Tiểu luận:Lý thuyết vành

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

169
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, lý thuyết vành nghiên cứu về vành, các cấu trúc đại số mà trong đó các phép cộng và phép nhân được định nghĩa và có các tính chất tương tự như các tính chất quen thuộc của số nguyên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận:Lý thuyết vành

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3 TI U LU N LÝ THUY T VÀNH Quy nhơn, tháng 12 năm 2009
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3 CAO H C TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s TI U LU N LÝ THUY T VÀNH Ngư i hư ng d n khoa h c TS. MAI QUÝ NĂM Quy nhơn, tháng 12 năm 2009 i
M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1 M ts ki n th c cơ s 3 1.1 M t s khái ni m và ví d ..................... 3 1.2 M t s tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các đi u ki n Ci Chương 2 8 2.1 Các khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Các đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3 2.1.1 ................ 8 2.1.2 Môđun liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
L IM ĐU Cùng v i s phát tri n c a toán h c hi n đ i nói chung, lý thuy t môđun đã đư c các nhà toán h c quan tâm và đã đ t đư c nhi u k t qu xu t s c. Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái ni m CS-môđun (Ex- tending Môđun ). Khi l p CS-môđun ra đ i thì lý thuy t môđun đã đư c phát tri n m nh m và có nhi u ng d ng quan tr ng trong vi c nghiên c u lý thuy t vành. Vi c nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) là n n t ng cho vi c nghiên c u các CS- môđun và các l p môđun khác, cho nên tôi ch n đ tài nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) làm đ tài ti u lu n k t thúc b môn. Ti u lu n g m hai chương cùng v i ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o. Chương 1: Trình bày các đ nh nghĩa, ví d và các tính ch t cơ b n có liên quan đ n chương sau c a ti u lu n. Chương 2: Trình các k t qu các môđun con đóng, môđun đ u (uniform) th a đi u ki n C1 , h ng t tr c ti p c a môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) cũng là môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3). Đ c bi t các M nh đ 2.2.4, 2.2.5 cho ta l p nh ng môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2). M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoàn thi n hơn. Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS. Mai Quý Năm ngư i đã t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn thành ti u lu n này. 2
