Tài liệu học tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Tài liệu học tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây” sau đây sẽ giúp bạn đọc nắm bắt được cấu trúc đề thi, từ đó có kế hoạch ôn tập và củng cố kiến thức một cách bài bản hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu học tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 Họ tên HS: …………….…………. Lớp: ………………..……… Tài liệu lưu hành nội bộ 1
Mục lục CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ........................................................................ 3 BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ........................................................................................ 3 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ......................................................... 4 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP .............................................. 7 ÔN TẬP CHƯƠNG I .......................................................................................................... 9 CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ ................................ 10 BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM .................................................................................................... 10 BÀI 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP ...................................................................... 11 BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON .......................................................................................... 13 BÀI 4: BIẾN CỐ ............................................................................................................... 16 BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ................................................................................. 17 CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN ..................................... 19 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ........................................................... 19 BÀI 2. DÃY SỐ ................................................................................................................. 20 BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................... 22 BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 24 CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG ........................................... 26 BÀI 1. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP TỊNH TIẾN .......................................................... 26 BÀI 5. PHÉP QUAY ......................................................................................................... 28 BÀI 6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU. ...................... 31 BÀI 7. PHÉP VỊ TỰ .......................................................................................................... 34 BÀI 8. PHÉP ĐỒNG DẠNG ............................................................................................ 36 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ........................................................................................... 38 BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................... 38 BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG .................................................................. 41 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. ......................................... 43 BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ........................................................................ 46 BÀI 5 : PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN................................................................................................................. 49
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. HÀM SỐ y  sin x VÀ y  cos x Hàm số y  sin x Hàm số y  cos x - Tập xác định: - Tập xác định: - Tập giá trị: 1;1 - Tập giá trị: 1;1 - Là hàm số lẻ - Là hàm số chẵn - Hàm số tuần hoàn chu kì T  2 - Hàm số tuần hoàn chu kì T  2 - Đồng biến trên mỗi khoảng - Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2        2  k 2 ; 2  k 2    - Nghịch biến trên mỗi khoảng - Nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2   3   2  k 2 ; 2  k 2    - Đồ thị là đường hình sin - Đồ thị là đường hình sin II. HÀM SỐ y  tan x VÀ y  cot x Hàm số y  tan x Hàm số y  cot x   - Tập xác định: \ k  - Tập xác định: \   k  2  - Tập giá trị: - Tập giá trị: - Là hàm số lẻ - Là hàm số lẻ - Hàm số tuần hoàn chu kì T   - Hàm số tuần hoàn chu kì T   - Đồng biến trên mỗi khoảng xác định - Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định - Đồ thị: - Đồ thị: B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1  cos x     a) y = b)y = tan  x   c) y = cot  x   sin x  3  6 3
