Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều trình bày nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stoke; Tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phƣơng trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều Vũ Thị Thùy Dƣơng*, Nguyễn Thị Thu Hƣơng Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *E-mail: vuthuyduong309@gmail.com Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả về tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều. Giả sử u  L   0,T  ; L2  3   là một nghiệm mềm của hệ phương trình Navier–Stokes với giá trị ban đầu u0  L2  3  . Khi đó, u là nghiệm yếu theo nghĩa Leray duy nhất liên kết với u0 trên  0,T  nếu thỏa mãn điều kiện theo định lý duy nhất của Serrin và Von Wahl. Từ khoá: Hệ phương trình Navier-Stokes, nghiệm mạnh, tính duy nhất nghiệm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những hệ phương trình Parabolic phi tuyến nổi tiếng và rất được sự quan tâm của những nhà toán học trên thế giới. Lớp phương trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng, không khí, dầu mỏ,... dưới điều kiện tổng quát. Chúng cũng xuất hiện trong nhiều nghiên cứu quan trọng về khoa học kỹ thuật như: Khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lý plasma…, xem [4]. Hiện nay, có rất nhiều các nghiên cứu về các tính chất định tính của nghiệm như: Sự tồn tại, tính duy nhất, độ trơn và dáng điệu tiệm cận cho các loại nghiệm của hệ phương trình Navier- Stokes. Bài báo trình bày hai kết quả về tính duy nhất của nghiệm yếu u trong không gian ba chiều với giá trị ban đầu u0  L2  3  và nghiệm u thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy nhất của Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl. 2. NỘI DUNG 2.1. Nghiệm mềm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes Trước khi giới thiệu và thiết lập các hàm bổ trợ thích hợp, ta sẽ biến đổi hệ phương trình Navier-Stokes thành hệ phương trình toán tử như sau:  du   u   P.  u  u  , t  0,  dt  2.1 u  0, x   u0  x  , x  3 ,  trong đó, với các vectơ u và v, ta định nghĩa tích tensor của chúng u  v bởi hệ thức  u  v ij  ui v j và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự được định nghĩa như dưới đây, xem [1].  Ta đặt: D j  i , j  1, 2,3; i 2 =  1,  2.2  x j 1 và ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi R j  D j    2 , j  1, 2,3.   2.3 Đối với một trường vectơ tùy ý u  x    u1  x  , u2  x  , u3  x   trên 3 , ta đặt Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022 257
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH 3 z  x     Rk uk  x   2.4  k 1 và định nghĩa toán tử P bởi  Pu  j  x   u j  x    R j z   x     jk  R j Rk  uk , j=1,2,3. 3  2.5 k 1 Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier và viết   j k    j       jk  3 Pu uk   , j=1,2,3.  2.6     2   k 1 Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong  2.1 đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho u  .u   0 được thỏa mãn. Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm S  t   et  ,  2.7  ta có thể đưa phương trình toán tử  2.1 thành phương trình tích phân như sau t u  t   etu0   e(t  s )  P   u  u (s)ds  2.8 0 Ta sẽ bắt đầu từ phương trình tích phân  2.8 và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm u  t , x  của nó. Ở đây, ta chỉ xét trường hợp cả không gian 3 nên nửa nhóm Stokes S  t  trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt et  . Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu S  t  u0 : et u0 ,  2.9  và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình, xem [6], t B  u, v  t  :   et  s  P   u  v  ( s)ds.  2.10  0 Trong bài báo này, để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm ta cần sử dụng định nghĩa nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes sau: Một nghiệm yếu u gọi là một nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes trong  t0 , t0  T  đối với một t0  nào đó và T  0 nếu với một giá trị ban đầu phân kỳ tự do u0 , nghiệm u (trong các không gian hàm về sau ta xét) là nghiệm của phương trình tích phân t u  t   e u0   et  s  P   u (s )  u (s )  