Toán học và tuổi trẻ Số 102 (3/1978)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 102 (3/1978) nêu lên tầm quan trọng của một cách nhìn; dùng phép quay vectơ để giải toán hình học phẳng; những bài toán về hai đường thẳng chéo nhau. Mời các bạn tham khảo tài liệu để bổ sung thêm kiến thức về Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 102 (3/1978)

r .t"6L :Y l \ F .l :1 ! i r'- 'uOr roAN uOi t,^-, YIOT NAM a t i' !.i lft(*4t:!:?i:j.. , I ,"s..,:r,'r*, :i-"+-";,Y"-'': ;ilbe roz )i ;, iir,- ,.i l Iil lir( :;;1;;., i'ij*ti,#r'.,,..'.l r:i;;n:,i t: i3 I eAo AA i-iAt rHANG MoT K? o Cttfi nhiim; NGUyET{ Cixn roAx l'ittr kg tdr.r soon i HOAKG CHIJI{G ,IT I'ru s6 : 70 frhn Hung Eqo, Hi N6"i DAy n6i: 5ZB2S E t xfi cnuyEN vot cAc aAN rai yda fos,y r&H 0UAFI TRSp€ffi flErA M&T eAgE{ [* **i$i NGUIEN ciNH TOAN * f : C{c b4n thin m8n! Duui g6c r10 ,t ICnh > niy thi phep c6ng vir Ch^ung ta cti quen voi cac s6 lhr.ic (bao g6rn pbep nhrin nOn hi6u nhu thd nao? Vcri hai sci td.t ci cic s6 hiru tj' vi cric sr1 vo l;i) vi thuong nhin ehtng dudi g6c it( tt 16 n. IJAy gid ta h[y L"f ,g m,i[,vic lo I to.f,, thr,rc a, c6 c{ch nhin mdi vE cAc s6 d6 Cac sd nhu 2, ll, fu * b) V : aY -t bV, (ab) V a(by) = bht,). - { Z n, v.v... ilem dlt rruoc m6t eiri gi d6 dBu \-a)" : q6 lf ngbia nhu mgt lQnh phii thgc hdntr tr,6n 1) tr{udn ti:uc irirnh ldnh a + b thi ta thi hlnh - cii tI6. Vi dU 2 denl dit tru6e S cd nghia la phrii ridng rE tring lQnh r.r,r'a D (thco nr6t tht tqt nio l{y 3 g 3, dtern ddt trudc c c6 nghia lI phii lfly ct)ng duoc) rdi cgng cac kdt quir lai. [. r * r, dem dft trrr nay thi gi? Ta h5.y nhin hinh l. R6 rirng li ldy L s6 thuc nao lAm l6nh ta etng kh6ng thr kh6i duolg th&ng D, nghi,r li n6u ta ser r ve,cto cung g6c 0 vi rudt ph6t trt nr6r (3) V nIm trOn:ndt duong th$ng ,t") rhi d) cac vecto aV ludn luOn bu,it: phir no 'Q' Itrinh. I dudng thfing D" Ch[ug tran vtri c:1,e sd thrni frI A Q. th} aio tim ra nr0t e{i l6ph d$ tu yd, ls
*+, iiLr,,r,c vecto U tr€n hinh t" Vi OU' = OU (phep iiuay), nbu Cudi ctlg ts c6: i 'la mu6n thoit iih6i th€ gi6i chat hgp c&a d.t&ng th8ng D d& di vuo virng -'riy trong thd s'=-1 n- lT r, gi0i r$ng ldrn erla todn ni[t ph8.ng' Ldm sao 22 bAy gio ? M$t vecto' nhu 7 bu$c phli nLm trdn ' /!- r+ !s. u=-, du&ng th&n6 .* r'ie m$i vecio uhu-U c6 th6 c6 z nhtrng vi tr1 triy ;f trong mlt ph&ng thi kh{c nhau co b&n & ch6 nLo ? Ndu nhu ta dinb hu6ng Yi du cg thb niy gqi eho ta f nghi tqo oln rilriri:g IQnh mdi b&ng b6n l€uh ct a, b, c, d l6'c du&ng th&ng4 D thi ta c6 thE x6.c dinh V chl dQrig IOn hoirnh d$ vi tung tIQ crlr cic vecto :: bing Lqt sd thqrc thoi,j6 Ii hoauli dQ u cria t'= ar * bg n6. Cdn ar6t v6cto nhu U thi kh6ng thi rAc dinh ehi beng m$t sS thqc, mi phli blng hai.sd