zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của phương trình Rayleigh-Stokes suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của phương trình Rayleigh-Stokes suy rộng trình bày các nội dung chính sau: Tính giải được toàn cục; Tính hút theo thời gian hữu hạn. Các kết quả tập trung về tính giải được cho bài toán Rayleigh-Stokes suy rộng đến nay chưa được nghiên cứu nhiều, theo hiểu biết của tác giả mới có 2 kết quả liên quan tuy nhiên các kết quả mới dùng lại ở bài toán không có trễ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của phương trình Rayleigh-Stokes suy rộng

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGH-STOKES SUY RỘNG Phạm Nam Giang Trường Đại học Thủy lợi, email: giangpn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Cho    d là miền bị chặn với biên trơn,  Để chứng minh tính giải được, chúng tôi xét phương trình Rayleigh-Stokes suy rộng sử dụng lý thuyết điểm bất động. t x  (1  t )x  ax  b trong , t  0,(1)  Để chứng minh tính hút hữu hạn, chúng tôi  sử dụng phương pháp điểm bất động kết (*)  x  0 trên , t  0, (2) hợp với bất đẳng thức dạng Halanay.  x(u, s)   (u, s), u , s [h,0], (3) Trước hết, chúng tôi trình bày công thức  nghiệm và một số kiến thức cần dùng. trong đó:   C ([h,0]; L2 ()) là hàm cho Định nghĩa 1: Với   C([ h,0 ];L2 (  )) trước, a  0,b  0 ,   0 , t là ký hiệu của cho trước, hàm x  C ([h, T ]; L2 ()) được đạo hàm phân thứ bậc   ( 0 ,1 ) theo nghĩa gọi là một nghiệm nhẹ của bài toán (*) trên Riemann-Liouville. [h, T ] nếu với s  [  h,0 ] : x(, s )   (, s ) và Phương trình (1) được hình thành từ bài toán với t  [0, T ] : Rayleigh-Stokes nghiên cứu chuyển động của x(, t )  S (t ) (,0)  0 S (t  s )  ax (, s )  b  ds t một dòng chất lỏng có tính nhớt, đàn hồi. Phương trình này lần đầu được đưa ra trong trong đó, S( t ) : L2 (  )  L2 (  ) là toán [5], sau đó được nghiên cứu rộng rãi do sự mô tử giải được xác định bởi: tả chính xác các chuyển động của chất điểm  trong môi trường không thuần nhất. Các kết S( t )   ( t,n ) nn . quả cho lớp bài toán Rayleigh-Stokes suy rộng n 1 dạng này tới nay chủ yếu tập trung vào các Các tính chất sau của toán tử S (t ) có thể phương pháp giải số (xem [1, 2, 5]), ngoài ra xem trong [3]. một số kết quả về bài toán ngược cũng được Bổ đề 1. Với x  L2 (  ) bất kỳ, T  0 , ta có: nhóm thiết lập trong vài năm gần đây (xem [6] a) S () x  C((0,T ]; H 2 ()  H01 ())  C([0,T ]; và các tài liệu tham khảo trong đó). Các kết quả tập trung về tính giải được cho L2 ()). bài toán Rayleigh-Stokes suy rộng đến nay chưa b) ‖ S (t ) x ‖  (t , 1 ) ‖ x ‖ , với mọi t  0 và được nghiên cứu nhiều, theo hiểu biết của tác 1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử  . giả mới có 2 kết quả liên quan (xem [3, 7]), tuy nhiên các kết quả mới dùng lại ở bài toán không Hơn nữa, ‖ S( t ) ‖ 1 với mọi