Tính Chaos của hệ phương trình Fitzhugh-nagumo

Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TÍNH CHAOS CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH FITZHUGH-NAGUMO<br /> Phan Văn Long Em(1)<br /> (1) Trường Đại học An Giang<br /> Ngày nhận bài: 10/8/2018; Ngày gửi phản biện 25/8/20111; Chấp nhận đăng 20/11/2018<br /> Email: pvlem@agu.edu.vn<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình đơn giản mô tả điện áp của<br /> màng tế bào. Nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ<br /> dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Một hệ Chaos là hệ có hình dạng<br /> không thể dự đoán được, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự thay đổi của những<br /> tham số. Bài báo này nghiên cứu sự ảnh hưởng của một tham số, cụ thể là tần số của dòng điện<br /> tác động từ bên ngoài, lên tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) bằng đồ<br /> thị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miền<br /> Chaos được tìm thấy tương ứng với các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kích<br /> hoạt từ bên ngoài.<br /> Từ khóa : chaos, đồ thị rẽ đôi, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo, số mũ Lyapunov<br /> Abstract<br /> CHAOTIC BEHAVIOR OF FITZHUGH-NAGUMO SYSTEM<br /> The FitzHugh-Nagumo system is a simple model describing the membrane voltage. If<br /> there are some changes making the solution unstable or chaotic, it will be difficult to predict<br /> some desired results. The chaotic system is unpredictable behavior, high sensitivity to initial<br /> conditions and parameter variations. This paper investigates the effect of a parameter,<br /> especially the frequency of the external electrical stimulation, on the chaos dynamics of<br /> FitzHugh-Nagumo (FHN) by using the bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent.<br /> Through simulations results, three chaotic regions were specified by varying the frequency of<br /> the external electrical stimulation.<br /> <br /> <br /> 1. Đặt vấn đề<br /> Tính Chaos là một hiện tượng phi tuyến phức tạp, rất hấp dẫn và được quan tâm trong<br /> khoảng ba thập niên gần đây trong nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa học, sinh thái học, sinh học<br /> và nhiều lĩnh vực khác. Các dao động Chaos được tìm thấy trong nhiều hệ động lực thuộc nhiều<br /> lĩnh vực khác nhau, tính chất của hệ như thế được đặc trưng bởi sự bất ổn định và khả năng dự<br /> đoán kết quả bị giới hạn theo thời gian. Nói một cách tổng quát, một hệ Chaos nếu nó xác định,<br /> có tính chất không tuần hoàn theo thời gian, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự<br /> thay đổi của những tham số. Như vậy, đối với một hệ thống Chaos thì các quỹ đạo của nó bắt<br /> đầu có thể gần nhau nhưng đột ngột trở nên không tương quan, tách ra rất xa nhau một cách<br /> nhanh chóng theo thời gian. Sự hấp dẫn của hệ phương trình Chaos nằm ở chỗ tính phức hợp<br /> của chúng, cũng như tính chất không thể dự đoán trước và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban<br /> <br /> 66<br /> Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018<br /> <br /> đầu với sự thay đổi của các tham số. Trong sinh học, tính Chaos và nhiều tính phức hợp khác<br /> như: sự rẽ đôi, tính tuần hoàn, bán tuần hoàn…được tìm thấy ở rất nhiều trong thực tiễn, điển<br /> hình như điện áp tế bào (Guevara, Glass, & Shrier, 1981; Matsumoto, Aihara, Ichikawa, &<br /> Tasaki, 1984; Braun, Wissing, Schäfer, & Hirsch, 1994).<br /> Năm 1952, Hodgkin và Huxley đã đưa ra một mô hình toán học bốn chiều có thể xấp xỉ<br /> được các tính chất hoạt náo của điện áp tế bào (Hodgkin & Huxley, 1952). Kế từ đó, tính Chaos<br /> đã được nghiên cứu trong hệ thống tế bào thực sự và tạo được nhiều thành công một cách định<br /> lượng nhờ vào mô hình mang tên Hodgkin-Huxley (Aihara, Matsumoto & Ichiwaka, 1985).