thr3c, g'=cr*dg €6 lar hoann d6 a vir tung riQ u cria n6 (hinh 1)' (tlong vt clg tron a=112, b---litZ, Dern lQnh c ttri hinh drii voi Y thi {li6u d6 citng cl= 71il. "='liit, tuong tluong v6i vifc dem i$nh do tbi hnnh d6i vdi hoi.nh iiO c'gn6, tuc li: dem s'j thuc a Ta sip x{p b5n s6 thqc a, b, c, d thirnh m0t bin g. nh&n v&i vectc, V thi hoinh d0 u cira V sE drroc ahAc l6n v*i a, vtr nguqrc l4i dem hoinh il$r; nh$n v&i a ihi ta duoc hoAnh d0 c'ia vecto aY' (::),' vi6t? = (i'r)n fiiBu niy ggi cho ta 1i nghia tao nen uhirng l0nh nrrvi e'r,ii vdi c6.e o*"io I.oug m5t phing b&n11 dB chi ling tf *h m&i cho b&i na,,s (l l )otn" *:'icir dung nhirng lQnh cO il6i vtvi iroAnh t[6 vfi tung d[ cr"ru ng. F]b cho huong suy ttghi vecto Lr th{'nh veeto 7. "iii ni"r, cirig"c cr,i th6, ta hEy x6t thrl mQt tlutrng llr,:p dfi.c iridt : 'f a nrudn t4o nOn m$t cai tdnh Ngudi ta ggi mCr. biog bdn s6 thgc nhu t$y eo"t6c dqrrg Ii. khi dem thi hirnh d6i v$i m$t Iir n:0i ma traa. Nh'i vAv m6i sd thirc cho ta m$t lQnh cir c6n m$t ma trin cho ta mQt IQnh vecttr U thi quay nd di 604 thilnh mQt vecto mdi. (l6c l$nh cil giam him chring ta lai trong + ktrie U; {hiuh ?i. Goi tqa dQ eria U lir n' g vir thd gioi ch{t hqp cia mOt dudng th&rrg con cdc tenh m6i thi giii phong 'eho chring ta trgc or vOi duqc vung lE a* *f," U' ltr o'r g'. Ndu g6c cfia u'6y trong ci mit phing r$ug l6n' Kbi nhin m$t u la cs thi *, t.{tr, "ho t" m6t lQnh m0i nhu tr€-n thi ta' ;r = OLIcosfr gtti nhd ring: Mu6n c6 hoinh iIQ cria vecto' ft-,ai g s {.iUsine. mdi (recto 7) tui dirng hai lQnh cfi & d6ng dlut c'=$U'c*s(w*6{}") sina sin cria ma trin cdn mudn c6 tung d$ cfra vecto' =: tlU'cosc{ cos60o 'OU' S0o *Oi ,fri dnng hai lQnh ctr & ddng thu hai eira g'sOU'sitl{o(+60*) ,ta". rrJng ci hai trulng hqp' lQnh ctr & g{J'sipg,cos60o -!- OU'cosasin 60o. - "r" ;;;,* [ og-*,i tinh d6i 'noi honnh d0 cfia vectcv cfi (vectcr7) cdn lQnh ct 6^ b6u phli lir db thi hinb d6i vfi tung d0 cria vecio cfl'Trong cac rna trfn nhu tr€n ta hdy chl y d6n cdc ma /a 0 \ MQt ma tran c6 dsrg niJ trfln risng t; ;J. cho ta nr$t mi khi thi trirnh d6i v0i m6J lQnh rr' ;;;,;" cd roa d0 (r, v) thi se co-50t vecto c6 toa d0 (ac, ag), tuc l?r vecto aV'" V{y lQnh trin r.r6i ri'€n cri tf C dgng honn ir,ri=*t o b&i ma ;;;;;"; t nrrtr't6'c dr.rng cira l€nl cii cho b6l sii thurr a. Nhn vqy cati ltnh ct zhirng qua chi Ii DoJt truong liqP diic biQt ctra c{c lQnh m6'i" ir ilul 2
t' I t fr€n co s& do tluug & goc dg < i6nn r ta c6 tht * bc' ab' * bd") *'r I vidt: (:")((:,"' )7) = I( oa' .r'+ dc' + )v cb' dd' lo 0\ , lQnh (o , /:l€nh a vi l€ d6, ta c6 thB vi6 t: hay v[n ti.t : (;:):, (:')(: i) =(:; '*dc'cb'*dd') * bc' * bd'\ ' ab' 0) I vi goi ma tr6.n (l€nh) & v6 sau li tich cia hai 1"," Ta ctng sE xet tSng vA tich cic l6nh m6i ma tran (lenh) & vd tru 6c, l$y theo thri tU 116. gi6ng y nhu khi x6t t6ng vi tich cac lQnh ct 0 dAy, hh6c v