Chương 1 M TS KI N TH C CƠ S Trong toàn b ti u lu n, vành luôn đư c xét là vành k t h p có đơn v ký hi u 1 và các môđun là các môđun ph i Unita trên vành nào đó, thông thư ng xét vành R và m t môđun trên vành R g i là R- môđun . 1.1 M t s khái ni m và ví d Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con N đư c g i là c t y u trong M , ký hi u là N ⊆∗ M , n u N ∩ K = 0 v i m i môđun con khác không K c a M . N u N là môđun con c t y u c a M , thì ta nói r ng M là m r ng c t y u c a N. Ví d 1.1.2. Môđun M ⊆∗ M ; nZ ⊆∗ Z, ∀n = 0. Đ nh nghĩa 1.1.3. Môđun U đư c g i là môđun đ u (uniform) n u b t kỳ môđun con A và B khác 0 c a U thì A ∩ B = 0, hay m i môđun con khác không c a U là môđun c t y u trong U . Ví d 1.1.4. Z môđun Z là đ u vì b t kỳ 0 = A, B ⊆ Z thì A = nZ, b = mZ,v i m, n ∈ N∗ và A ∩ B = [m, n]Z = 0 Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho môđun M và N ⊆ M đư c g i là đóng trong M n u N không có m r ng th t s trong M . Nói cách khác N đư c g i là đóng trong M n u m i môđun con K = 0 c a M mà N ⊆ K thì K = N. 1.1.6. A và B là hai môđun con c a M th a mãn M = A ⊕ B thì Ví d môđun B là đóng trong M. 3
Đ nh nghĩa 1.1.7. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con K c a M đư c g i là bao đóng c a môđun con N trong M n u K là môđun con t i đ i trong M sao cho N ⊆∗ K . Ví d 1.1.8. Z-môđun , 2Z có bao đóng là Z. Đ nh nghĩa 1.1.9. Cho môđun M và N, H ⊆ M . (1.) Môđun H đư c g i là ph n bù giao c a N trong M n u H là môđun t i đ i trong các môđun con c a M th a H ∩ N = 0. (2.)Môđun con N ∗ c a M đư c g i là ph n bù c ng tính đ i v i N trong trong M n u N +N ∗ = M và N ∗ là môđun con t i ti u có tính ch t N +N ∗ = M Đ nh nghĩa 1.1.10. M t môđun M khác không đư c g i là môđun đơn trong trư ng h p nó không có nh ng môđun con không t m thư ng. Đ nh nghĩa 1.1.11. Cho A, N là nh ng môđun . Môđun N đư c g i là A−n i x n u v i m i môđun con B c a A và đ ng c u f : B −→ N , t n t i đ ng c u h : A −→ N sao cho h(x) = f (x), ∀x ∈ B . Nói cách khác là n u v i m i môđun con B c a A và đ ng c u f : B −→ N có th m r ng thành đ ng c u h : A −→ N. Nghĩa là bi u đ sau là giao hoán GB GA i 0 ~ ~ ~h f ~~ N M t môđun Q đư c g i là t n i x n u Q là Q -n i x . 1.2 M t s tính ch t M nh đ 1.2.1. Bao đóng c a m t môđun luôn t n t i. Ch ng minh. G i N là môđun con M , ta ch ng minh t n t i bao đóng c a N trong M . Đ t S = {K ⊆ M |N ⊆∗ M }, khi đó ta có: 4
S Khác r ng vì H ∈ S. S p th t S theo quan h bao hàm, G i Γ là t p con s p th t tuy n tính ∞ Ki ta th y A là c n trên c a Γ, ta ch ng minh A ∈ S t c c a S. Đ t A = 1 là H ⊆ A.Th t v y l y x ∈ A, x = 0 suy ra t n t i n đ x ∈ Kn mà H ⊆∗ Kn nên suy ra Rx ∩ H = 0 suy ra H ⊆∗ A, v y m i t p con s p th t tuy n tính đ u có c n trên . Theo b đ Zorn S có ph n t t i đ i K , ta ch ng minh K là bao đóng c a H . Do K ∈ S suy ra H ⊆∗ K , n u t n t i B ⊂ M sao cho K ⊆∗ B do đó B ∈ S đi u này mâu thu n v i gi thi t tính t i đ i c a K suy ra B = K . M nh đ 1.2.2. Cho môđun N là A−n i x . N u B ⊆ A thì N là B − n i x và N là A/B − n i x . Ch ng minh. Chia làm 2 ph n sau: i) Ch ng minh N là B −n i x . V i m i môđun X ⊆ B ta có X ⊆ A. Mà N là A−n i x nên m i đ ng c u ϕ : X −→ N luôn m r ng thành đ ng c u h : A −→ N sao cho α = hi( trong đó i là phép nhúng ). Ch n ψ : B → N , sao cho ψ = h.i Khi đó ψ là m t m r ng c a ϕ nên N là B −n i x .(Mô t b i sơ đ sau) GB i GA i X nn ψ }} n n } n n∃h ϕ ~} n wn N ii) Ch ng minh N là A/B -n i x . Gi s X/B là môđun con c a A/B và ϕ : A −→ B là đ ng c u b t kỳ . G i π là đ ng c u t nhiên t A vào A/B, π = π |X , ta xét bi u đ sau : GA i X Ù Ùπ Ù π Ù θ Ù G A/B X/B Ùv Ùv Ùv ϕ ÔÙ{v v N 5