<br /> Dựa trên mô hình này, rất nhiều mô hình đơn giản hơn đã được công bố nhằm mô tả sự hoạt<br /> náo của điện áp tế bào. Năm 1962, FitzHugh R. và Nagumo J. đã công bố một mô hình mới<br /> mang tên Mô hình FitzHugh-Nagumo (FHN) được biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ<br /> phương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley (Fitzhugh, 1960; Nagumo, Arimoto & Yoshizawa,<br /> 1962). Tuy là mô hình đơn giản hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng chú ý và giữ<br /> được các tính chất, ý nghĩa về mặt sinh học. Mô hình này được tạo thành từ hai phương trình<br /> của hai biến u và v . Biến đầu tiên là biến nhanh, được gọi là biến hoạt náo, nó thể hiện cho<br /> điện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật lí phụ<br /> thuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng ion đi ngang qua màng tế bào.<br /> Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được biểu diễn bởi hệ sau:<br />  du<br />   u (u  1)(1  bu )  v  s(t ),<br />  dt (1)<br /> <br />  dv  cu,<br /> <br />  dt<br /> trong đó, b, c là các hằng số dương, s(t ) là dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được cho<br /> bởi công thức:<br /> a<br /> s(t )  cos2 ft , (2)<br /> 2 f<br /> với a và f tương ứng là các biên độ và tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Kết<br /> quả bên dưới cho thấy tính tuần hoàn và tính chaos của điện áp màng tế bào khi cho tần số hay<br /> biên độ thay đổi. Tính tuần hoàn của những sóng dao động của điện áp đươc phân chia thành<br /> các dạng như: dạng chu kì nhịp m : n , trong đó m và n tương ứng là các số sóng thực sự và số<br /> lượng các dao động xuất hiện một cách đều đặn theo thời gian trong một chu kì. Ví dụ, dạng<br /> chu kì nhịp 1:1 nghĩa là điện áp của màng tế bào đồng bộ với các dao động. Cụ thể, Hình 1<br /> giới thiệu các dạng trạng thái khác nhau của hệ phương trình (1) tương ứng với các tần số và<br /> biên độ khác nhau của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được cho bởi công thức (2).<br /> Sự thay đổi từ trạng thái tuần hoàn sang trạng thái bất ổn định hay Chaos làm cho nghiệm<br /> của hệ phương trình (1) có những hình dạng khác nhau, đặc biệt là tính Chaos được rất nhiều<br /> nhà nghiên cứu quan tâm hiện nay. Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình<br /> đơn giản mô tả điện áp của màng tế bào, do đó nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó<br /> bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Vì<br /> vậy, việc nghiên cứu tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là hết sức cần thiết.<br /> Hình 1. Các dạng trạng thái khác nhau của hệ phương trình (1) tướng ứng với các giá trị<br /> khác nhau của f và a (b  10, c  1.0). : (a) là dạng chu kì nhịp 1:1 với f  0.06 và a  0.1. ;<br /> <br /> 67<br /> Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình...<br /> <br /> (b) là dạng chu kì nhịp 2 : 3 với f  0.076 và a  0.1. ; (c) là dạng chu kì nhịp 1: 2 với<br /> f  0.08 và a  0.1. ; (d) là dạng chu kì nhịp 1: 5 với f  0.129 và a  0.081. ; (e) là dạng<br /> chu kì nhịp 0 :1 với f  0.17 và a  0.081. ; (f) là dạng Chaos với f  0.129 và a  0.1.<br /> (a) Dạng chu kì nhịp 1:1 với f  0.06 và a  0.1.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (b) Dạng chu kì nhịp 2 : 3 với f  0.076 và a  0.1.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (c) Dạng chu kì nhịp 1: 2 với f  0.08 và a  0.1.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (d) Dạng chu kì nhịp 1: 5 với f  0.129 và a  0.081.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 68<br /> Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018<br /> <br /> (e) Dạng chu kì nhịp 0 :1 với f  0.17 và a  0.081.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (f) Dạng Chaos với f  0.129 và a  0.1.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2. Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu<br /> Như đã nói ở trên, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là mô hình đơn giản mô tả điện áp<br /> của màng tế bào, nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos,<br /> sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Vì vậy, việc nghiên cứu tính Chaos<br /> của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là hết sức cần thiết. Để nghiên cứu tính Chaos của hệ<br /> phương trình FitzHugh-Nagumo, bài báo đã dựa trên biểu đồ rẽ đôi và sự biến thiên của số mũ<br /> Lyapuov lớn nhất (Dang-Vu & Delcarte, 2000). Biểu đồ rẽ đôi được xây dựng dựa trên phần<br /> Poincaré của không gian bắt được tất cả các sóng hay quỹ đạo của hệ phương trình (1) (tức là<br /> dv<br /> : u  0.045  0 và dt  0 ). Số mũ Lyapunov lớn nhất được tính dựa vào phương pháp được<br /> miêu tả trong (Wolf, Swift, Swinney & Vastano, 1985). Cho một hệ phương trình động lực liên<br /> tục n  chiều, số mũ lớn nhất Lyapuov được xác định bởi công thức:<br /> 1  (t )<br /> max  lim log , (3)<br /> t  t  (0)<br /> trong đó,  (t ) là trục chính của n  ellipsoid được sinh bởi một n  hình cầu vô hạn của những<br /> điều kiện ban đầu. Nếu max  0 thì hệ phương trình có tính Chaos. Ngược lại, hệ phương trình<br /> sẽ có một đường tròn giới hạn (tuần hoàn) hoặc là bán tuần hoàn (Wolf và ctv., 1985; Aguirre,<br /> Mosekilde & Sanjuan, 2004). Kết quả tính toán của bài báo được thực hiện trên C++ và dùng<br /> thuật toán Runge-Kutta để lấy tích phân hệ phương trình (1) với bước thời gian t  0.005.<br /> Giá trị của các tham số được cố định như sau a  0.1, b  10, c  1.0. Đặc biệt, tần số f của<br /> dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được xem như là tham số của sự rẽ đôi.<br /> <br /> <br /> <br /> 69<br /> Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình...<br /> <br /> 3. Kết quả<br /> Hình 2 là biểu đồ rẽ đôi (hình bên trên) tương ứng với sự biến thiên của số mũ Lyapunov lớn<br /> nhất (hình bên dưới) đối với miền xác định của tần số là 0.06  f  0.17. Kết quả cho thấy hệ<br /> phương trình động lực (1) có nhiều tính chất phong phú. Nếu tần số f đủ lớn ( f  0.1625) thì<br /> điện áp tế bào sẽ có dạng chu kì nhịp 0 :1 . Nghĩa là, nó bị triệt tiêu hoàn toàn. Nếu<br /> 0.078  f  0.095 và 0.131  f  0.1609 thì điện áp tế bào có dạng chu kì nhịp 1: 2. Nếu<br /> f  0.067 và 0.095  f  0.1245 thì điện áp tế bào có dạng chu kì nhịp 1:1 . Như vậy, từ Hình<br /> 2, sẽ có 3 miền làm cho hệ phương trình (1) có tính Chaos, được gọi là miền Chaos và đặt tên tương<br /> ứng là (I), (II) và (III). Các miền Chaos này được xác định bởi các số mũ Lyapunov lớn nhất có giá<br /> trị dương (phần bên dưới của Hình (2)). Các miền Chaos và các số mũ Lyapunov lớn nhất được<br /> phóng đại ở Hình 3. Miền Chaos (I) xuất hiện ở khoảng giữa của dạng chu kì nhịp 0 :1 và 1: 2.<br /> Khi đó, tính Chaos của (1) được mô tả bằng dãy các rẽ đôi được tăng gấp đôi tương ứng với các giá<br /> trị của f tăng dần (Hình 3(a)). Ở mỗi điểm rẽ đôi được tăng gấp đôi này, số mũ Lyapunov lớn nhất<br /> tiến đến 0 từ giá trị âm (xem phần bên dưới của Hình 3(a)). Chú ý rằng có một khoảng nhỏ của dao<br /> động có chu kì ổn định giữa f  0.1613 và f  0.16149. Xung quanh giá trị f  0.1613, kích<br /> cỡ của miền hấp dẫn Chaos giảm xuống một cách đáng kể. Điều này cho thấy hệ phương trình (1)<br /> chuyển từ trạng thái rẽ đôi homoclinic sang trạng thái sóng đều spiking (Belykh, Belykh, Colding-<br /> Jogrensen & Mosekilde, 2000). Tính Chaos của hệ (1) kết thúc ở f  0.1609 bởi sự xuất hiện của<br /> dạng chu kì nhịp 1: 2 , vì có mặt của một điểm yên ngựa rẽ đôi. Tại điểm đó, số mũ Lyapunov lớn<br /> nhất thay đổi đột ngột từ một giá trị dương sang một giá trị âm. Tính Chaos của (1) trong miền<br /> (II) với 0.1245  f  0.1311 được mô tả trong Hình 3(b), vì số mũ Lyapunov lớn nhất có giá trị<br /> dương, nghĩa là trạng thái Chaos của (1) tồn tại trong miền này (phần dưới của Hình 3(b)). Xung<br /> quang f  0.1311 , có một sự thay đổi đột ngột của số mũ Lyapunov lớn nhất từ giá trị dương<br /> sang âm.<br /> Điều này chứng tỏ hệ phương<br /> trình chuyển từ trạng thái Chaos<br /> sang trạng thái tuần hoàn ổn định<br /> với sự xuất hiện của điểm yên ngựa<br /> rẽ đôi. Miền Chaos cuối cùng là<br /> miền (III), xảy ra ở khoảng giữa của<br /> hai dạng chu kì nhịp 1: 2 và 1:1 với<br /> các giá trị khá nhỏ của f (Hình<br /> 3(c)). Trong miền này, có một dãy<br /> các lớp chu kì nối nhau n : (n  1)<br /> bắt đầu với n  1. Khi giá trị của f<br /> giảm dần (~0.067), thì số mũ lớn<br /> nhất Lyapunov âm, khi đó trạng thái<br /> Chaos chuyển sang trạng thái tuần<br /> hoàn ổn định, tương ứng với dạng<br /> chu kì nhịp 1:1 , với sự xuất hiện<br /> của điểm yên ngựa rẽ đôi.