tl6u ta.vi6t phu
Yly cric sd at, a2, as, e4 th.6a m6n di€u ki6n ii[ng cach l.rip luSu tucrng !u, ia chung mir:L crla bii lodn phli c6 dang: - duqrc cfic-d,rong thiug n6i hai cnp dinh Oil aiqrr ol=n, a..a=n*2, o3 =n*5, a4=n|7, cdn Iqi c&a luc giic (phin chung cfia hai tam giitc AtlC vn IJI|) d6u di qua truc rAm II cria troDg dd nld mQt s6 tir nhi6n nio tI6. tam giic ABC. T. T. Nhdn rit. r.\hibu ban ald eri ldi gili dirng vi I theo cirng mdt luoc tI6 chring minh nhu tr0n Bni 2/99. Cdc di?m ddi r*ng o6.i trqrc tdm (truoc h6t chi'rng LA A,B,C, 1,"I,-Il, cring nim tr.6n t, efia m6t tant gia. qua cac canh ctta tam gidcdg m$t du{ r, l/(r) l< t, I hdy chung rr,inh rlng clr:ong trdn ngoai ti6p ABC. if(rrll < 5/+ vdi moi I r I -( t. I i. 2. Goi M li. giao di6m ciLa KJ ,t:a AC, N Ii giao itiinr cia /(1 r'i ]3C. 'Ia s6 c:hfing minh B Lb'i gi&i. 'frrrdc h6t ta lr5.y lAp tla thirl li{c [$ I alibrn ,lJ, M, {jhjng ir:ing. Th:\r vny itreo rrcn hai g(r) : Ar(r- 1) + B(r2 - 1) + Cr(- + i). tt' 'I'a hiiy chgu c{c he s6 A, B, C sao cho t, tr co Alf =jJK (cr\ng chin cung C,r). rie t n
= lrt-r I + {2 t"irlr-r + lr+ r ll. 1 1, v4y lrrl > t, chi ch.n chung miuh hai di6m M vir Ms tt6i xung vl do r, ( o, ta 96 ra < -1, tt aI6 suy ra vfi nhau qua d1. Ta thfly rilng hai tam giic 6r
I IMtlfz v[ lMMs ]rlnq nhau (c.g.c). Iiixt kh6c do clfrng, cie tam giAc ni.y c6 eAc cauh d*;, 1l$1g d vI dt tl6i xu,rg nhau qua f n6n Il{:Ir. Suy Dhau, ta d{t b}ng 4,,Nhu v{Y ta cd rr frX{z : LkIs vi do d6 hai tam gi{c EKMz vd Sn = ftl * hz," * lrn-r -F /rn J.LHg bing nhau (E li. giao cita Mt Mz v}i d' xin rtra tai hinh). Tu eC.c ef,p tam gi6c bi.ng uhau -2(8r * * Bz1. ,.. Ba-1)/a * h" trdn te suy ra UMsL(il vd ./ li tliBm gioa cria ,rVMs: trlc ltr M3 d6i xrtng vli M qua d1 (dpcnr). =2(B*BJ/o*h" vdi B lt diQn tich cfra tta gi6c dbu. Ggi d 16 trung dog.n cria tta gi6c ttbu thl Sn 2B+2Bl , ,to 28 28" + 4l- F - - NG :.--r ] -a na \\ n': ' - Jsl =cr* +.+ = d+ftu- __L 2 tro n* n-2 ftr. Khin-toothi n-2 ->1, ftn-+0ro€n n tim Si__ft(dpcm). n-+ o€ n Elnh 2 ' Clc ban Trhn Li.lfinft (9G Y6n Binh 2, Thanh Hda); Ngug\n Dug Qudn, Phqm l/dn l/rin (0N . B0y gid ta chrtng minh ring h9 cde du&ng Hbng Quang, Hli Hung) t Ttdng Deg .Nidn (10N ttring song song nhau, troug tI6 c6 d vi d1, eAch ll6ng Quang) i *ang Nggc lhrly (10cT 9HSP fi6u nhau mgt kholng bing kholng cach gi&a d vi dr, dEu li circ trqrc il6i xrtng c&a duo'lg Xudn' Dltng (HAr Noi) c6 loi Siei tuong ddi tdt' cong (c). Th{t v{yr vi dg ta x6t dudng th8ng dz ghn d tsili 1199. Gidi ud bi€n bein phaong trinh nhdt. Ldy iliEm N b6t ky tr6n (C), bao gi oo n a :l*r (r * 1) (rs + t) - (r * 1) (re - 1) ylnz Lbi gi&i (rtta LO Atth Ditng, 10CT 'fh6i Phi6n, Hii Phdng). Ggi .81, 82,.., Bn-t, rln lil luqt lir Bi6n d6i hai phuong trinh cu6i niry, ta iltroc di€n tich c{c tam gi6c c6 dlnh ti.I vir c6c cqnh tlay l}n lugt li AtAz, AzAs,..., Ao-r dn, Ao Al vi o*2+**1:o (*n) bg, hz,...,ho lg c+q qq0ng e4s fuong ung cfia *2+**q=o (*os)
