Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
THIẾT LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU VA CHẠM VÀ<br />
BIẾN DẠNG CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG HÌNH NÓN CỤT<br />
VÀO MẶT CỨNG TUYỆT ĐỐI<br />
Ngô Phi Hùng1*, Đỗ Đình Lào1, Bùi Ngọc Hồi2<br />
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm<br />
và biến dạng của vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối. Thiết lập<br />
phương trình chuyển động mặt cắt của vật hình nón cụt, các biểu thức tính dịch<br />
chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, các tham số lan truyền sóng cùng tốc<br />
độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) trong vật do va đập và biến dạng tạo ra.<br />
Từ khóa: Chóp nón; Tường chắn; Va đập; Biến dạng.<br />
<br />
1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br />
Yếu tố quan trọng tạo ra hiệu ứng giảm thanh của đạn có kết cấu theo nguyên lý piston-<br />
xi lanh chính là khi piston va đập vào gờ chặn của xi lanh ở cuối hành trình chuyển động,<br />
tại đó piston biến dạng, bịt kín xi lanh, không cho khí thuốc thoát ra ngoài. Tuy giảm được<br />
âm thanh do khí thuốc áp suất cao tạo ra nhưng khi va đập piston vào xi lanh lại tạo ra âm<br />
thanh cơ khí va đập. Kết cấu của piston có phần côn vát (nón cụt) ở đầu, bởi vậy để nghiên<br />
cứu âm thanh do va đập cơ khí của piston và xi lanh tạo ra, ta nghiên cứu quá trình hình<br />
thành và lan truyền sóng do va đập và biến dạng của vật hình nón cụt (sau này gọi tắt là<br />
chóp nón cụt) vào mặt cứng tuyệt đối (sau này gọi tắt là tường chắn).<br />
2. VA ĐẬP, BIẾN DẠNG VÀ QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SÓNG TRONG CHÓP<br />
NÓN CỤT CHUYỂN ĐỘNG VÀO TƯỜNG CHẮN<br />
Để nghiên cứu bài toán va đập và biến dạng của chóp nón cụt chuyển động vào tường<br />
chắn, ta nghiên cứu quá trình hình thành và lan truyền sóng thẳng và sóng ngược biến<br />
dạng từ mặt cắt này đến mặt cắt khác dọc theo chiều dài trục của chóp nón cụt.<br />
2.1. Các giả thiết và ký hiệu để xây dựng mô hình bài toán<br />
- Giả sử vật (1) chóp nón cụt có đường kính đáy là D, đường kính đầu (đáy trên) là d,<br />
chiều dài (cao) là l, góc vát (góc đường sinh tạo với trục) là α, chuyển động với vận tốc là<br />
vo tới va đập vào tường chắn (vật 2) (Hình 1);<br />
- Vật liệu chóp nón cụt đồng nhất, đàn hồi, có mật độ là ρ, mô đun đàn hồi vật liệu là E.<br />
Ta chỉ khảo sát vật trong giới hạn đàn hồi;<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 1. Sơ đồ va đập của cơ hệ.<br />
1- Chóp nón cụt, 2 - Tường chắn.<br />
- Chọn hệ toạ độ khảo sát gắn với vật chuyển động, điểm gốc toạ độ O là tâm của mặt<br />
đầu chóp nón cụt và hướng Ox trùng với hướng chuyển động và trùng với trục tâm của<br />
chóp nón cụt;<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 197<br />
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực<br />
<br />
- x - tọa độ mặt cắt;<br />
- S(x) - diện tích mặt cắt nón cụt tại vị trí x;<br />
- u(x,t) - dịch chuyển dọc trục của mặt cắt x;<br />
- t - thời gian dịch chuyển của mặt cắt;<br />
2 u ( x, t )<br />
- - gia tốc dịch chuyển mặt cắt;<br />
t 2<br />
u ( x, t )<br />
- ( x, t ) - biến dạng dọc trục trong mặt cắt;<br />
x<br />
- Tường chắn (vật 2) đứng yên có độ cứng tuyệt đối;<br />
- Vật 1 (chóp nón cụt) chuyển động theo hướng vuông góc với bề mặt vật 2.<br />
2.2. Phương trình chuyển động của mặt cắt chóp nón<br />
Với các giả thiết và ký hiệu như trên, ta thiết lập được phương trình chuyển động của<br />
mặt cắt x của chóp nón như sau [1]:<br />
<br />
2u ( x, t ) S ( x) u ( x, t ) S ( x) u ( x, t )<br />
S ( x) 2 0, 0 ≤ x ≤ l (1)<br />
x 2 x x a t 2<br />