Vì N là A n i x nên t n t i θ : A −→ N sao cho ϕπ = θi, ta có B ⊆ A và θ(B ) = θ.i(B ). V y B ⊆ Kerθ hay Kerπ ⊆ Kerθ. Doπ là toàn c u nên ta có th ch n ψ : A/B −→ N sao cho ψπ = θ. V i x ∈ X thì x ∈ A ta có ψ (x + B ) = ψ [π (x)] = ψπ (x) = θ(x) = θi(x) = ϕπ (x) = ϕ(x + B ) V y ψ là m r ng c a ϕ hay N là A/B -n i x . M nh đ 1.2.3. N u K là môđun con c a M và L là ph n bù giao c a K , khi đó (1) L là môđun con đóng trong M . (2) L ⊕ K là môđun con c t y u c a M . (3)(L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L. Ch ng minh. (1) Ch ng minh L đóng trong M . Th t v y, g i N là môđun con c a M sao cho L ⊆∗ N . N u N = L thì L ∩ K = 0, L t i đ i nên N ∩ K = 0. Mà N ∩ K ⊆ N, L ⊆∗ N nên (N ∩ K ) ∩ L = N ∩ (K ∩ L) = 0. Vì K ∩ L = 0 nên ta có đi u vô lý. Do đó N = L , hay L là môđun con đóng trong M . (2) Ta ch ng minh L ⊕ K ⊆∗ M . Th t v y , l y 0 = N ⊆ M , n u N ∩ (K ⊕ L) = 0 thì N ∩ K = 0, N ∩ l = 0, do đó (N ⊕ L) ∩ K = 0. Và như v y theo tính t i đ i c a L thì N ⊕ L = L hay N = 0. Đi u này mâu thu n gi thi t 0 = N . V y N ∩ (K ⊕ L) = 0, hay L ⊕ K ⊆∗ M . (3) Ch ng minh (L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L. G i Y /L = 0 là môđun con c a M/L, gi s Y /L ∩ (L ⊕ K )/L = 0, vì Y /L = 0 nên Y = L do đó Y ∩ K = 0, xét 0 = a ∈ Y ∩ K khi đó a + L ∈ Y /L, a + L ∈ (L ⊕ K )/L 6
suy ra a + L ∈ Y /L ∩ (C ⊕ K )/L ⇒a+L=0⇒a∈L⇒a∈K ∩L=0 đi u này mâu thu n. V y (L ⊕ K )/L ⊆∗ M/L. M nh đ 1.2.4. G i G = Gi và M là nh ng môđun , khi đó G là M -n i i∈I x n u và ch n u Gi là M -n i x v i m i i ∈ I . M nh đ 1.2.5. Cho M là m t môđun t a n i x , N u bao n i x I (M ) = ⊕i∈I thì M = ⊕i∈I (M ∩ Ki ). 7
Chương 2 CÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3 2.1 Các khái ni m Các đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3 2.1.1 Đi u ki n C1 : V i m i môđun con A c a M , t n t i m t h ng t tr c ti p M1 c a M ch a A và A là c t y u trong M1 . Đi u ki n C2 : N u m t môđun con A c a M đ ng c u v i h ng t tr c ti p c a M thì A cũng là h ng t tr c ti p c a M . Đi u ki n C3 : N u M1 và M2 là nh ng h ng t tr c ti p c a M sao cho M1 ∩ M2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là h ng t tr c ti p c a M . 2.1.2 Môđun liên t c Đ nh nghĩa 2.1.1. Môđun M đư c g i là liên t c n u nó th a đi u ki n C1 và C2 . Đ nh nghĩa 2.1.2. Môđun M đư c g i là t a liên t c (quasi-continuous) n u nó th a đi u ki n C1 và C3 . 2.2 Các tính ch t M nh đ 2.2.1. Môđun M th a đi u ki n C1 khi và ch khi m i môđun con đóng trong M đ u là h ng t tr c ti p. Ch ng minh. (⇒) G i A là môđun con đóng c a M , vì M th a đi u ki n C1 nên t n t i B là môđun con c a M sao cho B ⊆⊕ M, A ⊆∗ B , ngoài ra do A đóng nên A = B . T đó suy ra A ⊆⊕ M . 8
