Tính toán dao động uốn tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp bằng phương pháp giải tích - số

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015<br /> <br /> <br /> TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN TỰ DO ĐỐI XỨNG CỦA CẦU TREO DÂY<br /> VÕNG 3 NHỊP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - SỐ<br /> CALCULATING THE SYMMETRIC FREE BENDING VIBRATION OF THREE<br /> SPANS SUSPENSION BRIDGE BY ANALYTICAL - NUMERICAL METHOD<br /> ThS. LÊ TÙNG ANH<br /> Khoa Công trình, Trường ĐHHH Việt Nam<br /> Tóm tắt<br /> Ưu điểm nổi bật của cầu treo dây võng là khả năng vượt nhịp lớn, tuy nhiên nó lại dễ<br /> mất ổn định. Tần số dao động tự do đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán ổn<br /> định động lực học công trình cầu nói chung và cầu treo dây võng nói riêng. Trong bài<br /> báo này, tác giả trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn tự do<br /> của cầu treo dây võng ba nhịp sau đó so sánh với các phương pháp gần đúng khác.<br /> Abstract<br /> Outstanding advantage of suspension bridge is the ability to large span, but it easily<br /> leads to instability. The free vibration frequency plays an important role in the<br /> calculation of general bridges dynamic stability and particular suspension bridge. In this<br /> paper, the author presents the analytical - numerical method to calculate the free<br /> bending vibration of three spans suspension bridge then compares with other<br /> approximate methods.<br /> Key words: free vibration, frequency, suspension bridges, analytical - numerical method.<br /> 1. Đặt vấn đề<br /> Trong tính<br /> toán ổn định động<br /> lực học công trình<br /> cầu, một vấn đề f<br /> quan trọng là tính<br /> toán dao động tự do<br /> của cầu. Trên cơ sở<br /> l1,q1,J1<br /> tính toán dao động l,q,Jz l1,q1,J1<br /> tự do, chúng ta có<br /> thể tránh được hiện Hình 1. Sơ đồ cầu treo dây võng 3 nhịp<br /> tượng cộng hưởng<br /> do tác dụng của đoàn tải trọng di động cũng như có thể tính toán tiếp dao động cưỡng bức của<br /> cầu. Hiện nay, để tính toán tần số dao động tự do thường thực hiện theo các phương pháp gần<br /> đúng Ritz, Rayleigh…, đối với dự án lớn mới có điều kiện thí nghiệm trên mô hình vật lý. Trong<br /> phạm vi bài báo này, tác giả sẽ nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán tần số<br /> dao động uốn tự do đối xứng cho cầu treo dây võng 3 nhịp (hình 1). Phần cuối của bài báo là ví dụ<br /> tính toán mô phỏng số, áp dụng cho một công trình cầu treo dây võng. Sau đó sẽ so sánh với kết<br /> quả tính toán bằng các phương pháp gần đúng khác, từ đó rút ra độ tin cậy của phương pháp và<br /> chương trình tính.<br /> 2. Mô hình tính toán và phương trình vi phân dao động uốn<br /> Khảo sát tiết diện ngang dầm cứng của cầu treo dây võng (hình 2).<br /> B<br /> <br /> Hg Hg<br /> <br /> y<br /> Sg Sg<br /> z<br /> η(x,t)<br /> <br /> S1<br /> S2 φ(x,t)<br /> Hình 2. Chuyển vị thẳng và xoay của tiết diện dầm<br /> <br /> <br /> Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 121<br />  CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015<br /> <br /> <br /> Khi hệ dao động thì ngoài các ngoại lực (như lực gió…) trên tiết diện còn chịu tác dụng của<br /> các phản lực đàn hồi từ các thanh treo S(x). Do tiết diện của dầm thực hiện chuyển vị góc  cho<br /> nên các phản lực này xuất hiện tại 2 bên thành dầm cứng sẽ khác nhau (S1 ≠ S2) và do đó lực<br /> căng ngang động trong 2 dây cáp cũng khác nhau. Ở trạng thái tĩnh 2 dây cáp đối xứng, lực căng<br /> ngang tĩnh trong 2 dây bằng nhau và kí hiệu là Hg. Khi hệ dao động, lực căng ngang động của 2<br /> dây cáp là H1d và H2d.