Tích phân vô tỉ dạng đặc biệt ( tiếp )

Chia sẻ: Vũ Ngọc Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

724
lượt xem 162
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số trường hợp riêng của tích phân nhị thức. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân vô tỉ dạng đặc biệt ( tiếp )

Vũ Ng c Thành Trư ng THPT mư ng so K ni m nh ng tháng ngày v t vã trên t Lai Châu . Vi t tài li u cho bu n. M T TRƯ NG H P RIÊNG C A TÍCH PHÂN NH TH C p Caùch Chuyeån tích phaân voâ tæ daïng : ∫ x n q ax m + b ( ) sang tích phaân höõu tæ  q ∈ Z+   p∈ Z  n∈ »  Neáu thaáy  m ∈ Z | {0}   a ∈ R | {0}  b ∈ R | {0}   x > 0 Caùc höôùng chuyeån ñoåi sang tích phaân cuûa haøm höõu tæ Höôùng 1 : Ñaët tröïc tieáp ( ax ) m Böôùc 1 : ñaët +b =t q m dx m q m− 1 q− 1 q− 1  ax + b = t ⇒ max dx = qt dt ⇒ max x = qt dt qt q − 1 dt  dx ⇒ Khi ñoù  = 1 x m tq − b ( )  tq − b  m q  m t −b ⇒ x= x=   a a  Böôùc 2 : Laép vaên raùp : n+ 1 q  1  t − b m  qt q − 1 dt dx  p p ∫ x ax + b dx = ∫ x x ∫  a   ( ) ( ) nq m n+ 1 q ax m + b tp =   = ( ) m tq − b   n+ 1  tq − b  qt q − 1 dt m = ∫ tp  a ( ) m tq − b Muoán höôùng 1 thu ñöôïc tích phaân cuûa haøm höõu tæ ta chæ caàn boå sung theâm ñieàu kieän : n+ 1 laø soá nguyeân m Sau ñaây laø moät soá ví duï ñi ñöôïc theo höôùng 1
Vũ Ng c Thành Trư ng THPT mư ng so K ni m nh ng tháng ngày v t vã trên t Lai Châu . Vi t tài li u cho bu n. dx 23 Ví duï 1 : Tính I = ∫ 5 x x2 + 4 Baøi laøm n+ 1 Ta thaáy ñaây laø daïng toaùn cuûa ta vì noù thoûa maõn caùi ñieàu maø luùc naõy ta giaû söû = 0 laø soá nguyeân m  2tdt = 2xdx 2 2 x = t − 4 2 Böôùc1 : ñaët t = x + 4 ⇒  x = 5 ⇒ t = 3  x = 2 3 ⇒ t = 4 dx xdx tdt 23 23 4 Böôùc 2 Laép raùp I = ∫ =∫ =∫ = ( t − 4) t 2 5 5 3 2 2 2 x x +4 x x +4 dt 1 4 1 1 1 t−2 15 4 =∫ ∫3  t − 2 − t + 2  dt = 4 ln t + 2 4 ln = =  3 ( t − 2) ( t + 2) 4 43  3 1 Ví duï 2 : Tích phaân I = ∫ 3 1 + dx x3 Baøi laøm 1 n+ 1 I=∫ x 3 + 1dx ta ñi ñöôïc theo höôùng 1 vì nhìn thaáy = 0 laø soá nguyeân x m Khi ñoù x3 + 1 = t Böôùc 1 : Ñaët 1 t ∫ t 3 − 1dt Böôùc 2 : Laép vaên raùp : I = 3
