Tài liệu ôn tập Hình học 9: Chuyên đề đường tròn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề “Đường tròn” với mong muốn các em học sinh nắm được: kiến thức cốt lõi, phương pháp giải và có thể làm được các bài tập liên quan đến “ Đường tròn”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán hình học khác. Đặc biệt là giải các bài toán hình tổng hợp trong các đề thi vào 10. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập Hình học 9: Chuyên đề đường tròn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN TRƢỜNG THCS PHÚ XUÂN *******@******* CHUYÊN ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN MÔN TOÁN 9 Giáo viên: NGUYỄN THỊ HÒA Tổ: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Năm học: 2021-2022 -1-
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 - 2022 I. THÔNG TIN CƠ BẢN: Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc. Nhiệm vụ được phân công năm học 2021 – 2022: giảng dạy bộ môn Toán 9. Chủ nhiệm 9A. Tổ trưởng tổ KHTN. II. TÊN CHUYÊN ĐỀ: - Tên chuyên đề: ĐƢỜNG TRÒN - Dự kiến số tiết dạy: 15 tiết. - Đối tượng học sinh: lớp 9 trường THCS Phú Xuân III. THỰC TRẠNG CHẤT LƢỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BỘ MÔN TOÁN CỦA TRƢỜNG THCS PHÚ XUÂN NĂM HỌC 2021 – 2022: Nhiều năm qua kết quả thi vào 10 môn Toán của trường THCS Phú Xuân luôn ở mức thấp, chưa đạt được điểm bình quân bằng mặt bằng chung của Huyện cũng như của Tỉnh. Kết quả xếp loại cấp huyện, cấp tỉnh 4 năm gần đây như sau: Năm học Điểm BQ tính trên tỉ lệ 100% dự thi Cấp Huyện Cấp Tỉnh 2018-2019 4.03 10 113 2019-2020 4.25 8 116 2020-2021 5.18 9 114 2021-2022 5,22 7 122 Trên thực tế một số năm gần đây chất lượng điểm thi các môn nói chung và môn Toán nói riêng đã có sự chuyển biến, cải thiện và được nâng cao hơn so với những năm học trước nhưng chưa thật rõ nét. Cụ thể kết quả điểm bộ môn Toán thi vào 10 năm học 2021-2022 như sau : TS dự Điểm TS điểm TS điểm từ Điểm TS thi Tb thi Điểm dƣới Tb (
- Điểm liệt ( ≤ 1) còn 01 HS đạt 0,75 điểm. Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 tại trường THCS Phú Xuân bản thân tôi nhận thấy học sinh rất sợ học toán hình và thường rất lúng túng, hoặc không thể tự mình làm được một bài toán hình... đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường rất ít học sinh trường tôi làm được bài tự luận hình, có chăng chỉ rất ít em làm được các phần 1,2, Hầu như không có em nào làm được cả bài hình đó. Để phần nào khắc phục được vấn trên cũng là theo sự phân công chỉ đạo của PGD bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề “Đường tròn” với mong muốn các em học sinh nắm được: kiến thức cốt lõi, phương pháp giải và có thể làm được các bài tập liên quan đến “ Đường tròn”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán hình học khác. Đặc biệt là giải các bài toán hình tổng hợp trong các đề thi vào 10. IV. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CỐT LÕI: I. Sự xác định đường tròn 1. Định nghĩa đường tròn. * Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R O R * Kí hiệu: ( O ; R ) hoặc ( O ). 2. Điểm thuộc và không thuộc đường tròn. * Điểm M  ( O ; R ) hay M nằm trên đường tròn hay ( O ) đi qua M  OM  R . N O R M P * Điểm N nằm ngoài đường tròn  ON  R * Điểm P nằm trong đường tròn  OP  R 3. Đường kính của đường tròn. Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm O gọi là đường kính của đường tròn tâm. Tâm O của đường tròn là trung điểm của đường kính. 4. Cách xác định đường tròn. + C1: Biết tâm và bán kính của đường tròn. + C2: Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn. -3-