t  0 . có trễ. Từ đó, trong bài báo này, chúng tôi đặt ra c) S(  )x  C ( m )(( 0,T ];L2 (  )) với mọi vấn đề nghiên cứu sự tồn tại nghiệm toàn cục m   , và ‖ S ( m )( t )x ‖  t  m ‖ x ‖ , với  là cho bài toán (*) trong trường hợp trễ hữu hạn. một số dương. Ngoài ra, trong bài báo này, chúng tôi cũng chứng minh sự ổn định của nghiệm trong thời d) ‖ S ( m )( t )x ‖  t  m1 ‖ x ‖ với mọi gian hữu hạn của bài toán (*). t  0 và m   . 67
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Với   C([ h,0 ];L2 (  )) cho trước, đặt t ‖  ‖  ( a( ‖  ‖  sup ‖ x( , ) ‖)  b )ds 2 0 [ 0,s ] C ([ 0,T ];L (  ))  { x C([ 0,T ];   t L2 (  )) : x( ,0 )   ( ,0 )} ‖  ‖  a ‖  ‖ b T  a sup ‖ x( , ) ‖ ds. 0 [ 0,s ] Với x  C ([0, T ]; L2 ()) , ta định nghĩa Từ đây, ta được: x[  ]  C([ h,T ];L2 (  )) như sau: sup ‖  (u )(,  ) ‖‖  ‖   a ‖  ‖ b  T  x(, t ) khi t  [0, T ],  [0,t ] x[ ](, t )   t  (, t ) khi t  [ h,0].  a   ( s ) ds   (t ), Do đó, ta có: 0 Suy ra,  ( x )  V . Áp dụng Định lý điểm   3  4 4  x  , 4 t  h  khi t   3 h , 3 (T  h) , bất động Schauder,  có điểm bất động. Tức      x[ ] (, t)   là, bài toán (*) có ít nhất một nghiệm nhẹ.   , 3 t  h  khi t  0 , 4 h .   4    3  3.2. Tính hút theo thời gian hữu hạn Cho  : C ([0, T ]; L2 ())  C ([0, T ]; L2 ()) Có khá nhiều khái niệm về tính hút trong là toán tử được định nghĩa như sau: thời gian hữu hạn, tuy nhiên trong bài báo t này, chúng tôi sử dụng khái niệm sau đây,  ( x )( ,t )  S( t ) ( ,0 )   S( t  s )( ax[  ] ( ,s )  b )ds 0 khái niệm này cho chúng ta cái nhìn rõ ràng Toán tử  được gọi là toán tử nghiệm, ta dễ về tính hút trong thời gian hữu hạn. thấy  là toán tử liên tục. Hơn nữa, x[ ] là Định nghĩa 2. Cho x và x là nghiệm của nghiệm nhẹ của bài toán (*) nếu và chỉ nếu x (*) tương ứng với các giá trị ban đầu  và là điểm bất động của  .   . Khi đó, nghiệm x được gọi là hút trong 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU [0, T ] nếu ‖ x( t )  x( t ) ‖‖   ‖ , với mọi t  [0, T ] , và ‖  ‖ là chuẩn sup trong 3.1. Tính giải được toàn cục C ([h,0]; L2 ()) . Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh Để chứng minh tính hút theo thời gian hữu tính giải được toàn cục của bài toán (*). hạn của nghiệm, ta sử dụng bất đẳng thức Định lý 1. Bài toán (*) có ít nhất một kiểu Halanay sau đây. nghiệm nhẹ trên [ h, T ] với mọi a  0,b  0 . Bổ đề. Cho w : [  ,  )    là hàm Chứng minh. Gọi   C([ 0 ,T ];  ) là liên tục thỏa mãn: nghiệm duy nhất của phương trình w( )  ( ,  )w0 t  (t ) ‖  ‖  (a ‖  ‖ b)T    ( s )ds.  0 (  s,  )[k sup v( z)   (s)]ds,   0, (4) 0 z[ s   ( s ), s ] Đặt V  {x  C ([0,T ]; L ()) : sup ‖ x( ) ‖  (t ), 2 w(s)  (s), s [ ,0], (5)  [0,t ] t  [0, T ]}. V là tập con đóng, lồi của trong đó: 0  k   ,   C ([  ,0];  ) và  C ([ 0 ,T ];L2 (  )) . Do  liên tục và   L1loc (  ) là hàm không giảm. Khi đó, với mọi   0 : compact, nên ta chỉ cần chứng minh  [w0  0 (  s,)(s)ds] k sup (s).(6)   (V )  V . Với x  V , ta có: w()   k  s[ ,0] ‖( x)( ,t ) ‖ Chứng minh. Ta sử dụng kết quả (xem [4]): t  (t,1 ) ‖ ‖  (t,1 )(a ‖ x[ ] ( ,s ) ‖ b)ds nếu w  C([  , );   ) là hàm không âm 0 thỏa mãn w(  )  a(  )  b sup v( z ) ,   0 z[  , ] 68
