Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

326
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 02. M Th y I. NH NGHĨA DÃY S U V DÃY S - P1 ng Vi t Hùng [ VH] + Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ). Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3...m} ư c g i là m t dãy s h u h n. Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). II. CÁC CÁCH CHO M T DÃY S Dãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác 2 nh. Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15... Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a các dãy s sau: 3n + 1 1 + (−2) n a) un = 2 b) un = n +1 n +1 d) un = 2n + 1 2n − 1 c) un = 1 n +1 − n n e) un = n +1 n2 + 1  1 f) un =  1 +   n Dãy s cho b i h th c truy h i u ho c m t vài s h ng u. u = a u = a; u2 = b ho c  1 Có hai d ng cho s h ng b i h th c truy h i thư ng g p là  1 un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = 2 Ví d 1 [ VH]:  1 ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22... un = 3un −1 + 1 Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a dãy s . D oán công th c un và ch ng minh công th c ó b ng phương pháp quy n p? u1 = 3 u1 = 1 u1 = −1  a)  b)  c)  2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 3; n ≥ 1 un +1 = 1 + un ; n ≥ 1  Hư ng d n gi i: u1 = 1 a)  ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25. un +1 = un + 2n + 1 T ó ta có th nh n th y un = n 2 ; n ≥ 1, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 1, v y (*) úng. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k 2 ; k ≥ 1. Khi ó, dãy s xác nh ư c s h ng +) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0. Th t v y, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) úng. V y un = n 2 ; n ≥ 1. u1 = −1 b)  ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11. un +1 = un + 3 T ó ta có th nh n th y un = 3n − 4, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = −1, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = 3k − 4. Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 +) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = 3(k + 1) − 4. Th t v y, uk +1 = uk + 3 = 3k − 4 + 3 = 3k − 1 = 3(k − 1) + 4 ⇒ (*) úng. V y un = 3n − 4. u1 = 3  2 2 2 c)  ⇒ u1 = 3 = 9; u2 = 1 + u12 = 10; u3 = 1 + u2 = 11; u4 = 1 + u3 = 12; u5 = 1 + u4 = 13. 2 un +1 = 1 + un  Ta nh n th y un = n + 8, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 3, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k + 8. +) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1) + 8 = k + 9 2 Th t v y, uk +1 = 1 + uk = 1 + k + 8 = k + 9 ⇒ (*) úng. V y un = n + 8. Ví d 3 [ VH]: Cho dãy s (un ) xác a) Tính u2, u3, u4. b) Ch ng minh r ng un +3 = un ∀n ∈ »* u1 = 1  nh b i công th c  3 2 5 un +1 = − 2 un + 2 un + 1; n ≥ 1  Hư ng d n gi i: u1 = 1 3 5 3 2 5 3 2 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u12 + u1 + 1 = 2; u3 = − u2 + u2 + 1 = 0; u4 = − u3 + u3 + 1 = 1. 3 2 5 2 2 2 2 2 2 un +1 = − 2 un + 2 un + 1  b) Ta ch ng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ »* b ng quy n p. + V i n = 1 ta có u4 = u1, úng theo ph n a. + Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk +3 = uk . + Ta ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh uk + 4 = uk +1 3 2 5 3 2 5 Th t v y, theo cách cho dãy s ta có uk + 4 = − uk +3 + uk +3 + 1 = − uk + uk + 1 = uk +1 ⇒ (*) úng. 2 2 2 2 * V y un +3 = un ∀n ∈ » . Ví d 4 [ VH]: Vi t 6 s h ng u tiên c a các dãy s sau và d oán s h ng t ng quát c a dãy s ó. u1 = 1 u1 = 1 u = 1   a)  b)  c)  1 un 2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 1; n ≥ 1 un +1 = u + 1 ; n ≥ 1  n  /s: a) un = n. III. DÃY S TĂNG, DÃY S GI M 1 b) un = . n c) un = n2 . Dãy s (un) ư c g i là tăng