  1 x 3 d) y = cot  2x   e)y = sin f) y =  4 1 x 2cos x   cot x g) y = tan  2x   h) y = i) y  tan2x  cot3x  4 cos x  1 sin x 3sin x j) y  k) y = tan x + cot x l)y = 2  cos x cos x Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 3 – 2 sin x b) y = 2 + 3 cosx c)y= 4sinx +3  d) y= - 3sin( x  ) e) y = 5sin2 x  3 f) y = 5  2cos2 x 3 1  4cos 2 x g) y  3  2sin 2 3x h)y= i) y= 3 – 4 sin2xcos2x 3 j)y = 2 sin2x – cos 2x k)y= 2 cos x  1 l)y= 4  5 sin x  2  m) y  sin 4 x  cos4 x n) y  sin x  sin  x  o) y  cos2 x  sin x  3  BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH sin x  m + Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.  x    k 2 sin x  m   , k  x      k 2 Đặc biệt: 1. sin x  0  x  k   2. sin x  1  x   k 2 2  3. sin x  1  x    k 2 2 Nhận xét:    1. Trên   ;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arcsinm  2 2 x  arcsin m  k2 sin x  m   , kZ x    arcsin m  k2 2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức  x  a0  k3600 s inx  sina   0 , kZ  x  180  a  k360 0 0 0 3. Một vài lưu ý sin u   sin v  sin u  sin(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2
II. PHƯƠNG TRÌNH cos x  m + Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.  x    k 2 cos x  m   , k  x    k 2 Đặc biệt:  1. cosx  0  x   k 2 2. cos x  1  x  k 2 3. cosx  1  x    k 2 Nhận xét: 1. Trên 0; , phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arccosm cosx  m  x   arccosm  k2 , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cosx  cosa0  x  a0  k3600 , k  Z 3. Một vài lưu ý cos u   cos v  cos u  cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2    cos u   sin v  cos u  cos   v  2   II. PHƯƠNG TRÌNH tan x  m Điều kiện: x   k , k  2 Gọi  là một nghiệm của phương trình. tan x  m  x    k , k  Nhận xét:    1. Trên   ;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arctan m  2 2 tanx  m  x  arctanm  k , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức tanx  tan a  x  a  k180 , k Z . 0 0 0 3. Một vài lưu ý tan u   tan v  tan u  tan(v)   tan u  cot v  tan u  tan   v  2    tan u   cot v  tan u  tan   v  2  II. PHƯƠNG TRÌNH cot x  m Điều kiện: x  k , k  Gọi  là một nghiệm của phương trình. cot x  m  x    k , k  Nhận xét: 1. Trên  0;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arc cot m cot x  m  x  arccot m  k , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cotx  cota0  x  a0  k1800 , k  Z 5
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng toán liên quan đến giải phương trình lượng giác cơ bản Câu 1. Giải các phương trình sau:    2 a) sin x  sin(2 x  ) b) cos( x  )  cos3x c) tan(2x  )  tan 4 3 3 5 1 d) cot(3x 1)  cot 4 e) sin 2 x   f) cot(3x  10o )  1 2 1 2 g) tan x   h) cos3x  i)cos 5x= -3 3 2  3 2 j) sin(  3x)  k) cot x=2 l) tan(2x+3)=  5 5 5 Câu 2. Giải các phương trình sau: 1  3 a) sin 2 x  ( 180o  x  240o ) b) sin( x  )  ( 0  x  2 ) 2 4 2 1 3  3 c) cos2 x  ( 180o  x  240o ) d)cos 2x = (  x  ) 2 2 2 2 1 e) tan2 x  1 ( 15o  x  245o ) f) tan x   (   x  3 ) 3  g) cot (3x – 45o) = -1 ( 180o  x  180o ) h) cot (4x  ) =1( 0  x  2 ) 5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN, DẠNG TÍCH. Câu 1. Giải các phương trình sau: 1 1 1 x 1 a) cos2 2 x  b) sin 2 2 x  c) sin 2 x   0 d) cot 2  4 2 4 2 3 3 e) 4cos2 x  3  0 f) sin 2 x  g) cos 2x tan x = 0 h) 4  x  x   cot 3 1 tan 2  1  0 i) sin 3x cot x = 0 j) tan (x – 30o) cos (2x – 150o)    = 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) sin 3x – cos 5x = 0 b) sin 3x = cos 2x c) sin x + cos 2x = 0 d) cos 4x + cos 3x = 0 e) sin 2x+ cos x = 0 f) tan 3x + tan x = 0       g) cos  2 x    cos  x    0 h) tan 3x + tan  2 x    0 i) tan (3x + 2) - cot 2x = 0 Câu  3  6  4 3. Giải các phương trình sau: a) sinx + sin3x + sin5x = 0 b) cos x  cos 2x  sin x  sin 2x c) sin x  sin 2x  sin 3x  0 d) sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  0 3 e) cos 2x  cos 8x  cos 6x  1  0 f) sin 2 x  sin 2 3x  sin 2 5x  2 g) cos x  cos 2x  sin 3x h)cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác. Phương pháp giải a sin2 u  b sin u  c  0  a  0 . Đặt t  sin u ,điều kiện 1  t  1 a cos2 u  b cos u  c  0  a  0 . Đặt t  cos u ,điều kiện 1  t  1 a tan2 u  b tan u  c  0 . Đặt t  tan u , điều kiện cos u  0 a cot 2 u  b cot u  c  0  a  0 . Đặt t  cot