Vũ Ng c Thành Trư ng THPT mư ng so K ni m nh ng tháng ngày v t vã trên t Lai Châu . Vi t tài li u cho bu n. Höôùng 2 : Bieán ñoåi laïi tích phaân ban ñaàu sang daïng khaùc nhöng vaãn laø tích phaân nhò thöùc Ta coù theå chuyeån ñoåi nhö sau : mp p p  b  b p ∫ x ( ax + b ) dx = ∫ x  a + m  dx = ∫ x x nq m nq mp n qq x  a + m  dx = x x   mp mp p   b n+ n+ p =∫x  dx = ∫ x ( a + bx ) −m qq qq a+ m dx ñaây vaãn laø tích phaân nhò thöùc x   Baây giôø Ta thöû : b  Böôùc 1 : ñaët a+ m  = t q x  Khi ñoù : b b − mb = t q ⇒ m dx = t q − a ⇒ m+ 1 dx = qt q− 1 dt ⇒ a+ m x x x  dx t q− 1 t q− 1 q q 1 q− 1 −1 dt ⇒ x dx = qt dt dt x = m q  m+ 1 dx = mb − m ( t q − a) − ( t − a)  x − ⇒ ⇒ 1 q  1 = t −a   b m x =  q  xm   b  t − a  Böôùc 2 : Laép vaên raùp : p mp p b b   p ∫ x ( ax + b ) dx = ∫ x  a + m  dx = ∫ x x nq m nq mp n qq Khi ñoù x  a + m  dx = x x   mp p  b n+ +1 =∫x −1 q q x  a + m  dx x  n+ 1 p + t q− 1 b q mq = ∫ q tp dt  − m ( t q − a)  t − a Muoán tích phaân naøy trôû thaønh tích phaân cuûa haøm höõu tæ n+ 1 p Khi ñoù ta seõ boå sung theâm giaû thieát laø + laø soá nguyeân m q Sau ñaây laø moät soá ví duï maø ta ñi ñöôïc theo höôùng 2
Vũ Ng c Thành Trư ng THPT mư ng so K ni m nh ng tháng ngày v t vã trên t Lai Châu . Vi t tài li u cho bu n. 2 Ví duï 1 : Tính I = ∫ x 3 x 3 + 1dx 1 Baøi laøm Phöông phaùp ñoåi bieán ñeå chuyeån sang tích phaân höõu tæ b 1 Baèng caùch ñaët t = 3 a + = 3 1+ 3 m x x khi ñoù : 1 1 −3 = t 3 ⇒ 3 = t 3 − 1 ⇒ 4 dx = 3t 2 dt 1+ 3 x x x t2 dx 1 dx dx 2 2 ⇒ 4 = − t dt ⇒ 3 = − t dt ⇒ dt =− 3 xx x x t −1 2 2 2 2  1 1 1 dx vaø ∫ x x + 1dx = ∫ x x  1 + 3  dx = ∫ x 2 3 1 + 3 dx = ∫ x 3 3 1 + 3 3 3 3 3 xx x x  1 1 1 1 3 9 2 1  t2 t3 2 ∫ dt  = − ∫ t − 3 dt = ? Ñaây laø tích phaân cuûa haøm höõu tæ = t3 − 1  t − 1  2 1 ( t − 1) 3 3 2 22 dx ∫ Ví duï 2 : Tìm I = x2 x2 + 1 3 Baøi laøm 1 Böôùc1 : Ñaët 1+ =t x2 1 −2 dx 2  2 = t − 1 ⇒ 3 dx = 2tdt ⇒ 3 = − tdt x x x  3 ⇒ x = 2 2 ⇒ t = 22   2 x = 3 ⇒ t = 3  Böôùc 2 Laép raùp 3 3 22 22 22 22 dx dx − tdt 2 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ( − dt ) = I= = = = − t 1 3 22 2 2 x x +1 2 2 x3 1 + 3 3 x2 3 3
Vũ Ng c Thành Trư ng THPT mư ng so K ni m nh ng tháng ngày v t vã trên t Lai Châu . Vi t tài li u cho bu n. Ví d 3: π 33 sin3 x − s inx Traû lôøi baøi : Tính I = ∫ .cot x.dx sinx π 6 Baøi laøm 1 Böôùc 1 : Ñaët 1− =t 3 sin 2 x  1 2 3 2  − cot x = t ⇒ 2 cot x 2 dx = 3t dt sin x  1 3 t2 3 ⇒  2 = 1− t ⇒ cot xdx = dt 2 1 − t3 sin x   3 sin3 x − s inx 1  = 3 1− =t sin 2 x sinx  1 π π Böôùc 2 : Ñoåi caän : Vôùi x = ⇒ t = − 3 3Vôùi x = ⇒ t = − 6 3 3 3 − 13 t 3 Böôùc 3 : Laép vaên raùp : Vaäy I = ∫ 3 dt = ? 2 − 3 1 − t3 Ñeán ñaây baïn töï laøm laáy nheù . Mình ngaïi lam é