n u un < un+1; ∀n ∈ »*. Dãy s (un) ư c g i là gi m n u un > un +1; ∀n ∈ »* . M t dãy s tăng, gi m ư c g i chung là dãy s ơn i u. Phương pháp kh o sát tính ơn i u c a m t dãy s Phương pháp 1: Xét hi u H = un+1 − un +) N u H > 0 thì dãy s +) N u H < 0 thì dãy s ã cho là dãy tăng. ã cho là dãy gi m. un +1 un +) N u T > 1 ⇔ un+1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. +) N u T < 1 ⇔ un+1 < un ⇒ dãy s ã cho là dãy gi m. Phương pháp 2: N u un > 0 thì ta l p t s T = Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG n . n +1 2 Facebook: LyHung95 n +1 − n . n Ví d 1 [ VH]: Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n a) un = 2n + 3. b) un = n . 2 c) un = d) un = Hư ng d n gi i: a) Theo cách cho dãy s ta ư c un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > 0 Suy ra un +1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. b) Ta có un = Gi s n 2n ; un +1 = n + 1 un+1 n + 1 2n 1 n + 1 1 n + 1 ⇒ = n +1 . = = un 2 n 2n+1 2 n 2 n un +1 1 n + 1 1 n +1 = >1⇔ > 1 ⇔ n + 1 > 4n ⇔ 3n < 1 ⇒ vô lý. 2 4 n un n un +1 < 1 ⇔ un +1 < un ⇒ dãy s un ã cho là dãy s gi m. V y c) Ta có un = = n n +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n 2 + 2n + 2) ; un+1 = = 2 ⇒ un+1 − un = 2 − 2 = (n + 1)2 + 1 n + 2n + 2 (n2 + 1)(n 2 + 2n + 2) n2 + 1 n + 2n + 2 n + 1 n3 + n 2 + n + 1 − n 3 − 2 n 2 − 2n −n2 − n + 1 = 2 < 0 ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy s gi m. (n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2) (n + 1)(n 2 + 2n + 2) n +1 − n n +1 n+2 = − 1 ⇒ un +1 = −1 n n n +1  n + 2   n +1  n+2 n + 1 n n + 2 − (n + 1) n + 1) Khi ó ta có un +1 − un =   n + 1 − 1 −  n − 1 = n + 1 − n =    n(n + 1)     Gi s un +1 − un > 0 ⇔ n n + 2 − (n + 1) n + 1) > 0 ⇔ n n + 2 > (n + 1) n + 1) ⇔ n 2 ( n + 2) > (n + 1)3 d) un = ⇔ n3 + 2n2 > n3 + 3n2 + 3n + 1 ⇔ n2 + 3n + 1 < 0 ⇒ vô lý. V y un +1 − un < 0 ⇒ (un ) là dãy s gi m. IV. DÃY S B CH N Dãy s (un) ư c g i b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho un ≤ M ; ∀n ∈ »* . Dãy s (un) ư c g i b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho un ≥ m; ∀n ∈ »* . Dãy s (un) ư c g i b ch n n u t n t i m t s M và m sao cho m ≤ un ≤ M ; ∀n ∈ »*. Chú ý: +) Trong các i u ki n v b ch n trên thì không nh t thi t ph i xu t hi n d u ‘=’ +) N u m t dãy s tăng thì luôn b ch n dư i b i u1; còn dãy s gi m thì b ch n trên b i u1. BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n −1 2n + 1 1 a) un = − 2. b) un = . c) un = . n +1 5n + 2 n 2n 2 − 1 3n 2 − 2n + 1 e) un = 2 f) un = n + 1 − n . g) un = . n +1 n +1 3n + ( −1) n Bài 2: [ VH]. Cho dãy s (un), v i un = . 4n + (−1)n +1 a) Tính 6 s h ng u tiên c a dãy, nêu nh n xét v tính ơn i u c a dãy s . 3n + 4 b) Tính u2n và u2n + 1. Ch ng minh r ng 0 < un ≤ . 4n − 1 na + 2 Bài 3: [ VH]. V i giá tr nào c a a thì dãy s (un), v i un = n +1 a) là dãy s tăng. b) là dãy s gi m. Bài 4: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: d) un = 2n 2 + 5 h) un = n +1 −1 . n Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y n2 + 1 7n + 5 b) un = . 2 2n − 3 5n + 7 Bài 5: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: 1 n −1 a) un = 2 . b) un = . 2n − 1 n2 + 1 NG VI T HÙNG c) un = 1 2n − 3 2 Facebook: LyHung95 . a) un = d) un = 1 . n(n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 . n2 + n + 4 c) un = 2n 2 . n2 + 1 d) un = Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un = n+3 gi m và b ch n. n +1 1 1 1 1 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un = tăng và b ch n trên. + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Bài 8: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un = n2 + 1 là m t dãy s b ch n. 2n 2 − 3 Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!