Tính xoắn dầm thép chữ H bằng biểu đồ theo quy phạm Mỹ AISC

QUY CHUẨN - TIÊU CHUẨN<br /> <br /> TÍNH XOẮN DẦM THÉP CHỮ H BẰNG BIỂU ĐỒ THEO QUY PHẠM MỸ AISC<br /> PGS. TS. VŨ QUỐC ANH, ThS. VŨ QUANG DUẨN<br /> Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội<br /> Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp tính xoắn<br /> dầm thép tiết diện chữ H theo tiêu chuẩn AISC bằng<br /> cách dùng biểu đồ. Biểu đồ này được lập trên cơ sở lý<br /> thuyết tính xoắn kiềm chế. Việc tính bằng biểu đồ<br /> không cần dùng các phần mềm chuyên dụng nên rất<br /> thuận tiện cho các kỹ sư thiết kế kết cấu. Trình tự tính<br /> toán bằng biểu đồ được minh họa bằng một ví dụ.<br /> 1. Đặt vấn đề<br /> Hiện nay, các tài liệu về kết cấu thép trong nước<br /> chưa trình bày phương pháp tính dầm thép chịu xoắn.<br /> Trong nhiều trường hợp, ảnh hưởng của xoắn là<br /> <br /> đáng kể và gây nguy hiểm cho kết cấu. Khi thiết kế,<br /> các kỹ sư thường bỏ qua hoặc đơn giản hóa tính toán<br /> xoắn. Do đó hồ sơ thiết kế không phản ánh đúng sự<br /> làm việc của kết cấu, dẫn đến mất an toàn cho kết<br /> cấu. Khi không có các phần mềm chuyên dụng, để<br /> thuận tiện cho các kỹ sư thiết kế khi thực hành tính<br /> toán, tiêu chuẩn AISC đã xây dựng sẵn các biểu đồ<br /> để tính toán dầm chịu xoắn. Dưới đây trình bày cơ sở<br /> lập biểu đồ, trình tự tính toán cấu kiện và ví dụ minh<br /> họa cách tính theo biểu đồ.<br /> 2. Cơ sở lập biểu đồ<br /> 2.1 Các công thức<br /> <br /> Hình 1. Thanh chịu xoắn<br /> <br /> Đặt a 2 = EC ω /GJ , phương trình trên được viết lại:<br /> <br />  Khi chịu mô men xoắn tập trung (hình 2a):<br /> Mặt cắt ngang bị xoay quanh trục thanh một<br /> góc  kèm theo hiện tượng vênh. Đó là hiện tượng<br /> mặt cắt ngang không còn phẳng. Nếu hiện tượng<br /> vênh không bị cản trở, ta gọi là xoắn tự do (hình<br /> 1a), phương trình cân bằng trên tiết diện thanh có<br /> dạng:<br /> T = G Jθ'<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Khi hiện tượng vênh bị ngăn cản sẽ xuất hiện uốn<br /> dọc. Uốn dọc sẽ sinh ra ứng suất tiếp để chống lại mô<br /> men xoắn bên ngoài. Khi đó ta gọi là xoắn kiềm chế<br /> (hình 1b). Phương trình cân bằng sẽ là:<br /> <br /> T = -ECωθ'''<br /> <br /> θ'<br /> T<br /> - θ''' =<br /> 2<br /> a<br /> EC ω<br /> Nghiệm của phương trình có dạng:<br /> <br /> z<br /> z Tz<br /> θ = A + Bcosh + Csinh +<br /> a<br /> a GJ<br /> <br /> T + dT + tdz - T = 0 <br /> <br /> Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015<br /> <br /> dT<br /> = -t<br /> dz<br /> <br /> (3)<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Công thức (3) được thay bằng:<br /> <br /> t = ECω θ'''' - GJθ''<br /> (2)<br /> <br /> (5)<br /> <br />  Khi chịu mô men xoắn t phân bố đều theo chiều<br /> dài (hình 2.b), phương trình cân bằng phân tố:<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Nghiệm có dạng:<br /> <br /> Trong trường hợp tổng quát:<br /> <br /> T = GJθ' - ECω θ'''<br /> <br /> (4)<br /> <br /> θ = A + Bz + Ccosh<br /> <br /> z<br /> z<br /> tz 2<br /> + Dsinh a<br /> a 2.G.J<br /> <br /> (8)<br /> <br /> 67<br /> <br /> QUY CHUẨN - TIÊU CHUẨN<br /> <br /> Hình 2. Các dạng mô