Toán học và tuổi trẻ Số 218 (8/1995)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 218 (8/1995) sau đây nêu lên họ đường thẳng đi qua một điểm; kỳ thi Ôlympic Toán quốc tế lần thứ 36; đa thức bất khả quy; hình chữ nhật vàng; đề thi học sinh giỏi Toán tỉnh Minh Hải. Với các bạn yêu thích Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 218 (8/1995)

Be crAo DUC vA DAo rAo * ugr roAN Hec vrFr NAM Brzrsl tap csi RA NGAY rr uANc tHAr.Ic \o ce .f-- l-+r t* F =z ,(rll, ,(< I\ \ Ci FIF s .O" F N \ c'X =,: =r "N ^\S \ =s7e S G 'X o(= N rD:- -:. "N "E:h - t)- t tte \ q o+c! ,6.5 btlr ,X N f,i-rI G*-h N \ .N g.,; E ** * Doitn hoc sinh ViQt Nam du tlti Toan Qudc td ll.n thu 36 tai Canada : Tit trai qua phdi, hitng /rdn : Nguy6n Th6 Phttong, Ngd D6c Tudn, Dio Hii Long ; h.d,ng d,u6i : Nguy6n Thd Trung, Cao Ven H4nh, Ph4m Quang Tudn.
ToAN HQC VA TUbI TRE MATHEMATICS AND YOUTH MUC LUC tr DDrnh cho c6c b4n Trung hgc Co sd For Lower Secondary School Leuel Friends L€ Qudc Hd.n - Ho drrdng th&ng di qua m6t didm cd dinh 1 tr Giai bai ki trudc Solution of Problem,s in Preuious Issue C5c bni c:iua s6 214 3 il Nguydn Van MQu'- Ki thi 0lympic To6n Qu6c td ldn thrt 36. 9 tr D6 ra ki nhy - Problerus of this tssue Cric bni ttr ?11218 d6n T'10/213, L'',218, LZl2l8 10 $[eui:6"ri fl Tim hidu siu th6m tn6n hgc phd th6rrg :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: uB{r&s; Helping Young Friends Gain Better Understanding :.i.,$AAIri:Irf in Secondary School Maths :i:::::::::::::::::l:::rlii::i::iii:: Trd.n Xud.n Ddng - Da thrlc bdt kh6 quy 12 ilti6!:r:::l;rtf,fi$ii n L€ Quang Anh - Hinh chrl nhAt vdng 14 w*En L;:.:.::Y::li tr Hod.ng Ching - Dd thi hoc sinh gi6i To6n ,,XtnPli:,:,:Jt{ tinh Minh HAi n Gini tri to6n hgc Fun with Mothentatics Binh Phuong - Gibi d6p bdi : Di6n sd vio tam gi6c Pham Hi^rng - C6t gh6p hinh vu6ng. ..ss6$ rraag. i::i::rti::::::::::::::::::: Tru sd tba soqn : Bien ffi.p uir. tr! s4: VU KIM THIIY 458 Hirng Chu6i, HAt NQi DT: 213786 rrinh bay : NGIIYE*TPT 231 Nguy6n VEn Cil - rtl KTM _r.Y.{9 THITY TP Hd Chi Minh DT:356111
I I}enh eho cie bqn Trrung hgc co s& Hg DrlONc TH.fl,Nc Dr euA MQr orfu IE Qudc Hin (Xgtrg An) -- Bdi tozin chfng minh ho drrdng th&ng di dec bi6t kh6ng d6 ddng. Ch{ng ta, tirAm chi qua mdt didm cd dinh ln bdi to:ln thri vi vd chi cdn x6t m6t trrldng hop dnc bidt, nhrrng thudng gdp trong c6c ki thi ddnh cho hqc sinh th6m vio dci Ii cA kho tdng kinh aghiQm giAi phd th6ng Trung hgc ctl sd, Cci hai phrrong toSn cria minh. hrl6ng chinh dd gi6i ldp bdi todn nay : sri dung Thi dq 2 : Cho tam giric ABC vd hai cOng cu hinh hoc vd c6ng cu dai s6' Trong bdi clidm i1.1, N chuydn d6ng tr6n AB vi AC sao b6o rrav, t6i xin trao ddi vdi citc ban vdi hrrdng cho BM : C]{. Chrlng urinh duong trung trrrc sriy nghi dd tidp cAn