u ,điều kiện sin u  0 Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 2 sinx – 2 =0 b) 2cos(2x  500 )  3  0     c) 2sin  5x    1  0 d) 2cos  3x    1  0  3  4 e) cot( x  300 )  3  0 f) 3 tan 2x – 3 = 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 2cos2 x  3cos x 1  0 b) 2tan2 x  3tan x 1  0 c) 2sin2 x  sin x 1  0 d) 8cos2 x  2sin x  7  0 x x e) cos2 x  sin x 1  0 f) sin 2  2cos  2  0 2 2 g) sin x – cos 2x – 2 = 0 h) 2cos x  cos2x  2 2 i) cos2x  3sin x  2  0 j)7 sin x + cos 2x = 6 k) tan2 4x  tan4x  2  0 l)tan x + cot x = 2 m)tan x – 2 cot x + 1 = 0 n) 5tan x  2cot x  3  0 o) 2sin2 x -3sin x 1  0 p) 2cos2x  3sin x 1  0 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Đinh nghĩa: Là phương trình có dạng: a.sin x  b.cos x  c (1) ; với a, b, c  và a2  b2  0 . Hoặc a.sin x  b.cos x  c ; a.cos x  b.sin x  c 2. Cách giải: * Điều kiện để phương trình có nghiệm : a2  b2  c2  Chia hai vế phương trình (1) cho a2  b2 , ta được a a c sin x  cos x  (*) a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2  sin  với  0, 2  a b  Đặt  cos  ; a 2  b2 a 2  b2 c (*)  sin x.cos   cos x.sin   a 2  b2 7
c  sin  x     : Phương trình lượng giác cơ bản. a  b2 2  cos  với  0, 2  a b Hoặc đặt  sin  ; a b 2 2 a  b2 2 c c Thì (*)  sin x.sin   cos x.cos    cos  x     a b 2 2 a  b2 2 Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 3 cos x  sin x  2 b) cos x  3 sin x  1 c) 3 cos x  sin x  2 d) cos x  3 sin x  2 e) 3 cos 7 x  sin 7 x  2 f) 3 cos3x  sin 3x  1  0 x x g) 2 sin  cos  2 h) 2sin x  5cos x  5 2 2   6 1 i) cos(2 x  )  sin(2 x  )  j) sin x  (3  3 cos x) 3 3 2 3 k) 5 sin x  2 cos x  4 l)5 cos 2x + 12 sin 2x – 13 = 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) cos 7x  sin 5x  3(cos 5x  sin 7 x) b) 3 sin 3x  3 cos 9 x  1  4 sin 3 3x 3(1  cos 2x) 1 c)  cos x d) sin 2 x  sin 2 x  2sin x 2  e) sin(  x)  sin(  x)  1 f) cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x 2  g) 4(sin4 x  cos4 x)  3sin 4x  2 h) sin(  3x)  sin 3x  1 2 i) cos 7 x cos5x  3 sin 2 x  1  sin 5 x sin 7 x PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng :  a.sin2 x  b.sin x.cos x  c.cos2 x  d , a2  c2  0  2. Cách giải: Cách 1:  * Xét cos x  0  x   k , k  có là nghiệm của phương trình hay không. 2  * Xét cos x  0  x   k , k  2 Chia hai vế phương trình (1) cho cos 2 x , ta được phương trình a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x) Cách 2: 1  cos 2x 1  cos 2x Sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 x  ; cos2 x  2 2 (1)  b sin 2x  (c  a)cos2x  2d  a  c : phương trình bậc nhât đối với sin x và cos x . Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 2sin2 x  7sin x.cos x  cos2 x  4 b) 3sin2 2x  sin 2x.cos2x  4cos2 2x  2
x x 1 c) sin 2  sin x  2cos2  2 2 2 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 2sin2 x  sin x cos x  3cos2 x  0 b) 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x – 3 = 0 c) 4 cos2 x  3sin x cosx  sin2 x  3 d) 2 sin2 x  sin x cosx  cos2 x  2 e) 4 sin2 x  2sin2x  3cos2 x  1 f) cos2 x  sin2x  5sin2 x  2 g) 3sin2 x  4sin x cos x  5cos2 x  2 h) 4 cos2 x  3sin x cosx  3sin2 x  1 1 i) sin 2 x  sin 2x  2 cos 2 x  j) 6sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2 2 1 k) 25sin2 x 15sin 2x  9cos2 x  25 l) 3 sin x  cos x  cos x m) sin x  3sin x cos x 1  0 2 n) 4sin x  3 3 sin 2 x  2cos2 x  4 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX (tham khảo thêm) Giải các phương trình sau: a) 2(sinx  cosx)  3sin x cosx  2 b) 3(cosx  sin x)  4 sin x cosx  3  0 c) sin2x 12(sinx  cosx)  12  0 d) 2 sin x  2 cos x  6 sin x cos x  2 e) cos x  sin x  3sin 2x  1  0 f) sin x  cos x  2 2 sin x cos x  0   g) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 h) sin2x + 2 sin  x   = 1  4 i) 1 + sin2x = sinx – cosx k) 2sin2x -3 6(sinx  cosx) + 8 = 0 ÔN TẬP CHƯƠNG I Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số 2021 1 sin x 1 1 a) y . b) y . c) y p . d) y . sin x cos x 1 sin x sin x cos x 2 1 1 e) y tan x cot x f) y tan 3x cot x. sin x cos x Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số p a) y 3sin 2 x 1 b) y 2 sin x 2 c) y 5 4 sin 2 x cos2 x 3 d) y sin x cos x e) y 2 sin 2020 x 2021 Câu 3. Giải các phương trình 2x p 3 p 1 a) sin 0 b) sin 2 x 400 c) sin 2 x 3 3 2 3 2 2cos2 x d) 0 e) sin x 1 sin x 2 0 f) sin 5x 3 cos5x 2 sin 7 x 1 sin 2 x p p 2 g) 3 cos x sin x 2 sin 2 x. h) 2sin x 3sin x 1 0 2 2 2 x x i) 4 sin 2 x 21 2 sin 2 x 2 0 j) 2 sin 2 3cos 0 4 4 9
CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM A. LÝ THUYẾT: 1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc H . Giả sử H có k phương án H1 , H 2 ,..., H k thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực hiện phương án H1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện phương án H k và mỗi cách thực hiện phương án H i không trùng với bất kì cách thực hiện phương án H j ( i  j; i, j 1, 2,..., k ) thì có m1  m2  ...  mk cách thực hiện công việc H . b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An  A1  A2  ...  An 2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H 2 ,..., H k . Công đoạn H1 có m1 cách thực hiện, công đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,…, công đoạn H k có mk cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m1.m2 ...mk cách. b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An  A1 . A2 ..... An . Chú ý: 3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng; quy tắc nhân + Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn? + Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H1 , H 2 ,..., H n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H i ( i  1,2,..., n ). + Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng: - Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
- Nếu bỏ 1 phương án nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng. B. CÁC DẠNG TOÁN TỰ LUẬN Câu 1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ? Câu 2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn. Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau . Câu 4. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người. Câu 5. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra . Câu 6. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối trực tiếp B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D. Câu 7. Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau. Câu 8. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ? Câu 9. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Câu 10. Cho các chữ số 1, 2, 3,..., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Câu 11. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là: a) Số chẵn b) Số lẻ c) Số chia hết cho 5 Câu 12. Cho tập A  1,2,3,4,5,6,7,8 a) Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3 b) Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123. BÀI 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Hoán vị: Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn Định lí 1: Pn  n(n  1)...2.1  n! với Pn là số các hoán vị. Chú ý: + Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.   + Có n  1 ! cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế. 11
2. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho. n! Định lý 2: Ank  n  n  1 ...  n  k  1  với Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử  n  k ! 1  k  n . 3. Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là Cnk . QUY ƯỚC 0!  1 Cn0  An0  1 Ank n  n 1 ...  n  k  1 n! Định lý 3: C  k   k ! n  k ! n k! k! Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số Cnk ) a) Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n . Khi đó Cnk  Cnnk . b) Hằng đẳng thức Pascal: Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với 1  k  n . Khi đó Cnk1  Cnk  Cnk 1 . B. BÀI TẬP Vấn đề 1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 ?  Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách: a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy. b) Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. Câu 3. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 được thành lập từ hai trong năm điểm trên? Câu 4. Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách. Câu 5. Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh. Câu 6. Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba loại, số câu dễ không ít hơn hai. Hỏi lập được bao nhiêu đề? Câu 7. Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh? Câu 8. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Câu 9. Một trung tâm tuyển sinh đại học có 5 cổng. Có bao nhiêu cách chọn để một thí sinh bắt buộc vào một cổng và ra một cổng khác. Câu 10. Có 4 con đường nối liền thành phố A và thành phố B, 2 con đường nối liền thành phố B và C, 3 con đường nối liền thành phố C và D. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A? Câu 11. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu: a) Số có 5 chữ số b) Số có 5 chữ số khác nhau c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau d) Số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. e) Số gồm 4 chữ số và nhỏ hơn 5000. Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai đều là số chẵn?
