TÀI LIỆU ÔN THI CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Nguyễn Văn Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

630
lượt xem 228
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong thời gian ôn thi đại học Chuyên môn toán học - Chuyên đề tích pphân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÀI LIỆU ÔN THI CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường thường gặp hàm số hợp gặp ∫ dx = x + C ∫ du = u + C 1 ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C x α +1 u α +1 ( ax + b ) α dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ ∫ x α dx = u α du = ∫ α +1 α +1 a α +1 dx du ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) dx 1 = ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ∫ ax + b a ∫ e dx = e + C ∫ e du = e + C x x u u 1 ∫ e ax + b dx = e ax +b + C a ax au + C ( 0 < a ≠ 1) + C ( 0 < a ≠ 1) ∫ ∫ a x dx = a u dx = 1 cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ∫ ln a ln a a ∫ ∫ cos xdx = sin x + C cos udu = sin u + C 1 sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C a 1 1 dx = tan ( ax + b ) + C ∫ 1 1 ∫ cos x dx = tan x + C ∫ cos u du = tan u + C cos ( ax + b ) 2 a 2 2 1 1 dx = − cot ( ax + b ) + C ∫ 1 1 ∫ sin ∫ sin dx = − cot x + C du = − cot u + C sin ( ax + b ) 2 a 2 2 x u I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b f[u(x)]u / (x)dx ta thực hiện các bước sau: Để tính tích phân ￲a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a � t = u(a) = a, x = b � t = u(b) = b . b b �f[u(x)]u (x)dx = � / f(t)dt . Bước 3. a a 2 e dx Ví dụ 7. Tính tích phân I = . ￲ x ln x e Giải dx Đặt t = ln x � dt = x x = e � t = 1, x = e � t = 2 2 2 dt 2 �I= = ln t = ln 2 . ￲ 1 t 1 Vậy I = ln 2 . p 4 cos x Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx . ￲ (sin x + cos x) 3 0 1
Hướng dẫn: p p 4 4 cos x 1 dx . Đặt t = t an x + 1 � x + cos x) � an x + 1) I= dx = . 3 3 cos2 x (sin (t 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx Ví dụ 9. Tính tích phân I = ￲ (1 + x) 2x + 3 . 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 3- x Ví dụ 10. Tính tích phân I = dx . ￲ 1+x 0 Hướng dẫn: 3 t 2 dt 3- x Đặ t t = ; đặt t = t an u L ￲ L 8￲ 2 (t + 1)2 1+x 1 p ĐS: I = 3 + 2. - 3 Chú ý: 1 3- x Phân tích I = dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. ￲ 1+x 0 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính f ( x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a � t = α , x = b � t = β . β β b �( x)dx = �u(t )]u (t )dt = �t )dt . / Bước 3. f f[ g( α α a 1 2 1 Ví dụ 1. Tính tích phân I = dx . ￲ 1 - x2 0 Giải � p p � dx = cos t dt Đặt x = sin t, t �� ; � - �2 2� � p 1 x = 0 � t = 0, x = � t = 2 6 p p p 6 6 6 p p p cos t cos t - 0= . � 1 - sin 2 t dt = �cos t dt = �I= dt = t ￲ 6 = 0 6 6 0 0 0 p Vậy I = . 6 2 4 - x 2 dx . Ví dụ 2. Tính tích phân I = ￲ 0 2