+ C3: Biết ba điểm phân biệt không thẳng hàng thuộc đường tròn. 5. Chú ý. * Qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C ta vẽ được một đường tròn duy nhất có tâm là giao điểm ba đường trung trực của ABC . * Qua hai điểm A, B cho trước ta vẽ được vô số đường tròn có tâm nằm trên đường trung trực của đoạn AB . * Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. * Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông đó. Tam giác nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông. II. Đường kính và dây 1. Đường kính và dây của đường tròn * Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. * Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây * Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. * Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng là OH O O O A B H d d H H 1. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt:  đường thẳng có hai điểm chung A,B với đường tròn (O) OH < R 2. Đường thẳng d và đường tròn (O) không giao nhau.  Đường thẳng d và đường tròn (O) không có điểm chung  OH  R -4-
3. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.  đường thẳng d chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O) OH = R IV. Tiếp tuyến của đường tròn 1. Định nghĩa: Khi đường thẳng a và đtường tròn  O; R  chỉ có một điểm chung H thì đường thẳng a và đường tròn  O; R  tiếp xúc nhau hay đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn  O; R  . Điểm H là tiếp điểm. Ta có OH  R O R a H 2. Tính chất: : a là tiếp tuyến của đường tròn  O   a  OH tại H (với H là tiếp điểm). O a H 3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến + Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến). + Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. V. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau * Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. VI. Vị trí tương đối của hai đường tròn -5-
A R r R R r A O O' O O' O A O' r B R O' r O O A B O' O O' Vị trí tương đối của đường tròn Số điểm chung Hệ thức (O, R) và (O, r) (R  r). Hai đường tròn cắt nhau  02  R – r < OO < R + r Hai đường tròn tiếp xúc ngoài  01  OO = R + r Hai đường tròn tiếp xúc trong  OO = R – r Hai đường tròn ở ngoài nhau 0  OO > R + r Đường tròn (O) đựng (O)  OO < R – r Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm  OO = 0 VII. Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác 1. Đường tròn nội tiếp tam giác * Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. * Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác. 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác * Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. * Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực các cạnh của tam giác. * Chú ý: Mỗi tam giác có chỉ một đường tròn nội tiếp, một đường tròn ngoại tiếp. B. MỘT SỐ LƢU Ý ĐỂ HỌC SINH CÓ THỂ LÀM ĐƢỢC CÁC BÀI TOÁN HÌNH CỦA CHƢƠNG NÀY. -6-
GV cung cấp cho học sinh các nội dung sau và hướng dẫn học sinh suy luận một bài toán hình luôn theo trình tự sau. 1. Nắm chắc kiến thức cơ bản của 2 chương hình 9 đó là: Hệ thức lượng trong tam giác vuông; Đường tròn và phương pháp làm các dạng toán cơ bản như chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, song song,... 2. Vẽ hình chính xác dựa vào giả thiết -Việc các em vẽ hình có đúng hay không quyết định một phần kết quả của bài toán. Các em cần đọc kĩ đề bài, sử dụng đúng các kí hiệu để vẽ hình cho chính xác, khi vẽ chính xác rồi thì các em cần chú ý đến việc vẽ đẹp hơn, rõ ràng, dễ quan sát thì việc xác định các mối quan hệ hình học trong bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Thông thường để có một hình vẽ hợp lí cho một bài toán hình tổng hợp ít nhất nên vẽ hình đến lần thứ hai. - Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt vì khi đó các em dễ bị ngộ nhận tính chất mà đề