men xoắn<br /> <br />  Với thanh chịu mô men xoắn thay đổi tuyến tính<br /> (hình 2c), giá trị lớn nhất là t, phương trình cân bằng<br /> phân tố:<br /> tz<br /> dT<br /> tz<br /> T + dT +<br /> dz - T = 0 <br /> =l<br /> dz<br /> l<br /> Công thức (3) được thay bằng:<br /> tz<br /> = E C ω θ'''' - G Jθ ''<br /> l<br /> Nghiệm có dạng:<br /> <br /> θ = A + Bz + Ccosh<br /> <br /> z<br /> z<br /> tz 2<br /> + Dsinh a<br /> a 6.G.J.l<br /> <br /> Trong các công thức trên:<br /> <br /> T - mô men xoắn tập trung;<br /> t - mô men xoắn phân bố đều;<br /> l - chiều dài thanh;<br /> <br /> (9)<br /> z - tọa độ thanh theo chiều dài;<br /> <br /> θ - góc xoắn;<br /> <br /> (10)<br /> <br /> θ', θ'', θ''', θ'''' -<br /> <br /> các đạo hàm của góc xoắn theo biến<br /> <br /> z;<br /> (11)<br /> <br /> A, B, C, D - các hằng số xác định theo các điều kiện<br /> biên.<br /> Trong mọi trường hợp, điều kiện biên là<br /> <br /> E - mô đun đàn hồi của thép;<br /> G - mô đun đàn hồi trượt của thép;<br /> <br /> θlef = θright , θ'lef = θ'right , θ''lef = θ''right . Một số điều kiện biên<br /> riêng được trình bày trong bảng 1. Ngoài ra, hình 3<br /> <br /> J - hằng số xoắn của mặt cắt ngang;<br /> <br /> còn minh họa một số cấu tạo hai đầu thanh gần đúng<br /> <br /> C - hằng số vênh của mặt cắt ngang;<br /> <br /> theo điều kiện biên lý tưởng.<br /> <br /> Bảng 1. Điều kiện biên riêng của dầm chịu xoắn<br /> Điều kiện vật lý<br /> <br /> Điều kiện liên kết<br /> <br /> Điều kiện toán học<br /> <br /> Ngàm hoặc khớp<br /> <br /> θ=0<br /> <br /> Mặt cắt ngang không vênh<br /> <br /> Ngàm<br /> <br /> θ' = 0<br /> <br /> Mặt cắt ngang vênh tự do<br /> <br /> Khớp hoặc tự do<br /> <br /> θ'' = 0<br /> <br /> Không xoay<br /> <br /> 68<br /> <br /> Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015<br /> <br /> QUY CHUẨN - TIÊU CHUẨN<br /> <br /> Hình 3. Điều kiện biên<br /> <br /> Sau khi thay các điều kiện biên vào các công thức<br /> (5), (8) và (11) ta xác định được các hằng số A, B, C,<br /> D. Cuối cùng ta có các biểu thức tính góc xoắn theo<br /> chiều dài thanh. Trường hợp đơn giản nhất là dầm có<br /> hai đầu tự do và chịu mô men xoắn tập trung T, góc<br /> xoắn được tính theo công thức θ = T z . Các trường<br /> GJ<br /> hợp khác, công thức tính góc xoắn được trình bày<br /> trong mục C.4 của [1]. Lấy đạo hàm góc xoắn θ theo<br /> z ta được các công thức tính θ', θ'', θ''', θ'''' .<br /> <br /> Các biểu đồ được trình bày trong phụ lục B tài liệu<br /> [1].<br /> 2.2 Xác định các ứng suất<br /> Đối với tiết diện chữ H, biểu đồ ứng suất do xoắn<br /> gây ra được minh họa bằng hình 4, giá trị ứng suất<br /> được tính theo các công thức dưới đây.<br /> Ứng suất tiếp lớn nhất do xoắn thuần túy:<br /> <br /> Để tính góc xoắn và các đạo hàm, có thể dùng<br /> các cách sau:<br /> <br />  t = G.t.