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 và w( s )  ( s ) , s  [  ,0 ] , với a(  ) là hàm 1(T, 1)  (T, 1) ‖(0) (0) ‖ a ‖  ‖ không giảm và b  (0,1) , thì 1 w( )  (1  b) 1 a( )  b sup ( s ),   0. (7) 1 a 0 (T  s, 1)a( ‖(0) (0) ‖ ‖  ‖ )ds T s[  ,0] Từ (4) ta có: 1  p 1 w(  )  w0  ( , )*  (  )  1  (T , 1 )  (T , 1 ) ‖  (0)   (0) ‖ a ‖    ‖  1  k sup v( z ) (   s, )ds  a 1 (T , 1 ) a( 1 ‖ (0)  (0) ‖  ‖  ‖ ) z[  h, ] 0  w0   (,  ) *  ( )  k  1 sup v( z ). 1  a 1 1 z[  h , ]  2 2  a 2  Vì  (  ) là hàm không giảm, nên  (,  ) *    ( T ,1 )  a( 1  ( T ,1 )) 2 1 .  1 ( 1  a )  là hàm không giảm. Áp dụng bất đẳng thức (7) với a(  )  w0  ( , )*  và b  k /  , ta ‖    ‖ . (10) thu được bất đẳng thức (6). Định lí 2. Nếu a  r1 , với r là nghiệm 212  a 2 Xét 1   (T , 1 )  a (1   (T , 1 )) 2 trong khoảng (0,1) của phương trình bậc 3 1 (1  a ) y 3  3 y  1  0 và x là nghiệm tương ứng với 1   (T , 1 )  1   a a 3  giá trị ban đầu  , thì x hút mũ trên [0, T ] với   3  1   0, (1  a )   1     1  mọi   C([  h,0 ];L2 (  )) . vì theo giả thiết 0  a / 1  r , với r là Chứng minh. Gọi ˆx là nghiệm tương ứng nghiệm trong (0,1) của phương trình với giá trị ban đầu  . Ta có x(T )  xˆ (T )  S (T )( (0)   (0)) y3  3 y  1  0 . Do đó:  0 S (T  s )a  x[ ] ( s ))  xˆ[ ] ( s )  ds. T 2 2  a 2  (T , 1 )  a(1   (T , 1 )) 2 1 1 Từ đây, ta được 1 (1  a) ‖ x(T )  ˆx(T ) ‖ (T ,1 ) ‖  ( 0 )  ( 0 ) ‖ Nên từ (10) ta được ‖ x(T )  x'(T ) ‖‖  ‖ T  (T  s,1 )a ‖ x[  ] ( s ))  ˆx[  ] ( s ) ‖ ds với mọi T  0. Định lí được chứng minh. 0  (T ,1 ) ‖  ( 0 )  ( 0 ) ‖ 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO T a (T  s,1 ) sup 0 ‖ x(  )  ˆx(  ) ‖ ds. ( 8 ) [1] E. Bazhlekova, B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou, [  h,s ] An analysis of the Rayleigh-Stokes problem Áp dụng bổ đề, với mọi T  0, ta có: for a generalized second-grade fluid, ‖ x(T )  xˆ(T ) ‖ Numer. Math. 131 (2015), no. 1, 1-31. [2] C. Fetecau, M. Jamil, C. Fetecau, D. Vieru, 1 a  ‖ (0) (0) ‖  sup ‖ (s) (s) ‖ (9) The Rayleigh-Stokes problem for an edge in 1  a 1 s[h,0] a generalized Oldroyd-B fluid, Z. Angew. Kết hợp (8) và (9), ta được: Math. Phys. 60 (2009), no. 5, 921-933. ‖ x( T )  ˆx( T ) ‖ ( T ,1 ) ‖  ( 0 )   ( 0 ) ‖ [3] D. Lan, Regularity and stability analysis for semilinear generalized Rayleigh-Stokes T   ( T  s,1 )a sup 0 ‖  (  )   (  ) ‖ ds equations, Evol. Equ. Control Theory, [  h,0 ] (2022) 11(1): 259-282. T   ( T  s,1 )a sup ‖ x(  )  ˆx(  ) ‖ ds 0 [ 0 ,s ] 69

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.