TÀI LIỆU TOÁN HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Lotus_4 Lotus_4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Củng cố mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. - Mở rộng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. - Rèn kĩ năng chứng minh bất đẳng thức. B. Chuẩn bị: - GV: hệ thống lí thuyết và bài tập về bất đẳng thức. - HS: Kiến thức về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. C. Tiến trình. 1. ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: không.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÀI LIỆU TOÁN HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC A.Mục tiêu: - Củng cố mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. - Mở rộng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. - Rèn kĩ năng chứng minh bất đẳng thức. B. Chuẩn bị: - GV: hệ thống lí thuyết và bài tập về bất đẳng thức. - HS: Kiến thức về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. C. Tiến trình. 1. ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: không. 3. Bài mới: Hoạt động của GV, HS Nội dung GV yêu cầu HS nhắc lại các I. Các kiến thức cần nhớ. mối liên hệ giữa thứ tự với phép 1. Định nghĩa bất đẳng thức. cộng, phép nhân. * a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b. *HS: * a lớn hơn b, kí hiệu a > b. GV cho HS ghi lại các kiến * a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b. thức cần nhớ. * a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b. HS ghi bài. 2. Tính chất:
a, Tính chất 1: a > b thì b < a. b, Tính chất 2: a > b, b > c thì a > c. c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn an > bn với n a>b lẻ 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi :
ab Với 2 số dương a , b ta có :  ab 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2  (a2 + b2)(x2 + y2) ab Dấu đẳng thức xảy ra  xy c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a  b  ab Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab  0 4. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. - Dùng định nghĩa. - Dùng phép biến đổi tương đương. - Bất đẳng thức quen thuộc. II. Bài tập. Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B
>0. - Lưu ý : A2  0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . Bài 1.1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z). Giải : Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + GV cho HS làm bài tập. 1) Phương pháp 1: Dùng định = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 nghĩa. Do (x - 1)2  0 với mọi x GV đưa ra phương pháp giải: (y - 1)2  0 với mọi y HS ghi bài. (z - 1)2  0 với mọi z => H  0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1. Bài 1.1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh Bài 1.2 :
rằng : Cho a, b, c, d, e là các số thực : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z). Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) ? Để chứng minh bất đẳng thức Giải : ta làm thế nào? Xét hiệu : HS: chuyển bất đẳng thức thành H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)  a a a 0 = (  b )2 + (  c )2 + (  d )2 + 2 2 2 Chứng minhh bất đẳng thức a (  e )2 2 luôn đúng. a Do (  b )2  0 với mọi a, b GV yêu cầu HS lên chứng 2 minh. a Do(  c )2  0 với mọi a, c 2 a Do (  d )2  0 với mọi a, d 2 a Do (  e )2  0 với mọi a, e 2 => H  0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = a 2 Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức :
2 a2  b2  a  b  Bài 1.2 :   2 2 Cho a, b, c, d, e là các số thực : Giải : Chứng minh rằng : Xét hiệu : 2 2 2 2 2 a + b + c + d + e  a(b + c + 2 a2  b2  a  b  H=   d + e) 2 2 ? Để chứng minh bất đẳng thức 2(a 2  b 2 )  (a 2  2ab  b 2 ) = 4 ta làm thế nào? 1  (2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab) HS: chuyển bất đẳng thức thành 4 1  ( a  b) 2  0 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + 4 d + e)  0. Với mọi a, b Chứng minhh bất đẳng thức Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . luôn đúng. 2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi ? Để chứng minh bất đẳng thức tương đương . luôn đúng ta làm thế nào? - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức *HS: biến đổi biểu thức thành cần chứng minh tương đương với bất đẳng các tổng bình phương. thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được GV yêu cầu HS lên chứng chứng minh là đúng . minh. - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài 2. 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 1 1 4 Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng   a 1 b 1 3 thức : Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; 2 a2  b2  a  b   3(a + 1 + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)  2 2  9  4(ab + a + b + 1) (vì a + b = ? Để chứng minh bất đẳng thức 1) ta làm thế nào?  9  4ab + 8 HS: chuyển bất đẳng thức thành  1  4ab 2 2 2 a b ab   0.   (a + b)2  4ab 2 2 Chứng minhh bất đẳng thức Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra luôn đúng. điều phải chứng minh . ? Để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng ta làm thế nào?
*HS: biến đổi biểu thức thành các tổng bình phương. GV yêu cầu HS lên chứng minh. 2. Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương. GV cho HS ghi phương pháp giải. HS ghi bài.
GV cho HS làm bài tập. Bài 2. 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 1 1 4   a 1 b 1 3 ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm thế nào? HS:Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. GV yêu cầu HS lên bảng làm bài. 4. Củng cố: - GV yêu cầu HS nhắc lại hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
BTVN: Bài 2. 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)  a3b3c3 Bài 2.3 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 a 3  b3  a  b  ; trong đó a > 0 ; b > 0   2 2