2<br />
Dd E<br />
trong đó: S ( x) D x , a <br />
4 l <br />
Điều kiện ban đầu xác định giá trị dịch chuyển và tốc độ mặt cắt khi t = 0 là:<br />
u ( x, 0)<br />
u(x,0) = 0; v0 (2)<br />
t<br />
Giới hạn biên xác định không có biến dạng ở vị trí ban đầu mặt cắt x=0 (ε(0,t)=0),<br />
không có sự dịch chuyển ở mặt cắt x=l (nếu xảy ra có sự tác động lẫn nhau của chóp nón<br />
cụt với tường chắn); Không có biến dạng trong mặt cắt va đập x=l (nếu như xảy ra phá<br />
hủy tại vị trí tiếp xúc của chóp nón cụt với tường chắn):<br />
u(0,t) u( l,t )<br />
0 , u( l,t ) 0 nếu 0;<br />
x x<br />
(3)<br />
u (l , t ) u( l,t )<br />
0 nếu 0<br />
x x<br />
Khối lượng chóp nón cụt phụ thuộc vào đường kính mặt cắt va đập d, chiều dài l và góc<br />
vát α được xác định bằng công thức:<br />
l<br />
l 4<br />
mc S( x )dx ( d 2 2dltg l 2tg 2 ) (4)<br />
0<br />
4 3<br />
<br />
Nếu như khảo sát ảnh hưởng của góc α tới tính chất va đập và biến dạng của chóp nón<br />
cụt thì đối với các giá trị khác nhau của góc α cần giữ nguyên giá trị của tốc độ vo cũng<br />
như khối lượng mc của nó. Trong trường hợp đó động năng và động lượng của vật sẽ được<br />
giữ nguyên.<br />
<br />
<br />
198 N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học … vào mặt cứng tuyệt đối.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
2.3. Thiết lập mô hình toán nghiên cứu va đập và biến dạng của vật hình chóp nón<br />
cụt với mặt cứng tuyệt đối<br />
Giả sử khối lượng chóp nón cụt tương ứng với khối lượng vật hình trụ có chiều dài là l,<br />
l<br />
đường kính Dt, khối lượng là mc Dt2 . Khi đó tương quan giữa các tham số đường<br />
4<br />
kính d, đường kính Dt, chiều dài l và góc α được xác định bằng biểu thức [1]:<br />
4<br />
d l.tg Dt2 l 2 .tg 2 l 2 .tg 2<br />
3<br />
Đường kính đáy chóp nón D (đường kính cắt ban đầu của chóp nón) [1]:<br />
D = d + 2l.tgα<br />
Để khảo sát biến dạng và dịch chuyển mặt cắt chóp nón cụt (quá trình lan truyền sóng<br />
va đập trong chóp nón cụt), ta biểu diễn chóp nón cụt dưới dạng tổ hợp liên tục của các<br />
chóp nón cụt phân tố (hình 2) và tổ hợp các đoạn hình trụ tương ứng.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 2. Tổ hợp chóp nón cụt phân tố.<br />
Với cách biểu diễn như trên, để đảm bảo xấp xỉ tổng các chóp nón cụt phân tố bằng với<br />
chóp nón cụt, chiều dài các phần tử chóp nón phân tố phải ngắn (ví dụ Δl = 0,025.l sai số<br />
sẽ không quá 2%). Đường kính mặt cắt cần phải tính đến sự thay đổi đường kính chóp nón<br />
cụt theo chiều dài, khối lượng vật hình trụ phải bằng khối lượng đoạn chóp nón cụt phân tố<br />
tương ứng.<br />
Trên hình 3 biểu diễn đoạn chóp nón j có chiều dài là Δl giới hạn bởi mặt cắt j-1 và j,<br />
đường kính tương ứng của đoạn chóp nón là Dj-1 và Dj; hình trụ tương đương có đường<br />
kính Dt(j).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 3. Đoạn chóp nón j.<br />
Điều kiện ban đầu để khảo sát [1]:<br />
<br />
u j x,0 u0 x ;<br />
<br />
u j ( x,0 ) (5)<br />
v0 ( x ), j 1,2, ,n.<br />
t<br />
Xác định dịch chuyển và tốc độ dịch chuyển mặt cắt ở thời điểm ban đầu.<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 199<br />
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực<br />
<br />
Điều kiện biên xác định dịch chuyển mặt cắt và điều kiện cân bằng lực dọc trục trên<br />
đoạn khảo sát là [1]:<br />
u j 1 ( x j , t ) u j ( x j , t )<br />
E j 1S j 1 EjS j 0 (6)<br />
x x<br />
do vật đồng nhất về vật liệu nên Ej-1= Ej nên (6) được viết lại là:<br />
u j 1 ( x j , t ) u j ( x j , t )<br />
S j 1 Sj 0 (6’)<br />
x x<br />
u j 1 ( x j , t ) u j ( x j , t ), j 1, 2,..., n 1<br />
<br />
u1( 0,t ) un ( xn , t )<br />