vi:i vdn d6 tr6n' (A) criaMN lu6n lu6n di qua mOt didm cd dinh. I) Phdn iir:dn didm cd dinh : 6 Aay, cci m6t trudng hop dac bi6t cira (A) Dd x6c dinh didrn c6 d!nh, ta lav hai drrdng le khi M = B, N = C thi (A) chinh ld trung thing cria ho (thrrirng chon vi tri dac biet) vd trrtc cria doan BC. Cd thd, khi AB * AC,ldy tim giao S cria chring. Kbi dd S li didm cd dinh th6nr rn6t vi tri nita (A) (khi AB : AC thi bai cdn tim. Sau dci, chrlng minh rndt dudng thing to:in li tdm thtldng). bdt ki cria ho di qua S. . Gia sitAB < AC. Tr€n AC ldy didm.A/,, sao Thi dq 1 : Cho gcic vu6ng eoy vd hai cho CN,, : BA. Khi dd didm cd dinh S li giao didm A vi B chuydn dQng tr6n Or vi Oy sao didm cira dudng trung truc doan BC vi dudng cho OA * OB : o (a li dO dai cho trtldc). Chrlng trung trdc doan ANo. Tuy nhi6n, vi6c chrlng minh drrdng trung trdc crla doan AB lu6n iu6n minh drtdng trung trtlc cria doan MN bdt ki di di qua urQt didrn cd dilh. qua S gap khri \han. Ta chi giil mdt tnidng hop ddc bi6t, khi (A) ld trung trtlc doan BC vit mdt trudng hop tdng qu6t. Khi dd, S, giao didm ctra chung s6 lA trung didm cria cung BAC. Dd trdnh khrj khan, ta chrlng minh gi6n tidp : ldy didm girra S ctra cung BAC r6i chrlng minh trung trtlc cria MN di qua S. Di6u ndy ctlc d6 : ASil4B = ASNC (c.g.c) + SM : SN + trung truc doan Mli di qua S (cric ban tu vE ldy hinh). 2) Sir ilunX bdi todn phu : C
trsng tdm A,OAB vi (a) ln dudng thing di qua G vd (d) t AB. Chrtng minh (d) ludn lu6n di qua mQt didm cd dinh. Bii to6n 2 z Clno gcic vu6ng xOy. Trdn Or ldy didm A cd dinh. Tr6n Oy cd m6t didm B chuydn ddng. Drrdng trbn (1, r) n}i tidp tam g1ec OAB tidp xtc vdi AB tai M vd BO tai N. Chrlngminh dudngthingMNlu6n ludn di qua mQt didm cd dinh. BDri to6n 3 : Cho dudng tron (O, E) vn dAy AB cd dinh. C ld mQt didm chuydn d0ng tr6n drtdng trdn. M lA trung didm AC. KA MH L BC chrlngminh drrdng th6;ngMH luOn lu6n di qua _-Qrro" ryLta thdyN MA.E =N MCB + m6t didm c6 dinh. MEA = MBC + AE L BC + N nim tr6n Bid torin 4 : Cho drrdng trdn (O, R) vd ddy drrdng trbn dtrdng kinh AB. AB c6 dinh, C ln mQt didm chuydn dQng tr6n otng AB x6c dinh trrl6c. Gqi CD vi CM ld phdn Aat V+9g\ANCM ln trl gi5c noi tidp-lQn gi6c trong vi trung tuydn cl0'a L,CDM. Dudng ANM = ACM:45o+MN lnphdn glec ANB. trdn ngo4i ti6p A,CDM cilt AC vd CB tqi M vit Ap dUng bii to6n phs, ta d,; AiO, phAi chrlng N. Chrlng minh drrdng trung trqc cta doAn minh. MN lu6n ludn di qua 1 didm cd dinh. 3) Sh dung cdng cq dqi sd : Bii to6n 5 : Cho nrla drrdng tfiin (O, R) dudng kinh AB vd m6t didm C chuydn dQng Ta lQp phuong trinh crla h9 dudng thing tr6n nfta dudng trdn. Drrng (v6 phia ngoii (A), chring thrJdng phq thu6c vio 1 tham s6 nz dqdng trbn (O, R)) hinh vu6ng BCDE. ndq dd. Vi6t phuong trinh (A) du6i d4ng : 1) Chrlng minh EC lu6n lu6n