<br /> Phương trình dao động uốn của cầu treo dây võng [3] được viết đầy đủ như sau:<br /> 4 2 2<br />   ( x, t ) q   ( x, t )   ( x, t ) P<br /> EJ z 4  2  2H g 2  2 y ( x ) H d  P<br /> x g t x<br /> (1)<br /> Trong đó:<br /> <br /> EJ z - Độ cứng chống uốn của tiết diện;<br /> <br /> q - Trọng lượng 1 đơn vị dài của hệ (gồm cả dầm và cáp treo);<br /> <br /> H g - Lực căng ngang tĩnh, H g  ql 2 / 8 f [6], [7];<br /> <br /> H d - Lực căng ngang động trung bình, H d   H1d  H 2d  / 2 ;<br /> P P<br /> <br /> <br /> P - Lực cưỡng bức tác dụng lên tiết diện;<br /> <br />  ( x, t ) - Chuyển vị của tiết diện;<br /> <br /> y( x) - Hàm biểu diễn hình dạng dây cáp ở trạng thái tĩnh với quan hệ: y( x)  q / H g .<br /> <br /> Phương trình dao động uốn tự do sẽ nhận được khi P  0 :<br /> 4 2 2<br /> ( x, t ) q ( x, t ) ( x, t ) q P<br /> EJ z 4 2 2H g 2 2 Hd 0 (2)<br /> x g t x Hg<br /> <br /> P<br /> Sử dụng phương pháp tách biến, đặt:  ( x , t )  X ( x )T (t ) và H d  H d T (t ) (3)<br /> <br /> Thay các biểu thức (2) vào (1) ta được phương trình biên độ:<br /> <br /> IV q 2 q<br /> EJ z X 2H g X X 2 Hd 0 (4)<br /> g Hg<br /> <br /> Phương trình (4) có nghiệm tổng quát dưới dạng:<br /> <br /> 2 gH d<br /> X  C1 sin 2 x  C2 cos 2 x  C3sh1x  C4ch1x  2 (5)<br />  Hg<br /> <br /> trong đó: 1 , 2 - Các hệ số phụ thuộc q ,  , H g , EJ z , được xác định như sau:<br /> <br /> 2<br /> 2 4 4 2 4 4 q Hg<br /> 1      k ; 2      k ;k  ; <br /> gEJ z EJ z<br /> <br /> Để xác định các hằng số tích phân Ci , trước tiên xét nhịp giữa sau đó sẽ xét tất cả các nhịp.<br /> <br /> <br /> Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 122<br />  CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015<br /> <br /> <br /> 2.1. Nhịp giữa<br /> Từ (5) ta có các giá trị đạo hàm như sau:<br /> X   2C1 cos 2 x  2C2 sin 2 x  1C3ch1x  1C4 sh1x<br /> 2 2 2 2<br /> X   2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3 sh1x  1 C4ch1x (6)<br /> 3 3 3 3<br /> X   2 C1 cos 2 x  2 C2 sin 2 x  1 C3ch1x  1 C4 sh1x<br /> IV 4 4 4 4<br /> X  2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3sh1x  1 C4ch1x<br /> Sử dụng điều kiện biên: X (0) X (0) 0 và X (l ) X (l ) 0 ta có hệ phương trình sau:<br /> <br /> 2 gH d<br /> X  0   C2  C4  2 0<br />  Hg<br /> <br /> X   0  2 C2  1 C4  0<br /> 2 2<br /> (7)<br /> <br /> 2 gH d<br /> X  l   C1 sin 2l  C2 cos 2l  C3 sh1l  C4ch1l  2 0<br />  Hg<br /> <br /> X   l   2 C1 sin 2l  2 C2 cos 2l  1 C3 sh1l  1 C4ch1l  0<br /> 2 2 2 2<br /> <br /> <br /> Từ (7) ta biểu diễn được 4 hằng số tích phân Ci theo H d như sau:<br /> <br /> 2 gH d Z  1 2 l 2 gH d Z  1 2 gH d Z  1 1l 2 gH d 1  Z<br /> C1   . tg ; C2   2 . ; C3  2 . th ; C4  2 . (8)<br /> 2<br />  H g 2Z 2  H g 2Z  H g 2Z 2  H g 2Z<br /> <br /> trong đó:<br /> 2 2 2 2<br /> 1 4 4 2   1  <br /> Z 2  k  2  2<br />   <br /> Mặt khác ta có quan hệ giữa H d và X như sau:<br /> <br /> qEc Fc l<br /> Hd   Xdx (9)<br /> Lc H g 0<br /> <br /> trong đó:<br /> Lc - Chiều dài dây cáp giữa hai trụ;<br /> <br /> Ec Fc - Độ cứng kéo của dây cáp.