Hướng dẫn: Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . 1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I = ￲ . 1 + x2 0 Giải � p p� Đặt x = t an t, t �￲ - ; ￲ � dx = (t an x + 1)dt 2 ￲ ￲ ￲ ￲ 2 2� � p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 p p 4 4 p 2 t an t + 1 � = 4. � + t an �I= dt = dt 2 1 t 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx Ví dụ 4. Tính tích phân I = . ￲ 2 x + 2x + 2 0 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx I= �2 �1 + (x + 1) . = 2 x + 2x + 2 0 0 Đặt x + 1 = t an t p ĐS: I = . 12 2 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = ￲ . 4 - x2 0 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = . ￲ 2 x + 2x + 2 0 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = cos2 x sin 3 xdx . ￲ 0 Hướng dẫn: Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15 p 2 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = cos5 xdx . ￲ 0 Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15 3
p 2 Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = cos 4 x sin 2 xdx . ￲ 0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 � � 2 x sin 2 2xdx = 16 � - cos 4x)dx + 4 � 2x sin 2 2xdx 4 x sin 2 xdx = I= cos cos (1 cos 40 0 0 0 p p p � sin 3 2x � ￲ = p. 2 2 x 1 1 1 2 (1 - cos 4x)dx + � 2 2xd(sin 2x) = ￲ - � sin 4x + sin = ￲ ￲ 16 64 ￲ � 24 � 32 16 0 80 0 p Vậy I = . 32 p 2 dx Ví dụ 14. Tính tích phân I = . ￲ cos x + sin x + 1 0 Hướng dẫn: x Đặt t = t an . 2 ĐS: I = ln 2 . a 1 −t 2 2t 2t Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = ; cos a = ; tan a = . 2 1 +t 2 1 −t 2 1 +t 2 3.2. Dạng liên kết p xdx Ví dụ 15. Tính tích phân I = ￲ . sin x + 1 0 Giải Đặt x = p - t � dx = - dt x = 0 � t = p, x = p� t = 0 p 0 (p - t)dt p t ( ) �I =- � �sin t + 1 - dt = sin(p - t) + 1 sin t + 1 p 0 p p p dt dt = p� - I�I= � sin t + 1 2 0 sin t + 1 0 � p� t d￲ - ￲ p p ￲ ￲ p p dt dt ￲ p p � p� ￲2 4� p � p ￲ t - ￲ = p. =� =� = t an ￲ 4 0 cos2 t - p = ￲ ￲ 2 t t 20 ( ) ( ) ￲ � p� 2 ￲2 4� � 20 2￲t sin + cos ￲ 24 cos ￲ - ￲ 0 2 2 ￲ ￲2 4� � Vậy I = p . Tổng quát: p p p � x)dx = 2 � x)dx . xf(sin f(sin 0 0 p 2 sin 2007 x Ví dụ 16. Tính tích phân I = dx . ￲ sin 2007 x + cos2007 x 0 Giải p Đặt x = - t � dx = - dt 2 4
p p x=0�t = , x= �t =0 2 2 ( p - t) p sin 2007 0 2 2 cos2007 t �I =- dx = ￲ dx = J (1). ￲ ( p - t ) + cos ( p - t ) sin 2007 t + cos2007 t sin 2007 2007 p 2 2 0 2 p p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 2 Mặt khác I + J = dx = ￲ 4 2 0 Tổng quát: p p 2 2 p sin n x cos n x � n x + cosn x dx = 4 , n ￲ Z+ . � n x + cosn x dx = sin sin 0 0 p p 6 6 2 cos2 x sin x Ví dụ 17. Tính tích phân I = dx và J = dx . ￲ ￲ sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 0 0 Giải 3 (1). I - 3J = 1 - p p 6 6 dx 1 dx � x+ � x+p I +J = dx = 2 0 sin ( ) sin 3 cos x 0 3 p 1 Đặt t = x + � dt = dx ⇒I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2)⇒I = ln 3 + ,J= ln 3 - . 16 4 16 4 1 ln(1 + x) Ví dụ 18. Tính tích phân I = ￲ dx . 1 + x2 0 Giải Đặt x = t an t � dx = (1 + t an 2 t)dt p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 p p 4 4 ln(1 + t an t) �1 + t an 2 t ( 1 + t an 2 t ) dt = � + t an t)dt . �I= ln(1 0 0 p Đặt t = - u � dt = - du 4 p p t =0�u = , t = �u =0 4 4 p 0 � � � � 4 p ln �+ t an ￲ - u ￲ � � + t an t)dt = - �� I= ln(1 1 ￲ du ￲ ￲� ￲4 � � � � p 0 4 p p � 1 - t an u � � � 4 4 2 � � � � + 1 + t an u � = � � + t an u � ln � � � ln � 1 du du = � � � � � � 1 0 0 p p 4 4 p I. � 2du - � ( 1 + t an u ) du = 4 ln 2 - ln ln = 0 0 5