di qua mOt * g(x,,y) = O mf(x, y) didm cfi dinh. 2) Tim tflp hgp I, tim hinh vu6ng dti. Khi dd h9 dudng thing (A) lu6n lu6n di qua didm cd dinh cd toa dQ li nghiQm cria hQ phuong trintr ( DA TIIUC gAT Kru( QTIY )f(x, t) = o (Tidp theo trang 13) y) = o ls(r, Cdc thf du tr6n d6u cd thd giAi bing phrrong Blri to6n : Tim da thfc ctrc. x cd b4c nh6 phrip dai i0. Ta x6t l4i thi du 1. Lap hQ tqa dO nh6t v6i c6c h6 sd nguyOn cri m6t nghi6m li vu6ng g6c c6 truc hoinh chita Ox vi trgc tung + 15. rf7 ch(ta Oy. Kh6ng mdt tdng qurit, gi6 stl a = L. (D6 thi chon HSG P.T.T.H toin Ndu toa dO A(M, O) thi toa dO B(0, I - m). qudc nam Phrrongtrinh trungtrgc (Au) ctnAB cri dang : hoc 1983-1984) (x - ro)2 + (y - !6)2 : (x - xs)z + (y - yilz Hu6ng d6n : Da thrlc f(x) : ,6 - 6*4 - 6*3 + l2i2 - 36r * I s6 ld mQt da thrlc cria r c6 bdc hay (r - *y2 = x2 + [y - (l - m11z m\2 nh6 nhdt v6i cdc hQ sd nguyOn cci m6t nghi6m +Zm(x +y - 1) + (1 - 2y) = 0, ta r/7 + 18. V{y hq dudng thing (Ay) lu6n lu6n di qua Cu6i cung li mQt sd bii t6p dinh cho bq.n doc : didm c6 dinh S cd tga d0 la nghiQm cria hQ ' Bai I : Gi6srlor,\t ..tanlb,nlisdnguyen Ltuic [r*v-1=0 , I nhau tr)ng d6i mQt. Chrlng minh ring da thrlq (r 1r-"*=o =t'=Y=r' - ar)(x - oz) ...(x * a) - I bdt khA quy tron e Vi khudn khd crla m6t bdi brio, t6i xin drlni Bei 2 : Tim da thrlc cti bic nh6 nhdt vdi criq lar tal dny vi mong c6c b4n tidp tUc hinh trinh hQ sd'htu ti vd cti m6t nghi6m ld : vli citc bDri to5n sau : Bii todn 1 : Cho gdc vuOng xOy.TtdnOx 1l{Z + B{B + 112 + ltlZ+ B\i,g _{Z vd Oy c
Bili TLlzil4. Cho ,[ 3 td. nghiQm cila phuong trinh f +an2 *bxlc: o (a,b, c e Q) Tim cd.c nghiQm cbn lai. Ldi giai. Vi \f5la nghiQm cta phtrong trinh x3+oa2*bx*c=0 (1) B,di T1l2l4 n6n ta c
dobn thd.ng ndry hoQc xanh, hoQc ud.ng, hod,c cirpg r-'ArJ. Ap dqng dlnh li Ta-16t, kdt hop dd mQt cd.ch hu hqa. Cll.tng m.inh rdng lu1n v6l (1), ta c6 E lA' didm cria MN, do drj luan thu duoc lt nhdt m1t ttl gid.c (lbi, t6m -E trirng i6i I,hay lpi4g DIH = 90o. Vfly I nAm tr6n hoqc kh.6ng don) udi s6, md.u'crta cdc canh dudng trdn dudng kinh DH_itdm gr). Goi K kh6ng uuot qud.2. ln didm chinh giita cung BC kh6ng'chua H, Ldi giAi. Do 4 doan th6-ngAB, AC, AD, AE t9 c6 l, thuQc drrdng trbn duirng kinh pf (tam dtroc t6 bdi nhibu nhd.t ba m&u n6n, theo 02) khi Adi d6ng tr6n cung BHC.VAy 1 thuOc nguy6n li Dirichlet, phAi t6n tai it nhdt 2 doan drtdng trdn (O,) hay dtrdrg *dn (Or). Dao lai, duoc tO cirng miu. Kh6ng mdt tdng qurit, giA Idy didm I' e (o t) u (o2), hq-BM',?N' t ,qr. sfi AB vd AC cing drroc tO d6. Khi dri : Ijg\I kh6ng trung D, td c6 DI'H = 90o hoic o Ndu it nhdt m6t trong 4 doan DB, DC, ' DI'K = 90c'hay DI'lICM'. MeD li trungdidm EB, EC duoc t6 d6 thi hoic tri gi6c ABDC hodc clta BC vd DI'llCM'llCN'(vi cung r ,4r) n6n ffi SSS,IABEC s6 th6a m6n y6u cdu cria dd bai. f' ld trung didm cria M'N', vd f 'li rn6t diejm thu6.,c quf tich. YAy quf tich cdn tim ld (O,1 o Ndu cA 4 doan DB, DC, EB, EC cing u (o). kh6ng drroc t6 d6 thi ti gi'.c DBEC s6 th6a Nhqn x6t. Cri 145 lili giii. Kh6ng ir bAi rp6n dlldng trdn m6n y6u cdu cita dd bei. (Oz). Liti giii tdt g6m c