(⇐) Ch ng minh n u m i môđun con đóng trong M đ u là h ng t t c ti p thì M th a đi u ki n C1 . Th t v y, v i m i môđun con B khác 0 c a M , luôn t n t i bao đóng B c a B , khi đó B là môđun con t i đ i, do đó B đóng trong M , mà theo gi thi t m i môđun con đóng đ u là h ng t tr c ti p nên ta suy ra B là h ng t tr c ti p c a M . Suy ra M th a đi u ki n C1 . M nh đ 2.2.2. Môđun không phân tích đư c M th a đi u kiên C1 khi và ch khi M đ u. Ch ng minh. (⇒) Gi s A, B là hai môđun con tùy ý c a M , A, B = 0, theo gi thi t M th a đi u ki n C1 nên t n t i M1 , M2 là h ng t tr c ti p c a M sao choA ⊆∗ M1 , B ⊆∗ M2 . Vì M không tách đư c nên M1 = M2 = M , suy ra A ⊆∗ M do đó A ∩ B = 0. V y M đ u. (⇐) Gi s M đ u ta c n ch ng minh M không phân tích đư c và th a đi u ki n C1 . V i m i môđun con A, B c a M và A ∩ B = 0 khi đó theo gi thi t M đ u nên A ⊆∗ M, B ⊆∗ M . Suy ra M th a đi u ki n C1 Bây gi ta ch ng minh M không phân tích đư c, gi s M = C ⊕ D, khi đó C ∩ D = 0, đi u này mâu thu n M đ u. V y M không phân tích đư c. M nh đ 2.2.3. Gi s M là môđun nào đó, khi đó ta có: i) Cho A là môđun con tùy ý c a M , n u A đóng trong h ng t t c ti p c a M thì A đóng trong M . ii) M i h ng t tr c ti p c a M đóng trong M. Ch ng minh. Gi s M = M1 ⊕ M2 và A môđun con đóng trong M1 ta c n ch ng minh A đóng trong M .Th t vây, xét phép chi u π : M1 ⊕ M2 −→ M1 . Gi s A ⊆∗ B ⊆ M ta c n ch ng minh A = B . Ta có A ⊆ M1 suy ra A ∩ M2 = 0, vì th π |A là đơn c u. Do đó A = π (A) ⊆∗ π (B ) ⊆ M1 . Vì A đóng trong M1 9
nên π (B ) = A ⊆ B cho nên (1 − π )B ⊆ B , suy ra (1 − π )B ∩ A = 0 mà ta có A ⊆∗ B suy ra (1 − π )B = 0, hay B = π (B ) ⊆ M1 , do A đóng trong M1 nên ta có A = B . V y A đóng trong M . ii) Gi s A là h ng t tr c ti p c a M ta có M = A ⊕ B , l y N ⊆ M sao cho A ⊆∗ N , khi đó A ∩ B ⊆∗ N ∩ B . T đó 0 ⊆∗ N ∩ B suy ra N ∩ B = 0. Xét phép chi u π : A ⊕ B −→ A ta có Ker(π ) = B mà N ∩ B = 0 nên N ∩ Ker(π ) = 0 suy ra π |B là đơn c u.Vì th N nhúng đơn c u vào môđun A mà A ⊆ N nên A = N . V y A đóng trong M . M nh đ 2.2.4. Môđun n i x th a mãn đi u ki n C1 . Ch ng minh. Gi s Q là môđun n i x , g i A là môđun con tùy ý c a Q ta ph i ch ng minh t n t i trong Q m t môđun Q1 sao cho Q1 ⊂⊕ Q và A ⊆∗ Q1 . Th t v y, g i A là bù giao c a A trong Q, và Q1 là bù giao c a A trong Q. Khi đó ta có A ∩ A = 0 và Q1 ∩ A = 0, do đó A ⊂ Q1 và v i m i môđun con B c a Q1 ta có A ∩ B = 0 (A ∩ B = 0 ⇒ B ⊂ A . Suy ra A ⊆∗ Q1 . Bây gi ta xét bi u đ : Q1 ⊕ A GQ i rrr β rrr r rrr β xrr Q/A ⊕ Q/Q1 trong đó i là đơn c u chính t c, còn α, β đư c xác đ nh như sau: V i x + y ∈ Q1 ⊕ A thì α(x + y ) = (x + y + A , x + y + Q1 ) = (x + A , y + Q1 ). V i q ∈ Q thì β (q ) = (q + A , q + Q1 ). Khi đó bi u đ là giao hoán, t c là αi = β và Imβ ⊂ Imα. Ngoài ra α là m t đơn c u. Th t v y, gi s α(q1 ) = α(q2 ) đi u này tương đương (q1 + A , q1 + Q1 ) = (q2 + A , q2 + Q1 )   q1 − q2 ∈ A ⇔  q −q ∈Q 1 2 1 10