{ I(hi gill cee pht}oEg trinh (*x) vA (*tct) ta thdy nOn kdt ltr4n kh6ng 16 rhng: thAm chi c6 b1n chirrrgc6 chung bi6t thuc 6 -- 1- 4a. Vi v'ny, lir phuong triuh (*) vO nghiQm cdrr k6t lu1n sai lihi.s) 1/4 thi d ( o un, do d6, ci hai phrrong v6i moi a ) 0, v.v.* trinh tren d6u v6 i)ghiem. Vdi a = t/4 thi 6 = 0 c"T. vli m5i phuong trinh (**), (**x) sg mQt nghiQm k6p: c1 * -2, rZ== - Ii2. Truong hgp a {tt 't, Bili 8199. Chftng minh r&ng moi da gid.c n rn6i phrrong trinh trdn oo hei nghigm ph0.n bi€t: cg.nh d'?a chia du.oc thdnh p ttr giac nQi ttdp oti p2 3n. :xl,Z= -t+lt-1n , rg,4 -t'ltT-4a Lbi gidi. Trudc h6t ta dua ra bb d6: 2- Nbin th6y ring phuong triub (x) tuong tluong Bb db. MOt tarn gi6c bf,t k5; c6 thE ehia iluoc v&i hai phuong trinh (x*) vI (***). Vi viy 11, *, thanh ba t* gihc nOi ti6p. n3.4 lit 4 nghiQm cfia phuong trinh (x). Ta c6 c{c nh{u x6t sau: Db ph&n biQt duoc nhirng nghidm kop cria (r) '-N6u tu rn6t atiEm b{t k} b6n trong mQt g6c ta iln phii tim nhirng gE tri c&a a (0 * a ( ttfl nhgn ta k6 cro ilunng.vudng g6c xu6ng c{c cgnh sao cho ci-rjG:1,'1,7=3,4), tuc li ughiQm thi chin c6c rludng vu0ng g6c bao gid cflng nlm efia mQt tro-ng b6n phuoug trinh sau dAy: tr6n ci.c n&a cludng thf,ng tao thiuh g6c nhOn tI6. _ -1:L11-4a t^ - N€u tri orQt ali6m bdt k1i tr€n phln dudng -t+dl-4u (o*a
t Yl vfrv Nhu vgy, tliEu phii chitng minh tuong tluong (sinra sinq * sinP v6i EiB"6 - sinnp ) - sinnp) 2 (o2 +b2 - "2) (bz + c2 - az) (cz + a2 - bz) 4 oz b2 "2 . Theo gil thi6t a>b>c)a- D te c6 . =: 6 (sino*la - sina+lp) + a o2+bz-"2)o vir Nhung "2+o2-t220. b2 + a2 c6 thb duong ho{c im. * I siucr sinp tsino-lcr - sino-rF) "2 - 2 Trong trucnrg hgp bz + - o'( 0 v6 tr{r Do tt12>.-- a2 9)g no., silalstup;,0 vl cria ( * ) li m{rt sd em, cho"2n6n bdt d&ng thrc - n-l sin.-,q, ) sin"-lp (* ) ld dnng. r jl su! r.a I sinasinp {siun-la-siuo-10) } o, ao ao tht'rc c6si cho tung ctrp c6.c s6 *.h0ug im 2 u'+ bz - 12, bz + c2 - o2, +o2 -b' ta cd: - sinop ) (sino*la - sinn+lp)/2 (tlpcm) siu'o. "2 Nhfi xit. CLc b4o 7'rhn L6, Minh (9G, y6n t'r7+oz-PxTtT rz-a5< Dinh 2, Thauh Hda); Soril Kim Bd.n (Nha m{y crv khi Ilq I-ong, Hii Phdng) ; Ngug6n Quang Sotr, :E4ng Thanh H&i, :Eang Ngoc T'hfig (CT - (o2 +bz - "2)+("'+ o'-bz) \-- 2 DHSP 2 vinb); Vfi DtTc ttirth, Ngug6,n Dug eud.n, Bii etiu 11'urr9 (9N Hbrg Qu'ing, FI6,i tlung); Le Thi l'ttu I ( (l) Tluqng P'I'CN Vi6t Tri, Yinh phri) ; Ngug6n fuz + bi - c2) (b2+c2 - o2) ^EIri Xudtt Hug (6't 2316 Hi Son Rinh) vi nhibu b4n (a2+b2-"2)+(bz +"' -r'),2 kh6c c6 loi giii nghu gon d6 hibu. Ngoiri ra c6 \- ' 2 mdt vii ban chua nirn vftng cic tinh chdt cila b{t d&ng tlrirc u€rr rlI rnflc nhftng sai iAm. Ch&ug l th'* c - o?) (ot+"1-azt .