p Vậy I = ln 2 . 8 p 4 cos x Ví dụ 19. Tính tích phân I = dx . ￲ x p 2007 + 1 - 4 Hướng dẫn: Đặ t x = - t 2 ĐS: I = . 2 Tổng quát: Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - aa ] thì ; a a f(x) � x + 1 dx = � f(x)dx . a -a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ﾡ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cos x . p 2 Tính tích phân I = f(x)dx . ￲ p - 2 Giải p 2 Đặ t J = f(- x)dx , x = - t � dx = - dt ￲ p - 2 p p p p �t = , x = �t =- x =- 2 2 2 2 p p 2 2 � - t)dt = J �f(- x) + 2f(x) ] dx �I= � 3I = J + 2I = f( [ p p - - 2 2 p p 2 2 � xdx = 2� xdx = 2 . cos cos = p 0 - 2 2 Vậy I = . 3 3.3. Các kết quả cần nhớ a i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì f(x)dx = 0 . ￲ -a a a �f(x)dx = 2 � ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì f(x)dx . -a 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ￲ (n - 1) !! p p ￲ , ne� le� un ￲ 2 2 cos xdx = � xdx = ￲ n !! � n n sin . ￲ - 1) !! p ￲ (n ￲ . , ne� cha� un n 0 0 ￲ ￲ n !! 2 ￲ Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 6
0 !! = 1; 1!! = 1; 2 !! = 2; 3 !! = 1.3; 4 !! = 2.4; 5 !! = 1.3.5; 6 !! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8 !! = 2.4.6.8; 9 !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 . p 2 10 !! 2.4.6.8.10 256 . Ví dụ 21. cos11 xdx = ￲ = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 0 p 2 9 !! p 1.3.5.7.9 p 63p . Ví dụ 22. sin 10 xdx = .= .= ￲ 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 0 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có � ( uv ) / dx = u / vdx + uv / dx / / ( uv ) / = u v + uv b b b �= �+ � � d ( uv ) = vdu + udv � d(uv) vdu udv a a a b b b b � + � � � = uv �. b b � uv vdu udv udv vdu = - a a a a a a Công thức: b b � = uv � b udv vdu (1). - a a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b � (x)dx = f(x)g(x) � (x)g(x)dx b / / f(x)g f (2). - a a a 2. Phương pháp giải toán b f(x)g(x)dx ta thực hiện Giả sử cần tính tích phân ￲ a Cách 1. Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi b / phân du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân vdu phải tính được. ￲ a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: b b b � sin axdx, � cos axdx, � .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) . ax P(x) P(x) e i/ Nếu gặp a a a b P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . ii/ Nếu gặp ￲ a Cách 2. b b �f(x)g(x)dx = � / f(x)G (x)dx Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2). a a 1 xe x dx . Ví dụ 1. Tính tích phân I = ￲ 0 Giải 7
￲u = x ￲ du = dx Đặt � = e x dx ￲ � (chọn C = 0 ) � � ￲ dv � � = ex ￲v 1 1 � dx = xe � dx = (x - 1 x1 � x x 1)e x xe e = 1. - 0 0 0 0 e Ví dụ 2. Tính tích phân I = x ln xdx . ￲ 1 Giải dx ￲ ￲ du = ￲ u = ln x ￲ x Đặ t � ￲� � � � = xdx � dv 2 �=x � ￲ ￲v ￲ 2 e e e 2 e2 + 1 x 1 � � ln xdx = ln x - � = x xdx . 