Câu 13. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau? Câu 14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau? Câu 15. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Câu 16. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Câu 17. Từ tập A  0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Câu 18. Một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ. Có bao nhiêu cách chọn chọn 1 tổ công tác gồm: a) 6 người b) 6 người trong đó có 1 nhóm trưởng c) 6 người, trong đó có 1 đội trưởng và 1 đội phó d) 6 người trong đó có cả nam lẫn nữ e) 6 người sao cho có đúng 3 nam f) 6 người sao cho có ít nhất 2 nữ Câu 19. Một cái hộp có 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Từ cái hộp trên, có bao nhiêu cách chọn ra: a) 6 quả cầu b) 6 quả cầu trong đó có đúng 2 quả cầu trắng c) 6 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu trắng. d) 4 quả cầu có đủ 3 màu. Câu 20. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 chiếc ghế được kê thành hàng ngang, sao cho: a) Nam và nữ ngồi xen kẽ. b) Các bạn nam ngồi liền kề. Câu 21. Một bình đựng 12 viên bi, trong đó có 7 bi vàng và 5 bi đỏ. Lấy ra 5 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Bốc tùy ý. b) Có 2 bi đỏ, 3 bi vàng. c) Có nhiều nhất hai bi đỏ. d) Có ít nhất 3 bi đỏ. Câu 22. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? Câu 23. Một lớp có 25 em học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn: a) 1 ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ và 4 uỷ viên b) 1 ban văn nghệ gồm 5 em trong đó có đúng 2 em nữ c) Một đội trực sao đỏ gồm 5 em sao cho có ít nhất 3 em nam d) Một đội trực nhật gồm 4 em sao cho có nhiều nhất là 2 em nữ Câu 24. Có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng, một lớp phó, một thủ quỹ từ một lớp có 40 em? Câu 25. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu số: a) Số gồm 4 chữ số khác nhau b) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau c) Số chẵn gồm 4 số khác nhau Vấn đề 2: Phương trình đại số, tổ hợp Giải các phương trình sau: x  Ax  9 Ax 1. A10 3. Px Ax2  72  6( Ax2  2Px ) 9 8 2. 2Cn2 1 3An2 20 0 5 2 4. Cnn21  Cnn2 A 5. 2 Ax2  Cxx1  23x 6. 2(Cx2  Cx3 )  3x2  5x 2 n 7. Ax21  C1x  79 8. C1x  6Cx2  9x2  20x BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 1. Công thức nhị thức Newton Khai triển  a  b  được cho bởi công thức sau: n Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có n  a  bn  Cnk ank bk  Cn0an  Cn1an1b  ...  Cnk ankbk  ...  Cnnbn .1 k 0 Quy ước a0  b0  1 13
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Trong biểu thức ở VP của công thức (1) a) Số các hạng tử là n 1. b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đén 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. 2. Hệ quả Với a  b  1, thì ta có 2n  Cn0  Cn1  ...  Cnn . Với a  1; b  1, ta có 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn k n 3. Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton   x 1n  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2  ...  Cnk xnk  ...  Cnn1x  Cnn  1 xn  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnk xk  ...  Cnn1xn1  Cnn xn   x 1n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...   1k Cnk xk  ...   1n1 Cnn1xn1   1n Cnn xn  Cnk  Cnnk  Cnk  Cnk 1  Ck 1,  n  1 n1 k.n! n  n  1!  k.Cnk    nCnk11  n  k !k!  n  k ! k  1! 1 k.n! n  n  1! 1  Cnk    Cnk11 k 1   k  1 n  k  ! k !   n  1 n  k   ! k  1 ! n  1 4. Tam giác Pascal. Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n  n  1 thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Một số công thức cần lưu ý x  m n  x m.n , x m .x n  x mn m xm m n 1 n  x , n m x  x n , xn  n x x B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp chung: - Xác định số hạng tổng quát của khai triển T k 1Cnk ank bk (số hạng thứ k 1 ).