-( bgn, tt nhtrng l-rdt dirrg th,irc i2b, cld, b'>i-,. ,, a) c c6 ban suv ra e - c) b - d. R6 rirng didri (D tc - oz)+(rz +12 - b'l =c-t nir.v khdng pirii bao gid ciing dung. 2 C. T. NhAn vE vdi v6 cdc bfit il&ng th(rc d6 vdi nhau ta iluoc ( * ). Btl l0l99. Cno ba sd a, b, c th6a mdn Nhdn &t. Bii niry cd thE giii bing nhibu a)blc>o-bud a*b*c=2m. Chi'ng minh ci,'h. C6c---ban Dorin Kim Bdn (Nhi mdy co khi rdng He L,ong, Hai Phdng). Trhn Anh Son (10A7 Ngd [m(of D-c)- eD] fm(e1c- d- bc) [m(c*a*D)- ca1 Quybn, Hli Phdng), NgugTn Du11 Qudn (9N H6ng 2,2 o c2 Quang. Hii Hung). I{gugEn Qttang Son vir Edng
i-- slHF- Bei 6/n 02 (?ip fi)" Ttm r,St ci c*c g{p s6 (rr Si th6a ui5n c{c rliEu kign sau I ,u+ s,+z?2 - /"sEq:: l+*s3+ ss+ rlzD a*2 +'fl1+es-g)t Dqng H&i lVam. (Hii t{ung) /" Edi 7 /702 (t6.p ft). Cho rrt di6ri CBCD vi mQt Bdi tr/102 (ta"p ai. Tirn a va b d0 1980 ab ln dibm L{ & trong n6. Cic duong At,8M,CM,DM rnSt sd chinh phirong. citedc m5t. tuo'ng ung eria tu dien tqi .4.', D',C',D, Chrlng minh r5.ng t6ug ,*f,t' + MB' + MC' + tID, Chung minh ring irhOng tdniai sd chinir phuong kh6ng l0n ho'm cgnh lin nhf,.t cr&a tu dign. dnng 1978 cd. L6. Tr}.n Chinh (NghQ Tinh) Phan f.ryc Thdtth (Nghe Tinh, d# / eu, Brt,z,(t6p i0) Trong kh6ng gian cho hai BAi 21102 (wp $. chung minh ring ti)n iqi lu di6n .48(lD vI A'B'C'D'. Goi G vi G' Ii hai v6 s.j sd lu rriri€n n saocho irong dang th{p phAn 't.il-ntr*u. ireng tem eua hai tu dign niy, Chung minh ring cta 5n c6 ii rrh{i 2000 chir sii 0 dung . GG'
,- 2. Vei tinh chdt. * Ph6p qury trong m[t Lbi gidi. Tblo hinh 2 thi '* l"ph&ng b5o tbn dO ddi c6c do+n thfing v;r d0 ldn OtOd:orA * aot (1) cta cdc gcc. '..+ Quay cic++vecto OtA , AOa theo g6c l-90", Ta c6 - Troug ph6p quay rn6i rludng th&ng c6 hucng &nh clia OrA lA OtB mi ta hf hiQu: tgo vdi inh cria n6 mQt gric bXng gor: quay. 3. Dinh lf. frong prrep quay voi gric a cd d6i voi tAm quay bdt ki', vecto *Urn vir khOng a-ludn lu6n c6 lnh biog vecto kh6ng diii (a'). N6i cflch kh6.c, inb cfia vects c trong phep quay vdi goe quay o( cO hudng va khOng diii luOu ludn bHng vecto o', kh6ng phg thudc vio vi tri cria tini quaY. Hitth 2 __> ____> I aA + Ofil vi tuong tu ) (2) -+ --t AOa --> Buz) Tn hinh 2, ta l4i c6 ! + OBrBOz = OtOz * (3) Hinh 1 DrJa vio (1), (2) vn (3) thi: ,-> -. chinh Id 6nh c&a OtO+ trong ph6p quay OrOz g6c Chirrtg tt'tinh, Cho tludc vects a vi grlg qua)'c[ (hinh *90o n6n OaOd: 90a vd'Ororl, :lOrOnl. 