bài không cho. Sau khi vẽ hình xong nên dùng kí hiệu để đánh dấu những đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau hay các góc vuông để tiện sử dụng khi chứng minh nhưng không nên làm dụng quá nhiều kí hiệu trên một hình vẽ vì dễ gây rối và khó nhìn. 3. Phân tích giả thiết-kết luận để tìm ra những mối quan hệ mới. - Hãy tóm tắt giả thiết và kết luận một cách triệt để. Thường thì khi các em phân tích kỹ giả thiết thì các em đã có chìa khóa giải quyết được những câu đầu tiên trong bài hình rồi. Giả thiết nói đến hình nào thì các em hãy khai thác hết tính chất của hình đó, những tính chất càng liên quan đến đề bài thì việc giải quyết bài toán sẽ càng dễ dàng hơn. - Để làm được điều này các em cần trang bị cho mình một lượng kiến thức cơ bản, những định nghĩa và tính chất, dấu hiệu nhận biết,… các em cần có phương pháp để nắm được nó. Thường thì các hình hay có mối liên hệ với nhau nên sẽ có rất nhiều mẹo cho các em học thuộc một cách nhanh chóng. - Khi đứng trước một bài toán các em hãy tự đặt ra các câu hỏi: đề bài cho cái gì? Bắt tìm các gì? Và nó có liên quan gì đến giả thiết không? 4. Tập tưởng tượng và tư duy chứng minh, suy luận từ kết quả chứng minh. - Có rất nhiều con đường để đi đến cùng một đáp án. Tuy nhiên không phải con đường nào cũng dễ dàng và khả thi. Việc các em phân tích kỹ đề bài để lựa chọn những phương án tốt nhất, đi đến kết quả nhanh nhất là rất cần thiết. - Để làm được điều đó các em phải ghi ra những câu hỏi như là: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì trước đó?. Giả sử như điều này đúng thì điều kia có đúng không?…Hoặc đôi khi suy ngược từ kết quả để tìm ra đáp án. -7-
- Một vấn đề rất hay gặp đó là các em hay bỏ sót giữ kiện. Nếu trong đề bài còn một giả thiết các em chưa sử dụng thì hãy tìm cách sử dụng nó. Còn trong bài toán chứng minh có nhiều ý nhỏ các em hãy cố gắng liên hệ các ý đó với nhau để giải quyết những ý tiếp theo, rất nhiều bài toán câu a, câu b lại là giả thiết và là chìa khóa để làm câu c, câu d. - Sau khi chứng minh xong mỗi phần có thể tìm tòi, suy luận tìm phương pháp chứng minh khác. Hoặc tổng quát hóa, tương tự hóa để có thể thay đổi cách hỏi của bài toán hoặc ra một bài toán khác tương tự hay mở rộng hơn. 5. Làm gì khi bài toán chứng minh đi vào bế tắc - Phương án tốt nhất trong trường hợp này là các em hãy sử dụng một cách giải quyết khác. Hãy tạm quên đi nhưng cách chứng minh ban đầu và thay vào đó là những giả thiết mới, cách nghĩ mới. - Lúc này các em nên đọc lại đề một lần nữa và xuất phát lại từ đầu. Hoặc các em có thể giải lao ít phút sau đó lấy giấy nháp và triển khai làm lại một lần nữa. Nếu khó khăn có thể nhờ sự giúp đỡ của bạn bè, thầy cô,…vì không phải bài nào các em cũng tự giải quyết được. 6. Luyện tập nhiều từ những ví dụ cơ bản - Càng luyện tập nhiều thì càng giúp các em học tốt hơn. Khi các em làm tốt rồi thì các em sẽ có sự đam mê và thôi thúc các em yêu thích môn học hơn. Đây cũng là cách giúp các em có thêm kĩ năng giải toán hình học lớp 9 chính xác. Hãy tham khảo các ví dụ trong sách giáo khoa, làm nhiều bài tập trong sách bài tập để nắm vững được kiến thức và vận dụng chúng linh hoạt trong các dạng bài khác nhau. - Hãy chăm chỉ, kiên trì và ham học hỏi để đạt được thành công nhé. Nếu học hình học mà các em dễ bỏ cuộc thì chắc chắn các em sẽ không thể nào trau dồi được thêm chút kiến thức hình học nào đâu. Ngoài ra nên học hỏi thêm từ bạn bè để tham khảo thêm một số phương pháp học hình và cách giải sáng tạo mới nhé! C. CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƢỜNG TRÒN. 1. Phƣơng pháp: Sử dụng định nghĩa hoặc sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông đó. -8-