<br /> <br /> Thay các hằng số Ci vào (5) được biểu thức của X rồi thay vào (9), sau khi thực hiện tích<br /> phân và chia cho H d , rút gọn sẽ được phương trình tần số:<br /> 3 2 2<br />  lZ Z 1 2l Z 1 1l Lc  l Hg 2<br />  tg  th  . Z ( Z  1)  0 (10)<br /> 2 Z 1 2 Z 1 2 Ec Fc 32 2qf<br /> Để giải phương trình (6) tìm tần số dao động, tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton -<br /> Raphson. Sau đó sẽ xác định được hàm dao động riêng như sau:<br /> <br /> 32 fH d  Z  1 cos2  0, 5l  x  Z  1 ch1  0, 5l  x  <br /> X  1    (11)<br /> cos  0,52l  ch  0, 51l  <br /> 2 2 2<br />  l ( Z  1) H g  2Z 2Z<br /> <br /> <br /> Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 123<br />  CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015<br /> <br /> <br /> 2.2. Tất cả các nhịp<br /> Tương tự như nhịp giữa, khi xét toàn bộ các nhịp ta có quan hệ sau:<br /> <br /> qEc Fc  l l1 <br /> Hd    Xdx  2  X1dx  (12)<br /> Lc H g  0 0<br /> <br /> <br /> <br /> trong đó: Lc - Chiều dài toàn bộ dây cáp.<br /> <br /> Đối với từng nhịp sẽ có hàm dao động riêng đối xứng dạng (11) (chú ý đối với nhịp bên cần<br /> thay  , Z , f , l lần lượt bằng 1 , Z1 , f1 , l1 ). Nếu độ cứng và trọng lượng riêng của các nhịp như sau<br /> 2<br /> sẽ có:   1 ; Z  Z1 . Đặt   l1 / l (do đó   f1 / f ), từ đó phương trình tần số có dạng:<br /> <br /> 3 2 2<br />  lZ Z 1  2l 2l  Z 1  1l 1l  L  l Hg 2<br /> c<br /> (1  2  )   tg  2tg   th  2 th   . Z ( Z  1)  0 (13)<br /> 2 Z 1  2 2  Z 1  2 2  Ec Fc 32 2qf<br /> 3. Tính toán mô phỏng số<br /> Ví dụ tính toán ở đây là cầu treo dây võng Cửa Đại, tỉnh Quảng Nam [2] được xây dựng mô<br /> hình với sơ đồ cầu chính dài 650m gồm 3 nhịp 150m+350m+150m như hình 3, tiết diện dầm<br /> không đổi thể hiện trên hình 4. Các thông số chính như sau:<br /> q = q1 = 102,91kN/m; Ec = 1,9.108kN/m2; Fc = 80,12cm2; Hg = 45,03.103kN;<br /> E = 2,1.108kN/m2; Jz = J1 = 0,1401.102m4; L’c = 668m; f = 35m.<br /> +81.598 m +81.598 m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2000<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1500<br /> 35000<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> +41.970 m<br /> +40.100 m +40.100 m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2500<br /> 4000 4000<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1000<br /> +35.736 m<br /> <br /> <br /> <br /> 2000<br /> 2000 2000<br /> <br /> 2000<br /> 1100 1100<br /> +9.956 m<br /> MNCN 18.80M 4000<br /> MNTN 16.80M<br /> <br /> +8.756m 5000 5000<br /> 6000<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6000<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> +7.817m +7.927 m +7.927 m<br /> <br /> <br /> 14000 14000<br /> 3500<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3500<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> - 31.244 m<br /> <br /> <br /> DÆÛ<br /> KIÃÚ<br /> N1 GIÃÚ<br /> NGCHÇM<br /> D22.7x28.0m- L = 40 m -42.073 m -42.073m<br /> <br /> M3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 3. Mô hình dự án cầu treo dây võng Cửa Đại, Quảng Nam<br /> 16500/2 16500/2<br /> 1800 250 2000 250 10500/2 10500/2 250 2000 250 1800<br /> 300 15X480 250 250 15X480 300<br /> <br /> <br /> LíP PHñ MÆT CÇU B£T¤NG NHùA DµY 7CM<br /> 400 I=1.5% I=1.5%<br /> 400<br /> 400<br /> 812<br /> 900<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 