ds, với t  t0 , t0  T  . t t0    2.11 t0 Ta cũng sẽ sử dụng ký hiệu sau: với một tensor F   Fij  ta xác định vectơ   F bởi    F i   j  j Fij . Ta sẽ xem xét nghiệm trong không gian ba chiều x  3 , do đó u   u1 , u2 , u3  , ui  ui  x, t  ,1  i  3. Một cách hình thức, công thức tích phân  3.1 có được từ việc áp dụng P vào hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển mà ta có thể viết như sau 258 Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  u   u  p     u  u  ,  t  2.12    u  0,  (ở đây    u  u    u    u do điều kiện   u  0 ) và giải phương trình truyền nhiệt (do P  p   0 ) theo công thức Duhamel, xem [3]. Định nghĩa 2.1. Một nghiệm mềm u của hệ phương trình Navier-Stokes thỏa mãn phương trình tích phân  2.8 và do đó mà u  t , x   C 0, T  : PX  ,  2.13 trong đó, X là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt et ; t  0 là liên tục mạnh và tích phân trong  2.8 là xác định tốt theo nghĩa của Bochner. Từ đánh giá u     C1 1/2 ta có d t u t   u0  C0C1  u   . t   s s s H H H 0 Nếu   t   sup u   Hs , ta thấy rằng, đối với    0,1 ,  t t   d  1 d   t   1  C0C1     1    t   C0C1    t .  0 t    1 t   Đánh giá trên cho ta một  đủ nhỏ,   t   C     1    t  . Do vậy, chuẩn của u vẫn đóng trên một tập con compact của 0,  và ta biết rằng tồn tại thời gian cực đại của nghiệm trong H s , sau đó T *   (Như một vấn đề thực tế, ta còn chứng minh được chuẩn H s vẫn bị chặn toàn cục trên 0,  ). 2.2. Tính duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes Tiếp theo ta sẽ đề cập đến định lý duy nhất của nghiệm trong lớp C  0, T  : L3  . Trước tiên, để thuận lợi cho việc nghiên cứu định lý duy nhất nghiệm, ta nhắc lại ở đây các mệnh đề dùng vào việc chứng minh định lý duy nhất. Mệnh đề 2.1. (Đẳng thức năng lượng) Giả sử rằng T   0;  và cho u  L  0, T  ; L2   3  là một nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes  u   u  p     u  u  ,  t   u  0.  Giả sử rằng:  (i) u  L2  0, T  ; H 1  3  , (ii) Với một q  3;  nào đó, u  Lp  0, T  ; Lq   3  với 1 1 3   . p 2 2q  Khi đó, u  C  0, T  ; L2  3  và đẳng thức năng lượng Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022 259
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH t u  t  2  2   u dxds  u  ,  2 , 2 2 2  3 đúng với tất cả  ,t thỏa mãn 0    t  T . Mệnh đề 2.2. [1] Giả sử T   0;  và u1 , u2 là hai nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes đối với i  1,2  ui   ui  pi     ui  ui  ,  t   ui  0.  Giả sử rằng:  (i) Với i  1, 2, ui  L  0, T  ; L2   , 3 (ii) Với i  1, 2, u  L   0, T  ; H    , i 2 1 3 (iii)Với mỗi giá trị q  3;  nào đó, ui  Lp   0, T  ; Lq  3  với 1 1 3   . p 2 2q Khi đó, t  u t, x  u t, x  dx, 1 2 là liên tục trên 0;T  và ta có đẳng thức t  u1  t , x  u2  t , x  dx  2    u1   u2dxds  3 t t    u1   u1   u2 dxds    u1  u2   u2dxds   u1  , x  u2  , x  dx,  3  3 với mọi  ,t sao cho 0    t  T . (Phần chứng minh của mệnh đề có thể xem Mệnh đề 4.3, trong 1 ). Định lí 2.1. (Định lý duy nhất của Serrin) Giả sử u0  L2  3  , với  u  0 . Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm u của hệ phương trình Navier-Stokes trên  0, T   3 , T   0;  , với giá trị ban đầu u0 sao cho  (i) u  L  0, T  ; L2   ;3 (ii) u  L   0, T  ; H    , 2 1 3 (iii) Với một q  3;  nào đó, u  Lp  0, T  ; Lq   3  với 1 1 3   . p 2 2q Khi đó, u là nghiệm Leray duy nhất liên kết với u0 trên  0, T  . Chứng minh. Định lý 2.1 được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2. Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier-Stokes trên  0, T   3 , T   0;  , ta giả sử tồn tại một nghiệm v là một nghiệm theo Leray khác. Khi đó, ta viết: 260 Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH u  t ,   v  t ,  2  u  t ,  2  v  t ,  2  2  u  t ,  v  t ,   dx 2 2 2 t t  u0 2  2     u dxds  u0 2  2   v 2 2 2 2 dxds 0 3 0 3 t t t 2 u0 2  4     v   vdxds  2   u   u   vdxds  2   u   v   vdxds 2 0 3 0 3 0 3 t t  2    u  v  vdxds  2   u    u  v    vdxds. 2 0 3 0 3 Hơn nữa, ta có: t   u    u  v    udxds  0. 0 3 3 Mặt khác, với 3  q   đặt r  , khi đó: q v  u   L L2  L2 H 1   L2/ r H r . (do f 1  fˆ  f 1 r  r r f ).  