Toán học lớp 10: Áp dụng mệnh đề vào suy luận Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c TOÁN 10 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> Bài gi ng sô 4:<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> ÁP D NG M NH<br /> I. KI N TH C CƠ B N<br /> <br /> VÀO SUY LU N TOÁN H C<br /> <br /> nh lí là m t kh ng nh úng, thông thư ng có d ng ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) Có hai phương pháp ch ng minh nh lí cơ b n: +) Phương pháp tr c ti p: T x ∈ X, P(x) úng r i l n lư t suy ra Q(x) úng. +) Phương pháp gián ti p: Dùng phương pháp ph n ch ng. Ta bi t r ng m nh ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) sai khi P(x) úng và Q(x) sai. ch ng minh ph n ch ng ta th c hi n như sau - gi s t n t i xo thu c X sao cho P(xo) úng và Q(xo) sai. Khi ó m nh ban u sai. - Dùng các phép l p lu n d n n i u gi s trên b mâu thu n. Chú ý: +) Bi n i tương ương là m t cách ch ng minh khác quen thu c c a nh lí thay vì ch ng minh kh ng nh P úng, ta bi n i tương ương v m t kh ng nh Q úng, do ó P úng. +) D ng s nguyên thư ng g p: - s n là s ch n khi n = 2k, (t c là n chia h t cho 2). - s n là s l khi n = 2k + 1. - s n chia h t cho 3 khi n = 3k. T ng quát, n chia h t cho a khi n = a.k - s n không chia h t cho 3 khi n = 3k + 1 ho c 3k + 2, vi t g n là n = 3k ± 1. - s n không chia h t cho 5 ư c vi t g n là n = 5k ± 1; n = 5k ± 2. II. CÁC VÍ D I N HÌNH Các ví d ch ng minh tr c ti p: Ví d 1: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ta có a) N u n là s l thì n3 l . b) N u n chia h t cho 3 thì n(n + 1) chia h t cho 6. Hư ng d n gi i: a) Do n là s l nên n = 2k + 1.<br /> 3 k′<br /> <br /> Khi ó n3 = ( 2k + 1) = 8k 3 + 12k 3 + 6k + 1 = 2 ( 4k 3 + 6k 2 + 3k ) + 1 = 2k ′ + 1<br /> <br /> V y n3 là s l . b) Do n chia h t cho 3 nên n = 3k v i k là m t s nguyên. Do ta chưa th xác năng x y ra. TH1: k là s ch n, t c là k = 2m  n = 3k = 3.2m = 6m → Khi ó n ( n + 1) = 6m. ( 6m + 1) = 6. ( 6m 2 + m )  n 6 →<br /> <br /> nh ư c k ch n hay l , nên có hai kh<br /> <br /> Khi ó n ( n + 1) = ( 6m + 3) .( 6m + 3 + 1) = ( 6m + 3) .( 6m + 4 ) = 3( 2m + 1) .2.( 3m + 2 ) = 6 ( 2m + 1)( 3m + 2 )  n 6 → Ví d 2: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i s chính phương luôn ư c bi u di n d ng 4k ho c 4k + 1. Hư ng d n gi i: G i n là s chính phương. Khi ó n có th là s ch n ho c s l .<br /> <br /> TH2: k là s l , t c là k = 2m + 1  n = 3k = 3.( 2m + 1) = 6m + 3 →<br /> <br /> - N u n l , gi s n = ( 2m + 1) = 4m 2 + 4m + 1 = 4 ( m 2 + m ) + 1 = 4k + 1<br /> 2<br /> <br /> - N u n ch n, gi s n = ( 2m ) = 4m 2 = 4k<br /> 2<br /> <br /> V y ta ư c i u ph i ch ng minh. Ví d 3: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i x, y ta luôn có a) x 2 − xy + y 2 + 1 > 0<br /> <br /> b) 4 x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 ≥ 4 xy<br /> Hư ng d n gi i:<br /> <br /> y  3y  a) Ta có x 2 − xy + y 2 + 1 =  x −  + + 1 > 0, ∀x, y ∈ R. 2 4 <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> b) Ta có 4 x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 − 4 xy = ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + 3 x 2 + 6 x + 3 = ( x − 2 y ) + 3 ( x + 1) ≥ 0, ∀x, y ∈ R<br /> 2 2<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 10 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG ch ng minh:<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> Các ví d s d ng phương pháp ph n ch ng<br /> <br /> Ví d 1: [ VH]. Cho s t nhiên n. Ch ng minh r ng a) n u n2 là s ch n thì n ch n. b) N u n2 chia h t cho 5 thì n chia h t cho 5. Hư ng d n gi i: Ta bi t r ng v i m nh n u P thì Q ch sai khi P úng, Q sai. a) Gi s n là s l và n2 là s ch n.