Cụ thể chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm cố định nào đó, trường hợp đặc biệt có thể chứng minh các điểm đó tạo thành một hình chữ nhật hay nhiều hình chữ nhật (hình vuông) có các đường chéo đồng quy, hay chứng minh các điểm đó tạo thành các tam giác vuông có chung cạnh huyền, … 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Tứ giác ABCD có B = D 90 . Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn Lời giải Gọi O là trung điểm của AC . Áp dụng tính chất B đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các A tam giác vuông ABC, ADC ta có: OB OA OC OD Suy ra 4 điểm A,B,C,D nằm trên đường tròn O đường kính AC . D C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC , E là điểm đối xứng với C qua AB . Chứng minh: B, C , D, E cùng thuộc một đường tròn. Giải: A E D B C Ta có: B, D đối xứng với nhau qua AC (gt)  AC là trung trực của BD  AB  AD 1 Chứng minh tương tự AC  AE  2  Lại có AB  AC ( ABC cân tại A )  3 Từ 1 ;  2  ;  3  B, C, D, E   A; AB  -9-
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , có AD, BD, CK là 3 đường cao, H là trực tâm. a) Chứng minh: Các điểm B, D, H , K thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó b) Chứng minh các điểm: B, K , E , C thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn A E K H I B D O C a) Gọi I là trung điểm của BH Xét BKH vuông tại K và BDH vuông tại D , ta có: KI , DI lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BH  IB  IH  IK  ID  B, D, H , K cùng nằm trên 1 đường tròn tâm I đường kính BH . b) Gọi O là trung điểm của BC Xét BEC vuông tại E và B KC vuông tại K , ta có: EO, KO lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  OE  OK  OB  OC  B, K , E , C cùng nằm trên 1 đường tròn tâm O đường kính BC . Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD , trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM  BN . Gọi E là giao điểm của MD và NA . Chứng minh: N , C , D, E cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. Giải: A M B E N I D C -10-
Xét AMD và BNA ta có: AD  AB, MAD  NBA  900 ( tứ giác ABCD là hình vuông), mà AM  BN (gt)  MAD  NBA  c.g.c   AMD  BNA Lại có ABN vuông tại B ( do B  900 )  BAN  BNA  900 mà AMD  BNA (cmt)  MAE  AME  900  AEM vuông tại E . Nối DN , gọi I là trung điểm của DN . Ta có NCD vuông tại C ( do tứ giác ABCD là hình vuông)  NCD nội tiếp đường tròn đường kính DN . 1 Ta có NED vuông tại E ( do tứ giác AEM là tam giác vuông)  NED nội tiếp đường tròn đường kính DN .  2 Từ 1 ;  2   C , D, E , N cùng thuộc đường tròn đường kính DN . Mà I là trung điểm của DN  I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm C , D, E , N . Ví dụ 5: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  , qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AD , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC , hai đường thẳng này cắt nhau tại E . Chứng minh: A, B, C , E , D cùng thuộc một đường tròn. Giải: A M B O D C N E Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD , kẻ trung trực của AD cắt MN tại O , nối AE. Ta có tứ giác ABCD là hình thang cân, M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD  MN là trung trực của AB, DC  OA  OB; OC  OD. -11-