200 307<br /> 2500<br /> 2365<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 780 614<br /> 1465<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6X5<br /> 00<br /> 200<br /> 594 8X657 8X657 594<br /> 3700 11700/2 11700/2 3700<br /> 19100<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 4. Tiết diện dầm cầu điển hình<br /> Trong ví dụ này, tác giả sử dụng phần mềm Matlab để tính toán tần số dao động tự do ω<br /> theo các phương pháp giải tích - số, phương pháp Ritz [1], [3] và phương pháp Rayleigh [1], [3].<br /> Sau đó lập bảng so sánh kết quả tính toán theo các phương pháp đó và kết quả tính toán theo<br /> phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) bằng cách sử dụng phần mềm Sap 2000 (hình 5).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5. Mô hình cầu trong Sap2000<br /> <br /> Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 124<br />  CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015<br /> <br /> <br /> Bảng 1. So sánh kết quả tính toán theo các phương pháp<br /> <br /> Tần số tự do Phương pháp Phương pháp Phương pháp Phương pháp<br /> (rad/s) giải tích – số Ritz Rayleigh PTHH<br /> ω1 1,926 2,213 2,235 2,018<br /> 4. Kết luận<br /> Mục đích của bài báo này là trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn<br /> tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp sau đó so sánh với 1 số phương pháp gần đúng<br /> khác. Phương pháp này đặc biệt thích hợp với việc lập trình tính toán trên máy tính. Từ bảng 1<br /> trên đây cho thấy kết quả tính toán theo phương pháp giải tích chính xác hơn các phương pháp<br /> Ritz, Rayleigh và cho giá trị gần đúng với kết quả tính theo phương pháp PTHH (sai số 4,56%).<br /> Chương trình tính đã thiết lập cho kết quả tính toán phù hợp tốt với kết quả tính toán bằng phần<br /> mềm Sap 2000, điều đó khẳng định sự đúng đắn và độ tin cậy của chương trình tính. Như vậy,<br /> trong thiết kế sơ bộ cầu treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán sẽ hợp<br /> lý hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh thường đang áp dụng. Hướng phát triển tiếp của bài báo là<br /> nghiên cứu tính toán dao động uốn - xoắn của cầu treo dây võng bằng phương pháp đã nêu trên.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, Ổn định và động lực học công<br /> trình, NXB ĐH&THCN, Hà Nội, 1974.<br /> [2] Lê Văn Lạc, Nguyễn Văn Mỹ, Đặng Phước Toàn, Lập trình tính toán cầu treo dây võng dầm<br /> cứng 3 nhịp, Đại học Bách khoa Đà Nẵng, Đà Nẵng.<br /> [3] Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động công trình, NXB KH&KT, Hà Nội, 1987.<br /> [4] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà, Thiết kế cầu treo dây võng, NXB GTVT, Hà Nội, 2003.<br /> [5] T. Hayashikawa, N. Watanabe, Dynamic behavior of suspension bridge under moving loads,<br /> Hokkaido University, Hokkaido, Japan, 1982.<br /> [6] T. Huynh, P. Thoft Christensen, Suspension bridge flutter for girders with separate control flaps,<br /> Journal of Bridge Engineering, Vol. 6, pp. 168-175, 2001.<br /> [7] S. R. K. Nielsen, T. Huynh, Vibration theory, Vol. 7A. Special Structures: Aerodynamics of<br /> suspension bridges, ISSN 1395-8232 U9902, Aalborg University, Denmark, 1999.<br /> Người phản biện: PGS.TS. Hà Xuân Chuẩn; TS. Hoàng Mạnh Cường<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 125<br />