Tích hợp phương pháp Monte carlo và phương pháp phương trình cân bằng trong mô phỏng linh kiện đi ốt p-i-n bán dẫn GaAs

TÍCH HỢP PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ<br /> PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG TRONG<br /> MÔ PHỎNG LINH KIỆN ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs<br /> ĐINH NHƯ THẢO<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> NGUYỄN ĐỨC NHÂN<br /> Học viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Bài báo này trình bày mô phỏng động lực học của hạt tải<br /> trong linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp tích hợp<br /> giữa phương pháp Monte Carlo và phương pháp phương trình cân bằng.<br /> Chúng tôi đã tiến hành mô phỏng ứng với các giá trị điện trường ngoài<br /> vào cỡ 50, 70 và 100 kV/cm. Quá trình mô phỏng chỉ ra rằng phương<br /> pháp mới cho kết quả phù hợp với kết quả của phương pháp Monte<br /> Carlo nhưng với thời gian mô phỏng nhỏ hơn rất nhiều.<br /> <br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Trong lịch sử nghiên cứu linh kiện bán dẫn nano, đã có nhiều phương pháp mô<br /> phỏng khác nhau được sử dụng như phương pháp kéo theo khuếch tán, phương<br /> pháp phương trình cân bằng, phương pháp Monte Carlo, phương pháp hàm Green<br /> [1, 2, 3, 4]. Mỗi phương pháp đều có tốc độ tính toán, độ chính xác và khả năng<br /> ứng dụng khác nhau. Trong số các phương pháp này, phương pháp phương trình cân<br /> bằng và phương pháp Monte Carlo là hai phương pháp bán cổ điển thường được sử<br /> dụng. Phương pháp Monte Carlo cho kết quả có độ chính xác cao nhưng thời gian<br /> thực hiện lâu, trong khi đó phương pháp phương trình cân bằng có tốc độ tính toán<br /> nhanh song kết quả lại kém chính xác hơn [1]. Từ nhận định này, chúng tôi đã xây<br /> dựng thành công một bộ công cụ mô phỏng mới dựa trên việc tích hợp phương pháp<br /> Monte Carlo và phương pháp phương trình cân bằng. Chúng tôi sử dụng bộ công<br /> cụ mới này trong mô phỏng linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs để tiện so sánh và<br /> đánh giá tính năng của nó. Bộ công cụ mô phỏng mới cho kết quả phù hợp với kết<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 23-29<br /> <br /> 24<br /> <br /> NGUYỄN ĐỨC NHÂN - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> quả thu được từ phương pháp Monte Carlo với tốc độ tính toán nhanh hơn rõ rệt.<br /> 2 PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO<br /> Mô phỏng linh kiện Monte Carlo được thực hiện bằng việc tính toán xen kẽ các quá<br /> trình trôi dạt, tán xạ của hạt tải đồng thời với việc tính toán điện thế dựa trên một<br /> bộ số ngẫu nhiên trong suốt quá trình mô phỏng. Khi mô phỏng cho các quá trình<br /> động học của hạt tải, thay vì tính toán cho các hạt tải thực chúng ta sẽ tính toán<br /> cho các siêu hạt, mỗi siêu hạt tương ứng với một tập hợp cỡ 109 hạt thực.<br /> Trong quá trình trôi dạt, thời gian bay tự do τ được xác định một cách ngẫu nhiên<br /> thông qua công thức sau [1, 5, 6]:<br /> <br /> τ =−<br /> <br /> ln(r1 )<br /> ,<br /> Γ<br /> <br /> (1)<br /> <br /> với r1 là một số ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Sự thay đổi vector sóng<br /> ~<br /> ~<br /> ∆~k của hạt được xác định theo công thức ∆~k = eE τ , với e là điện tích hạt tải, E<br /> ~<br /> <br /> là vectơ điện trường ngoài.<br /> Để mô phỏng quá trình tán xạ chúng ta cần lựa chọn cơ chế tán xạ và xác định trạng<br /> thái của hạt sau tán xạ. Trong mô phỏng Monte Carlo, việc lựa chọn cơ chế tán xạ<br /> được xác định một cách ngẫu nhiên và trạng thái của hạt sau tán xạ được xác định<br /> dựa trên sự bảo toàn năng lượng và xung lượng.<br /> Việc tính toán điện thế được thực hiện thông qua việc giải phương trình Poisson cho<br /> các hạt tải thực. Đối với mô hình một chiều, phương trình Poisson cần giải có dạng<br /> sau:<br /> ρ(x)<br /> ∂ 2 ϕ(x)<br /> =<br /> −<br /> ,<br /> ∂x2<br /> ²s<br /> <br /> (2)<br /> <br /> với ϕ(x) là điện thế, ρ(x) là mật độ điện tích, ²s là hằng số điện môi của vật liệu.<br /> <br /> TÍCH HỢP PP MONTE CARLO VÀ PP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG...<br /> <br /> 25<br /> <br /> 3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG<br /> Khi sử dụng phương pháp phương trình cân bằng, ta phải tiến hành giải đồng thời<br /> phương trình Poisson (2) và các phương trình cân bằng cơ bản sau:<br /> µ ¶<br /> ∂n<br /> ∂n<br /> = −∇. (~vd n) +<br /> ,<br /> ∂t<br /> ∂t C<br /> ¶ µ<br /> ¶<br /> µ<br /> ∂ (n~pd )<br /> ∂<br /> (n~<br /> p<br /> )<br /> 1<br /> d<br /> ∗<br /> 2<br /> ~ − ∇ nω − m nvd +<br /> ,<br /> = −∇. (n~vd p~d ) + enE<br /> (3)<br /> ∂t<br /> 2<br /> ∂t<br /> C<br /> µ<br /> ¶µ<br /> ¶¸<br /> µ<br /> ¶<br /> ·<br /> ∂ (nω)<br /> κ<br /> m∗ vd2<br /> 2<br /> ∂ (nω)<br /> ~<br /> n~vd −<br /> ∇<br /> ω−<br /> enE~vd +<br /> = −∇. n~vd ω +<br /> ∂t<br /> 3<br /> kB<br /> 2<br /> ∂t<br /> C<br /> trong đó n là mật độ hạt tải, ~vd là vận tốc trôi dạt trung bình, m∗ là khối lượng<br /> ~ là vectơ điện<br /> hiệu dụng của hạt tải, p~d là xung lượng trung bình trên mỗi hạt tải, E<br /> trường, ω là năng lượng của hạt tải, κ là độ dẫn nhiệt, kB là hằng số Boltzmann.<br /> Để giải số, các phương trình trên sẽ được rời rạc hóa và giải bằng phương pháp lặp<br /> Newton. Từ việc giải hệ phương trình này ta xác định được mật độ hạt tải, xung<br /> lượng trung bình của hạt, năng lượng trung bình của hạt và phân bố điện thế.<br /> 4 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN<br /> <br /> Hình vẽ 1: Mô hình linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs.<br /> <br /> Chúng tôi sử dụng mô hình đi-ốt p-i-n GaAs có kích thước như sau: phần p và n có<br /> bề dày đều là 20 nm, phần i ở giữa có bề dày 500 nm. Mật độ điện tử và lỗ trống nền<br /> lần lượt là 1.1011 cm−3 và 3.1011 cm−3 , mật độ pha tạp ở phần p và n tương ứng là<br /> 1.1017 cm−3 và 5.1017 cm−3 . Đi-ốt được phân cực nghịch như hình vẽ 1. Trong tính<br /> toán này chúng tôi sử dụng mô hình ba thung lũng gồm thung lũng Γ, thung lũng L<br /> và thung lũng X.<br /> <br /> 26<br /> <br /> NGUYỄN ĐỨC NHÂN - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> Hình vẽ 2: Sơ đồ mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp tích hợp với phương pháp các<br /> phương trình cân bằng.<br /> <br /> Quá trình mô phỏng gồm hai giai đoạn chính: giai đoạn trước và sau khi linh kiện<br /> được kích thích quang. Khi chưa có kích thích quang, trong linh kiện chỉ có các hạt<br /> tải nhiệt. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp các phương trình cân bằng để mô tả<br /> chuyển động của các hạt tải nhiệt trong giai đoạn này. Các kết quả tính toán sẽ được<br /> sử dụng cho quá trình mô phỏng tiếp theo.<br /> Khi có kích thích quang, trong linh kiện sẽ có cả hạt tải nhiệt và hạt tải quang.<br /> Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp để tính toán chuyển<br /> động của cả hai loại hạt tải. Thuật toán mô tả sự tích hợp giữa phương pháp Monte<br /> Carlo tập hợp tự hợp với phương pháp các phương trình cân bằng được trình bày<br /> trong hình vẽ 2. Chúng tôi sử dụng mật độ hạt tải kích thích quang vào cỡ 1017 cm−3 ,<br /> bước thời gian là ∆t = 0.25 fs và kích thước không gian là ∆x = 1 nm. Các hình<br /> vẽ 3, 4 và 5 mô tả đồ thị vận tốc tương đối của điện tử và lỗ trống được tính theo<br /> hai phương pháp khác nhau, phương pháp tích hợp và phương pháp Monte Carlo,<br /> ứng với các giá trị điện trường là 50, 70 và 100 kV/cm. Ở hình vẽ 3(a), 4(a) và 5(a)<br /> ta thấy rằng đồ thị vượt quá vận tốc thu được từ hai phương pháp khá giống nhau.<br /> Sự sai khác trong kết quả thu được của hai phương pháp là rất nhỏ, điều này được<br /> <br /> TÍCH HỢP PP MONTE CARLO VÀ PP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG...<br /> <br /> 27<br /> <br /> chỉ ra ở các hình vẽ 3(b), 4(b) và 5(b). Do đó chúng tôi khẳng định rằng các kết<br /> quả mô phỏng bằng bộ công cụ mới phù hợp với các kết quả mô phỏng bằng phương<br /> pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp [5, 6].<br /> <br /> Hình vẽ 3: Vận tốc trôi dạt tương đối ve−h theo thời gian ứng với Eext = 50 kV/cm.<br /> <br /> Hình vẽ 4: Vận tốc trôi dạt tương đối ve−h theo thời gian ứng với Eext = 70 kV/cm.<br /> <br />