Mà OA  OD (do O thuộc trung trực của AD )  OA  OB  OC  OD  A, B, C , D cùng thuộc một đường tròn. 1 Lại có: AED vuông tại D  AD  DE   AED nội tiếp đường tròn đường kính AE Chứng minh tương tự ACE nội tiếp đường tròn đường kính AE  A, D, E , C cùng thuộc một đường tròn.  2  Mặt khác qua ba điểm A, D, C chỉ có một đường tròn  3 Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra A, B, C , E , D cùng thuộc một đường tròn. Ví dụ 6. Cho đường tròn  O  , đường thẳng d không đi qua tâm và cắt đường tròn  O  tại A, B . Trên đường thẳng d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ C kẻ tiếp tuyến CM,CN ( M, N là hai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh: năm điểm C, M, I,O, N cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. M A I B d O C N Lời giải Xét đường tròn  O  có hai tiếp tuyến CM,CN cắt nhau tại C và M, N là hai tiếp điểm.  CMO  CNO  90 (Tính chất tiếp tuyến); Có I là trung điểm của dây AB không qua tâm  OI  AB  CIO  90 Có CIO  CMO  CNO  90 suy ra M, I, N thuộc đường tròn đường kính OC . Vậy năm điểm C, M, I,O, N cùng thuộc đường tròn đường kính OC và tâm của đường tròn này là trung điểm của OC. 3. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM,BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó -12-
Giải Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.  AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB .  các tam giác BPC,BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền  MP  MN  MB  MC  Các điểm B,P,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC  a , tâm đường tròn là trung điểm M của BC   Bài 2 : Cho tam giác ABC A 90 . Gọi D, E , F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C . Chứng minh rằng: a) Các điểm A, D, B, E cùng nằm trên 1 đường tròn b) Các điểm A, D, C , F cùng nằm trên 1 đường tròn c) Các điểm B, C , E , F cùng nằm trên 1 đường tròn Giải. F E A M N a) Gọi M là trung điểm của AB 1 B D I C Xét ADB , ADB  900  MA  MB  MD  AB (1) ( tính chất đường trung tuyến 2 vuông) 1 Xét AEB , AEB  900  MA  ME  MB  AB (2) 2 Từ (1) và (2) MA  MB  ME  MD  các điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn tâm M đường kính AB . b) Gọi N là trung điểm của AC Xét ADC vuông tại D và A FC vuông tại F , ta có: DN , FN lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC  NA  NC  ND  NF  A, D, C , F cùng nằm trên 1 đường tròn tâm N đường kính AC . c) Gọi I là trung điểm của BC -13-
Xét BEC vuông tại E và B FC vuông tại F , ta có: EI , FI lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  IE  IF  IB  IC  B, C , F , E cùng nằm trên 1 đường tròn tâm I đường kính BC . Bài 3. Cho tứ giác ABCD có C  D  900. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA . Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó Giải T Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì B M tam giác TCD vuông tại T . + Có MN là đường trung bình của tam A N O Q giác ABD  NM / /AD D C + MQ là đường trung bình của tam giác P ABC  MQ / /BC . Mặt khác AD  BC  MN  MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có: MN  NP, NP  PQ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ,MP Bài 4. Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng A,D,H,E cùng thuộc một đường tròn. Lời giải a) Ta có: BEC 90 ( CE AB ), BDC 90 A BD AC . Gọi M là trung điểm BC, EBC vuông tại E có EM là đường trung tuyến D 1 ME MB MC BC E H 2 1 Tương tự: MD MB MC BC Ta có: 2 B M C 1 MB ME MD MC ( BC) B,E,D,C 2 cùng thuôc đường tròn tâm M b) Chứng minh tương tự có A,D,H,E cùng thuộc đường tròn -14-
Bài 5: Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC,N là điểm thuộc đường chéo 1 AC sao cho AN  AC . Chứng minh 4 điểm M,N,C,D nằm trên cùng một đường tròn 4 Giải E M B Ta thấy tứ giác MCDN có MCD  900 nên để chứng C minh 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh MND  900 Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt I BC,AD tại E,F . N K Xét NEM vuông và DFN vuông có A 1 3 F D EM  NF  AB,EN  DF  AB 4 4  NEM  DFN  NME  DNF,MNE  NDF  MNE  DNF  900  MND vuông tại N. Suy ra 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD Cách 2: Gọi K là trung điểm của ID với I là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy MCKN là hình bình hành nên suy ra CK / /MN . Mặt khác do NK  CD,DK  CN  K là trực tâm của tam giác CDN  CK  ND  MN  ND . Bài 6: Cho tam giác ABC có trực tâm H . Lấy điểm M,N thuộc tia BC sao cho MN  BC và M nằm giữa B,C . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N lên AC,AB . Chứng minh các điểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn A Giải: Giả sử MD cắt NE tại K . Ta có HB / /MK do cùng vuông góc với AC suy ra HBC  KMN ( góc đồng vị) . E Tương tự ta cũng có HCB  KNM kết hợp với giả D thiết BC  MN H K  BHC  KMN  SBHC  SKMN  HK / /BC . Mặt khác ta có BC  HA nên HK  HA hay H B M N C thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK . Dễ thấy E,D (AK) nên các điểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn. DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐƢỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN 1. Phƣơng pháp: Để chứng minh một đường thẳng d là tiếp tuyến ( hay tiếp xúc) với đường tròn (O, R): -15-
+ Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ OH d chứng minh OH = R + Cách 2: theo dấu hiệu nhận biết Nếu biết d và (O) có chung một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh OA d 2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn  O  . Từ điểm M nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( A là tiếp điểm). Kẻ dây AB vuông góc với MO . Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn  O  . Lời giải GT Đường tròn  O  : Tiếp tuyến MA; A là tiếp A điểm; Dây AB ; AB  MO M H O KL MB là tiếp tuyến của đường tròn  O  B Xét đường tròn  O  có MA là tiếp tuyến tại A  MA ⊥ OA (Tính chất tiếp tuyến) Tam giác OAB cân tại O có OH là đường cao MO ⊥ AB tại H nên OH cũng là đường phân giác (Tính chất của tam giác cân)  AOM  BOM Xét AOM và BOM , có: OA = OB, AOM  BOM , OM là cạnh chung  AOM  BOM (c.g.c)  OAM  OBM . Mà OAM  90  OBM  90 Có MB⊥ OB tại B thuộc đường tròn  O  nên MB là tiếp tuyến của đường tròn  O  . Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB . Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn ( A, B là tiếp điểm). Lấy điểm C trên tia Ax . Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CO cắt tia By tại điểm D . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  . Lời giải GT Đường tròn  O  đường kính AB ; Tiếp tuyến Ax, By x y D A, B là tiếp điểm; CO  OD ; D  By E C KL CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  A B O Cách 1: -16-
Kẻ tiếp tuyến CE của đường tròn  O  , E là tiếp điểm  CE  OE (Tính chất tiếp tuyến) Xét đường tròn  O  có CA,CE là hai tiếp tuyến cắt nhau ở C nên COE  COA (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Có COA  COE  EOD  DOB  180 Mà COE  EOD  COD  90  COA  BOD  90  COE  EOD  COA  BOD  90 Mà COE  COA  EOD  BOD Xét OED và OBD có: OE  OB, EOD  BOD,OD là cạnh chung  OED  OBD  c.g.c   OED  OBD  90  DE  OE tại E thuộc đường tròn  O  . Mà CE  OE  C, E, D thẳng hàng.  CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  . Cách 2: Kẻ OH ⊥ CD,HCD . Lấy I là trung điểm của CD D Xét COD : COD  90 , có OI là trung tuyến ứng với H I 1 C cạnh huyền CD  OI  CI  ID   CD 2  ICD cân tại I  ICO  IOC A B O Hình thang ACDB  AC ⊥ AB, BD⊥ AB  AC // BD  có OI là trung bình nên OI // AC  IOC  ACO (so le trong)  ICO  ACO. Hay HCO  ACO Xét HCO và ACO có: OHC  OAC  90,OCH  OCA,OC chung OHC  OAC (Cạnh huyền, góc nhọn)  OH  OA  H  O  đường kính AB Mà CD⊥OH tại H nên CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC , kẻ các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . Gọi O là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B,C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O b) EI, FI là hai tiếp tuyến của đường tròn  O  đường kính BC . Từ đó suy ra năm điểm D,O, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Lời giải -17-