<br /> 2<br /> <br /> Do n là s l nên n = 2k + 1  n 2 = ( 2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2 ( 2k 2 + 2k ) + 1 = 2k ′ + 1 →<br /> nh sai, t ó m nh ã cho là úng, hay nh lí<br /> <br /> Ta th y n2 là s l , trái v i gi thi t ph n ch ng. V y m nh ph ư c ch ng minh. b) Gi s n không chia h t cho 5, khi ó n = 5k ± 1; n = 5k ± 2.<br /> 2<br /> <br /> V i n = 5k ± 1  n 2 = ( 5k ± 1) = 25k 2 ± 10k + 1 = 5 ( 5k 2 ± 2k ) + 1 = 5k ′ + 1 → V i n = 5k ± 2  n 2 = ( 5k ± 2 ) = 25k 2 ± 10k + 4 = 5 ( 5k 2 ± 2k + 1) − 1 = 5k ′ − 1 →<br /> 2<br /> <br /> → n2 không chia h t cho 5, v y gi thi t ph n ch ng là sai.<br /> <br /> → n2 không chia h t cho 5, v y gi thi t ph n ch ng là sai. V y n2 chia h t cho 5 thì n chia h t cho 5 Ví d 2: [ VH]. Ch ng minh r ng a) N u a + b > 0 thì có ít nh t m t trong hai s a ho c b ph i dương. b) N u a và b là hai s dương thì a + b ≥ 2 ab . Hư ng d n gi i: a ≤ 0 a) Gi thi t ph n ch ng c a và b u không dương, t c   a + b ≤ 0 . i u này mâu thu n v i gi thi t. → b ≤ 0 V y n u a + b > 0 thì có ít nh t m t trong hai s a ho c b ph i dương.<br /> b) Gi s a và b là hai s dương và a + b < 2 ab  a + b − 2 ab < 0 ⇔ →<br /> V y n u a, b là hai s dương thì a + b ≥ 2 ab .<br /> <br /> (<br /> <br /> a− b<br /> <br /> )<br /> <br /> 2<br /> <br /> < 0  vô lí. →<br /> <br /> BÀI T P LUY N T P<br /> Bài 1: [ VH]. Ch ng minh r ng a) n u a + b < 2 thì m t trong hai s a, b ph i nh hơn 1. b) cho n là s t nhiên, n u 5n + 4 l thì n là s l . c) N u abc > 0 thì trong ba s a, b, c có ít nh t m t s dương. Bài 2: [ VH]. Ch ng minh r ng a) n u b 100 viên bi vào trong 9 cái h p thì có m t h p ch a ít nh t 12 viên bi. b) m t tam giác không ph i là tam giác u thì nó có ít nh t m t góc nh hơn 600. c) n u x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1. Bài 3: [ VH]. Ch ng minh b ng phương pháp ph n ch ng: a) v i s t nhiên n, n u 3n + 2 l thì n là s l . b) n u tích hai s nguyên chia h t cho 5 thì ph i có ít nh t m t s chia h t cho 5. c) n u t ng bình phương c a hai s nguyên dương chia h t cho 7 thì c hai s ó chia h t cho 7. Bài 4: [ VH]. M t nhà thông thái b x ph t t i ch t và b hành quy t: ho c chém u ho c treo c . Trư c khi hành quy t nhà vua cho ư c nói m t câu và giao h n: n u nói úng thì chém u, n u nói sai thì b treo c . Nhà thông thái m m cư i và nói m t câu, nh ó ã thoát ch t. B n hãy cho bi t câu nói ó c a nhà thông thái là gì? Bài 5: [ VH]. Cúp Tiger 98 có 4 i l t vào vòng bán k t: Vi t Nam, Singapor, Thái Lan và Indonesia. Trư c khi vào u vòng bán k t, ba b n A, B, C d oán như sau B n A: Singapor nhì còn Thái Lan ba. B n B: Vi t Nam nhì còn Thái Lan th tư. B n A: Singapor nh t và Indonesia nhì. K t qu là m i b n d oán úng m t i và sai m t i. B n hãy cho bi t m i i chính xác ã o t gi i m y?<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br />