TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Chia sẻ: Phan Thiên Ân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

373
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

HS phải đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : Nắm vững khái niệm nguyên hàm ; Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản ; Nhớ các tính chất cơ bản của nguyên hàm ; Nhớ định nghĩa tích phân ; Phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần ; Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học. Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, phương pháp đổi biến số và phương pháp tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số không quá...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 1.  ( x3  x  1)dx 2.  ( x    x 2 )dx 0 1 x x2 3 2 2.  x  2 dx 1 3.  1 x  1dx  2 1 4.  (2sin x  3cosx  x)dx 5.  (e x  x)dx  0 3 1 2 6.  ( x  x x )dx 3 7.  ( x  1)( x  x  1)dx 0 1  2 1 1 8.  (3sin x  2cosx  x )dx 9.  (e x  x 2  1)dx 0 3 2 2 10.  ( x  x x  x )dx 2 3 11.  ( x  1)( x  x  1)dx 1 1 3 2 x.dx 12.  (x  1).dx 13.  x2  2 3 1 -1 e2 7x  2 x  5 5 dx 14.  dx 15.  1 x 2 x2 x2  ( x  1).dx 2 2 cos3 x.dx 16.  2 17.  3 1 x  x ln x  sin x 6  e x  e x 4 1 tgx .dx 18.  0 cos2 x 19.  x 0 e  e x dx 1 2 e x .dx dx 20.  0 e x  e x 21.  1 4x 2  8x  ln 3 2 .dx dx 22.  0 e  e x x 22. 0 1  sin x II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:   2 2 1.  sin xcos xdx3 2 2.  sin 2 xcos 3 xdx   3 3   2 4 sin x 3. 0 1  3cosx dx 3.  tgxdx 0
  4 6 4.  cot gxdx 5.  1  4sin xcosxdx  0 6 1 1 6.  x x  1dx 7. x 1  x 2 dx 2 0 0 1 1 x2 8. x x  1dx 9.  3 2 dx 0 0 x3  1 1 2 1  x 1  x dx x 3 2 10. 11. dx 0 x3  1 1 1 1 1 1 12.  1 x 0 2 dx 13.  2 1 x  2x  2 dx 1 1 1 1 14.  0 x 12 dx 15.  (1  3x ) dx 0 2 2   2 2  e cosxdx 17.  ecosx sin xdx sin x 16.   4 4  1 2 18.  e x 2 19.  sin 3 xcos 2 xdx 2 xdx 0  3   2 2 20.  esin x cosxdx 21.  ecosx sin xdx   4 4  1 2 22.  e x 2 23.  sin 3 xcos 2 xdx 2 xdx 0  3   2 2 sin x 24.  sin 2 xcos 3 xdx 25.  1  3cosx dx  0 3   4 4 26.  tgxdx 27.  cot gxdx 0  6  6 1 28.  0 1  4sin xcosxdx 29. x 0 x 2  1dx 1 1 30. x 1  x 2 dx 31. x x 2  1dx 3 0 0 1 2 1 x 32.  33. x 1  x 2 dx 3 dx 0 x 13 0 1  ln x 2 e 1 34. x 1 x3  1 dx 35.  1 x dx
1  3ln x ln x e e sin(ln x) 36. 1 x dx 37.  1 x dx 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 38.  dx 39.  dx 1 x e x ln x e2 2 1 x 40. e cos 2 (1  ln x) dx 41.  1 1 x 1 dx 1 1 x 42.  0 2x 1 dx 43. x 0 x  1dx 1 1 1 1 44.  0 x 1  x dx 45.  0 x 1  x dx x 1 1  ln x 3 e 46.  1 x dx 46.  1 x dx 1  3ln x ln x e e sin(ln x) 47.  1 x dx 48.  1 x dx 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 49.  1 x dx 50. e x ln x dx 1  e2 51.  cos 1 dx 52. x 2 x 3  5dx e 2 (1  ln x) 0  2 4  sin x  1 cos xdx  4  x 2 dx 4 53. 54. 0 0 4 1   dx 55. 4  x 2 dx 56. 0 0 1  x2 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x) a   v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv sin ax     @ Dạng 1  f ( x) cosax dx e ax  u  f ( x) du  f '( x)dx    sin ax   sin ax        dv  cos ax  dx v   cosax  dx  e ax   eax   