2  r t x t t H 3/2 2 2 H1 Do đó, 1 r 1 u  v  L2/r Lx với  ,    u  v   L2 L2 và u  Lq Lq với 1  1  1  1, r  1  1  1  t  2 3  2 q 2 2 p Với tất cả 0    t  T , ta có 1/ p 1/2 r /2 t t  t  t   3 u    u  v     v  u  dxds  Cr   u q ds   v u ds    v  u p 2 2/ r H1 Hr ds         1/ p t   C 'r   u q ds  p   1 r 1/ p t  2 t     v  u  1 r   C 'r   u 2 sup v  u p dsdx  ds    2 q 0 3  0 s t    1 r t 1 r   2     v  u  2  dsdx  sup v  u 2 2    0 3 2 0 s t  Nếu u  v trên 0,  và nếu t   , ta có 1/ p 1 r t  C 'r   u q ds   1, p 2   nên ta được 1/ p 1 r t  sup v  u 2  C 'r   u q ds  sup v  u 2 . 2 p 2 0  s t 2   0  s t Do đó, u  v trên 0, t . Khi p   thì đây chính là tính duy nhất trên 0,T  .  Khi p   ta phải giả thiết rằng C 'r u L L3  1, để suy ra tính duy nhất của nghiệm. Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022 261
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Do vậy, định lý này chỉ chứng minh cho trường hợp p   . Định lí 2.2. (Định lý duy nhất của Von Wahl) Giả sử u0  L2  3 , với   u0  0 . Giả sử rằng tồn tại một nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier-Stokes trên  0, T   3 , T   0;  , với giá trị ban đầu u0 sao cho  (i) u  L  0, T  ; L2   ; 3 (ii) u  L   0, T  ; H    , 2 1 3 (iii) u C 0, T   ; L3  R3  . Khi đó, u là nghiệm Leray duy nhất liên kết với u0 trên  0,T  . Chứng minh Nếu T0  T , khi đó với mỗi   0 , ta sẽ tách u trên  0,T0  thành u     với   L   0, T0   R3  và  L L3  . Theo tính liên tục đều của t  0, T0  u  t ,   L3 . Ta có thể tìm được N sao cho u 1  k / N , k 1 / N     t  u  k / N ,    / 2. 0 k  N  L  0,T , L3  Ta có thể xấp xỉ mỗi u  k / N ,  bởi một vectơ hàm  k ,n   L  , với một sai số điều 3 khiển trong L3 bởi chuẩn: u  k / N ,   k ,n 3   / 2. Do đó, ta xác định được  như sau:   t , x   1k / N , k 1/ N   t k , N  x  .   Khi đó: 1/2  t    u   u  v     v  u  dxds  C     u  v  dxds          v  u  dxds  t t  2 2 L L3  0 3   R  0 0 R3 R3 1/2  t  4      v  u  dxds   2C      v  u  dxds    v  u  2 t 2 t 2  2 dxds.  0 3  C   R  0 0 R3 R3 Chọn  sao cho 2C  1 , ta có t 4 v  t ,   u  t ,  2   v  t ,   u  t ,  2 2  2  2 ds. C 0 Từ Bổ đề Gronwall trong [2], ta suy ra u  v . Định lý được chứng minh. 3. KẾT LUẬN Trong bài báo này chúng tôi trình bày lại một cách cụ thể khái niệm và các kết quả về tính duy nhất nghiệm của phương trình Navier-Stokes trong lớp C 0, T  ; L3  3  với điều   262 Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH kiện ban đầu u0  L2  3  và nghiệm mềm u thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy nhất của Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. Cannone (2003), ―Harmonic analysis tools for solving the incompressible Navier– Stokes equations’’, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol 3, Eds. S.Friedlander and D. Serre, Elsevier. [2] L. Escauriaza, G.A. Seregin, V. Sverák (2003), ― L3, – solutions of Navier–Stokes equations and backward uniqueness’’, Us. Mat. Nauk (58), 3 – 44. [3] P. Federbush(1993), ―Navier–Stokes meet the wavelet’’, Comm. Math. Phys (155), 219 – 248. [4] H. Fujita and T. Kato (1964), ―On the Navier–Stokes initial value problem I‖, Arch. Rat. Mech. Anal(16), 269 – 315. [5]. Hermann Sohr (2001), The Navier–Stokes Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser Verlag, Basel. [6]. O. A. Ladyzhenskaya (1969), The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, New York. The uniqueness of strong solutions to the Navier-Stokes equations in the three-dimensional space Thi Thuy Duong Vu Quang Ninh University of Industry Abstract: The paper presents about the uniqueness of strong solutions to the Navier- Stokes equations in the three-dimensional space. Let u  L   0,T  ; L2  3   is a mild solution of the Navier-Stokes equations with the initial value u0  L2  3  . Then, u is the weak solution in the sense Leray of the Navier-Stokes equations with u0 on  0,T  if satisfies the condition according to the unique theorems of Serrin and Von Wahl. Key words: Navier-Stokes equations, Strong solutions, The uniqueness of solutions. Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022 263