2 21 4 1 1 p 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = e x sin xdx . ￲ 0 Giải ￲ u = sin x ￲ du = cos xdx Đặ t � ￲� � � � = e x dx � = ex dv v � � ￲ ￲ p p 2 2 p p �x cos xdx = e 2 - J . �x sin xdx = ex sin x �I= e e 2 - 0 0 0 ￲ u = cos x ￲ du = - sin xdx Đặt � = e x dx ￲ � � � dv � � = ex ￲v ￲ p p 2 2 p � + �x sin xdx = - 1 + I �J = x cos xdx = e x cos x e e 2 0 0 0 p p e2 + 1 . � I = e - (- 1 + I) � I = 2 2 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = cos xdx . ￲ 0 Hướng dẫn: p 2 Đặ t t = x L � I = 2￲ t cos t dt = L = p - 2 . 0 e Ví dụ 8. Tính tích phân I = sin(ln x)dx . ￲ 1 ( sin 1 - cos1)e + 1 ĐS: I = . 2 III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 8
Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b Giả sử cần tính tích phân I = f(x) dx , ta thực hiện các bước sau ￲ a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x x1 x2 a b - 0 0 f(x) + + b x1 x2 b �f(x) dx = �f(x)dx - �f(x)dx + � Bước 2. Tính I = f(x)dx . a a x1 x2 2 x 2 - 3x + 2 dx . Ví dụ 9. Tính tích phân I = ￲-3 Giải Bảng xét dấu x -3 1 2 - 0 0 + 2 x - 3x + 2 1 2 59 �x �x 2 2 I= - 3x + 2 ) dx - - 3x + 2 ) dx = ( ( . 2 -3 1 59 Vậy I = . 2 p 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I = 5 - 4 cos2 x - 4 sin xdx . ￲0 p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạng 2 b Giả sử cần tính tích phân I = f(x) ￲ g(x) ] dx , ta thực hiện ￲[ a Cách 1. b b b � f(x) �f(x) dx ￲ �g(x) dx Tách I = ￲ g(x) ] dx = rồi sử dụng dạng 1 ở trên. [ a a a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 Ví dụ 11. Tính tích phân I = x - x - 1 ) dx . ￲( -1 Giải Cách 1. 2 2 2 �x �x �x - I= - x - 1 ) dx = dx - 1 dx ( -1 -1 -1 0 2 1 2 � +� +� - �- xdx xdx (x 1)dx - (x 1)dx =- -1 0 -1 1 9
0 2 1 2 �2 � �2 � x2 x2 x x + � - x� - � - x� = 0. =- + � � � � � � � �1 � � 2 2 2 2 -1 0 1 - Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2  x – 0 + + x–1 – – 0 + 0 1 2 �- x + x - 1 ) dx + �x + x - 1 ) dx + �x - x + 1 ) dx I= ( ( ( -1 0 1 1 2 =-x + ( x - x) 0 + x = 0. 0 2 -1 1 Vậy I = 0 . 3. Dạng 3 b b Để tính các tích phân I = max { f(x), g(x) } dx và J = min { f(x), g(x) } dx , ta thực hiện các ￲ ￲ a a bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) . + Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x) } = g(x) và min { f(x), g(x) } = f(x) . 4 max { x 2 + 1, 4x - 2 } dx . Ví dụ 12. Tính tích phân I = ￲ 0 Giải 2 2 Đặt h(x) = ( x + 1 ) - ( 4x - 2 ) = x - 4x + 3 . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 �x + 1 ) dx + �4x - 2 ) dx + �x 2 + 1 ) dx = 2 I= ( ( . ( 3 0 1 3 80 Vậy I = . 3 2 min { 3x , 4 - x } dx . Ví dụ 13. Tính tích phân I = ￲ 0 Giải x x Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4 . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 2 3x 1 � x2 � ￲ = 2 +5. � dx + � ￲ 4x - x I= 3 ( 4 - x ) dx = +￲ ￲ ￲ ln 3 0 � 2� ln 3 2 1 0 1 2 5 Vậy I = +. ln 3 2 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 10
b b f(x)dx ￲ 0 ) ta chứng minh f(x) ￲ 0 (hoặc f(x) ￲ 0 ) với f(x)dx ￲ 0 (hoặc Để chứng minh ￲ ￲ a a " x ￲ [ a; b ] . 1 3 1 - x 6 dx ￲ 0 . Ví dụ 14. Chứng minh ￲ 0 Giải 1 3 3 Với "Σ�-[��-�x 6 6 x 6 dx x 0; 1 ] : 1 1 x 0 1 0. ￲ 0 2. Dạng 2 b b �f(x)dx ￲ � ta chứng minh f(x) ￲ g(x) với " x ￲ [ a; b ] . g(x)dx Để chứng minh a a p p 2 2 dx dx Ví dụ 15. Chứng minh . � + sin � + sin ￲ 10 11 1 x 1 x 0 0 Giải p� x� Với "Σ�￲ � sin 11 x sin 10 x 0; :0 sin x 1 0 2� � � 1 1 ￲
