Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul nha - Jaewan kim và áp dụng cho trạng thái đan rối hai Mode

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN<br /> KIM VÀ ÁP DỤNG CHO TRẠNG THÁI ĐAN RỐI<br /> HAI MODE<br /> NGUYỄN THANH CƯ<br /> Trường THPT Gia Hội, Huế<br /> TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi dùng tiêu chuẩn phát hiện đan<br /> rối Hyunchul Nha - Jaewan Kim để nghiên cứu tính chất đan rối của<br /> trạng thái hai mode. Kết quả cho thấy tiêu chuẩn đan rối Hyunchul<br /> Nha - Jaewan Kim bao hàm hai tiêu chuẩn được đưa ra trước đó là G.S.<br /> Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy. Sử dụng<br /> tiêu chuẩn này chúng tôi đã tìm được đan rối của một số trạng thái hai<br /> mode.<br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Đan rối là một tính chất quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử, đó là nguồn có giá<br /> trị, là chìa khoá cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử, đã có<br /> rất nhiều các tiêu chuẩn đan rối được đưa ra, điển hình là tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka<br /> Biswas [2], tiêu chuẩn Mark Hillery - M. Suhail Zubairy [3], tiêu chuẩn E. Shchukin and<br /> W. Vogel [6]... Nhưng chưa có tiêu chuẩn nào là tổng quát. Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul<br /> Nha - Jaewan Kim [4] được đưa ra góp phần vào hệ thống các tiêu chuẩn phát hiện đan<br /> rối của trạng thái hai mode và cơ sở để tìm ra tiêu chuẩn đan rối tổng quát sau này.<br /> 2 TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM<br /> Xét các toán tử mômen động lượng trong nhóm SU(2) là Jx , Jy , Jz tuân theo hệ thức giao<br /> hoán [Ji , Jj ] = iεijk Jk [4]. Các toán tử này được mô tả bởi toán tử Hamiltonian của hệ hai<br /> mức a và b là:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Jx = (a+ b + ab+ ), Jy = (a+ b − ab+ ), Jz = (a+ a − b+ b).<br /> 2<br /> 2i<br /> 2<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 29-35<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 30<br /> <br /> NGUYỄN THANH CƯ - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br /> Xét phương sai<br /> (∆Jx )2ρ = hJx2 iρ − hJx i2ρ<br /> 1<br /> 1<br /> = ha+2 b2 + a2 b+2 + a+ abb+ + aa+ b+ biρ − ha+ b + ab+ i2ρ .<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Tương tự<br /> ·<br /> <br /> (∆Jy )2ρ<br /> <br /> ¸<br /> 1 +2 2<br /> 1 +<br /> 2 +2<br /> +<br /> +<br /> + +<br /> + 2<br /> = − ha b + a b − a abb − aa b biρ − ha b − ab iρ .