 @ Dạng 2:  f ( x) ln(ax)dx   dx u  ln(ax) du  x Đặt   dv  f ( x)dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  eax .  dx  cosax  Ví dụ 1: tính các tích phân sau u  x 2 e x u  x5   1 2 x 3 8 xe x dx a/  dx đă ̣t  dx b/  4 đă ̣t  x3dx ( x  1) 2  dv  ( x  1) 3  dv  0  ( x  1) 2 2  ( x 4  1)3 1  x2  x2 1 1 1 1 dx dx x 2 dx c/  (1  x 2 )2 0 (1  x 2 )2 0 1  x2 0 (1  x2 )2  I1  I 2  dx   0 1 dx Tính I 1   bằ ng phương pháp đổ i biế n số 0 1  x2 u  x  1 x 2 dx Tính I 2 =  bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t  x 0 (1  x 2 )2 dv  (1  x 2 ) 2 dx  Bài tập e 3 e ln x 1. 1 x 3 dx 2.  x ln xdx 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 3. 4. ln xdx 0 1 e e ln 3 x 5.  3 dx 6.  x ln xdx 1 x 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 7. 8. ln xdx 0 1  2 e 1 9.  ( x  cosx) s inxdx 0 10.  ( x  x ) ln xdx 1  2 3  ln( x  x)dx  x tan 2 2 11. 12. xdx 1 4  2 2   x cos xdx ln x 13. 5 dx 14. 1 x 0
 1 2   e x cos xdx x 15. xe dx 16. 0 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x  1 5 b 1 1. 3 x 2  3x  2 dx 2.  ( x  a)( x  b) dx a x  x 1 x3  x  1 1 3 1 3. 0 x  1 dx 4. 0 x 2  1 dx 1 1 x2 1 5. 0 (3x  1) 3 dx 6.  ( x  2) 0 2 ( x  3) 2 dx 1 x 2x 3  6x 2  9x  9 2 2008 0 7.  dx 8.  x 2  3x  2 dx 1 x (1  x 2008 ) 1 x 2 n 3 3 1 x4 9. 2 ( x 2  1) 2 dx 10. 0 (1  x 2 ) n dx x2  3 2 2 1 11.  dx 12.  x(1  x dx 1 x ( x  3 x  2) 4 2 4 1 ) 2 1 1 x 13.  4 x 0 2 dx 14. 1 x 0 4 dx 2 1 1 x 15. 0 x 2  2 x  2dx 16.  (1  x 0 2 3 ) dx 3x 2  3x  3 4 3 1 17.  3 dx 18. 2 x 3  3x  2 dx 2 x  2x  x 2 1 x2 2 1 1 19. 1 1  x 4 dx 20. 1 x 0 3 dx x6  x5  x4  2 2  x4 1 1 21.  dx 22.  dx 0 x6 1 0 1 x 2 1 4 x  11  1 x 1 4 23. 1 x 0 6 dx 24. x2  5x  6 dx 0 1  dx 25. 26. 0 x2  x  1 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
  2 2 1.  sin 2 x cos 4 xdx 2.  sin 2 x cos 3 xdx 0 0   2 2 3.  sin 4 x cos 5 xdx 4.  (sin 3 x  cos 3 )dx 0 0   2 2 5.  cos 2 x(sin 4 x  cos 4 x)dx 6.  (2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x)dx 0 0   2 2 1 7.  sin x dx 8.  (sin 10 x  cos 10 x  cos 4 x sin 4 x)dx 0 3   2 2 dx 1 9. 0 2  cos x 10.  2  sin x dx 0   2 sin 3 x 3 dx 11. 0 1  cos 2 x dx 12.   sin 4 x. cos x 6   4 2 dx cos x 13. 0 sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x 14.  1  cos x dx 0   2 2 cos x sin x 15. 0 2  cos x dx 16.  2  sin x dx 0   2 cos 3 x 2 1 17. 0 1  cos x dx 18.  sin x  cos x  1 dx 0   2 cos xdx 2 sin x  cos x  1 19.  (1  cos x) 2 20.  sin x  2 cos x  3 dx  3 2   4 4 21.  tg 3 xdx 22.  cot g 3 xdx 0  6   3 4 1 23.  tg xdx 4 24.  1  tgx dx  0 4   4 dx 2 sin x  7 cos x  6 25.   26.  4 sin x  5 cos x  5 dx 0 cos x cos( x  ) 0 4  2 4 dx 27.  0 1  sin x dx 28.  2 sin x  3 cos x  0 13