0, un ( xn ,t ) 0 nếu 0 (7)<br />
x x<br />
un ( xn , t ) un ( xn , t )<br />
0 nếu 0<br />
x x<br />
Trong đó, uj-1(xj,t), uj(xj,t) là dịch chuyển của mặt cắt j-1 và j của đoạn khảo sát, vị trí<br />
của chúng được xác định bằng tọa độ xj; Ej-1 và Ej là mô đun đàn hồi vật liệu tương ứng với<br />
u1 ( 0,t )<br />
đoạn j-1 và j; là biến dạng dọc trục trên đoạn l của mặt cắt x=0; un(xn,t) là dịch<br />
t<br />
un ( xn , t )<br />
chuyển dọc trục của mặt cắt va đập, vị trí của nó được xác định bằng tọa độ xn;<br />
x<br />
là biến dạng dọc trục trong mặt cắt va đập của chóp nón cụt.<br />
Theo Đalambe, dịch chuyển của mặt cắt bất kỳ j được biểu diễn dưới dạng tổng của hai<br />
hàm số [2]:<br />
u j ( x, t ) f j (a j t x) j (a j t x), x j 1 x x j ,<br />
trong đó, hàm số thứ nhất fj(ajt-x) biểu thị các tham số của sóng thuận, hàm thứ hai<br />
φj(ajt+x) biểu thị các tham số của sóng ngược; aj là tốc độ lan truyền sóng dịch chuyển của<br />
mặt cắt j, cũng chính là tốc độ lan truyền âm thanh trong chóp nón cụt (tốc độ này không<br />
đổi aj = a).<br />
Sóng thuận fj(at-x) trên đoạn j của vật lan truyền dọc theo hướng trục Ox với tốc độ a, sóng<br />
ngược φj(at+x) lan truyền trên đoạn j của vật với tốc độ a theo hướng ngược với trục Ox.<br />
Các giá trị ban đầu của các hàm fj(ato-x), φj(ato+x) và các đạo hàm của chúng f’j(ato-x),<br />
φ’j(ato+x) được xác định từ điều kiện ban đầu (2) và với t0 = 0, fj(ato-x)=0, φj(ato+x) = 0,<br />
1 v0 1 v<br />
f’j(ato-x) = , φ’j(ato+x) = 0 , xj-1 ≤ x ≤ xj.<br />
2 a 2 a<br />
Để thuận lợi trong khảo sát, ta sử dụng các giá trị tương đối xác định đặc tính của sóng<br />
thuận và sóng ngược [2]:<br />
f ' (at x) ' ' (at x)<br />
fj' (at x) j , j (at x) j <br />
vo vo<br />
a a<br />
Đặc tính biến dạng: ( x, t ) f ' (at x) ' (at x),<br />
<br />
<br />
200 N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học … vào mặt cứng tuyệt đối.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
Đặc tính tốc độ: v ( x, t ) f ' (at x) ' (at x).<br />
Khi đó các giá trị đặc tính ban đầu của sóng thuận và sóng ngược sẽ là:<br />
f ' (at0 x) 0,5 ; ' (at0 x) 0,5.<br />
Biểu đồ đặc tính sóng thuận và sóng ngược ban đầu được biểu diễn trên hình 4.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 4. Sóng thuận và sóng ngược trong chóp nón cụt trước khi va đập.<br />
Khi trùng lặp các đoạn chóp nón j và j+1 trong mặt cắt j, ở đó sóng thuận f j (at x)<br />
từ hướng đoạn j và sóng ngược j 1 ( at x) từ hướng đoạn (j+1) va vào nhau sẽ hình<br />
thành sóng thuận fj 1 (at x) và sóng ngược j (at x ).<br />
Các tham số của các sóng đó thỏa mãn các điều kiện biên (6) và (7). Từ các điều kiện<br />
đó ta có:<br />
fj'1 (at x j ) rj 'j 1 (at x j ) q jf fj' (at x j ) , j=1,2,…,n-1;<br />
<br />
'j (at x j ) rjf fj' (at x j ) q j 'j 1 (at x j ) , j=1,2,…,n-1,<br />
<br />
trong đó: rjφ - hệ số phản xạ từ mặt cắt j của sóng ngược 'j 1 (at x j ); qjf - hệ số đi qua<br />
mặt cắt j của sóng thuận fj' (at x j ); rjf - hệ số phản xạ từ mặt cắt j của sóng thuận<br />
fj' (at x j ); qjφ - hệ số đi qua mặt cắt j của sóng ngược 'j 1 (at x j ).<br />
Giá trị các hệ số đi qua và phản xạ của các sóng trong mặt cắt j được xác định bằng các<br />
công thức:<br />
2r j , f 1 2r j , f 1<br />
q jf , q j ,<br />
r j , f 1 1 r j , f 1 1<br />
r j , f 1 1 r j 1, f 1<br />
rjf , rj ,<br />
r j , f 1 1 r j 1, f 1<br />
Sj S j 1<br />
rj , f 1 , rj 1, f ,<br />
S j 1 Sj<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 201<br />
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực<br />
<br />
trong đó rj,f+1 là tỷ số sóng cản của đoạn j với sóng cản của đoạn (j+1), rj+1,f là tỷ số sóng<br />
cản của đoạn (j+1) với sóng cản của đoạn j.<br />