<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Xét các toán tử mômen động lượng trong nhóm SU(1,1) [4] là Kx , Ky , Kz tuân theo<br /> hệ thức giao hoán [Ki , Kj ] = iεijk Kk . Các toán tử này được mô tả bởi toán tử Hamiltonian<br /> của hệ hai mức a và b là:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Kx = (a+ b+ + ab), Ky = (a+ b+ − ab), Kz = (a+ a − b+ b + 1)<br /> 2<br /> 2i<br /> 2<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Do [Kx , Ky ] = iKz , nên theo hệ thức bất định Schr¨odinger-Robertson được đưa ra năm<br /> 1930 [5], [7] ta có:<br /> 1<br /> h(∆Kx )2 ih(∆Ky )2 i ≥ |Kz |2 + h∆Kx ∆Ky i2S > 0.<br /> 4<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Nếu một trạng thái hai mode là chia tách được thì bất đẳng thức (5) vẫn giữ nguyên ý<br /> nghĩa vật lý khi chuyển vị từng phần [4] cho các mode của toán tử, ví dụ như chuyển vị<br /> cho mode b:<br /> ha+m an b+p bq iρP T = ha+m an b+q bp iρ<br /> Do vậy, bất đẳng thức (5) thoả mãn sự chuyển vị từng phần đối toán tử mật độ ρP T<br /> 1<br /> h(∆Kx )2 iρP T h(∆Ky )2 iρP T ≥ |Kz |2ρP T + h∆Kx ∆Ky i2ρP T ,S > 0,<br /> 4<br /> <br /> (6)<br /> <br /> (∆Kx )2ρP T ≡ hKx2 iρP T − hKx i2ρP T<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> = ha+2 b2 + a2 b+2 + a+ abb+ + aa+ b+ biρ − ha+ b + ab+ i2ρ + ,<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> (7)<br /> <br /> trong đó<br /> <br /> kết hợp với phương trình (2), ta tìm được<br /> 1<br /> (∆Kx )2ρP T ≡ (∆Jx )2ρ + .<br /> 4<br /> <br /> (8)<br /> <br /> 1<br /> (∆Ky )2ρP T ≡ (∆Jy )2ρ + .<br /> 4<br /> <br /> (9)<br /> <br /> h∆Kx ∆Ky iρP T ,S = h∆Jx ∆Jy iρ,S .<br /> <br /> (10)<br /> <br /> Tương tự<br /> <br /> TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG...<br /> <br /> 31<br /> <br /> Thay phương trình (8), (9) và (10) vào (6) ta tìm được điều kiện tách mức cho các trạng<br /> thái đan rối hai mode<br /> £<br /> ¤£<br /> ¤<br /> (11)<br /> 1 + 4(∆Jy )2 1 + 4(∆Jx )2 ≥ (1 + hN+ i)2 + 16h∆Jx ∆Jy i2S ,<br /> trong đó<br /> 1<br /> h∆Jx ∆Jy i = hJx Jy + Jy Jx i + hJx ihJy i<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> = ha+ a+ bb − aab+ b+ i + ha+ b + ab+ iha+ b − ab+ i.<br /> 2i<br /> 4i<br /> <br /> (12)<br /> <br /> Nếu một trạng thái hai mode nào đó vi phạm bất đẳng thức (11) thì ta có thể kết luận<br /> trạng thái đó đan rối, nghĩa là chúng phải thoả mãn:<br /> £<br /> ¤£<br /> ¤<br /> (13)<br /> 1 + 4(∆Jy )2 1 + 4(∆Jx )2 < (1 + hN+ i)2 + 16h∆Jx ∆Jy i2S ,<br /> hay<br /> £<br /> <br /> ¤<br /> 1 − ha+2 b2 + a2 b+2 − a+ abb+ − aa+ b+ bi + ha+ b − ab+ i2 ×<br /> £<br /> ¤ ¡<br /> ¢2<br /> 1 + ha+2 b2 + a2 b+2 + a+ abb+ + aa+ b+ bi − ha+ b + ab+ i2 < 1 + ha+ a + b+ bi<br /> ¶2<br /> µ<br /> 1 +<br /> 1 + +<br /> + +<br /> +<br /> +<br /> +<br /> ha a bb − aab b i + ha b + ab iha b − ab i .<br /> + 16<br /> 2i<br /> 4i<br /> <br /> (14)<br /> <br /> Đây chính là tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim đã đưa ra 2006.<br /> Do 16h∆Jx ∆Jy i2S ≥ 0, nên từ (11) ta suy ra được<br /> £<br /> ¤£<br /> ¤<br /> 1 + 4(∆Jy )2 1 + 4(∆Jx )2 ≥ (1 + hN+ i)2 .