Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 01. PHƯƠNG PHÁP QUY N P TOÁN H C<br /> L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN<br /> [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên<br /> I. CƠ S C A PHƯƠNG PHÁP<br /> <br /> Dãy s , c p s ]<br /> <br /> 1. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ∈ N* thì ta th c hi n theo các bư c sau ây: Ki m tra m nh úng v i n = 1. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. 2. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ≥ p; (p là s m t s t nhiên) thì ta th c hi n như sau: Ki m tra m nh úng v i n = p. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. II. M T S VÍ D MINH H A<br /> <br /> Ví d 1 [ VH]: Ch ng minh các bi u th c sau úng v i m i s t nhiên n dương: n(n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2 n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = . 6 L i gi i: n( n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = , (1) 2 1.2 +) V i n = 1 thì ta có 1 = ⇒ (1) úng. 2 k (k + 1) +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (k + 1)(k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 2 k ( k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) Th t v y, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1) = + k +1 = = 2 2 2 V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , ( 2) 6 1.2.3 +) V i n = 1 thì ta có 12 = ⇒ ( 2 ) úng. 6 k ( k + 1)(2k + 1) +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = 6 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) +) Ta s ch ng minh (2) úng v i n = k + 1, t c là 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) Th t v y, 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = (12 + 22 + 32 + ... + k 2 ) + (k + 1) 2 = + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 (k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ] (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = = = 6 6 6 6 V y bi u th c (2) úng. Ví d 2 [ VH]: Ch ng minh r ng: a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n 2 (n + 1) v i m i n dương. b) 3n > n 2 + 4n + 5 v i m i s t nhiên n ≥ 3. a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n (n + 1),<br /> 2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> L i gi i:<br /> <br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br /> Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y +) V i n = 1 thì ta có 1.2 = 12 (1 + 1) ⇒ (1) úng.<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) = k 2 (k + 1) Th t v y, 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = [1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1)] + (k + 1)(3k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1) 2 (k + 2)<br /> <br /> = k 2 (k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1)(k 2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k + 1) 2 (k + 2) V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. b) 3n > n 2 + 4n + 5, ( 2) +) V i n = 3 thì ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 ⇒ ( 2 ) úng. +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 3k > k 2 + 4k + 5 +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 Th t v y, 3k +1 = 3k .3 > 3(k 2 + 4k + 5) = 3k 2 + 12k + 15 = (k 2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 = (k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 > ( k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 do 2k + 6k + 5 > 0 ∀k . Do ó ta ư c 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5. V y (2) úng.<br /> <br /> BÀI T P LUY N T P<br /> Bài 1: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) 2 n > 2n + 1; ( n ≥ 3) . b) 2n+ 2 > 2n + 5. Bài 2: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 3 2n − 1 1 a) 1 + 2 + ... + 2 < 2 − ; ( n ≥ 2 ) . b) . ... < . n 2 4 2n 2 n 2n + 1 Bài 3: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 1 13 a) 1 + + ... + < 2 n. b) + + ... + > ; ( n > 1) . n +1 n + 2 2n 24 2 n Bài 4: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n 2 (n + 1) 2 a) 13 + 23 + ... + n3 = . b) 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1) 2 . 4 Bài 5: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n( n + 1)( n + 2) 1 1 1 n a) 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = . b) + + ... + = . 3 1.2 2.3 n( n + 1) n + 1 Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n(4n 2 − 1) n(3n − 1) a) 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1) 2 = . b) 1 + 4 + 7 + + (3n − 2) = . 3 2 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) n3 + 11n chia h t cho 6. b) n3 + 3n 2 + 5 chia h t cho 3. c) n3 + 2n chia h t cho 3. d) 7.22 n −2 + 32 n −1 chia h t cho 5. 1 1 1 1 Bài 8: [ VH]. Cho t ng S n = + + + ... + . 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh d oán ó b ng quy n p. n /s: S n = . 2n + 1 1 1 1 1 + + + ... + . Bài 9: [ VH]. Cho t ng S n = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh d oán ó b ng quy n p.<br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br /> Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> n . 4n + 1 Bài 10: [ VH]. Dãy s (an) ư c cho như sau a1 = 2, an+1 = 2 + an , v i n = 1, 2, …<br /> <br /> /s: S n =<br /> <br /> Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* ta có: an = 2 cos<br /> <br /> π<br /> <br /> 2<br /> <br /> n +1<br /> <br /> .<br /> <br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br />