- Từ T k 1 kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến k). - Giải phương trình để tìm kết quả.   15 Câu 1. Xác định hệ số của x25 . y10 trong khai triển x3  xy Câu 2. Trong khai triển  x  y  , xác định hệ số của số hạng chứa x8 . y3 . 11 Câu 3. Xác định hệ số của x 6 trong khai triển  2  3x  . 10 Câu 4. Xác định hệ số của số hạng chính giữa của khai triển  3x  2 y  4 10  3  Câu 5. Trong khai triển  2 3 x   ,  x  0 , hãy xác định số hạng không chứa x .  x  1 Câu 6. Xác địn số hạng thứ 5 trong khai triển  a2   .  b 10  1 Câu 7. Trong khai triển  2x3  2  , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ?  x  n 1  Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2  x3  , biết rằng: Cn1  Cn3  13n , x  n , n  2 , x  0 n  1 Câu 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x2  biết n là số nguyên dương thỏa mãn  x3  Cn1  Cn3  13n. 15
BÀI 4: BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU 1. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử): là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 2. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là  . Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó, tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian mẫu của phép thử là   S ; N II. BIẾN CỐ 1. Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A ) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T . Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A . 2. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi  A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A . Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A . 3. Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập  và được ký hiệu là  . 4. Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố không thể được mô tả bởi tập  . 5. Các phép toán trên biến cố * Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có: * Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B . * Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B . * Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc. 6. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố. Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố A A là biến cố A A là biến cố không A A là biến cố chắc chắn C  A B C là biến cố “ A hoặc B” C  A B C là biến cố “ A và B” A B   A và B xung khắc BA A và B đối nhau
B. BÀI TẬP Dạng 1 : Mô tả biến cố, không gian mẫu Câu 1. Xác định không gian mẫu của phép thử : « Gieo một con súc sắc ». Xác định biến cố A : « Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ » Câu 2. Hãy mô tả không gian mẫu  khi tung ba đồng xu Câu 3. Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số 1 ;2 ;3 ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữ số. Câu 4. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10 . Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Tính số phần tử của biến cố A Câu 5. Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Liệt kê các phần tử của biến cố A . BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. Phép thử và biến cố. 1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:  Kết quả của nó không đoán trước được;  Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T . Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga). 2. Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T . Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A . Tập hơp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là  A hoặc n( A) .  Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T , kí hiệu là  .  Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T , kí hiệu là  . II. Tính chất : Giả sử  là không gian mẫu, A và B là các biến cố.   \ A  A được gọi là biến cố đối của biến cố A.  A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.  A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A  B còn được viết là AB.  Nếu AB   , ta nói A và B xung khắc. III. Định nghĩa cổ điển của xác suất: Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng  A   . Xác suất của biến cố A , kí hiệu bởi P( A) , được cho bởi công thức  A Soá keát quaû thuaän lôïi cho A P( A)   .  Soá keát quaû coù theå xaûy ra Chú ý:  0  P( A)  1.  P()  1, P()  0 17
B. BÀI TẬP Dạng : Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Phương pháp giải  Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức : A P( A)  .  Câu 1. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ. Câu 2. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. Câu 3. Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau. Câu 4. Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ. Câu 5. Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ. Câu 6. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 . Câu 7. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Câu 8. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán. Câu 9. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1 ”. Câu 10. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt. Câu 11. Gọi ngẫu nhiên 4 học sinh trong 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Câu 12. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tìm số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Câu 13. Có 2 hộp chứa bi. Hộp thứ nhất có 4 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để 2 bi cùng màu. Câu 14. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. Câu 15. Một sọt Cam có 10trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra 4 trái a) Tính xác suất để lấy được 3 trái hư. c) Tính xác suất để lấy được 1 trái hư b) Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 trái hư. Câu 16. Một hộp gồm 10 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. a) Tính xác suất để thu được 3 viên bi cùng màu. b) Tính xác suất để thu được 3 viên bi khác màu. c) Tính xác suất để có ít nhất 1 bi xanh. Câu 17. Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn đi trực thư viện. a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam. b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ. Câu 18. Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. Câu 19. Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15 nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3 . Tính xác suất để trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 1. Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau: Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n 1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n 2 1 3,... Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n * . 2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên) thì: Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p; Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n k p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng : Ứng dụng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P(n)  Q(n) ) đúng với n  n0 , n0  ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q(n0 ) rồi chứng minh P(n0 )  Q(n0 ) Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k); k  , k  n0 , ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) . n(n  1) Câu 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  2  3  ...  n  2 Câu 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 . Câu 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta luôn có n(n  1)(2n  1) 1 2 n 3 2n  3 a) 12  22  ...  (n  1)2  n2  b)  2  ...  n   6 3 3 3 4 4.3n Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau n  n  1 n  2  a) 1.2  2.3  ...  n(n  1)  với n  1 3 1 1 1 1 n b)    ...   1.5 5.9 9.13  4n  3 4n  1 4n  1  n  n  1  2 c) 1  2  3  ...  n   3 3 3 3   2   4  4  4  4  1  2n d)  1   1   1   ...  1      2n  1  1  2n  2  1  9  25 19
BÀI 2. DÃY SỐ A . KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: *  n u  n. Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , ..., un , ..., trong đó un u n hoặc viết tắt là un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1,2,3,..., m với m * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ..., un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1 un với mọi n * . Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1 un với mọi n * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un với un 3 n tức là dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * un M, n . Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho * un m, n . Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho * m un M, n . Lưu ý: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1 + Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1