Tài liệu Olympic đại số

Chia sẻ: Hứa Tung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Olympic đại số có nội dung gồm 3 chương trình bày lý thuyết và bài tập của ma trận - định thức - hệ phương trình; trị riêng - véc tơ riêng; đa thức... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Olympic đại số

Tài Liệu Olympic Đại Số ThS. Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: nguyenhuuhiep47@yahoo.com Ngày 5 tháng 12 năm 2015
Chương 1 Ma trận-Định thức-Hệ phương trình 1 Định thức 1.1 Phép thế Định nghĩa 1.1 . Cho Xn = {1; 2; . . . ; n}, n ≥ 1. Một sóng ánh σ : Xn → Xn gọi là một phép thế trên Xn . Nếu σ là ánh xạ đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất. Một phép thế thỏa σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k, ∀k 6= i, j(i 6= j) gọi là một chuyển trí, ký hiệu là: (i, j). Tập tất cả các phép thế của Xn ký hiệu làSn . 1 2 3 ... n Một phép thế có thường được ký hiệu . σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ví dụ: ; = (2, 4). 3 1 2 5 4 1 4 3 2 5 Định nghĩa 1.2 Cho σ là một phép thế trên Xn . Nếu tồn tại i, j : 1 ≤ i < j σ(j) thì (σ(i), σ(j) gọi là một nghịch thế. 1 2 3 Ví dụ: Phép thế . có 2 nghịch thế là (3, 1), (3, 2). 3 1 2 Định nghĩa 1.3 Dấu của phép thế σ(ký hiệu là sign(σ)) bằng 1 nếu số nghịch thế là chẵn (σ gọi là phép thế chẵn) và bằng -1 nếu số nghịch thế là lẻ (σ gọi là phép thế lẻ). 1 2 3 4 Ví dụ: Phép thế có 5 nghịch thế nên sig(σ) = −1. 4 3 1 2 Mệnh đề 1.4 Cho 2 phép thế σ, µ trên cùng tập Xn , ta có: • Mọi chuyển trí là phép thế lẻ. Q i−j • sign(σ) = . 1≤i
1.2 Định nghĩa định thức Định nghĩa 1.5 Cho A = (aij ) là ma trận cấp n. Định thức ma trận A được định nghĩa là: Y det(A) = |A| = sign(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) . . . anσ(n) . σ∈Sn Chú ý: Việc dùng định nghĩa để tính định thức là rất phức tạp. Thông thường tính định thức, ta dùng phương pháp khai triển và các tính chất mà các em học trên lớp. Tuy nhiên, định nghĩa này có ý nghĩa lớn về mặt lý thuyết. Hầu hết các tính chất về định thức được suy ra từ định nghĩa này. Ta có thể dùng định nghĩa này để làm một số bài toán chứng minh khá thú vị. Định nghĩa 1.6 Cho A là ma trận cấp n 1. Cho k hàng 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n và k cột 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n. Ma trận con của A lấy từ k hàng và k cột trên ký hiệu là: aji11,i,j22,...,i ,...,jk k và định nghĩa Mij11,i,j22,...,i ,...,jk k = det(aji11,i,j22,...,i ,...,jk k ). 2. Bù đại số của ma trận aji11,i,j22,...,i ,...,jk k được định nghĩa là Aji11,i,j22,...,i ,...,jk k = (−1)i1 +i2 +···+ik +j1 +j2 +···+jk det(bji11,i,j22,...,i ,...,jk k ). trong đó bji11,i,j22,...,i ,...,jk k là ma trận con của A bằng cách bỏ đi k hàng i1 , i2 , . . . , ik và k cột j1 , j2 , . . . , jk . Mệnh đề 1.7 . 1. Khai triển Laplace theo k hàng i1 , i2 , . . . , ik X det(A) = Aji11,i,j22,...,i ,...,jk k Mij11,i,j22,...,i ,...,jk k 1≤i1
4. Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm thỏa f (x) = Ax. Khi đó r(A) = dim(imf (f )). Chú ý: Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể đồng nhất ma trận A với axtt f ở trên. Khi đó • ker(A) ≡ ker(f ), imf (A) ≡ imf (f ) • r(A) = imf (A) 5. Nếu A là ma trận vuông. Khi đó, hạng A bằng n khi và chỉ khi A khả nghịch. 3