GT ABC nhọn; Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H ; O là trung điểm của BC ; I là trung điểm của AH KL a) B,C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O b) EI, FI là hai tiếp tuyến của đường tròn  O  ; Năm điểm D,O, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. a) Có BE  AC,CF  AB  BEC  BFC  90  E, F thuộc đường tròn đường kính BC Mà O là trung điểm của BC nên bốn điểm B,C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O . b) Xét AEH có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH nên 1 EI  AI  IH   AH  AIE cân tại I  IAE  IEA 2 Có OE  OC  OEC cân tại O  OEC  OCE Xét ADO vuông tại D  DAC  DCA  90.Hay IAE  OCE  90  IEA  OEC  90 . Mà IEA  OEC  IEO  180  IEO  90 Có IE  OE, E   O   IE là tiếp tuyến của đường tròn  O  . CMTT IFO  90  IF là tiếp tuyến của đường tròn  O  . Có IEO  IFO  IDO  90  D, E, F thuộc đường tròn đường kính IO . Suy ra năm điểm D,O, E, I, F cùng thuộc đường tròn đường kính IO . Ví dụ 4: Cho ABC cân tại A , các đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Vẽ (O) có đường kính AI. CMR 1) K thuộc đường tròn đường kính AI . 2) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI . A 1 O 1 K 2 I 2 B C H Lời giải -18-
1) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AI AIK vuông tại K (vì BK vuông góc AC )  AIK nội tiếp đường tròn đường kính AI  K thuộc đường tròn đường kính AI . 2) ABC cân tại K có AH là đường cao  AH là đường trung tuyến HB = HC BKC vuông tại K K có KH là đường trung tuyến BC => KH = BC = 2  HKC cân tại H => K 2  C2 (1) OAK cân tại O => A1  K1 (2) Lại có A1  C2  900 (3) Từ (1), (2),(3)  K1  K 2  900  OKH  900 hay HK  OK  HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI . Ví dụ 5: Cho  ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Vẽ đường tròn tâm O đường kính CH Gọi M là trung điểm của AB . CMR: MD là tiếp tuyến của (O) Giải A 2 a) + Xét  ABD vuông tại D ( do BD  AB ) có 1 D MD là trung tuyến ( do M là trung điểm của AB ) M => MD = MA 2 E  A 2  D1 ( Hai góc ở đáy) (1) H 3 * Xét  ODC cân tại O (OC = OD = R) B O C  C3  D2 ( Hai góc ở đáy) (2) + Xét  AEC vuông tại E( do CE  AB)  A2  C3  900 ( Định lí tổng ba góc trong tam giác vuông) (3) + Từ (1),(2) và (3) => D1  D2  900 => MD  OD + Xét (O): Có OD là bán kính và MD  OD  MD là tiếp tuyến của (O) (đpcm) -19-
3. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho (O) dây AB khác đường kính . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C .Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O) Giải: Gọi H là giao điểm của OC và AB A  OAB cân ở O (vì OA OB R ) có OH là đ.cao nên đồng thời là phân giác 1 H  O1  O2 . O 2 C Xét  OAC và  OBC có: B OA OB R ; O1  O2 (c/m trên); OC chung =>  OAC =  OBC (c.g.c) => OBC  OAC = 900 Nên BC  OB do đó BC là tiếp tuyến của (O) Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx  BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D . Chứng A minh CD là tiếp tuyến của (B) Giải H Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: B  C   . α Vì Bx  BA  B2    900 . B 1 2 C Mặt khác ta cũng có B1    900  B1  B2 . D x Hai tam giác BHC và BDC có BC chung, B1  B2 , BH  BD  R suy ra BHC  BDC(c.g.c) suy ra BHC  BDC  900 . Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB  AC) đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K . Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) Giải Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của A I K (O) nên EKC  900 . 1 2 Kẻ HI  AC  BA / /HI / /EK suy ra AI  IK từ đó ta 3 B C H E O có tam giác AHK cân tại H . Do đó K1  B (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là BAH, IHK ) -20-