  4 4 sin x3 2 1  cos 2 x  sin 2 x 29. 0 1  cos 4 x dx 30.  0 sin x  cos x dx   2 2 sin 3 x dx 31. 0 1  cos x dx 32.   sin 2 x  sin x 4   4 sin 3 x 2 33. 0 cos 2 x dx 34.  sin 2 x(1  sin 2 x) 3 dx 0   3 3 sin 3 x  sin x 35.  cos x sin xdx 0 36.   sin 3 xtgx dx 4   2 2 dx dx 37. 0 1  sin x  cos x 38.  2 sin x  1 0   2 4 sin 4 xdx 39.  cos x sin xdx 3 5 40.  1  cos 2  0 x 4   2 6 dx dx 41.  0 5 sin x  3 2.   sin 4 x cos x 6   3 3 dx dx 43.   4.    sin x sin( x  )  sin x cos( x  ) 6 6 4 4   3 2 sin xdx 3  45.  cos 6 x 46.  tgxtg ( x  )dx  6 4 6  3 0 4 sin xdx sin 2 x 47. 0 (sin x  cos x) 3 48.  (2  sin x) 2  2   2 2 49.  sin 3 x dx 50. x 2 cos xdx 0 0   2 2 1  sin x 51.  sin 2 x.e 2 x 1 dx 52.  1  cos x e x dx 0 0   4 2 sin 3x sin 4 x sin 2 xdx 53.  tgx  cot g 2 x dx 54.  sin 0 2 x  5 sin x  6 6
 2 3 ln(sin x) 55.  cos(ln x)dx 1 56.   cos 2 x dx 6  2  57.  (2 x  1) cos 2 xdx 58.  x sin x cos 2 xdx 0 0  4   xtg 60.  e 2 x sin 2 xdx 2 59. xdx 0 0   2 4 61.  e sin x sin x cos 3 xdx  ln(1  tgx )dx 2 62. 0 0   4 dx 2 (1  sin x) cos x 63. 0 (sin x  2 cos x) 2 64.  (1  sin x)(2  cos 0 2 x) dx   2 2 65.    sin 2 x sin 7 xdx 66.  0 cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx 2  2  4sin 3 x 67. dx 68. 0 1  cos x 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b  R( x, f ( x))dx a Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: ax  +) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t  [0; ] ax 2 +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t ax  b ax  b +) R(x, n ) §Æt t = n cx  d cx  d 1 +) R(x, f(x)) = Víi (ax  b) x 2  x   ( x 2  x   )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = x 2  x   , hoÆc ®Æt t = 1 ax  b
  +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a tgt , t  [ ; ] 2 2 a  +) R(x, x 2  a 2 ) §Æt x = , t  [0;  ] \ { } cos x 2 +) R  n1 n2 ni x ; x ;...; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Æt x = tk 2 3 2 dx dx 1.  x x2  4 2.  2 x x2 1 5 3 1 2 2 dx dx 3.  (2 x  3) 1 4 x 2  12 x  5 4. x 1 x3  1  2 2 2 dx 5.  1 x 2  2008dx 6.  1 x 2  2008 1 1 7. x 1  x dx 8.  (1  x 2 ) 3 dx 2 2 0 0 2 x 1 1 x 3 2 2 9. x 1 2 x 1 2 dx 10.  0 1 x dx 2 1 2 dx dx 11.  0 (1  x ) 2 3 12.  0 (1  x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx 13.  0 1  x 2 dx 14.  0 1 x2   2 2 cos xdx 15.  0 7  cos 2 x 16.  sin x 0 cos x  cos 2 x dx   2 cos xdx 2 sin 2 x  sin x 17.  0 2  cos x 2 18.  0 1  3 cos x dx 7 3 x 3 dx 19.  20. x 10  x 2 dx 3 0 3 1 x 2 0 1 1 xdx x 3 dx 21.  0 2x  1 22.  x 0 x2 1 7 1 dx 23.  24. x 1  3x 8 dx 15 2 2x  1  1 0  2 ln 3 dx 25.  1  cos 3 x sin x cos 5 xdx 26.  6 0 0 ex 1