Chương 2 Trị riêng - Véc tơ riêng 1 Trị riêng ma trận - Véc tơ riêng ma trận Định nghĩa 2.1 Cho A là ma trận vuông cấp n. λ ∈ C gọi là trị riêng (TR) của A nếu tồn tại véc tơ x ∈ Rn khác không thỏa: Ax = λx. Khi đó: véc tơ x gọi là véc tơ riêng (VTR) của A ứng với trị riêng λ. Chú ý: • Nếu x là VTR ứng với TR λ thì αx(α 6= 0) cũng là VTR của λ. • Tập tất cả các VTR ứng với TR λ gọi là không gian con riêng ứng với TR λ. • Số chiều của không gian con riêng gọi là bội đại số (BĐS) của λ. • Giả sử x 6= 0 là VTR ứng với TR λ của ma trận A. Ta có: Ax = λx ⇔ (A − λE)x = 0 ⇔ |A − λE| = 0. A − λE gọi là ma trận đặc trưng của A. • Đa thức p(λ) = |A − λE| gọi là đa thức đặc trưng của A. • λ là TR của ma trận A nếu A − λE là ma trận suy biến. • Bội của TR λk trong đa thức đặc trưng gọi là bội đại số (BĐS) của λk . • Theo định lý cơ bản đại số, tổng BĐS của các TR luôn bằng n. • Theo định lý viet, tổng các TR bằng vết của A (trace(A)) và tích các TR bằng det(A). • Giả sử λk là TR của A. Ta có VTR x 6= 0 tương ứng với TR của λk thỏa (A − λk E)x = 0. Từ đó, tập các véc tơ riêng ứng với TR λk là không gian nghiệm của hệ (A − λk x) = 0 và BHH bằng số chiều của không gian nghiệm hệ thuần nhất (A − λk x) = 0. • Ta luôn có BĐS lớn hơn hoặc bằng BHH với mọi TR của ma trận A. (Chứng minh.) 4
2 Ma trận đồng dạng và chéo hóa ma trận Định nghĩa 2.2 Cho A, B ∈ Mn . A, B được gọi là 2 ma trận đồng dạng nếu tồn tại ma trận nghịch đảo P thỏa: P −1 AP = B. Nếu A đồng dạng với ma trận chéo thì ta nói A chéo hóa được. Giả sử A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại P ∈ Mn thỏa P −1 AP = D là ma trận chéo. Đặt   α1 0 0 ... 0  0 α2 0 ... 0    P = [P1 P2 . . . Pn ], D=  0 0 α3 ... 0    ...  0 0 0 . . . αn Ta có: A[P1 P2 . . . Pn ] = [P1 P2 . . . Pn ]D ⇔ [AP1 AP2 . . . APn ] = [α1 P1 α2 P2 . . . αn Pn ]    AP1 = α1 P1  AP = α P 2 2 2 ⇔    ...  APn = αn Pn . Điều này chứng tỏ αk là các TR của A và Pk là VTR tương ứng. Mệnh đề 2.3 Cho A ∈ Mn . • Các VTR ứng với các TR khác nhau thì ĐLTT. Chứng minh. • A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh. Vì tổng BĐS luôn bằng n nên điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là BĐS bằng BHH. Định lý 2.4 (Kelli-Haminton.) Cho p(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A. Khi đó p(A) = 0. 3 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực Định nghĩa 2.5 Cho A ∈ Mn (R) gọi là ma trận trực giao nếu AT = A−1 (hay A.AT = En ). Điều kiện cần và đủ để A là ma trận trực giao là các hàng hoặc các cột của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Định lý 2.6 Cho A là ma trận đối xứng thực. Ta có i. Trị riêng A là những số thực.Chứng minh? ii. A chéo hóa được. iii. Các VTR ứng với các TR khác nhau thì vuông góc với nhau.Chứng minh? Từ định lý trên, ta suy ra, mọi ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa trực giao được. Tức là, tồn tại ma trận trực giao P sao cho P T AP = D là ma trận chéo. (Tham khảo bài tai liệu). 5
Bài tập Các bài tập tổng hợp đơn giản 1. Cho A là ma trận vuông. Chứng minh rằng tr(AB) = tr(BA). Từ đó suy ra không tồn tại ma trận X thỏa AX − XA = En . tr(A) là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính gọi là vết. 2. Cho 2 ma trận vuông A, B cấp n. Chứng minh rằng: Phương trình AX = B có nghiệm duy nhất với mọi ma trận B khi và chỉ khi A không có trị riêng bằng 0. 3. Tính định thức
1 x0 x20 ... xn0
1 x1 x21 ... xn1
In =
1 x2 x22 ... xn2