1).Vdi iirr quay Or lnh ciraali 1{ 'ruong tv otiii -90o vi lo0zl=tiozosl, f(a)- o' vir (a , ,r') = cr. V?y: OtOzOsOa ln hlnh vudng. Vdi tem quay khie O2bdt kj. vn vdi g6c qua:r a thi 4 4 f' h): -d" Yir (a , ?t: o. Ngoiri ra vi ph6p quay b6o tbn tIQ dni cii-"*. tlo4n thing ,cn , l?J= l/[: f;',. V4y cic u""toi] a'vi.a" c6 eung dO dni vi. ctng t4o vdi vecto c g6cctn6na :A. Dirng ph6p quay vecto ta c6 thb qiii rdt nhanhl ggn mQt s6 bni tor6.n hinh hgc ph&ng. Sau tIAy, tI6 biBu oi6n?E;lir 6.nh trnng ",ir.ii -aH phdp quay, ta dring kf hi6u ii -" Vi rtq t. Tr€n c6.c canh cira hinh binh hinh dgug ra phia ngoii hinh binh hanh {y cdc hinh vu6ng. Chrlng minh r&ng tAnr cic hrnh vuerng nny l[ cdc
Yi d:r 2. Tr€n edc canh cria tt giac b6t kn Ldi gt&i. (Hinh -t). Trong tarn giic ABG: dullg rr phia ngoii tir giac 6v c{c tiinfr vuOnu. € -
-+,.] | Lti si&i.(Hrnb 6). re coffi:i"i+ffi rr) Keo dhi itudng cao CM bing c4nh ,CCr"tlo4n 4* alg"r"-"ecto ,4.B, BBt gdc}90" thi 4 AR-r-Mt;, BBI --t ClnGn dBr -+ MC + CB=trtIB. Vi MB li inh cria ABr trong phdp quay g6c *90e n0n: ABr L AA. Cflng tuong tg, sE c6 BAt LlA. Do tI6 MCt, ABt, BA1 ln c{c iludng th&ng chua c6c dudng cao cira tam gidrc ABM n6n c$t nhau tai rn0t tli6m (ali0m d6 nim tr0n duong vuOng g6c ha tir C rudug c4nh AB). Cic bqu c6 thb dirng ph6p quay vecto ttb giii cic bii todn kh6.c nta. Qheo tdi li€u cfia n. t'1. XAH) Ilinh 6 HHU]IG Til TOAil UE HAI OUOI{G THfiilG CNEO HHAU TR}N TIITC TNiNH !. Cic ban dE tring glp m$t s6 bti toin vE hai (tl) Euong vu6ng g6c chuug cia hai du.ong dudng th&ng'ch6o nhau trong eToin chqn IQc tf,erglhe"'ntr"u (tiritr ch{t, cdc budc-dgng)' cip III ), tf;p I, cria HoAng Chring, Ld Einh Phi, (d) N6u mQt g6c vu6ng c6 mQt cgnh song song Qudc Trinh, voi nh&ngbiri sd 70,75,79,82,.". v6i mQt m{t ph8.ng thi hinh chi6u cia n6 l€n ho{.c trong rTuy6n t{p nhfrng bili toin so ciprr m4t ph&ng Ia rn$t gdc vuOng' t{p ItI cria Phan Dric Chinh, Ph4m T{n Duong, VE phuo'ng phip, khi eh.n thi6t nen chuyEn L6 Dinh Thinh, voi nh&ng bli s6 774, 117,206, bS ph{n cfia bhi todn vE biri todn trong hinh 2A7, 2t2, 2r8. 219, 222, 223, 224, 227, 229, 231. 215, hec- pitfi.ug, c6 khi nOn dring phucrng ph6p 246. 247, 249.... ho{c trong < Bii gi6i c6.c dE thi vectcr db gi&i. tuy6n sinh Dq.i hgc mOn Toin > cria Nguy6n 2. Sau diy ch(rng t6i xin Sidi thiQu th6rn m6t frgng 86, Eoiru V[n B{u, vdi c6.c bii thi vb s6 biri t&p khSc vb hai duong thing cheo nhau hinh hgc nim 1973 (dl dU trir) vh n5,rn 1975. iI6 cic b4n tham ktrio vh luyQn tep. Trong mgc So vdi nhi6u lo4i to5.n hiuh h9c kh6c, cic b4n 3 chring tOi sE nOu l6n m$t s6 hu nhtng ki6u thuc Bai l. Cho mlt ph&ng (P) vi hai tlrr&ng th&ug co bln tuong r1ng. Nhirng hi6n thuc chn n huSi ch6o nhau (d), (d')'c[t tp) ta" lugt tqi 4 vir d" tlQng I thudng li : Gqi (d") l?r nhfl'ng drrdng thing chui'En