⇔ q1 − q2 ∈ Q1 ∩ A = 0 ⇒ q − 1 = q2 . V y α đơn c u và t đó suy ra β cũng đơn c u(i đơn c u). Vì Q n i x nên α ch ra t c là Imα ⊆⊕ Q/A ⊕ Q/Q1 ngoài ra theo M nh đ 1.2.3 ta có đư c: (Q1 ⊕ A )/A ⊆∗ Q/A (Q1 ⊕ A )/Q1 ⊆∗ Q/Q1 do đó Imβ ⊆∗ Q/A ⊕ Q/Q1 suy ra Imα ⊆∗ Q/A ⊕ Q/Q1 t các k t qu trên ta có đư c Imα = Q/A ⊕ Q/Q1 t c là α là đ ng c u. Khi đó v i m i q ∈ Q suy ra (q + A , 0 + Q1 ) ∈ Q/A ⊕ Q/Q1 do đó luôn t n t i q0 ∈ Q sao cho (q + A , 0 + Q1 ) = (q0 + A , q0 + Q1 ) suy ra   q0 ∈ Q1  q−q ∈A 0 suy ra q ∈ Q1 + A ⇒ Q ⊂ Q1 + A M t khác ta có Q1 + A ⊂ Qvà Q1 ∩ A = 0 nên ta suy ra Q = Q1 ⊕ A 11
M nh đ 2.2.5. Môđun t a n i x là môđun liên t c. Ch ng minh. G i M là môđun t a n i x , N u N ⊆ M thì bao n i x I (M ) c a M ch a bao n i x I (N ) = E c a N và I (M ) = E ⊕ G v i m i môđun con G, nhưng theo M nh đ 1.2.4 ta có M = (M ∩ E ) ⊕ (M ∩ G). Ngoài ra, N ⊆∗ E nên N ⊆∗ (M ∩ E ).Đi u này ch ng t M th a mãn đi u ki n C1 . Bây gi ta ch ng minh M th a đi u ki n C2 . Th t v y, g i A là môđun con c a M và là h ng t tr c ti p c a M , ta có M = A ⊕ A , g i π, i l n lư t là các phép chi u: π : A ⊕ A −→ A, i : A −→ M g i f : A −→ M là đơn c u và đ t N = f (A) xét sơ đ : G GM i 0 A {a h{ { f { M theo gi thi t ta có M là t n i x nên t n t i h : M −→ M sao cho hf = i. Khi đó πhf = 1A . Do đó N là h ng t tr c ti p c a M . Bây gi gi s r ng N ∼ P ⊆⊕ M . T M là M -n i x , nên theo M nh đ = 1.2.4 ta suy ra P là P -n i x , và do đó N là M -n i x . Khi đó ánh x đ ng nh t 1N : N −→ N có th m r ng thành đ ng c u λ : M −→ N , và do đó nó ch ra, t c là M = N ⊕ Ker(λ). V y M th a đi u ki n C2 . M nh đ 2.2.6. H ng t tr c ti p c a môđun t a n i x là môđun t a n i x . Ch ng minh. Gi s M = N ⊕ N ta c n ch ng minh N là t a n i x . Th t v y, do M là t a n i x nên v i m i X là môđun con c a N , và đ ng c u 12
g : X −→ N luôn m r ng thành đ ng c u f : M −→ M xét theo sơ đ G θ N ⊕N X q Ò λq q ÒÒ Ò g q ÒÒ xq q Ò ÒÒ ÒÒ f N y ÒÒ π i ÒÒÒ ÐÒÒ N ⊕N G i π : M −→ N khi đó Ker(π ) = N , khi đó λ = (π ◦ f )|N là m t t đ ng c u c a N và λ là m r ng c a g . V y N là t a n i x . M nh đ 2.2.7. N u môđun M th a đi u ki n C2 thì M th a đi u ki n C3 . Ch ng minh. G i N ⊆⊕ M, K ⊆⊕ M th a mãn N ∩ K = 0, ta c n ch ng t r ng N ⊕ K ⊆⊕ M . Vì N ⊆⊕ M nên ta gi s M = N ⊕ N và g i π : M −→ N là phép chi u v i Ker(π ) = N . N u k ∈ K và k = n + n , n ∈ N, n ∈ N thì π (k ) = n , do đó N ⊕ K = N ⊕ π (K ). Bây gi ta c n ch ng minh N ⊕ π (K ) ⊆⊕ M . Th t v y π |K : K −→ M là đơn c u, ngoài ra theo gi thi t M th a mãn đi u ki n C2 nên π (K ) ⊆⊕ M , t π (K ) ⊆ N nên suy ra N = π (K ) ⊕ W , v i W là m t môđun nào đó. T đó suy ra r ng M = N ⊕ π (K ) ⊕ W . V y M th a đi u ki n C3 . H qu 2.2.8. N u M th a mãn đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3 và N là h ng t tr c ti p c a M thì N cũng th a mãn đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3. Ch ng minh. H qu này đư c suy ra tr c ti p t M nh đ 2.2.6 và 2.2.7 . M nh đ 2.2.9. Gi s N, A là nh ng môđun và I (A), I (N ) theo th t là bao n i x c a N và A, khi đó N là A-n i x khi và ch khi f (A) ⊂ N v i m i đ ng c u f : I (A) −→ I (N ). Ch ng minh. Vì I (N ) là môđun n i x nên m i đ ng c u f ∈ Hom(I (A), I (N )) đ u là m t m r ng c a ψ ∈ Hom(A, I (N )), do đó không m t tính t ng quát ta ch c n xét f ∈ Hom(A, I (N )). 13
(⇐) Ch ng minh N là A-n i x . G i X là môđun con c a A và đ ng c u g : X −→ N ta c n ch ng minh t n t i đ ng c u h : A −→ N là m r ng c a g t c là hθ = g trong đó θ : X −→ A là đơn c u. Th t v y, xét bi u đ : G θ X xA x x g x h |x N f i Õ I (N ) vì I (N ) là môđun n i x nên v i m i đ ng c u g và đơn c u θ luôn t n t i đ ng c u f sao cho gi = f θ. Ngoài ra theo gi thi t f (A) ⊂ N nên f : A −→ N là m r ng c a g . V y N là A-n i x . (⇒) Ch ng minh f (A) ⊂ N v i m i f ∈ Hom(A, I (N )).Th t v y, g i X = {a ∈ A : f (a) ∈ N }, t N là n i x f |X có th m r ng thành g : A −→ N theo sơ đ : G θ X xA g x x x f |X |x N f i Õ I (N ) khi đó N ∩ (g − f )A = 0. Th t v y, l y n ∈ N, a ∈ A sao cho n = (g − f )A. Suy ra f (a) = g (a) − n ∈ N do đó a ∈ X nên n = g (a) − f (a) = f (a) − f (a) = 0, t c là N ∩ (g − f )A = 0. Suy ra (g − f )A = 0 (N ⊆∗ I (N )). Do v y f (A) = g (A) ⊂ N. T m nh đ trên ta có th suy ra môđun Q là t a n i x khi và ch khi f Q) ⊂ Q v i m i đ ng c u f c a I (Q). 14
K T LU N Trong ti u lu n "Môđun th a đi u ki n Ci (i = 1, 2, 3)" tác gi đã tìm hi u và h th ng hóa các k t qu sau: 1.Trình bày các đi u ki n Ci (i = 1, 2, 3) và nêu nh ng môđun th a đi u ki n Ci (i = 1, 2, 3), gi i thi u môđun liên t c, t a liên t c. 2.H th ng m i liên h gi a các đi u ki n đó, c th như môđun th a đi u ki n C2 thì th a đi u ki n C3 , đ c bi t là môđun n i x thì th a đi u ki n C1 và môđun t a n i x thì th a đi u ki n C1 và C2 ,.. Trong ti u lu n, M nh đ 2.2.1; 2.2.2; 2.2.3; 2.2.4 là ph n tác gi trình bày, các M nh đ còn l i tham kh o tài li u [2],[3] . Trong khuôn kh m t ti u lu n và h n ch v th i gian cũng trình đ nên nhi u v n đ chưa đư c trình bày, ch ng h n như v m i liên h gi a môđun n i x , môđun t a n i x , môđun liên t c, t a liên t c... Trong th i gian đ n tôi s ti p t c nghiên c u và b sung. M c dù th t c g ng nhưng s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c lư ng th , ch b o c a Th y cô giáo và các b n đ bài ti u lu n hoàn thi n hơn. 15
TÀI LI U THAM KH O 1. Nguy n Ti n Quang, Nguy n Duy Thu n- Cơ s lý thuy t môđun và vành. Nhà xu t b n giáo d c, Hà N i, 2001. 2. S.H.Mohamed and Muller, Continuous and Discrete Modules, London ¨ Math. Soc. Lecture Not 147, Cambridge, 1990. 3. N.K.Nichol Son and M.F.Yousif Quasi-probenius Ring, Cambridge Univ. Press, 2003. 16