<br /> Hình 2. Biểu đồ rẽ đôi (trên) và sự thay đổi của số mũ Lyapunov lớn nhất tương ứng<br /> (dưới) của hệ phương trình (1) với 0.06  f  0.17.<br /> <br /> 70<br /> Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018<br /> <br /> Hình 3. Ba miền Chaos được phóng đại từ Hình 2: biểu đồ rẽ đôi (trên) và sự thay đổi của số<br /> mũ Lyapunov lớn nhất tương ứng (dưới).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (a) Miền (I) được phóng<br /> đại từ hình 2 với<br /> 0.16  f  0.163.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (b) Miền (II) được<br /> phóng đại từ hình 2 với<br /> 0.124  f  0.132.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 71<br /> Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (c) Miền (III) được<br /> phóng đại từ hình 2 với<br /> 0.065  f  0.08.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4. Kết luận<br /> Bài báo đã đưa ra kết quả rằng hệ phương trình FitzHugh-Nagumo với sự thay đổi của<br /> dòng điện kích hoạt từ bên ngoài sẽ có tính Chaos bằng đồ thị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn<br /> nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miền Chaos được tìm thấy tương ứng với<br /> các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Điều này giúp<br /> cho người nghiên cứu có thể chọn được các giá trị của tần số phù hợp, để đạt được các trạng<br /> thái mong muốn của hệ phương trình đang xét. Giả sử rằng trong một hệ thống gồm nhiều hệ<br /> phương trình FitzHugh-Nagumo có tính Chaos như thế thì việc nghiên cứu chắc chắn sẽ khó<br /> khăn hơn. Do đó, kết quả của bài báo này là cơ sở ban đầu cho việc nghiên cứu về sự tương tác<br /> giữa các hệ phương trình có tính Chaos trong một hệ thống mạng lưới các hệ phương trình<br /> được liên kết với nhau theo một kiểu cho trước.<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Aguirre, J., Mosekilde, E., & Sanjuan, M.A.F. (2004). Analysis of the noise-induced bursting-<br /> spiking transition in a pancreatic beta-cell model, Phys. Rev.E, (69), 041910.<br /> [2]. Aihara, K., Matsumoto, G. , & Ichiwaka, M. (1985). An alternating periodic–chaotic sequence<br /> observed in neural oscillations, Phys. Lett. A, (111), 251–255.<br /> [3]. Belykh, V.N., Belykh, I.V., Colding-Jogrensen & Mosekilde, E. (2000). Homoclinic<br /> bifurcations leading to the emergence of bursting oscillations in cell models, Eur. Phys. J. E,<br /> (3), 205–219.<br /> <br /> 72<br /> Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018<br /> <br /> [4]. Braun, H.A., Wissing, H., Schäfer, K., & Hirsch, M.C. (1994). Oscillation and noise determine<br /> signal transduction in shark multimodel sensory cells, Nature, (367), 270–273.<br /> [5]. Dang-Vu H., Delcarte C. (2000). Bifurcations et chaos, une introduction à la dynamique<br /> contemporaine avec des programmes en Pascal, Fortran et Mathematica, Eds Ellipses,<br /> Universités –Mécanique.<br /> [6]. Fitzhugh, R. (1960). Thresholds and plateaus in the Hodgkin–Huxley nerve equations, J. Gen.<br /> Physiol., (43), 867–896.<br /> [7]. Guevara, M.R., Glass, L., & Shrier, A. (1981). Phase locking, period-doubling bifurcation, and<br /> irregular dynamics in periodically stimulated cardiac cells, Science, (214),1350-1353.<br /> [8]. Hodgkin, A.L., & Huxley, A.F. (1952). A quantitative description of membrane current and its<br /> application to conduction and excitation in nerve, J. Physiol., (117), 500–544.<br /> [9]. Matsumoto, G., Aihara, K., Ichikawa, M., & Tasaki, A. (1984). Periodic and nonperiodic<br /> response of membrane potentials in squid giant axons during sinusoidal current stimulation, J.<br /> Theoret. Neurobiol., (3), 1–14.<br /> [10]. Nagumo, J., Arimoto, S., & Yoshizawa, S. (1962). An active pulse transmission line<br /> simulating nerve axon, Proc. IRE, (50), 2061–2070.<br /> [11]. Wolf, A., Swift, J.B., Swinney, H.L., & Vastano, J.A. (1985). Determining Lyapunov<br /> exponents from a time series, Physica D (16), 285–317.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 73<br />