θ'<br /> <br /> - Tính trực tiếp bằng cách thay số vào các biểu<br /> thức xác định θ, θ', θ'', θ''', θ'''' . Cách tính này có khối<br /> lượng tính toán lớn, mất nhiều thời gian và dễ sai sót;<br /> <br /> Ứng suất tiếp lớn nhất do vênh:<br /> <br /> - Lập các bảng tính hoặc chương trình tính bằng<br /> máy tính điện tử. Cách tính này đòi hỏi người tính<br /> phải có hiểu biết nhất định về lý thuyết xoắn, phải có<br /> máy tính hỗ trợ;<br /> <br /> (12)<br /> <br /> Ứng suất pháp lớn nhất do vênh:<br /> <br /> - Dùng biểu đồ lập sẵn. Các này khắc phục được<br /> các nhược điểm của hai cách trên. Vì vậy, tài liệu [1]<br /> trình bày tính toán theo cách này và đây cũng là cách<br /> tính được trình bày trong bài báo;<br /> <br /> Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015<br /> <br />  ωs =<br /> <br /> -E S ω s .θ'''<br /> t<br /> <br /> σ ωs = - EWns .θ''<br /> <br /> (13)<br /> <br /> (14)<br /> <br /> trong đó:<br /> t - chiều dày bản cánh hoặc bản bụng;<br /> Ss - mô men tĩnh vênh;<br /> W ns - hằng số vênh ở điểm đang xét.<br /> <br /> 69<br /> <br /> QUY CHUẨN - TIÊU CHUẨN<br /> <br /> Hình 4. Biểu đồ ứng suất trên tiết diện chữ I<br /> <br />  b y - ứng suất tiếp do lực cắt theo phương y gây<br /> <br /> 2.3 Tổ hợp ứng suất<br /> Để xác định ứng suất tổng, ứng suất do xoắn<br /> được cộng đại số với các ứng suất khác theo nguyên<br /> lý cộng tác dụng:<br /> <br /> ra;<br /> <br /> t - ứng suất tiếp do mô men xoắn thuần túy gây<br /> ra;<br /> <br /> ω- ứng suất tiếp do mô men xoắn kiềm chế gây<br /> <br /> fn = σ a ± (σ bx + σ by + σ ω )<br /> <br /> (15)<br /> <br /> ra.<br /> <br /> fv =  bx +  by +  t +  ω<br /> <br /> (16)<br /> <br /> 2.4 Kiểm tra bền theo trạng thái giới hạn<br /> <br /> trong đó:<br /> <br /> σ - ứng suất pháp do lực dọc gây ra;<br /> a<br /> σ bx - ứng suất pháp do mô men uốn theo phương<br /> x gây ra;<br /> <br /> σ by - ứng suất pháp do mô men uốn theo phương<br /> y gây ra;<br /> <br /> σ ω - ứng suất pháp do mô men xoắn kiềm chế<br /> gây ra;<br /> <br />  bx - ứng suất tiếp do lực cắt theo phương x gây<br /> <br /> Điều kiện kiểm tra đối với trạng thái giới hạn về<br /> chảy dẻo do ứng suất pháp:<br /> <br /> fun  φFy<br /> <br /> (17)<br /> <br /> Điều kiện kiểm tra đối với trạng thái giới hạn về<br /> chảy dẻo do ứng suất tiếp:<br /> <br /> fuv  φ0,6Fy<br /> <br /> (18)<br /> <br /> Điều kiện kiểm tra đối với trạng thái giới hạn về ổn<br /> định:<br /> <br /> fun  φ c Fcr hoặc fuv  φ c Fcr<br /> <br /> (19)<br /> <br /> ra;<br /> <br /> Khi không xác định được nguyên nhân một các rõ<br /> ràng thì điều kiện kiểm tra trạng thái giới hạn về chảy<br /> <br /> 70<br /> <br /> Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015<br /> <br /> QUY CHUẨN - TIÊU CHUẨN<br /> dẻo do ứng suất pháp (17) và do ổn định (19) được<br /> viết dưới dạng tổng hợp. Nếu hiệu ứng P - delta đã<br /> được xét đến trong ứng suất pháp thì điều kiện kiểm<br /> tra tổng hợp là:<br /> <br /> σ<br /> σa<br /> σ<br /> σω<br /> ± bx ± by ±<br /> 1<br /> 0,85Fcr φbFcr 0,9Fy 0,9Fy<br /> <br /> Nếu hiệu ứng P - delta chưa được xét đến trong<br /> ứng suất pháp thì điều kiện kiểm tra tổng hợp là:<br /> <br /> σ by<br /> σa<br /> σ bx<br /> σω<br /> ±<br /> ±<br /> ±<br /> 1<br /> 0,85Fcr  Pu <br />  Pu <br />  Pu <br /> 0,9Fy  10,9Fy<br />  1 φbFcr  1 P <br /> <br />  P <br /> <br />  Pex <br /> ey <br /> ey <br /> <br /> <br /> trong đó:<br /> <br /> (20)<br /> <br /> (21)<br /> <br /> Lời giải:<br /> Bước 1: Xác định các đặc trưng