Tiếp tuyến của hàm số

Chia sẻ: Nguyen Quang Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

330
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tiếp tuyến của hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiếp tuyến của hàm số

Chuyên đề 5: Tiếp tuyến của đồ thị h àm số - 3 dạng quan trọng ĐÌNH THỦY Gi ới thiệu - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản khi nghi ên cứu về hàm số. Việc viết phương trình tiếp tuyến trước nay mới chỉ dừng lại ở những đồ thị hàm số hết sức cơ bản ví dụ như parabol, hyperbol… nhưng khi chúng ta đã biết đến đạo h àm thì việc viết phương trình tiếp tuyến đã được mở rộng t hêm cho nhiều hàm số phức tạp hơn, và đây cũng chính là một trong những ứng dụng quan trọng của đạo hàm với việc cho biết hệ số góc của tiếp tuyến. Sau đây chúng ta sẽ đi t ìm hi ểu về vấn đề này. Các bài toán mẫu Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc. - T rước khi đi vào các ví dụ chúng tôi xin nhắc lại tính chất sau: cho hai đường thẳng  d1  : y  k1x  b1 và  d 2  : y  k 2 x  b2 . +  d1   d 2  thì k1k 2  1 . +  d1   d 2  t hì k1  k 2 . 1 Ví dụ: Vi ết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y  x 3  5x 2  20x  19 , biết đường thẳng đó 3 1 vuông góc v ới đường thẳng y  x  2 . 4 Lời gi ải: - TXĐ:  - Ta có: y  f (x)  x2  10x  20 - Phương trình tiếp tuyến là:  d  : y  f   x 0   x  x 0   y0 , trong đó (x 0; y0 ) là t ọa độ tiếp điểm. 1 + Tiếp tuyến vuông góc với y  x  2 nên: 4 1 f   x 0 .   1 4  f   x 0   4  x2  10x 0  24  0 0  7  x 0  4, y0  3   x  6, y   7 0 0 Vậy phương trình tiếp tuyến là: 7 31  d1  : y  4(x  4)   4x  3 3  d 2  : y  4(x  6)  7  4x 17 Chiến thuật - Các bước giải bài toán vi ết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f  x  khi biết hệ số góc:
+ T ính f   x  . + Áp dụng công thức phuơng trình tiếp tuyến: y  f (x 0 ).(x  x0 )  y0 , (x 0; y0 ) là t ọa độ tiếp điểm  Xác định hệ số góc k của t iếp tuyến rồi giải phương trình f (x0 )  k , t ừ đó giải ra x 0 và tìm phương t rình tiếp tuyến. Dạng 2: Viết phương t rình tiếp tuyến tại tiếp điểm x2  3x  1 Ví dụ 1:. Vi ết phương trình tiếp tuyến của hàm số y  t ại điểm có hoành độ x 0  2 . x 1 Lời giải: + TXĐ:  \ 1 . + x 0  2  y0   3 + Phương trình tiếp tuyến tai tiếp điểm  2; 3 là: y  y(2). x  2   3 Ta có: x2  2x  4 y  x   2  x  1  y  2   4 Vậy phương trình tiếp tuyến là  d  : y  4  x  2   3  4x  11 . Chiến thuật: - Các bước giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong y  f (x) t ại tiếp điểm  x0 ; y0  + Tính f (x)  f (x0 ) + Thay vào: y  f   x 0   x  x 0   y0 . Chú ý: T iếp tuyến tại tiếp điểm chỉ có một. u x - M ột trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tại giao điểm  x1; y1  của đường cong y  với trục Ox thì hệ vx u   x1  số góc của tiếp tuyến là k  . v  x1  CM : Gọi x1; y1  là giao điểm của hàm số với trục Ox  u(x1)  0 u   x1 v  x1   u  x1 v  x1  , mà u  x1   0  hệ số góc của tiếp tuyến tại đó: k  v 2  x1  u (x1)  k (đpcm). v(x1 )  Khi dùng ta phải chứng minh, công thức này hết sức quan trọng trong một số bài toán. x2  3x  m 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y  . Tìm m để hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với Ox x2 vuông góc v ới nhau. Lời giải:
- T XĐ:  \ 2 - Ta thấy : x2  3x  m 2  0  x 2  3x  m 2  0  * y x2 Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt do   9  m 2  0 m   . 2x  3 2x  3 - Hệ số góc của hai tiếp tuyến tai giao điểm với trục hoành: k1  1 và k 2  2 , trong đó x1, x2 là x1  2 x2  2  x  x2  3 hoành độ hai tiếp điểm   1 2 x1x 2   m Để hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau t hì: k1k 2  1 2x  3 2x 2  3 1  1 . x1  2 x 2  2  5x1x2  4  x1  x 2   13  0    5  m 2  4.3  13  0 1  m2  5 1 m  5 1 Vậy m   . 5 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước và sự tiếp xúc của hai đường cong. - Hai đường cong bất kì y  f  x  và y  g  x  muốn tiếp xúc với nhau thì phải thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm: f (x0 )  g (x 0 )  f(x )  g(x ) , ( x 0 là hoành độ tiếp điểm)  0 0 - T ừ trên ta ứ ng dụng vào sự tiếp xúc giữa đường thẳng vào đường cong. 3x 2  x  1 đi qua điểm A  2;0  . Ví dụ: Vi ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x2 Lời giải: + TXĐ:  \ 2 + Phương trình tiếp tuyến đi qua A  2;0  là y  k  x  2
k  y  x 0    x 0 là hoành ®é tiÕp ®iÓm    k  x 0  2  y  x 0   3x2  12x 0  1  k 0  x 0  2 2   3x 2  x 0  1  kx0  2  0  x0  2  3x2  12x 0  1 3x 2  x0  1  x0  2   0 0   x 0  2 2 x0  2  x0  0 1 k 2 1 Vậy tiếp tuyến là y   x  1 . 2 Chiến thuật: - Các bước giải bài toán vi ết phương trình tiếp tuyến qua điểm A  x1; y1  cho trước với đường cong y  f x : + Tiếp tuyến có dạng: y  k  x  x1  y1 k  f  x0   + Giải hệ:  , ( x 0 là hoành độ tiếp điểm) , t ừ đó giải ra x v à tìm ra k. k  x 0  x1   y1  f  x 0  Chú ý: - Những bài toán có tham số, t ìm tham số để f  x  có tiếp tuyến qua điểm nào đó thì ta đặt điều kiện để hệ t rên có nghi ệm. - Tiếp tuyến của một đường cong đi qua một điểm A (có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong) cho trước có thể có một hoặc nhiều t iếp tuyến. Vì vậy khi làm bài ta c ần phân biệt rõ "t ại" hay "qua". Bài tập đề nghị: Viết phương trình tiếp tuyến của các hàm số sau thỏa mãn điều kiện: 1, y  x3  3x 2  2 , vuông góc v ới: 3x  5y  4  0 . ĐS: 45x  27y  29  0 và 45x  27y  61  0 . 2x 2  7x  7 2, y  , song song v ới: y  x  4 . ĐS: x  y  1  0 và x  y  3  0 . x2 x2  2x  3 3, y  , t ại điểm có hoành độ x  1 . ĐS: y   4x  6 . 2x  1  3m  1 x  m 4, y  , tìm m để tiếp tuyến t ại giao điểm với O x song song v ới đường thẳng 16x  3y  1  0 . xm  1 ĐS: m  1;   .  7 x2  2x  1 3 1 , qua điểm M  6; 4  . ĐS: y  4 và y  x  . 5, y  x2 4 2 3 6, y  x  3x  m , tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với O x. ĐS: m   2 . * Trên đây chúng tôi đã gi ới thiệu đến các bạn 3 dạng viết phương trình ti ếp tuyến của một đường cong. Mở rộng thêm còn những bài toán nghiên cứu về sự tiếp xúc của hai đường cong bất k ì, tuy nhiên rất ít khi gặp,
chúng tôi ch ỉ xin lưu ý các bạn 3 dạng toán trên sẽ xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi. Để làm tốt các bạn n ên nhớ các bước giải mà chúng tôi đã giới thiệu, chúc các bạn thành công. ©2008-thithu.org-ĐÌNH THỦY