Trong mặt cắt x=0 của đoạn thứ nhất, từ điều kiện biên (7), ta có:<br />
u1 (0, t )<br />
0, f1' (at 0) 1' (at 0) 0.<br />
x<br />
Từ các biểu thức trên cho thấy, trong mặt cắt đó hình thành sóng thuận<br />
f1' (at - 0 ) 1' (at +0) , các tham số của chúng tương ứng với các tham số của sóng<br />
ngược 1' (at +0 ) rơi vào mặt cắt đó.<br />
Trong mặt cắt va đập x=xn của đoạn n, từ các điều kiện biên:<br />
un ( xn , t ) un ( xn , t )<br />
0 nếu 0<br />
t x<br />
un ( xn , t ) un ( xn , t )<br />
0 nếu 0<br />
x x<br />
cho thấy, trong mặt cắt đó hình thành sóng ngược:<br />
un ( xn , t )<br />
n' (at xn ) f n' (at xn ) nếu 0<br />
x<br />
un ( xn , t )<br />
n' (at xn ) f n' (at xn ) nếu 0<br />
x<br />
Các tham số của chúng được xác định bằng các tham số của sóng thuận f n' (at xn )<br />
trong mặt cắt đó.<br />
3. KẾT LUẬN<br />
Trên đây đã thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm và biến dạng của vật<br />
rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối (tường chắn) bằng việc nghiên<br />
cứu quá trình hình thành và lan truyền sóng thuận và sóng ngược biến dạng từ mặt cắt<br />
này sang mặt cắt khác (tiết diện này sang tiết diện khác) dọc theo chiều dài trục của<br />
chóp nón cụt.<br />
Bài báo đã trình bày cách thiết lập phương trình chuyển động mặt cắt chóp nón cụt, các<br />
biểu thức tính dịch chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, cùng các tham số lan<br />
truyền sóng thuận và sóng ngược, tốc độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) trong chóp nón<br />
cụt do va đập với tường chắn tạo ra.<br />
Từ cơ sở lý thuyết này, giúp ta biết được quy luật hình thành và lan truyền sóng do va<br />
đập và biến dạng của vật chuyển động với tường chắn cùng tốc độ lan truyền sóng (tốc độ<br />
âm thanh) trong vật va đập. Ta có thể ứng dụng nghiên cứu nguyên nhân phát sinh âm<br />
thanh do va đập của hai vật tạo ra như âm thanh do piston va đập vào xi lanh (đối với đạn<br />
giảm thanh theo nguyên lý piston-xi lanh, va chạm mặt đầu) - đây là vấn đề mà tác giả sẽ<br />
tiếp tục nghiên cứu trong các bài báo sau.<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
[1]. В.К.Манжосов. “Продольный ударцзд”. Ульяновск - 2006.<br />
[2]. В.К.Манжосов, В.В.Слепухин. “Мoдeлирoвaниe продольнного удара в<br />
стержневыx cистeмax нeoдноpoдной стpyктypы”. Ульяновск Улгтy 2011.<br />
<br />
<br />
<br />
202 N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học … vào mặt cứng tuyệt đối.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
ABSTRACT<br />
THE ESTABLISHMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO RESEARCH THE<br />
IMPACT AND DEFORMATION OF A MOVING SOLID TRUNCATED CONE-<br />
SHAPED OBJECT CRASHING ONTO AN ABSOLUTELY RIGID SURFACE<br />
In this paper, the result of the establishment of mathematical models to research<br />
the impact and deformation of a moving solid truncated cone-shaped object<br />
crashing onto an absolutely rigid surface is presented. Furthermore, motion<br />
equations, formulas of displacement, velocity, axial deformation, parameters about<br />
wave transmission, and wave velocity (sound velocity) inside the object during the<br />
impact are formulated.<br />
Keywords: Truncated cone-shaped object; Blocking wall; Impact; Deformation.<br />
<br />
Nhận bài ngày 08 tháng 01 năm 2019<br />
Hoàn thiện ngày 05 tháng 03 năm 2019<br />
Chấp nhận đăng ngày 17 tháng 6 năm 2019<br />
1<br />
Địa chỉ: Viện Vũ khí - Tổng cục Công nghiệp Quốc phòng;<br />
2<br />
Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.<br />
*<br />
Email: hungnp1978@gmail.com.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 203<br />