> 180" hdn nfra, tt (3) ta cd M nirn trong gric Nh{n x6t : Circ ban tham gia rliir giii dfrng. Lcti giii tot thlrQc vd clrc ban : Ttt Iluy Ctdrtg 17A T'h:ii Binh. N21,vEn ABC, suy ra M nim d b6n trong A,43C. Goi Ilbng NhAn, DA Nrlng, Hb Svn IIiA n 1 1 Vinh. Phan Dur- Hitng A', B', C'ldn ludt la giao didm thrl hai cl .a cL'c Quing Binh, NguyCn Minh Phaong 9A Vinh Phf . Ng.tvEn I-t tia AM, BM, CM v6i dudng trdn (O). Trrong I.ac 9A Minh Hrii, Dinh Trung I'ldng ll Nlary Qtlrt. Phan trr tr6,*-ta'cunglltl(2). Hdn niia, trl (3) ta lai Anh lluy, l0 Ar L€ Qu,i Don Di Ning. N5zry6n QtLang Nguy€n c6 sd B'C' = sdA'B' : 600 hay M'B'C' ddu, 10A DIITFI lin NOi. llan Nguy7n l,€ Lvc mic cli n',6i hoc suy ra Ij'C',= A'B' (4). kdt hop (4) r'6i (2), t,a l6p 9 c16 sit ril1ng ttlnh I'i COng (suv rirrrg dinh lf l-agrirng) hIA AB cria chtldng trinh Dai hpc d6 giii ngln gon birr to5n nly. "o ffi = *hav MC.AB : MB.CL M4t khe", DANC IIUN(; 'nIANG rlol[-.t&rn db.Oalrong AABC ndn AMC: 3600 BdiTTl2l4.Tbntai hay kh6ng tbntai hitnt - iAMB + BMC) :.p + 60(' n6n M cdn nim sd f(x) xd.c d[nh ud, li€n tuc trong Fa, a) ua tr6n cung chrla gdc B + 60(, vd tr6n doan AC th6a man cac dibu kidn. sau. (phia c0 I-liri I'}hirng. Ngtryln Ngoc Tdn 11CT D[]TH H] NQL Ddrt Thi Ldi gi&i t Cach 7. (cria da s6 c6c ban). Bdt T'hiAn IIaury 1i l)6ng IIn, Quang Tri. Trhn Thanh Ti 10C'l d&ng thric tudng drrong v6i Quring Binh, 1).inh llau Trung l0'l [-anr Scln Thanh I kia. 2tn {l *. J) * y2 - 2y < 2h. {l + x) + x,2 - 2e MOt sfj tran cri lcri gilri sai. holc kh6ng chlt ch6 clo khdng bidt sit dr-rng kdt cpr:i : "l:lam li6u tuc vi rlcrn irnh sE la hArr X6t hdrn sd /(0 = 2ln (L + r) + * - 2t rtctn tl ieu" 2P DANG I.II.]NG ]'I'IANG Tacdf(t):l*tr 0 Vf>-1 TBlZl4. Ctto d,ay so { "r,,i rtuoc x6c ttlnh bc,i Dd dd f ddng biSrr tr6n (-1, +*;. Suy ra ndu 1 )c y > 0, th\ f(x) > f(y) (dpcm) (Ro rnng BDT > cbndringv6ir>y>-1) xz= L,xn*t = TU f*,tTl{ a) Ching minh rdng tbn tai lim r, uit. tim. Cach 2: X6t hAm sd f(4 = lnt - r# gidi lra,n d6. (t-])2 b) Ch.ung minh rang c6 duy nhdt s6 A sao ta cd f(t):-r---- > 0 vdi t > 0 VlY f t(t + l)t xn ddngbiSn tr6n (0, oo) suy ruf(t) > f(1) = 0 ndu cho L :lirn = AN lirm.6t sd hilu ltqn khd.c kh.6ng. t -1 tr-*h t > t hay lnt>2 t+1 v6i , > 1. Thay Hay bidu thi L theo gia tri crtu. A. 1*r Ldi giii. (cria da s6 cdc ban). -:-:- t = t+v ta drtOc ,^ \, rk. r*r) > 4r;i x-^t, > (r -y)(2 - (r +y)) sina,,= xnv6i0.o,, ----)--:-r- i\1+y/'2*x*y xn*t i7 1 li = sin 7.
