 + ... + (n − 2)x n−2  + (n − 1)x n−1 = (n − 1) (n − 1)2 − 1 x n−1 + (n − 1)x n−1 = (n − 1)3 x n−1  x n (n − 1)3  n − 1   n      Từ đó suy ra : n3 x n = nx n + (n − 1)3 x n−1 ⇒ 2 x n−1  (*) n3 − n  n   n + 1  = =  Từ (*) cho n = 3,4…ta có :   xn x n x n−1 x3   n − 1 2  n − 2 2  2 2   n n − 1 3  12 4 . ...  .  n − 1  ...  3   .  n + 1 . n = 2 ...  ⇒ xn x2 x n−1 x n−2 x2  n   4  n (n + 1) n (n + 1) = =  = 2 4(n + 1)3       Do = lim 2 đó : limUn = 4 . n (n + 1) x0 > 0 9. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) . Cho dãy {x n } :  x (x2 + 3) . Chứng minh dãy có giới hạn v à  x n+1 , ∀n ≥ 0  3x n + 1 = n 2n tìm giới hạn đó .   Bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n > 0 Lời giải : +) TH1 : Nếu x0 = 1 , quy nạp ta được x n = 1, ∀n > 0 . Hiển nhiên limx n = 1 +) TH1 : Nếu x0 > 1 , x(x2 + 3) x2 (x − 1)2 Xét hàm số : f(x) = trên khoảng (1; +∞ ) ta có : f '(x) > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ f(x) > f(1) = 1 3x + 1 2 (3x2 + 1)2 = Do đó : x2 = f ( x1 ) > 1, .... quy nạp ta có : x n > 1, ∀n x k (x2 + 3) 2x k (x 2 − 1) Lại có : x k +1 < x k ⇔ < xk ⇔ > 0 đúng với x k > 1 3x + 1 3x 2 + 1 k k 2 k k Từ đó ta có : x1 > x 2 > .... > x n > x n+1 > 1 . Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn . a a2 + 3 Giả sử : limx n = a > = 0⇒a = 1 ⇒a ( ) 3a2 + 1 x(x2 + 3) +) TH3 : Nếu 0 < x0 < 1 , Xét hàm số : f(x) = trên khoảng (0;1) ta có : 3x 2 + 1 x2 (x − 1)2 f '(x) > 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ = f(0) < f( x) < f(1) = 1 0 (3x 2 + 1)2 = Do đó := f(x1 ) ∈ (0;1),... quy nạp ta có : x n ∈ (0;1), ∀n x2 x k (x2 + 3) 2x k (x 2 − 1) ta có : x k +1 > x k ⇔ > xk ⇔ < 0 đúng với 0 < x k < 1 3x 2 + 1 3x2 + 1 k k k k Do đó : 0 < x1 < x 2 < ... < x n < x n+1 < 1 . Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : a a2 + 3 limx n = a > = 0⇒a = 1 ⇒a ( ) 3a2 + 1 Kết luận : limx n = 1 u0 = α 10. ( Bài toán tương tự ) . Cho α > 0; a > 0 là hai số tùy ý. Dãy {un } :  un (u2 + 3a) . Chứng minh dãy  = = 0,1,... un+1 ,n  3un + a n 2 có giới hạn và tìm giới hạn đó.   u0 > 1 11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho dãy số {un } :  un + 1 + 2(u2 + 1) . Tìm limun  = = 0,1... un+1 ,n  un − 1 n   MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 18
19 a1 = 1 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 12. ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) . Cho dãy số thực {a n } xác định như sau :  1 . a n+= a n + a (n ≥ 1)   1 n a Chứng minh rằng : lim n = 2  n→+∞ n xn 13. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) . Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = 3 + . Tìm lim x n x2 − 1 n x→+∞ 14. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) . Cho dãy số {x n } thỏa mãn : x1 = 1 1 . Đặt y n = ∑ . Tìm limy n . n x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 , ∀n > 0 i=1 x i + 2    1 1 1 x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 =x 2 + 3x n + 1 = + 3x n + 1 ⇒ x2  2 n n x n + 2 x n + 1 x n+1 + 1 HD : ( ) = − Sau đó chứng mi nh dãy tăng và không bị chặn trên . x1= a > 1  x x xn  15. Cho dãy ( x n ):  . Tìm : lim  1 + 2 + ... + 2010x n+1 = x n + 2009x n n→+∞ x − 1 x3 − 1 x n+1 − 1   2   2 x2 2009x HD : Xét hàm số : f(x) = + , x > 1 . Ta có : f’(x) > 0 , ∀x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 1 . Bằng quy nạp chứng minh 2010 2010 x2 x x (x − 1) được rằng : x n > 1, ∀n . Xét hiệu : x n+1 − x n > 0, x n > 1 ⇒ x n+1 > x n 2010 2010 2010 = = n n n − n Giả sử ∃limx n = a ( a > 1 ) ⇒ 2010a = a2 + 2009a ⇒ a= 0;a= 1 ( Không thỏa mãn ). Vậy lim x n = +∞ Lại có : xn x n+1 − x n  1 1  2010x n= x2 + 2009x n ⇒ 2010(x n+1 − x = x n (x n − 1) ⇒ n) = 2010 = 2010  +1 n x n+1 − 1 (x n − 1)(x n+1 − 1) x n − 1 x n+1 − 1  −  x1 = 1   x23 x23 x23  16. ( Bài tương tự ) . Cho dãy số : (x n ):  xn . Tìm giới hạn lim  1 + 2 + ... + n   x x n+1 = + x n , n ∈ N *  2 x3 x n+1  24  24 17. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) . Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 với n là số nguyên dương . Xét dãy số   f(1).f(3).f(5)...f(2n − 1) (x n ): x n = . Tính giới hạn của dãy số : un = n2 .x n f(2).f(4).f(6)...f (2n ) f(k − 1) (k − 1)2 + 1 HD : Chú ý : f(k) (k + 1)2 + 1 = a1 = 2008 18. Cho dãy số (a n ) xác định bởi :  n . Tính lim n2a n  ∑ a i n a n ,n > 1  2 n→+∞ =  i=1 n −1 HD : Ta có a1 + a2 + ... + a n= n2a n ⇒ ( n − 1 ) a n−1= (n − 1 a n ⇒ a n= a (1) 2 n + 1 n−1 2 ) Trong (1) cho n=1, 2,3….và nhân nó ạ i để tìm : a n l 2006 19. Cho dãy số ( x n ) thỏa : x1 = 1 + 1,x n+1 = (n ≥ 1) . Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy 1 + xn 1 x1 = 2 20. ( Đề thi HS G QG năm 2009 ) . Cho dãy số ( x n ):   . Chứng minh rằng dãy (y n ) với x n−1 + 4x n−1 + x n−1   x n , ∀n ≥ 2 2 2  = 1 y n = ∑ 2 có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó .  n i=1 xi Giải : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 19
20 x + 4x + x 2x + 4 1 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ Xét hàm số : f(x) = , ta có=: f '(x) + > 0, ∀x > 0 2 2 4 x + 4x 2 2 Lại có : x2 = 1 ) > 0,(do x1 > 0).... bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n . f(x x2 −1 + 4x n−1 + x n−1 x2 −1 + 4x n−1 − x n−1 4x n−1 Xét hiệu : x n − x n−1 − x n−1 > 0,(do x n > 0, ∀n ) 2 2 n n x 2 + 4x n−1 + x n−1 = = = n−1 Suy ra dãy {x n } tăng và x n > 0, ∀n . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn a lim x n (a > 0) . Suy ra : = a + 4a + a n →+∞ a= = a2 + 4a ⇒ a = ⇔a 0 (Vô lý ) . 2 2 Vậy dãy {x n } tăng và không b chặn trên nên : limx n = +∞ ị Lại có : n →+∞ x2 −1 + 4x n−1 + x n−1 x n (x n − x n−1 ) x 1 1 1 xn = x ⇒ ( 2x n − x n−1 ) x2 −1 + 4x n−1 ⇒ x n (x n − x n−1 ) = n−1 ⇒ 2 2 x .x n−1 x n .x n−1 x n x n−1 x n n = n 2 = 2 n−1 ⇒= 2 − n 1 1 1 1  1 1  1 + x1 1 Do đó : y n  2  +  −  + ... +  − ⇒ lim y n 6 . n x  x  1   1 x2   x n−1 x n  xn = i=1 ∑ x= 2 − =  x1 2 n→+∞ = i x0 = 2009 21. Xét dãy số thực (x n ),n ∈ N xác định bởi :  . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn x n = 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ), ∀n ≥ 1   và tìm giới hạn đó .  x3 HD : Sử dụng bất đẳng thức : x − ≤ sinx ≤ x, ∀x ≥ 0 6 1 6(1 − cosx) Xét hàm số : f(x) = − 6sin x ,x > 0 = 6x . Ta có : f '(x) > 0, ∀x>0 3 3 (6x − 6sin x)2 3 Do đó : f(x) > 0, ∀x > 0 . Mà x2 f(x1 ) > 0(do x1 > 0) ⇒ ...x n f(x n−1 ) > 0, ∀n 6x n−1 − x3 −1 − 6sin(x n−1 ) = = Xét hiệu : x n − x n−1 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) − x n−1 n 0 ) 6 Do đó dãy {x n } giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : limx n = a (a ≥ 0) , ta có pt : a = 3 6a − 6sina ⇔ a3 = 6a − 6sina . Xét hàm số : g(t) = 6sin t − 6t , ta có : t3 + g'(t) = 3t 2 + 6cost − 6, g''(t) = 6t − 6sin t ≥ 0, ∀t ≥ 0 ⇒ g'(t) ≥ g(0) 0 ⇒ g(t)≥ g(0) = 0 . Do đó pt có nghiệm duy nhất a = 0 . = x n+1 22. Cho dãy (x n ) được xác định bởi: x 1 = 5; x n + 1 = x2 - 2 ∀ n = 1, 2, … . Tìm lim n n→+∞ x1 .x 2 ...x n  x1 = 3 x 23. Cho dãy (x n ) :  . Tìm lim n+1 n→+∞ x x n+1 = 9x n +11x n + 3; n ≥ 1, n ∈ N.  2 n HD : Chứng minh dãy ( x n ) tăng và không bị chặn :  8x2 + 11x n + 3 Dễ thấy x n > 0, ∀n , xét : x n+1 − x n 9x2 +11x n + 3 − x n = n > 0, ∀x n > 0 9x2 +11x n + 3 + x n = n n  a = −1 Giả sử ∃ lim x n= a ( a > 0 ) ⇒ a= 9a2 + 11a + 3 ⇒  ( Không thỏa mãn ) ⇒ lim x n = a = − 3 8 n→+∞ n→+∞ +∞ x n+1 11 3   Do đó : lim = lim 9 + += 3 n→+∞ x n→+∞ x n x2 n n MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 20