3p 4 1 3p p 3p p dx ( ) ( ) � �￲ �1 . - - 2 24 4 4 4 p 3 - 2 sin x 4 3p 4 p p dx Vậy ￲ . ￲ ￲ 2 4 2 3 - 2 sin x p 4 p 3 3 cot x 1 dx ￲ ￲ Ví dụ 18. Chứng minh ￲ . 12 x 3 p 4 Giải � p� p cot x , x ￲ �; �a có Xét hàm số f(x) = t � 3� x 4 � � -x - cot x � p� p sin 2 x < 0 " x ￲ �; � / f (x) = � 3� 2 4 x � � p p p p� x �; () () �"f ￲ � f(x) f � 3� � � 3 4 4 � p� p 3 cot x 4 x �; � �"�￲ � 3� p p x 4 � � p 3 � p� 4 � p� 3 p p cot x �- � dx � � - � � � �￲ � . � � � � � � p� 3 4� p x p� 3 4� 4 p 3 3 cot x 1 dx ￲ ￲ Vậy ￲ . 12 x 3 p 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b Để chứng minh A ￲ f(x)dx ￲ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện ￲a ￲ f(x) ￲ g(x) " x ￲ [ a; b ] ￲ b ￲ ￲ f(x)dx B￲. Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho ￲ b ￲ ￲ g(x)dx = B ￲￲ a ￲a ￲ ￲ h(x) ￲ f(x) " x ￲ [ a; b ] ￲ b ￲ ￲ A ￲￲ f(x)dx . Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho ￲ b ￲ h(x)dx = A ￲￲ a ￲a ￲ 2 2 p. 2 dx Ví dụ 19. Chứng minh ￲ ￲ ￲ 2 4 1 - x 2007 0 Giải � 2� 1 Với "Σ�� x� �0 x 2007 x2 0; : � 2� 2 � � 12
1 1 1 �￲�- 1 x 2 � ￲-￲ x 2007 1 1 1 2 2007 1 - x2 1- x 2 2 2 2 2 2 dx dx � 1 - x2 . �￲� �1- dx 2007 x 0 0 0 Đặt x = sin t � dx = cos t dt p 2 x = 0 � t = 0, x = �t = 2 4 p 2 2 4 p. dx cos t dt �1- �cos t � = = 4 2 x 0 0 2 2 p. 2 dx Vậy ￲ ￲ ￲ 2 4 1 - x 2007 0 1 3 +1 xdx 2 +1 Ví dụ 20. Chứng minh ￲ . ￲ ￲ 4 2 2 x +2- 1 0 Giải Với " x �[ 0; 1 ] : 2 - 1 � x 2 + 2 - 1 � 3 - 1 x x x �￲ 3- 1 2- 1 x2 + 2 - 1 1 1 1 xdx xdx xdx �￲� � �2- . 3- 1 1 2 x +2- 1 0 0 0 1 3 +1 xdx 2 +1 Vậy ￲ . ￲ ￲ 4 2 x2 + 2 - 1 0 V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong gi ới h ạn b ởi các đ ường b y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S = f(x) dx . ￲a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b f(x) dx . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ￲ a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Giải Do ln x ￲ 0 " x ￲ [ 1; e ] nên e e �ln x � xdx = x ( ln x - e S= dx = ln 1) = 1. 1 1 1 Vậy S = 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x 2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox. Giải Bảng xét dấu 13
x0 1 3 y – 0 + 0 1 3 �- x �- x 2 2 S=- + 4x - 3 ) dx + + 4x - 3 ) dx ( ( 0 1 1 3 �x � � x3 � 3 8 � 3 + 2x + 3x � + � 3 + 2x + 3x � = 3 . �� =- � 2 2 - - �� 0 1 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Di ện tích hình phẳng gi ới h ạn b ởi các đ ường b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = f(x) - g(x) dx . ￲ a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. b f(x) - g(x) dx . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ￲ a 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Di ện tích hình phẳng gi ới h ạn b ởi các đ ường b f(x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất y = f(x), y = g(x) là S = ￲ a của phương trình f(x) = g(x) ( a ￲ a < b ￲ b ) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] . b f(x) - g(x) dx . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ￲ a Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 . Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 3 h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 (loại). Bảng xét dấu x0 1 2 h(x) – 0 +0 1 2 �x - 6x + 11x - 6 ) dx + �x 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx 3 2 S=- ( ( 0 1 1 2 � �� 4 2 4 11x 2 x 11x x 5 - 6x � + � - 2x 3 + - 6x � = . = - � - 2x 3 + �� 2 � � � 4 2 4 2 0 1 5 Vậy S = (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 . 14
Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 3 h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 . Bảng xét dấu x1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 3 �x �x 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx - 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx S= ( ( 1 2 2 3 � � � � 4 2 4 11x 2 x 11x x 1 - 6x � - - 6x � = . = � - 2x 3 + � - 2x 3 + � � � � � � � � � � 4 2 4 2 2 1 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 Chú ý: Nếu trong đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng b b �f(x) - �f(x) - g(x) dx = g(x) ] dx . công thức [ a a Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . Giải Ta có x 3 = 4x � x = - 2 �x = 0 �x = 2 0 2 �x �x �S= 3 3 - 4x ) dx + - 4x ) dx ( ( -2 0 0 2 �4 � �4 � x x = � - 2x 2 � + � - 2x 2 � = 8 . � � � � � � � �2 � � 4 4 0 - Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải Ta có x - 4 x + 3 = 0 � t 2 - 4t + 3 = 0, t = x � 0 2 �= 1 t � =1 x �= ￲ 1 x �� = 3 � =3 �= ￲ 3 t x x � � � 3 3 �x - 4 x + 3 dx = 2 � 2 - 4x + 3 dx �S= 2 x -3 0 � � 1 3 = 2 � ( x 2 - 4x + 3 ) dx �x 2 - 4x + 3 ) dx � � ( + � � �0 � 1 �x 3 �� 1 3 � � � 3 x 16 = 2 � - 2x 2 + 3x � + � - 2x 2 + 3x � � � �= . � � � � � �3 �� 3 3 � 1� 0 16 Vậy S = (đvdt). 3 2 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 15
￲x +3 ￲ 0 ￲ ￲x = 0 ￲2 � ￲ ￲x - 4x + 3 = x + 3 � ￲ ￲x = 5 . ￲￲ ￲ ￲￲ 2 ￲ ￲ ￲x - 4x + 3 = - x - 3 ￲� � Bảng xét dấu x 0 1 3 5 + 0 – 0 + 2 x - 4x + 3 1 3 5 �x - 5x ) dx + �- x + 3x - 6 ) dx + �x �S= 2 2 2 - 5x ) dx ( ( ( 0 1 3 1 3 5 �3 5x 2 � � x 3 � �3 5x 2 � 3x 2 x x � = 109 . - � +� - 6x � + � - =� - + �� 3 �� 2� � 2� 3 2 3 6 0 1 3 109 Vậy S = (đvdt). 6 2 Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 1 = x + 5 � t 2 - 1 = t + 5, t = x � 0 ￲t = x ￲ 0 ￲ ￲t = x ￲ 0 ￲2 � ￲ ￲t - 1 = t + 5 � � ￲ �x=� 3 � ￲ � �=3 t �2 � ￲ ￲ ￲t - 1 = - t - 5 ￲￲ � � 3 3 �x x + 5 ) dx = 2 � x 2 - 1 - �S= 2 -1- x + 5 ) dx ( ( -3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 – 0 + 2 x-1 1 3 �- x - x - 4 ) dx + �x 2 - x - 6 ) dx �S=2 2 ( ( 0 1 1 3 �x �� + � - x - 6x � = 73 . 3 2 3 2 x x - � � =2� - 4x � � - � � � �3 �� 2 3 2 3 0 1 73 Vậy S = (đvdt). 3 Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ￲ 0 " x ￲ [ a; b ] , y = 0 , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p￲ f 2 (x)dx . a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox. 2 2 Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 � x = � . R (C) : x 2 + y 2 = R 2 � y 2 = R 2 - x 2 Phương trình 16