dQng (a) Bi6t tqo mf,t ph&ng rli qua iluo'ng th&ng roog v6'i (P) oi. t!r, t6n (d1, (d') ir,II vi M" niry vl song song vdi tlur)'ng thf,ng kia, trtc dat ,i nai tim vi tri cire (d") sao cho MrlI'ugEu "ong hai drrd'ng th&ng ch6o nhau nim trong hai mxt nhdt. ptr&ng song rong vOi uhau. b) Cho tru0c mQt du0ng thfing(d;) trongho (b) Einh lf Ta-let (thu4n vA dlo) trorrg khdng nhtng du0ng thing (d") noi trdn' HIy tim trong gian cr\ng hQ qufi (cho hri dudng tblang (d) vn ;;;;; a"o',tg thhig (d"), ducrng th&ng (di') (d') ch6o nhau ctng cht m4t ph&r6 (P). Nlrirng vu6ng Sdc (d'; ). tludng th8.ng song song vdi @) var tt;a l0n (dt, (Bei thi chqn hgc sinh gi6i toin lop 10 miiln (a'l Aiul ra trdn hai du:dng th&ng ch6o uhau 6y B[c nim 1976). nhiing doqn th8ng tuong ung ti l',4). BAi 2. 'I'heo dir kign cie biri l, tim
Bei 3. Cho ba duong th&og trrng tloi m0t b) Bf,y gid dz *aD. Goi B' Ii hinh chi6u cris kh6ng cr\ng nim trong mQt m{t ph&ng. M[t B l6n m{t ph&ng qua A \a g' A.Tim qu} tlch phEng {P) c5t ba lluong th&ng n6i tron lhn luqt hinh. chidu cria B I6n ,{,M khi ll,1 ch4y tren y'g' t4i A, -8. C. I'im quf tich trpng tAm cria cAc tam c) Chung minh ring voi moi &i6m M tr€n g'g' gi{c utBC khi (P) chuybn dQng song song v6-i vi t6n t4i di6m N tr€n u'9 sao cho AM LNA. Hdy tri ban ilbu. dung di6m N. Chung minh rXng &1 li truc tlm Bei 4. Cho hai tloqn th&ng AB vil A' I' ch6o cia iam giSLc A.B'N vd,-ll,' .L BM. nhau. Hai di6m C vi C'lln lurvt chia trong Ar vi Bei 8. Cho hai duong tron tAnr O va &'ihn luqt A'B' theo cring mQt tj' s6: C < : Ci:t = C'A' : C' t*' nirn trong hai mit ph8ng song song vni. nhau, c6 = m. Tim qu$ tich nhirng di6m M sao cho MC : ban kinh r'= 3a,r' MC' - lr (k ln mQt s6 cho truirc). - 4a(u lir doan th&ng cho truoc). tsidt ring O'O vu6ng goc voi hai m5t phing n6i Bni 5. Cho hai hinh vu6ng rlBcD rir ABEF tr€o vi O'O* 5a. tlai di0m ,4 vir A' theo thr tr,t cd cAnh AB chung vir nXm trong hai m[t phhng chay tr6n tludng tron O vir O' sao cho OA LO'A'. vu6ng g6c v6i nhau. a) Tinh AA' vit g6c gita AA' vcti OO'. a) Hai r10ng t& l'I vi M'lhn luot chuyEn d$ng b) Iluoug ruOng grie chung IK c&a Aa' vd AA' tr) A ddn Ii va ttr B cldn D ctLng m$t tde dS vn (1 tr6n OO'; K trdu Ad') tti qua di6m / c6 dinh. cung xu[t phii
!-Ejt\ a i! Bli S. at Crietr /. Iihr .lf _ x.urrg qua rii6nr giria ,{, .}1 :,_ lJ, ren tunt giac ,1, irlt la Jritr,r ciri6u crln ,,r -lI"lI'rddi ,r!.- u., i4' - /,r,..ndn t/ I cfia .4.r: khr ::; g,ac rtI,tr); giira J c&a ED..lrdp_ tucu ;;i _,,r*"orl';,11" "uli, L,l'I'p) - r ( u_\ rrpp.t cosa, t,,',,,'o i" ",,"r,: . xung qua lt l,in chung minh: Mrll , rlr)i l/V3. (ioi rir Ji g,i1. gii?a .{'8,'vcyi:,,[t pi1[11g]{p, - -E c;,; ,. bn;;;srr1,;;,;-,;,:j: Lxf ,l.l.l thi(p- :ilz- atrr,", t6.