hình học uốn và xoắn<br /> <br /> F - giới hạn chảy của vật liệu thép;<br /> y<br /> <br /> Fr - ứng suất tới hạn về ổn định;<br /> c<br /> <br /> Ix =<br /> <br />  30.23<br /> <br /> 1.46 3<br /> +2<br /> + 2.30.24 2  = 77271 cm 4<br /> 12<br />  12<br /> <br /> <br /> φc = 0,85 - hệ số tải trọng về ổn định;<br /> <br /> Iy =<br /> <br /> 4 6 .13<br /> 2 .3 0 3<br /> +2<br /> = 9 0 04 cm 4<br /> 12<br /> 12<br /> <br /> φ - hệ số tải trọng về uốn;<br /> b<br /> <br /> Sx =<br /> <br /> φ = 0,9 - hệ số tải trọng về chảy dẻo;<br /> <br /> P- lực dọc tác dụng lên cấu kiện;<br /> u<br /> <br /> J=<br /> <br /> Pex - lực tới hạn đàn hồi Euler theo phương x;<br /> Pe y - lực tới hạn đàn hồi Euler theo phương y.<br /> 3. Trình tự tính toán<br /> Bước 1: Xác định các đặc trưng hình học uốn và<br /> xoắn.<br /> <br /> <br /> <br /> b .t 3<br /> 3 0 .2 3 4 6 .13<br /> = 2.<br /> +<br /> = 175,3 cm 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 2 .3 0.4 8<br /> = 1 4 4 0 cm 3<br /> 2<br /> 2.30.48 1.23.23<br /> Qw =<br /> +<br /> = 1704, 5 cm 3<br /> 2<br /> 2<br /> Qf =<br /> <br /> I y .h 2<br /> <br /> Cω =<br /> a=<br /> <br /> Bước 2: Xác định các ứng suất do uốn và cắt.<br /> <br /> 7 72 7 1.2<br /> = 3 22 0 cm 3<br /> 48<br /> <br /> 4<br /> <br /> =<br /> <br /> E .C ω<br /> =<br /> G .J<br /> <br /> 9 0 0 4 .4 8 2<br /> = 5186304 cm 6<br /> 4<br /> 2 ,1 .1 0 6 .5 1 8 6 3 0 4<br /> =<br /> 8 1 .1 0 4 .1 7 5 , 3<br /> <br /> 76701 = 277<br /> <br /> Bước 3: Xác định các ứng suất do xoắn theo biểu đồ.<br /> <br /> W no =<br /> <br /> h .b 4 8.3 0<br /> =<br /> = 360<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> Bước 4: Tính các ứng suất tổng nếu cần.<br /> <br /> Sω =<br /> <br /> W n o .b .t f<br /> h .b 2 .t f<br /> 4 8 .3 0 2 .2<br /> =<br /> =<br /> = 5400<br /> 4<br /> 16<br /> 16<br /> <br /> Bước 5: Tính góc xoắn.<br /> <br /> Bước 2: Xác định các ứng suất do uốn và cắt<br /> <br /> Bước 6: Kiểm tra bền.<br /> <br /> Mu = Pu.l/4 = 50.4/4 = 50 kNm<br /> <br /> 4. Ví dụ minh họa<br /> <br /> Vu = Pu.l/2 = 50.4/2 = 100 kN<br /> Pu<br /> Pu<br /> e<br /> <br /> x<br /> l/2<br /> <br /> l/2<br /> y<br /> <br /> σ bx =<br /> <br /> Mu 50.10 4<br /> =<br /> = 155,3 daN/cm 2<br /> Sx<br /> 3220<br /> <br />  bw =<br /> <br /> Vu .Q w 100.10 2.1704,5<br /> =<br /> = 220,6<br /> Ix .t w<br /> 77271.1<br /> <br /> Hình 5. Sơ đồ dầm trong ví dụ<br /> <br /> H×nh 5. S¬ ®å dÇm trong vi' dô<br /> <br /> Đề bài:<br /> Kiểm tra bền và xác định góc xoắn lớn nhất của<br /> một dầm chịu lực như hình 5. Biết: Dầm có tiết diện<br /> H500x300x10x20, được làm từ thép CCT34, E =<br /> 6<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 2,1.10 daN/cm ; G = 81.10 daN/cm , Pu = 50 kN; e =<br /> 200 mm.<br /> <br /> Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015<br /> <br />  bf =<br /> <br /> Vu .Q f 100.102.1440<br /> =<br /> = 93,2<br /> Ix .t f<br /> 77271.2<br /> <br /> Bước 3: Xác định các ứng suất do xoắn theo biểu đồ<br /> Tu = Pu.e = 50.0,2 = 10 kNm<br /> Tra các biểu đồ trong phụ lục B, trường hợp 3 với<br /> α = 0,5; l/a = 400/276,9 = 1,44 ta có các giá trị như<br /> dưới đây.<br /> <br /> 71<br /> <br />