R R � V = p�R - x ) dx = 2p�R 2 - x 2 ) dx 2 2 ( ( -R 0 R � x� ￲ = 4pR . 3 3 = 2p ￲ R 2 x - ￲ ￲ ￲ � 3� 3 0 4pR 3 Vậy V = (đvtt). 3 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) ￲ 0 " y ￲ [ c; d ] , x = 0 , d y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = p g2 (y)dy . ￲ c x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 + 2 = 1 quay quanh Oy. a b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 � y = � . b b x2 y2 a 2 y2 Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 � x = a - 2 2 b2 a b b b �2 a 2 y 2 �� = 2p �2 - a y � 22 � � � � V = p�a - � dy a dy � � � � � � � b2 � � b2 � -b 0 R � a 2 y3 � ￲ = 4pa b . 2 = 2p ￲ a 2 y - ￲ ￲ ￲ � 3b 2 � 3 0 4pa b 2 Vậy V = (đvtt). 3 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ￲ 0, g(x) ￲ 0 " x ￲ [ a; b ]) quay quanh trục Ox là b V = p￲ f 2 (x) - g2 (x) dx . a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Giải ￲x ￲ 0 ￲x = 0 ￲ ￲￲ Hoành độ giao điểm ￲ 4 ￲x = 1 . ￲x = x ￲ ￲ 1 1 � V = p� - x dx = p �x 4 4 x - x ) dx ( 0 0 1 3p ( 1x 12 ) =p 5 x -= . 5 2 10 0 3p Vậy V = (đvtt). 10 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ￲ 0, g(y) ￲ 0 " y ￲ [ c; d ]) quay quanh trục Oy là d V = p￲ f 2 (y) - g2 (y) dy . c 17
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y 2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Giải ￲y = - 1 Tung độ giao điểm - y + 5 = 3 - y ￲ ￲ 2 ￲y = 2 . ￲ 2 2 � V = p￲ ( - y 2 + 5 ) - ( 3 - y ) 2 dy -1 2 =p 4 - 11y 2 + 6y + 16 ) dy ￲ (y -1 2 � 5 11y 3 � 153p y + 3y 2 + 16y ￲ =p￲ - = . ￲ ￲ ￲ ￲5 � �1 3 5 - 153p Vậy V = (đvtt). 5 VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 11 12 1 10 ( 1 − x) 10 dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S = 1 − C10 + C10 − ... + C10 1. Tính I= 2 3 11 0 1 2. Tính: I = x ( 1 − x ) 19 dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 0 10 11 12 1 18 1 19 C19 − C19 + C19 − ... + S= C19 − C19 . 2 3 4 20 21 2n +1 − 1 1 1 1 3. Chứng minh rằng: 1 + Cn + Cn + ... + Cn = 1 2 n n +1 n +1 2 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI �π � sin x + cos x −= , biết rằng F � 4 � ln 2 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x − cos x �� 2. Tính các tích phân sau: e2 2 2 x + 5 - 7x 2 x x 2 -1 dx C= 2 ln 2dx A= B= dx x 0 -2 1 3. Tính các tích phân sau: π 2 e x 23 ln 4 x dx 3 dx dx * * A= e B= C= D= sin xdx 3 cos x x 1 1+ x x +4 x -1 2 1 5 0 4. Tính các tích phân sau: π 10 e sin(ln x) dx 4 K= lg xdx dx I= J= x sin x cot x 2 π 1 1 6 π ln 5 2 dx dx 2 sin 2 xdx L= M= N= −x ln 3 e + 2e −3 x 2 x -9 cos 2 x + 4 sin 2 x 1 0 π sin 2 x 2 C= dx (1 + cos2 x)2 0 5. Tính các tích phân sau: 1 4 dx 3 dx 16 - x 2 dx A= B= C= x2 + 3 4 - x2 3 0 0 18
3 ln 2 1- e x 2 dx dx D= E= 1 + ex x −1 2 0 2 6. Tính các tích phân sau: π 2 2 ln x x sin x e ln x dx dx dx * * A= B= C= 1 + cos2 x 1x 2 x 0 1 1 x2 − 1 eπ 2 3x 4 − 2 x F* = dx dx * D = cos(ln x)dx E= 1 + x4 x3 1 1 −1 7. Tính: π π 1 2 4 x e 4 2 x C= xe dx E= x ln xdx A= cos xdx B= cos3 xdx D= dx 2 x 0 1 1 0 0 e 2 4 2 1 ln x + 1 x x G= x 1 + 2 x dx H= x 1 + 2 xdx 2 dx dx dx F= I= J= x +1 0 1+ x 2 x 1 0 0 1 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 + ln x b. y=2x; y=3−x và x=0 a. x=1; x=e; y=0 và y= x π c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3−2x2+4x−3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b)Trục Oy. −Hết− 19