[ :!' Zlz ,,u,, tga dd nhu sau: B la goc, \:, Err. t.u"- lim r'rrc ,. ilf tr* trqc :. Chn i.,r;U.;;;_ ".,-B_j BM'. Dat - ca M'h:, r. i.l = t.Gpi r Ia hoanh do cr,i a o), M(0" ,1,t.. ra L;;;,'';i;,\ir?.ir,,,iirii, I r l,E !lz. :121,.fil-1", z:-r:_:"1. i=l,,tr, , .,,i'. I I Do.ttri ta thd. rr sa1. .rTF-. 17= o (1). r;;, goi 1i Ia dit:rn jiira nra .i.u ,t=\_ ";.,u,1r," ioi'#""'u t0, ti6 y:, riil Str, rIJ (2.,. Vqy IK vaji:lrlz, o, *lzl. :' ./o (do (r) v.- (2)). ' tti'c Ii MM' d'6i xring qua 1'-r b) Cdch Z. (ehuong,plrop t6ng c6c bu6,:: l)ypg .tiilt;n, bo.r). Thr.rc hiln t& // kE H"t'ttAt".Iirp rO. ,J o il.'iriJ "'" ,un,r, urr,; a I r aa": .r7, fr_ tr 33 l, ffi, A.o._ or,its. Ninh 2 y"! r. (phu.o.ng ph{p vecto)..Ia ludrr.c6: A'B'*.iT+l?+E. ---? .Crith l;huc. Keo l,ri_ p O gf.p ,{,g f ai i Nhung _f,,f :.,Ie: .l H Lre. Do / t:t e. Re - 1_pr7. tti.c'F{l_t.l,1.,r,. ,,r.r. (yf')+(.{'u1,'tt,'rr.ui giao -x.iF+;6, ,tr*- ,fi=ra;_;l ,lri (t-.r-y) 7F* o.Til r& rri,g clr.du cfia,,{'ni:n t."- Ori. ruJ.er lii /Jil. \,av hir,;: rJ*"!ri^' 'n" 1u thric d'B'.AE=0, ta rrit ra _*oz.ll*r_g)az=0, .Q:."f .OII; tg g--L'HlO^t':iZ;Zrsli. r. 1r1-r, ="{|* , tric 1 = 2a * u (1). -Irron,q."tr1, tsdi 6" { ccich J. cd th6 xer} (,1.rr5,6n tit ,fi, .;i6: bii ro:iu so cdp, tapliii'.lrrs z;b]:cu.iap 3 "..,] : a *.zs (D. Giii'irg i,j' in '(21 O, nlritng t^ ,$ r = ll3, S: 1/8. Cdch 2. Tr) gii thi6r, rtt t.a 2Atu1. /J.1a : j "o ngtlii ra .lR t r: c) Tt .rt' k6 A'ni,1g,g. G6c rira -a'p' A,E vir A,g o,ML - oAi-l-,{lu: e); opz = o.t? + Bp2 (8.. l1ffi ',[; i :^I! r\.+'{' ^"e- " otftc.P';.; ;' . ch rr, ! ,a ,.Spl la chln drrcrlgo vu6ng--'"b g6c tu u rutjre '('r ttr.O gita 8'B voi -rnit **9 '' In gi26 6;ir1ii triP, oTitth svv h:.r s (A:uor,) -(t12) MP. ttn (i) Elt A'P = 2u, nhrr vAy B'p,:u. Tu h9 s (AMoil _(1lil ot{. cp..i, ,ilrD (;: tliuc (2), PP',=op'z+op2;rrit.ur- , 11.:r -!1]' (.\B',lEt. MP (u. \3) trr,iig (5) sE co s (/'..yGF) '{il. cring c6 th6 ru -+. --- I " So sinh i4) vdi (6) c6 ngr5, Aj;=ABl2. ! OP.OP=O, rrlt ra k6t gui tr.6n. c) Tu E ke Eii! d:t. Gc.ri m,A *-- vrii chf v riu. vuOrig g6c ht vd ri rGn li hinh ch.t:u i .,f = cosrig., vdi i theo A,ij tiieoA,g pr,Aog iir. iri ," ' .n z theo BT vi trlrc *tnk _. ltK ",xj .Rrn Xet hinh chu tlu&ng trlnh pp' (hinh kP kP -;t- , nOn /r nim tr6ri iI. Hinh 2), chi6u vu6ng g6c.cria l,t len",l,; edr t.im,, ctu&ng 1,.hAn s-i6c B: cia gOc-v3;\riv K nlr,.r diam giiia cira ,{.'B' 'v;;';.' i.'l* nf ttotrg rniii phXug (sB. B.).T."* o, Mo ) rro'. u6n e fin J1 i,rf.f," u, ,r, K.ulrirr ,rui'ft,l,,g at -.lB rlrroi mQt goc vu6rrg arri.l.r'i#i.en roi vi L)tr _A8.,2_ tliDm tuu hai o', "Xtaoi-lirs;,il;;,i'r"'ril]ijii lit r.lf ;l' ;,1 r" iX'i e n oti''iu',,u" i,* i,,,, o g In t3i Xi nghiQp iu IIi Ndi xong ngiy J0_6-t97g Chi sd: 128ii4 Gri 9,16,r 16