<br /> <br /> (15)<br /> <br /> Vì vậy, một trạng thái hai mode đan rối là khi chúng vi phạm bất đẳng thức (11) hay thoả<br /> mãn bất đẳng thức<br /> £<br /> ¤£<br /> ¤<br /> 1 + 4(∆Jy )2 1 + 4(∆Jx )2 < (1 + hN+ i)2<br /> hoặc<br /> £<br /> <br /> ¤<br /> ha+ ab+ bi + haa+ bb+ i + ha+2 b2 i + ha2 b+2 i − ha+ b + ab+ i2 ×<br /> ¯2<br /> £ + +<br /> ¤ ¯<br /> ha ab bi + haa+ bb+ i − ha+2 b2 i − ha2 b+2 i + ha+ b − ab+ i2 < ¯ha+ a + bb+ i¯ .<br /> <br /> (16)<br /> <br /> Đây chính là tiêu chuẩn dò tìm đan rối do G.S. Agarwal - Asoka Biswas [2] đưa ra năm<br /> 2005.<br /> £<br /> ¤<br /> £<br /> ¤<br /> Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai đại lượng dương 1 + 4(∆Jx )2 và 1 + 4(∆Jy )2 ,<br /> ta được<br /> q<br /> £<br /> ¤ £<br /> ¤<br /> 1 + 4(∆Jy )2 + 1 + 4(∆Jx )2 ≥ 2 [1 + 4(∆Jy )2 ] [1 + 4(∆Jx )2 ]<br /> p<br /> ≥ 2 (1 + hN+ i)2<br /> (17)<br /> 1<br /> =⇒ (∆Jy )2 + (∆Jx )2 ≥ |hN+ i|,<br /> 2<br /> <br /> 32<br /> <br /> NGUYỄN THANH CƯ - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br /> Từ đẳng thức (17), Mark Hillery và M. Suhail Zubairy sử dụng thêm bất đẳng thức<br /> Cauchy-Schwarz để đưa ra tiêu chuẩn phát hiện đan rối [1], [3] gồm một lớp các bất đẳng<br /> thức<br /> ­<br /> ®<br /> ­<br /> ®1/2<br /> ­<br /> ®­<br /> ®<br /> | ab+ | > a+ ab+ b<br /> = hNa Nb i1/2 , | habi |2 > a+ a b+ b = hNa i hNb i ,<br /> <br /> (18)<br /> <br /> ­<br /> ®<br /> ­<br /> ®1/2<br /> ­<br /> ®<br /> ­<br /> ®­<br /> ®<br /> | a+ b | > a+ ab+ b<br /> = hNa Nb i1/2 , | a+ b+ |2 > a+ a b+ b = hNa i hNb i .<br /> <br /> (19)<br /> <br /> hoặc<br /> <br /> Đây chính là tiêu chuẩn dò tìm đan rối do Mark Hillery - M. Suhail Zubairy đưa ra năm<br /> 2006.<br /> 3<br /> <br /> ÁP DỤNG TIÊU CHUẨN HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀO VIỆC DÒ TÌM<br /> ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE.<br /> <br /> Cũng như hai tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy.<br /> Tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim có thể dò tìm được sự đan rối của các trạng thái<br /> hai mode mà hai tiêu chuẩn trước đó tìm được như: trạng thái hỗn hợp, trạng thái chân<br /> không bị nén hai mode, trạng thái kết hợp thêm hai photon hai mode, trạng thái kết hợp<br /> hai mode chồng chập đối xứng... Ngoài ra, tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim có thể<br /> phát hiện thêm sự đan rối của của các trạng thái khác mà hai tiêu chuẩn G.S. Agarwal Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy không phát hiện được.<br /> ¦ Xét trạng thái hỗn hợp có dạng<br /> ρ = s |Ψ01 i hΨ01 | +<br /> <br /> 1−s<br /> P01 ,<br /> 4<br /> <br /> (20)<br /> <br /> trong đó 0 ≤ s ≤ 1, P01 là toán tử chiếu trong không gian được khai triển bởi các vectơ<br /> {|0ia |0ib , |0ia |1ib , |1ia |0ib , |1ia |1ib },<br /> <br /> (21)<br /> <br /> |Ψ01 i là trạng thái Bell có dạng<br /> |Ψ01 i =<br /> <br /> |0ia |1ib + |1ia |0ib<br /> √<br /> .