1 ln 2 dx e 2 x dx 27. 1 x  1 x2 1 28.  0 ex 1 1  3 ln x ln x 1 e 29.  12 x  4 x  8dx 30.  2 dx 5 1 x 4 x5  x3 3 4 31. 0 1 x 2 dx 32.  0 x 3  2 x 2  x dx 0 ln 3 ln 2 x 33.  x(e  x  1)dx 34.  2x 3 dx 1 ln 2 x ln x  1  cos 2 x  2 3tgx ln 2 3 cos 2 x e x dx 35.  0 cos 2 x dx 36.  0 (e x  1) 3   3 2 cos xdx cos xdx 37.  0 2  cos 2 x 38.  0 1  cos 2 x x2 7 2a 39.  0 3 x3 dx 40.  0 x 2  a 2 dx VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi a a ®ã:  a f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]dx 0 3 3 VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n 2 2 f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2 x , 3 2 TÝnh:  f ( x)dx 3  2 x 4  sin x 1 +) TÝnh  1 1  x 2 dx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], a khi ®ã:  f ( x)dx a = 0.  1 2 VÝ dô: TÝnh:  ln( x  1  x )dx  cos x ln( x  1  x 2 )dx 2 1  2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a a a], khi ®ã:  a f ( x)dx = 2  f ( x)dx 0
 2 x  cos x  1 x dx VÝ dô: TÝnh x 1 4  x2 1 4  sin 2 x dx   2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a a f ( x) a], khi ®ã:  dx   f ( x)dx (1  b>0,  a)  a1  b x 0  x 1 3 2 2 sin x sin 3x cos 5 x VÝ dô: TÝnh:  3 1  2 x dx  1 ex dx  2  Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 2   2 2  0 f (sin x)   f (cos x)dx 0   2 2009 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh 0 sin 2009 x  cos 2009 x dx  0 sin x  cos x dx Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:     xf (sin x)dx  2  f (sin x)dx 0 0   x x sin x VÝ dô: TÝnh 0 1  sin x dx  2  cos x dx 0 b b b b Bµi to¸n 6:  f (a  b  x)dx   f ( x)dx a a   f (b  x)dx   f ( x)dx 0 0   4 x sin x VÝ dô: TÝnh  0 1  cos x 2 dx  sin 4 x ln(1  tgx )dx 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a T T nT T  a f ( x)dx   f ( x)dx 0   0 f ( x)dx  n  f ( x)dx 0 2008 VÝ dô: TÝnh 0 1  cos 2 x dx C¸c bµi tËp ¸p dông:  1 x2 x7  x5  x3  x  1 1 4 1.  1 1 2x dx 2.  cos 4 x dx  4  x  cos x 1 2 dx 3.  1 (1  e )(1  x ) x 2 4.  4  sin 2 x dx  2
1 2 2 1 x 5.  cos 2 x ln( 1 1 x )dx 6.  sin(sin x  nx)dx 0  2  tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 7.   1  cos x dx 8. 1 1  x 2   x(1  x 2 )  1 (tga>0)  1 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2  x 2  1dx 2. x  4 x  3 dx 2 1. 3 0  2 1 2 3.  0 x 2  x dx  x x  m dx 0 4.  sin x dx  2   3 5.   1  sin x dx 6.   tg 2 x  cot g 2 x  2dx 6 3 4 2 7.  sin 2 x dx  8.  0 1  cos x dx 4 5 3 9.  ( x  2  x  2 )dx 10. 2  4 dx x 2 0  3 11.  cos x cos x  cos 3 x dx 12.  2 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY