Toán học và tuổi trẻ Số 126 (4/1982)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 126 (4/1982) nêu lên kỳ thi Toán quốc tế lần thứ 23; bài toán Ramxay; số nguyên tố; một cách nhìn khác về hàm số Côsin. Bên cạnh đó, với những bài tập được đưa ra trong tài liệu sẽ giúp cho các bạn củng cố kiến thức Toán học một cách tố hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 126 (4/1982)

_--7 =- L ri0i 'rOAN HOc , VIE? ISAII{ i$:#iri:;;i"€.t'Y.Sit gAO RA FtAl iliANG M0T f,,Y chit nhiQnz: NGUYftN CiNH T0AN flrr lrg tdo so4n i g{fAfi$ CH0NG 'Iru s&: ?0 j}'rAn Hung .bno - Hs NSi D0v uor; 59825 .THI , Hi TcAH QUSc Tg rax YHIT 33 E;.NG I{HT(C NHA}i fi//t thi to&.n qur5i td lln tfrir 23 duqc th chuc b) r (2.1= 0, / (3) > 0 vt / (ir!)!ir) *-- 33i13. fi\ tai llungari v&o tblng ? nam 1982 ,.c6 30 Tinh f (1s82). nrt0c thum gia. M6i nudc dr19c cir t hoc sinh du thi. Tbng s6 thi sinh li 119 (Angi0ri chi 2. Cii sir et.ll .4g 1tr 6rit ta.m giAc khOng cdn 'cr] 3 hoc sinh). Hoc sinh ph&i lAm 6"bhi to6n co cic canh la al, at vd rr3 (di lA canh ddi tii6n ilong 2 ngily, ,rn5i ngny lim 3 bAi trong { gi
-! 2 \ s* n l:) rnOt"sd drong. Cirung minlr rhng 4. Oih 594S:3. 1982 n6n theo lrau / {5916}: 1982, rAy ., ndu phucrrg {rinh r" 3.'g' -+- glo n *cr ughi6ni rnflu thu6rr. Liip luAn 1s6111g tu, ta suy ra vdi n -( 'nguyOu (nghia id co -nr6t cnp sd=nguycu (e,g) :t- 33. rhi 1 r;1r : In/J j. th6a nrln phuung trirri:) rhi no -'rr rl nh5.l ba 'f Loi Eiai bdi 2. z r A 1'r J6i rri ag nhau quu r:ghiQm nguy6n. Chirng rninh ring vqi n : 2891 phuoug [r'irrh lr'6n kh6ng co ngiriQm ngul 6n. ph6n gi6c g6c ,4r. Sr vir ft efing d6i xung nhau qua,.tluong p:hAa gi6c cira 'lt. 11i. rtueng phin 5. Cilc duirng ch6r.r ..iC 'r.i CE t,i:a m$t luc giie gi*c qua tim {1. n$n cirng li mOt truc t16i x*ng cTEu lSCJIEF dLrgc chia lheo tlrrr tu b&i rihirng dibm M r il .V nim irong e5"c rToan l.ir&ng d$, sao cria dutrng tron rdi iidp. \tl viv St f,Z - -'l.t'l't cho d,r//Ail :CNlCIl * L. 'i i,'l: h khi li.,tf Yi ,y (cu,rg dinii hu'r'r1q). ihrine hang. i l 6. Gii srl C Ii nrrlt hinh vuiing nil. clri0u cl{i .cria rn6i canh id 100; /-: A"A1..t.4a lA. m6t drrcrsg g{p khirc k}rflng rlirng (,{o -;.tu} vh kh6ng tLr c{t, ,t it: l ehri'a trong C, sar. ctro vrii rnr,ri diOin P thudc canh cria C t6n tai rn0t cirtm cira L n-rh ki'roing cich lni P khOng qu-a 1/2. Chirng minh rirg tiiu lai diEm .{ vi }'tiiudc I- sao cho k}io&ng c{cli gi ira X vir Y b6 iion hoirc b&ng I v5. srao cho bd phan cria dutlng g{p kirire 1- nHm Siirrl -"{ r':i I'cr} ri:iFlr drii I6n h./" (e) (vi s}'$ n6n /," (d) khiing cin,t. a-bias,ilu'[r0r. - NEu StSz r&l;r cting phie v6i ,{s d6i v4i Do do: 0s0-I (1s8ar(/ ftcs:r < i (lti83)= duung ffrr1fz thi rd iing irsz
- 3 Ldi gidt &d, 3. Ta chrlng minh mgi d[y sd I&i gidi bdi 4 G&a Nguyin Hfta frodn). Gi& sfr (r:, .'J) ll nshidrn e&a --"-- ilu 'i c0 : . : fl ! n fr." .r6lr'r + r;_'F "rll.r:e 4 ,... > ta Q c6 : t ,13 - 3..r !r2 -1. #3 (ie) liro A" * 3A'l * 3r"y" 3 ^ 3 ,,2 -. .rc" * 3.r:" - lio'g - ,-: 3 n - 13 :., t\ t -l-tl't* ,rr I Ir! " +tl*t-Z t\ tTt (g --..)s * Br2(x: u) ], a lray (y -,.)B - J(.g d(*ilz + (-r)t=,.,. 'l'hAt vi3' : I - UiEu dd chung ,.o eAo c+p (g . -r) vlr do 2,2,\ do cA (* y, r -r 717) etng in rrghidm cia (*) .u",, --rlrr*l * ,n_. ,/rr : . BAy gid ta, chrtrrg rninh r&n6; phLrong rrinh (*) .,- -r 2,:,\ n-l t :l' iuOnc6 ba n$hii.m [rh6c rrhau. ndrr.'6 nr0t nghiQm -n__r'n-t ^r.t ,lit'n*l ,-J ir. g)" * N6u irt + ga * o tni tnong thii x&1- ra ;,,1/( *1-:,,.,-,)( *"*,1,,-,) l 2*o*, (r, g) : Q-r, - g.) hodc {g-a', *e) (:-y, r-y) - hodc (iy, r - g) = {r, g). Vi m6i trong 3 d&n$ ,rq thuc tr6n dBu dan d6ir * = g:0.: Nhu vAy r.6i f,n -:',i #n*2 t f Jn*l l' 2 ''., -2lrrr*l ,r *'t g'+ 0 thi phuong trinh t*). ndu eir 'n:gt o nghi6m ihi c6 3 nghiQnr IihAc nhau : (.r, g), Q-t-, \^." i- -!o-. '- ''n-'3'* n-2 ' 'tn-2 - r), (- y, r - g,t. * N6!u.:r:$-0 nghia ltr n = 0 thi v0 lj", vi ; 2/?.o-3 : 21*lr!oo-S gi& thi6t eho n lA s6 ngu-s6n duong. nq B:ry gi& ta chung urinh riing voi n:2891 thi iSolxt r ... -r f,t,n_t. llr .zz phuong trinh i*) khOng c6 nghiqm nguyeu., Gifi s n - su ngrrgc lai (r, y) lA nghiQrn cria (*). Voi n= 2891 at _ r aI ttJ t/'.) !t ,., T - r/oo-E 7ia .4O thi n:9 du 2. . L*p phuong cria mQ! sd ho{c chia hdt cho g, * q* ilq 1_l_ rl_.tt r, r/on*i3 tlL hoac-c6 d+ng^-(3k + r)3 thi chia eho I ^du f i. " -a 4; Nohung ngu J3 (rro+c y3i ma ! I thi sryz i slcn ildt Cn:2' ti,)-L "' I-r tlz t J- ttar - r/rE-2 -! lqt-Z U] (hay r"):9 du 2 do a:2imodg), Vd ly' vi -o3 - 4.2-tt: : -{- I (mod 9). I 'Ia tinh duirc rr:1.! ,.hi Cn )> S,g!g. vCri l. \^iy , vA. y d6u c6 dang 3k + 11j*-2 3rg2'kh6ng chla h€t cho I n€n Srgz = -1-3 (mod 9t. Qrii vil nr-''", -\B,g00tricrugiluong r.6i ryoo srfz:9du 3 thi oB+9i,ffao;ao *J_
n6 sE,trilng v6i CiJ, do d6 i1 truug vdi .N. Nhu vAy di6m crla AB cAch Li mdr kholng { flf. DE thdl' doqn .t{8, v6i ph6p quay dd, s€ trring vdi doan ND. ring : \'{y ta ed EIfO = 120-. I{ ntrirr 8ll ttrr6i l gue l.iing l20a nOn Jf n}.rn a) Lt liirong ,6ng frt,u, f. trcu eurrg iroo tern C" bdn iiinh bring uO. 'i'r} t16 tinh cluoc l, - L'N: CE : (:D: CE * lldi. Z| khOrrg rdng vi clrue B. Lbi gtdt brii sd 6. Goi do 1A m6r rrong hai itdu b) ,Li \J Lr: AB. mrit cfia l. Kht M, N G t,, La sE vi€rt M < Ar n6u dQ ddi phAn dud'ng g{p khirc trt lo di:n }1 fl c) f? ia hop Iriru han.ciia nh&ng tlr-,an 1i,1nn b€ hon hay b&ng &S dai phln duong g{p liirirc tri .4o .ddn N (hcec dec liet ia nhirng diEm). { Gqi ABt:il lA hinh vu6irg dl cho. Tr6n. L l{y 'fil do su-\'ra ring li uh{t co nrdt dibnr l{ € cAc tlibm A'. f]',/-". D'sao cho c6c d& dAi .4At, BB', CC'. /),il' trhring vrr,rt qqi 1/2. Ta ludn L't'i L'2. Goi .X iA dibrn G Lr vi. I' ln dilm G lu0n c6 th6 gii sfr ,r'(.r'< B'. Tip hop eAc l, ili6m eua.L(Iug(, chia lArn hai tAp hop r.,,r: 1-z sao cho M.\ -( t/2, r/1'< 1/2. Khi d6 Ir < I' ' Z1 gdm cAc cliEnr -s{ n', I.2 gdrl c6c di6m } D'. Phiiu dudng g$p ktrric gi6i hqn b&i -\. )' pbit Tap hgp c6.c cliBur crja fioa,r.r tlrfrng AE r:fing riiroc ctrua D'. ri I . Bii C{c d6i tuong iv da-r' IA c ngudi > vi 2 quan hG to{.n duoc giiii ntro pli6p su-v,luAn hh6 ha1. I{dy li n quen l) vi .( kh0ng quer ). Phiit bi6u trlu l{y ra 1 uguoi iiy 1f; pri ta gqi l{ A, cdir lq.i 5 trrorrg biti to6n drt#i dqng sau: '
tlugc ndi r16i m{t bfli cAc du&ng eong holc lir I3dy gid ta tim c*ch ttray cou. s6 2 eria bii chirng khdng tlrFgc ndi r.di nhau ciOi mQt b&i to*n. Ndu thn_y s6 2 b&i s6 i thi bai to6n ll tiim ci.c rltdng cong- thu"r)'ng. N6u thay sd 2 bori sd nr)2 tht th6 n{o? 'lla r6t trudng hgp m 2)Cho c{c ddi tuon6 ltr . a Cic bqrr hn1, phAi bi6u thdrn e ho nhibri Oq!,g :E hh6c" B4y gid t* lihai thae t6: bdi toin. Truoc hdt ta chu _v tdi nhflng s6 luong: 1) C6 6 ii6i tusng. ?) Cd 2 quan h6. 3)Tim ducrc 3 ddi tunng co cung quan h6. (ii&a circ c,rn sd h, 2.3 cd li6n qrran gl trong b{i toAn ? CO thE thay 1 trong 3 con sd d6 nrir bii toAn ,vin dring hrr-r' kh6ng ? 'f a thfr tha_v cnn -';:: sd 6 biri mdt sd ;r ) 6 tlri brlr to*.n lii6n nhi6n ----'**-o'"' itting. cdn ndu thay s6 6 b&i s6 n{6 thi bii tod.n kh6ng ilf ng. 'I'a i:ho phirn vi du khi n =5, '1'o' oi ? b&i so db I. Ydi n =4:3 chi" vi6c b6t 1i 2 ddi tuong & so db I la ta c6 phin vi riu. Nhu vAr. lihu vly la pirii tha-,- siv ll hoac do 3 trong b{i con sd 6 li con sd nh6 nlrdt db bai, to6n {h6a toan khi m:3 dB bei toan dirng. Ndu thay sd 3 min. Th6 la tr c6 hhi toln : b6i s6 t)>3 thi bei to5 n eiLng sai khi giiI nguydn sd 6, con.f =2 thi bAi to{n tH.m i.}rudng' V{y ta giA' r = 3 con thay s6 6 b&i sd n nio cho thich hgp'l Khi rghi6o criu ldi giai cria trLrdng hop n = 6 m:2, t = 3. ta th{r, khi l5y btrt di rnOt d6i tunr,g thi sd cdr lai cbia th.{nh 2 nhirm kh6ng bltg nhau r.6sd luong.-Tuolrg tu nhu vAy khi m:3 tbi sau' khi l{f' 1 d6i tuglg d thl. s6 cdn lai phi.i chia thdnh 3 nh6m theo guarr h9 ddi r'6i .4 vi s6 ltrgng 3 nh0m niy cilng !ihoug bdng nhau, hrrn niia pUai .O mrit nhi,rn 7{ a4,* biQt v6i sd lutrng tirich hcp db lip iuan cho hu,i to6n dl6rrg. b Gifr- sil' tltbm V'6 quan hQ voi A theo guan hQ I, md [J trong cac dd i tuong thi|c 76 c6 2 d6i trrgng quan hS I v6i rrhau thi b'ei to{n dting (uiiung diBu n{y v[n lA rnal'min), ta phii .rft ilen trong ff khdng
.a r. That ly thir lihi chri _17 il6i turtng lA t7 nhn Ta ehring miah bi.ng qri nap cbng iir,re rar- 116 d*ag, dE nghi e{e ban hfl1' thr.re hi€n. hA,c ho*, *
hodc 1(ndu n kh6ng chia h6t cho 3). \'/i 1982=2 c) r )> 0, y { 0. He dS cho u& thin}r (mod 3) n€n tt phuong trinh dAu, ta suy ra rilng' . trong ba sd r, 9,'2, ph&i'cd mQt sri"chia hdt cho. 1,"'= fr+! Iq ,d vtr hai s6 klrOng ehia hdt cho 3' {uc id hai. 1,,2--,,*r. ry - y s6 nily c6 dang 3k + I hohc 3k * 2.-Trorrg phuong Crine hai phirong trini] ta drgc rt * gz -2r : 0, Irlnh thri hai, ta c6 68*2 (rnod'3)', y+y hai stJ 5y phii ilbng thdi c6 dang 3lc + 1. Ndu lul . I tiri A- : i -- gs < o, tLrc h0 vo nghigin. T6m lai, ta dl ch(rng'i6 ring trong ba sii 'r:,. Qt .z, c6 hai s6 16 r'd hai sti dqng 3 k + 1, lhn NFu lgi -< r thi tii.piirrr:ng trinti 'thu 2 c&a h$ ta .vAy phii c6 mQt s6 vua i6, vua cd dang 3ft + 1' c6 tri'c ltr c6 d4ng 6k + 1. C6 thA coi.ring. z= 6l
* N6u,{. = 1 +, ,lr" *.(p + l)2*:.&, * 1.Vd trii ta 'th5.y r5rg dS cAc i5n thuc c6 nghia, vA-do 16 n€rr p:2, ta co vd phii lt}n hon r:d trAi, ehn d{t diBu kiin cho ' - t.r2m -- ,t. nghi€rrr .r vA tharn sd k: ^n , Vd tr{i lf, b0i sd c&a 4 trt l khi n } 1 n0n r )2 0, t< + l, )> o. t-r.) o, kh0ng thb bing v6 phii; cdn ndu n'*'1 thl vd trrc trAi ( 0 cirng kh6ng thB beng r'€ phf,i. lA t t'Ndu A-2?p"-(p+l)2--2p 1 ir)rlo'. (*) €-} (p" + r) + 2*- (p + 1)'m :'?(p + l). Vdi cf e atiEu ki6n de dit, ta c6 th'6 blnh phu.rng hai v€ vl duoc VI n 16 ndn p' + 1 ip * 1. Nhung 2 lihdng chia l- hdt aho p + l. VAy A't-2. k+ 1,1 rc o.; Ta e6 Coi vd phAi ld m6t tain thuc blc hai tldi r'6i A', re phAu tich dugc tr((p+1)r*-pn
B*i 6lJ-93. Gli?. s:? a, b, i tti /la srl /,.?idrug diu, hay a )0, va lidft hC'u|i nhau bitng bi?tt thL?c: a + & * c = 1. b- 3*7kJ-3/{sr'-+1D(A=r) Tin hqp t?it cfr c&* gia tri ci th? ei d*gc tQp 18 * 12lr )0. c&s 'bi?a ltt*c sott eldy .a D6.th{y o*'h*c=1. /r,t ^\- 1*c-l:' + --__=-_-- , ' 1dm lai, ta ludn lufrrL tim duor a, D, c kh0ng --1"1-b* s 1+9-c f,m, tbng bing 1, db cd S : A'. Dir]'id rliBu phAi {-iti gii"i cria ba* Ngu.i,6n IIoir.rh Cu
nhiit n:'tn trori tr.rrig rrriLt cilrr (O) phli Li c6ic tr? rh6 thi dc'96,.: .8Jr- bing gir: &OC n6n suy ra di6l'cc thb iich !orr nhflt trong cic tu dign ninr. BD>,lC /r\ tron'{rong lAp p}ruung. NgoAi ra. trong Id.p p}:rrong- b#t k,i tt'r di€u ntro hhic ciing lA tir di-dn cd rtinh iihOr'rgr ni-rn trdr mdt cliu. huitc ld tri di{l1 kh6ng tlriu, n6n sd ;6 thA tich nh6 hon ttrb tlcir hai tr'r di&tt n6i tr*u. 'I'{rit lai chi c6 hai trr did,r lCFfi rd -Bg'nc la rdi i.rb tirL lur i.rlrit tioris c{c ttr di4n uirrn !rurt iroitg l:i,, 1,1,u',*,,t AliCIlDFCll. E*! EIE*S. ?'r'r,r:{,, i;ltdn, €i6$ cjro bdn tlilm plrri:r biiii :L" E,'C, il. Hi;i ldc dia,tr ctfi cio phi?i tit6a md* rli?u fiii'n tti d';' bdn d.tibng -trdn, ,l6i tirirrrg rfi g*c ba lrani1 bdn dibm cla, b&ag n.ha.u? Liri, gi&i. 1. Edn cti?nt,{, B. C. D dlng ph&ng. a) ,!.. {}, i:, D lQp llidnh fri' gidc l;3i. Gi6 su 'I'n (1) vit (2) su,y ra gric ,{E/J nhi, hon g,ic triC ii! irr4t ra:rh eir,r t'i giAd. vi ctrr&ng tron di qua -{CI), rniu,nr;, (1t fr, C, B birg d*.:ng troa di qua B, C, A nOn hai 3. Kdt trarin: DiEu kiAn-brjn tlibm ..1, B, C, D rtrurrag li-on do pliii ti'riing tihau. Ydl trong trrrdng phii fir6a min lA.: hod.c bdn dibm uen.r tren mgt ?:irp nirr",
1,t $qi cr. li.,gdq girta iluengcx+ c{ra hirlh ch6p MSi ph&rig Az(tO c$t'SC t4i F,_ cit .tr1Cr t4i 1, 1.&i cA* canh b€n, 6p dueg bb dA tren, ta a6 c&t CzB* t4i J.I n$m tr.On bai mrt ph&ng AtCtEt vA rlzEto ndn ph&i nim trSn ,giao tuy6n-E10 cira hai mIl. phing rlo,. suv ra SI li phAn gi6c u1fia g6c ,{SC, Chring mir:h.tunng tr,r, ta,c6 SJ 1i phAn = llSC, + 1/SFi = ?cosa/S0 giAc cfia g6c CSE. t 2) Ta iinh lisl I | 11,i, i + 1..5,! i. ip durrg bh dd tri.rr, ta eo Qua O dgng m[i phing- song soxg r.6i titi.v t/sdt, + 1! sc 1= ltsa1-l TlsP hiirh chcp; cit,Sl" .5i, SE iunng r'rng t4i A2. C2, Ez. Iih6ng m1t tflng iir:Ai, ta cd thb .gii s& vi tri 1/5P -F liSE : 1/,SCq .1- lislr; 1 cria e6c rlibr4 Ai., Ci, Ei (i : 1, Z) ahu hinh vE. S + trlszl,1tl+ r1sc. + ]/.s.e. - 1/Sd.) + + 1lSE"- i.-osc*/SO 1/,SCg Bing cAch ttrqirg tr.". ia tinlr tluo-c : lrsBi + 1'Sll1&+ i/SF, =3*rsa/.!O. Et 'Iit ci6 suv ra rlibu ph&i chl?ng rninh. Ban l{.qlrg?n Hoanlt Crcbnq (Qrri Nhc:r) ;,r) loi giii t6t' P'e'c" tsai n{}/12&. Gidi phtong trtn.t Vr- 1 + Vt..r - 1)(r- i) +. lc * 1 * VfrE:lX"'+rt :/;;E Ldi girii. Didu k'i0n nghiQrn phuong tlinh phAi r thrSa mdn': r ) A. Ta bieln ilbi v6 trai cii.a p'urrng trlnh; db cho gon, ta d{t o * I =,.r, r* l:i, vd t.rdi bing /," -r- tF+ r/a+Vor,r: ', I -- il , r Vo*o+ n+'liF + z /(,+VFb) (, +-ffiT 'tl ^.*-:- - ,_,_;:^: ^ __'l_ _--- = V o + i/rrt+ a+ VJr+ : 1! ab*a\f abo - b Y arb -f ab : { a+ tfazb+t,+ !ab'* 2iila 2o + 7no2) -l : /{ii. .;- f 61s q T16 Jni b;dn,t., i:r plr&i giii phLrung tri lr h '!'e ed 2 ' F ,*, ei l\/r r,'ii/;i V'fu' i3 t-' + 3 r-- = tlz*, - t + ^/.ri1)3 =:.r:3 1)-r = 0 2) VEf'-0 *ir = 1 (loai nghigrn r =-t) +*?r *s Vf.. - i,,t* + ri >< s) 3 ile--zVG{:lF B o x (V;;f1 i/..n1-1 = 2,.a.
Tarn.gide zlSC c6 ,Jang ntrru lh6 n?ro thi c6 dflu ding lh*c ? b) Churrg mi,:lr rirrg r'6i -urr.:i ium gi6e ABC ta " ludn c6 ' cos,{ * (l/2.)cosB * (lill)cosft'-.- 7/ti yi v0i m6i sd e}0 tt_v w, luOr-r tbn tai'it nhrit rndt clang tam gi6c dBC:db cho cocA * (l/2)cosB -t (l/il)cosC)> z/6--e. CAC DE TOAN THI 6IAI IOAT' Triln Vtin I{hrti 1982 t983 - BAi 7/f 26, Cho di1" sd ;r1 , r, ,..., .rl vdi SAi f 1126. Tiil sd dieL!!{)ticira rndt co.quail, r oQ9 / tirrh chdt t/ bidt rirng sd rtd c6 dalrg ibrto, vdi cl2( a { c, vr\ llng cAc cli& sd crra s6 d6 bHtg bO. D tl :'tltrl.iz : l' vrr ,., .. |i-rr Ir r-Lll- rl' t: - i *'i1 ffi'tllffi,, al I i(lgEi-i) vdi moi , C 11,3,....,1981 i. BAi 2ll 25, Chring rn jrrh rf,ng ngo{i nghi6rn Ch ung nrinh ri ng .' oig=0thiphuongtrinh i l Cri{ . 1c6 t a) r, = r19gl, 13 = rlgg0, '"'o01 r r.r. 18 +C )=U 1982 ^rl,lr' b) r
fim hlBu eeu thcm todn hoc phb r&Ong VE CAe sS trGUYfrN TS }{GO DUY NINH fAC sO ngur'8rr td lA v{n ilE trung iAur, t.ir ltr toen theo khia canh kh6c vA tlm cAch gi5.m nhe cua ngD de buuc vAo lau diri sd Iror'. t.hiilrg cAc y0u chu bi.ng c6ch -xirt cdc khoing c[ch giila nhitng nhu th6, r:rd" n6 rlon 6nh hrr6ng s6.u hai a6 ngul'€n td li€n ti6p pn+l - pp. D6 th5y sic tl6n ci. c{c lginh toin iroc hhAc. Vi tAy no chl c6 pt=Z,'pz=3ld hai sd nguy€n tri6n ti6p, dA thu hrit su'c lirc cira rii nhiEu nhi., to6n hoc ctin lai : pn+l - p" ) 2. efla.moi thg ki. Dhu ti6n nguoi tir xet c{c sd nguyin t6 li€n ti6p Cncb dnv 2200 u5rri, ngucri Hy L+p tli chirng c6 khoing caci; b,ing 2 vi goi ld c{p s6.nguy€n minlr rhng : s6 cAr- sd nguyCn td 1A vO han. Tuy t6 sinh dbi, cheng han, clp 3,5; 5,2i 10016957, nhi0n. ngu&i ta rnudn co rndt c6ng thirc db vidt 10016959 ; ho[c : 1.0C0.000 0t]9..6.19; 1.000,000.009.051. ra rndt sd nguv€l trj l6n tu]' i. Nhung \,iec tim ki6rn mdi cdng thuc nliu v&y ching mang lai C6 mQt diEu kiin chn va dri dE cho bi6t cAc .t6 sinh dOi nhLrug thne tt! kh6ng mot hdt qui gi hcrn vifc rli tim hon d6 thhn kj s6 nguy0n aliibi6n moi kim loai tlidnh virng, hoirc rr:dt c6ng rip dung tluot:: thfrc toAn nfuig lA ioAn r;:r- ri6 giii moi brii toAn; EE 1: EiEu kieri edrn vrl d&.c13 rnQi s6 (c6 nl'r*ng unc mr: liin iao r.-irn chi li mo uoc { 16 USNff n vdi nyd rz l- 2 d0u ld s6 rrguv8n td I[{n - l) ! rnA thdi )). 1ih6ng chia h6t cho n vd n * 2. Tuy kh0ng iim ra m6t cdng thue c6 ich nhu Trong c{c tAi 1i6u khoing 20 n{m gln ddy, viy, song ngudi ta co thE bi6u di6n khi tlep c{c nhi toirn hoc lai nghidn curr vb cAc bQ b5n m6t sd nguyOn t6 iheo mrii sd.nguy6n tri. s6 nguyOn t6 li6n ti6p ghn nhau nh{t, goi IA. bQ EINI{ Li SIERPI\'SIil: G(,i p Ii s6 nguyon t6 sinh b6n, cd nghia l{ sAc sti ngu3r€n td c6 dang: thu n, vA pk:=n:4,pt+t=n:2, F . --o fl 0t = L Pk+.?=a*2,Pk+3:n+4' n-l .p1llt IIai cdp sd cgng thua nhd.t (co cOng sai Icyn thi irhdt) chua t$.t ci cAc c[p s6 nguydn 1.6 sinh ddi . ,,8 -.ri-l ^n-l ."1. (tru 3 r,A 5) In 6n { 5 r.d 6n * 7. Tuong t.U 4 0,, = [ rot a] -- rot i ro' c{p sd cQng thua nhdt chua c6c b0 sinh bdn Nguli ta nghi rr'rirg cd lhb' tirn tluo.'c rnoi sd (trri 5, ?, 11, l3) ld iiitn * 11, 30n -1- 1.3, 3(;n l- i7, ngnr,On iij trl cic $d .tu nhi6n bing cieh gan Srin + 19. loc, r,i phtong phf.p tliiu ti6n ra ddi li. cli I't e$.c bi6u thr?c nAy suv ra, tij.t c6 e{c bd ( sAng >i cria Eratosthdne * nhd b6.c hqc cb Hv rinh b6n dhu ti6n cho ctdn'10.00U ttrt S, Z, r t, Lap, dua rt tri tbd kli 3 tr:uirc cong r:gu1"on. Vd. 13) tn khi cho n = 0, 3, 6, 27, ,19, 108, 18?, 314. s&u n{y l* ur.ot 1g:rt cic < sr!:g r} cai ti6n tr'r' t( strrig> ' Vi citng 6!rv ra cf"c eirit s5 cudi ci)ng e&a b6 lilatosthdurel Ngo*i ra, ciing cii rndt sd 11!nh lli' sinh ]:dn li 1, 3, 7, 9. NInr 1919" V.A.Goiuber clfi db nghiQnr biSi irlgt sii iigu.vii: iri iiay khdng ; 'tinh trong 10 triQu.scj tu nlri6n rld,u tiin c6 89t) chiug han rlitir lj \Yilson, "v*. b0 sinh bdn v[ 15 trigu sd 6hu tiOn co 1209 b0 sinh b6n. BQ sinh bdn lon nhr{t tinh d6n nEur DJNII L1' Lt.lCAS : trIot s6 p li *gu5,6g td khi 1965 li b6 r'6i s6 ugriyerr to nhti nhiL 2Ei:j.30r;.7J1, vA ctri l;hi torr tai so ngu-rdu u il6 np-t-- t i p do I-eriel chi ra, vi. v&i mlri s6 n l& ui;c cira p - 1, n."- p - i thl. on -- I kh6rrg r:hia hdt chci p. \{ic rlir dudng r:hrr v ide ghrrng rrrinh r'.11g : t$p hop sd nguyEn td sinh i16i ctng nhrr sinh b6n ViQc 6p dung dlnh lf l-ucas di! tim mQt s6 cua .liratosil:itrre. iiguoi cd thb d6 ddng ilua ddn mdt gi& dinh to{n Du kh0rrg rlat d.u
Cir m5i i5.n gap k1i6 tihhn ta l€u suy nghi dE *JNH LY 2: .Tiin tai s6 thilc & = Qo sao cfio d&i h*irr:g di cho hqp ly, vd cdc nhir to6n hoc e1,I lim nhu viv. Tbay vi lihlu sAt cic kiroiLng cd" su lzso i, i ,n' i. . ric t!irrlr b'.'ri cOng thir'; c{cl: cri:a ir:ii sS ngrry6t td li€n ti6p, h9 lri nghi0u :ra -- cuu vE su plifin b6 c&a s6 nguv6rr tii tren cAc tluy tba$ : al.rn , 1 tr:i -, -- . ;.. ,) a.! 1, ... {E,r 1S::5 .iloan si tlr nhi€i: db cho no ehua it nl'r6i rnOt r:grrl err t6. sS ngrtydn td" lrlhd toAn hcru PhAp J.L.i; llertrand tli phAt biSu u:Qt dinh dE nhirng t
_T .N[m i64,{, Mersenne lai nghi6n' cuu ei"c s6 'D6n n5rn 1883, vi€n hAn lArir kiioa hoc peier- dang: Mn=2n.*- l. (sau nay g.o-i ld" sd Mersenne). sbourg 6d nh&n ,-lurrye bii hi* < sd i6l I : VE phhn ney xin xem b*i bio ( 56 :rquv6n - 2305.343.009.213.693.951 Ii gd nEuv,3:r td rr; il*. tA,c td l\Iecxenno ) crirr pltrtn :Etit. Chinh (Biro if if"f' giA nhn todn hoc tu l:oc l6i lac ngrrci Nga .'6 1 oa* l9s2). d ddy xin ,,ot it,ern m6t.cach 1 ' Pervusin. D{ry ti6c iA chirrg ta l:iri rit it -,-0 c6ilg tim s6 &{ersenne hqp s6. vA c6c phdt ininh cria vi€cmA Pervusin ii5 thuc lii6n & rnst ti.r:fr n0irg nhd to$.a hcrc xu{t s[c Euler: nghif p bio 16nh xa c3-c trilrig tii irr l ir* . lri:i aiij chring mrnh s6 -1161 ii tigrr.r-c:t lLl. runNlt DE : NEu s6 llcrsennc : lltp=2P-i I td sri ,t f Yi0n hin lim dI. tr'r cli6i r.idc cOng i.r6 s6 per- , nJ uguyco tci thi: B2o-'* l chia lrit cho vp. vusin vi ti6n si Y: Ya. Bunrlakcvskii kirOr:g chiu Num 1750. khi rrghiin crtu sn pir:in lrorrclr cilir tr{eh thi€lr riirm b&o khOrg-c6 sai s6l lrorrg Lhi , edc s6, Euler ili tlua ra ildng irhfit thuc (sau nJ), gi6i ihi{u.sri Pelvusin, hli; den nirn Iiil7, seri mang. t$n, r)ng): khi Zeeikhor ctng ch{rng mirihf.,i61 1i si5 lgi-ly6n t6, thi moi c5 quv6t dinh cdcg L5 irer;g iriiirr cfir-l & * -.. ilk2-li)/2 Pervusin 6E bric rlim quvEn uu tie n ciro er:ig f-l (l -- ..o) -- : D: I, 1 - trk .r VE tinh vO han i:&a c[c ".o nsi:-rdn ti ]lerseir- ne ri6n nav virn r:iiu:r cluryc gii:i qu,,-6t, lu-r' r:i:,;0n T* dey Euler dI r.irt r.a n:6t dtinh luit l;1: la ta e6 mdi m€i;h db don giirn: ;.; ruh{t thuQc vE tbng eA
iF:.:! i- i -::i- EOle dqi, ttm tdi r-tfi cifit rlt|il xpi( oa$n rf, Rftil :.q^If,!lll n , . Lt Oudc nAN \. fr6 te. khOng th6 iieffike hdt c6c ung dqng cria rniah mQL b6t ding thuc.manh hon, mi tr'r d6 suy \l dlnh If ha.-m sd cdain trong vigCgi6i toan. dugcra(3);dotA: t_ Tuy nhi€n, tbi ctng 5in d6ng 96p mQt cich qb*bc*ca> 1.11tS+P (41 t'1. nhtn khric vb dinh Iy ndy, vA tLi dd suy ra thdm nhirng ung dung cira 116. t. 'Iri afntr li*" Iia* s6 cdsin r chul'Fn thinh That vay, ta c6 (sD * bc * ca) - P : 2 iab * Ir ttinh lf < FIArn sd cd lang )). be g cd - (o2 + b2 + c2) > 4!i (chulg k;nu Gi&. sri a, b, c l& 3 cq.rrh cria tarn gi6c ABC.'lhd lhi: 3. Ydi riog dUng khha. 'az = +-"2 - bz 2 bc eos .'1 . Nhin vdo < tlinh lj' hdm sd cdtang )). b4n c6 : b? * c26 {' (1/2) bcsinAcosa/sirrA :} th6 nghi ring chi nhtng bai toan iao c6 liOn . a'$$ b' + - ls cotgA" quan (16n. diQu tic.h hay ham sd c6tang c:i4 edc tlong d6 ai!n.tieh "' tarn.gi6g 'luong iu "g6c trong tam gi{c mdi dring ddn n6.''IhAi ra S .ti d,BC. : b2 = e'+ c' - 4s eotg B, co aso + b't - JScotgc. 'kh6ng phiri hodn toin nhr rA.-v. Ta l{y bdi toan 'mdt bf,t d8ng thric quen thu8c clA itng clucrr chqn iAm dE thi toin quiic t€ . 2. I',am mq,nh Tir cA-e k6t^ qul trtn. ta c6 I ldnr vi dg: oz + b2 * c2 :'4S (cotgd * cotgB -r cotgC).' - (Cho mdt tam gi5.c vu6ng ,,lBC, cqnh huyEn a duoe chia I{m n iloqn bing nhau in te mQt sci .Nhnng n6u A.B,C li 3-goc,_cria mQt tam,gi[c. 16). Goi a-ld" g6c mA tri di0m .rl ta rihin th{.y. tht cotgA * eotgB* catgcs> V3 (hEy chung minh), tlo4n th&n'g (m6-t troug'n tloan.biug nhau n6i tr€n) n€n . -,.'. , c6 Chrla tlibm giEa cria canh huyEn. Chung rninh u?+*+i,>+y'f-S." (r) ling: tgd : 4nhl{nz 1) a, trong.d6 h li rtudng /, Bdt ding thuc nAv ddi voi cAe ban irhdng eO cao cfia tar4 gi6c, - gi IA 14. Eap 6n bai ndy kht dAi. ThAt ra c6 thb gi6i DiEu thri vi hoir, ln 6 eh5, ndu th€ar vto.v€! phii mdt lugng k-hOng Am^mdi: _ gon hon nhu aau.i Ggi doqn ih&ng'il6 li DE ve diSm gita eanh huylln ld ff. Troug tam gil.a Q:(*--o)2+(b-dz*(c-a)r ADE c6: thi ta lin s6 DEz = aDz + AEz - +S AADl.cotgcr uz + b? a )-,nle s + 0. tz) , ,. '1'hAi vAv" khi d6 "2 = 2AM' g DE !2*l(g4p6 eolga)ln oz _liz+c|lQ=z (bc* c* * ab) * k? + bz * cz) --.> tgr = l/cotga = (4Sjg./n) : \2AMt - DE?12) = 4S(l/siaA * l/sin8 + l/sinC) - 45 (cotgi + ' :Gahl"Zry): {'2 (ai$z azlinz) cotgE * colgC,' . _;Anhlinz_D*. - , , = 4s [rg(.412) + ts(Bl2)'+ tg(.r12)] 2 +t/'e s,]:&i vi : BAy gid, bqn irly drlng tt dinh tljr hslrn sd {:6lang > Ndu -,ttA+C:3[thi n6i tr€n db giii c6e bii to{n sau: . tg(.4/2)rg(Brt) + tg(Bl2),LgiC :) f tg(Cl2)rg(.-1/2):1. ])lN6u rrla, ,rrbr a-r", lA c'ic tr.un,g ta-y6n cria rpQt vA do d6 tri .i--+ ll' * :') *a -t gz * :r + t, u*,'''rn u - ,, bilr b * y * il2 ).'l Q11 { gr * zc),t:r co lijl j',i,i,,- (u;*""_';:,r nl',, I ts (Al2t + tg (BlD + tg tc,zt) li. , ') '). mo*lrn'+mi)3v3s+0. So v6i (IJ, ta tbtiv (2) rrrarrh hon nhiEu. Ddn dflv, nAv ra .au n6i' li€u cd 5;[y th*e i) Ngu ,1, ra, r"b,., -lla ben .kinh virng tlon ndi nlo b6 h