<br /> 2<br /> <br /> (22)<br /> <br /> Phương trình (30) có thể được viết lại như sau<br /> 1−s<br /> {|0ia |0ib b h0|a h0| + |0ia |1ib b h1|b h0|<br /> 4<br /> + |1ia |0ib b h0|a h1| + |1ia |1ib b h1|a h1|}.<br /> <br /> ρ = s |Ψ01 i hΨ01 | +<br /> <br /> (23)<br /> <br /> Ta có các trị trung bình:<br /> ­<br /> ®<br /> ­ + ® s<br /> a b = , hab+ i = 2s , a+2 b2 = 0,<br /> 2<br /> <br /> (24)<br /> <br /> TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG...<br /> ® 3<br /> ­ 2 +2 ®<br /> ­<br /> ® 1 ­<br /> a b<br /> = 0, ha+ ai = 21 , b+ b = , bb+ = ,<br /> 2<br /> 2<br /> ­<br /> ® 1 − s ­ + +® 9 − s<br /> hNa Nb i = a+ ab+ b =<br /> , aa bb =<br /> .<br /> 4<br /> 4<br /> Theo đẳng thức (7), ta có:<br /> ·<br /> ¸·<br /> ¸<br /> 1−s 9−s<br /> s s 2 1−s 9−s<br /> +<br /> +0+0−( + )<br /> +<br /> − 0 − 0 + 0 < 4,<br /> 4<br /> 4<br /> 2 2<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> 33<br /> <br /> (25)<br /> <br /> (26)<br /> <br /> (27)<br /> <br /> biến đổi đại số ta được<br /> 2s3 − 9s2 − 10s + 9 < 0.<br /> <br /> (28)<br /> <br /> Giải bất phương trình (28) kết hợp với điều kiện đầu (0 ≤ s ≤ 1) ta tìm được nghiệm của<br /> s. Vậy trạng thái đan rối khi giá trị s thoả mãn<br /> 0, 61027 < s ≤ 1<br /> <br /> (29)<br /> <br /> Đối với trạng thái này, nếu chúng ta dùng tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas và<br /> Mark Hillery - M.Suhail Zubairy thì cũng phát hiện được sự đan rối và khoảng để đan rối<br /> cũng gần đúng với khoảng phát hiện rối do tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim tìm<br /> ra.<br /> ¦ Xét trạng thái hai photon hai mode có dạng:<br /> |Ψiab = cosθ|2ia |0ib + isinθ|0ia |2ib<br /> trong đó i2 = −1, cosθ và sinθ là các hằng số.<br /> Ta tính các trị trung bình:<br /> ­ + ®<br /> ­<br /> ®<br /> ­<br /> ®<br /> a a = 2cos2 θ, b+ b = 2sin2 θ, a+ b = 0,<br /> ­ +®<br /> ­<br /> ®<br /> ab = 0, habi = 0, a+ b+ = 0,<br /> ­ + + ®<br /> ­<br /> ® ­<br /> ® ­<br /> ®<br /> a ab b = 0, a+ abb+ = a+ ab+ b + a+ a = 2cos2 θ,<br /> ­ + +® ­ + + ® ­ + ® ­ + ®<br /> aa bb = a ab b + a a + b b + 1 = 3,<br /> ­ + + ®<br /> a a bb = 2isinθcosθ = isin2θ,<br /> ­ + +®<br /> aab b = −2isinθcosθ = −isin2θ.<br /> <br /> (30)<br /> <br /> (31)<br /> <br /> Thay tất cả các kết quả ở (31) vào điều kiện đan rối của Hyunchul Nha - Jaewan Kim<br /> (14), ta có:<br /> £<br /> ¡<br /> ¢<br /> ¤<br /> 1 − isin2θ − isin2θ − 2cos2 θ − 2sin2 θ + (0 − 0)2 ×<br /> £<br /> ¡<br /> ¢<br /> ¤<br /> 1 + isin2θ − isin2θ + 2cos2 θ + 2sin2 θ + (0 + 0)2 < (1 + 2cos2 θ + 2sin2 θ)<br /> (32)<br /> ·<br /> ¸2<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> (isin2θ + isin2θ) − (0 + 0)(0 − 0)<br /> 2i<br /> 4i<br /> <br />