Di6u dd chrlng t6 ring 0 ( ,r*t < r,,. Vi J(^Jt oz: i n6n
PMt = PMr, (Vt) e 1t') Hoec dl = oZ, dl = l'2, d2= fl ) 1 20) Hoac I dt = az, r| : 1"2, dl = d2' VAy didm P t6n tai chi m6t trong hai tnrdng hop sau dAy : Truitng h.op 1 : Hai dudng trbn u, (O1 , 11) V; vit u 2 ( O. , rr) cit nhau d hai didm, ching han C,_uU %, d6ng thiri (OrCt,OtA) : hdnh, n6n c6c trung trUc cta'OrOzvit ArAr- : (khi dri (Oz'Ct, Oz'Az;* 0 hay dac biet 0 song song v6i nhau, bii to6n" kh6ng cri ldi giAi. A, = A.: C,) ; P ln' d'idnt' d'5i xung uoi C, quo Ntrin x6t : l") Biti t()::rn tl€n tlAt'lir sLl khr'ii tp:it hria tl6t l trutlg tr1c cito, O, O. (Hinh 2) biu toirn tnrng itng viti trr-trtng hrrp lqi, thi 'llxln qtrii: ti ri Anh (llr4(). 1979). 1rk1ng 1. i ,t 2'') (lhi c(i turi b;rn giiri trl(rng daii t6t b::ri tr/rn rr.ry lt Doart hoc Hud va Phant Dinlt "liuittrg. llC'l' XuArt L/inh" l0("f Qtraic I'r-'in I'hti. llii I'h,)ng. 3") l laill hdt circ hi.rn thant gi:r girii b:ri to;:rn nav clitl kheing clat rlidnr tfii cla vi clrrla hidrr dLldc thllc chdt r-1Av la n101 t):ii to:lrn r1{ng hinh rna kcit h-rAn n0tl tr()ng hai chinh la kdt qtrri I phiin trien luAn cfta hai trr:in rill. Nhiitr han to ra rit lrirng tLing trtlric rliirr kitn /'Mt : I'Mz lVr).
4 GA, 1 I lGA,l t15rr\i\ 42, - 3?, - 31, (chu y ob: Z). Tt dd rrit ra nL1= O,4kg. Y\ t=l-, h, hi r:r nt, beng tdng d6 d6ng d6 giAm thd nnng c:0.a ,Ip,?r =*pf.r?l ndng cria ci 3 v6t y ut= ur: urat) rft ra a = 3,46m ls2 (cht:. gr- 1 J r tiil "f .#,?,",rt,|: Nh{n x6t. Cic ctl c() lati g;in ho;'rn chinh Npry|n QuangT\rdng, 11CI. Br)i Phaltc llCt. LA Quung Vinlt lOCl ... P l"l't l Phan Bari Chiu. Vinh. Nghr' ..\n. : 1 =--o (r;) *, =# (d p c,r) .MT Nhin x6t : C6c biln sau tlAy c(r ltli girii tdt : Pltam Dinh P,di L2t2t4. "l'Ltdtt' Truitng.l 1 CT Trdn Phrh, H:li I'horrg. .\iqrrlirt Mittlt Didnt sd,ng S d lrAn ffuc chinh cila guang llAr Chir Vr:rn An iJn NOi. Lt Anh lii va N5ttvirt lhi IIdi cd.ttl6nt G, ban kin h R = 6cnl, cdch dinh "Irung llilng. 11M Marie q Yan . llCT, Quiic hq,"- lllu6.. Dinh guong 32 cnt. Dat thd.u kinh h.Qi tr"1. Lrti€u. c4 curie. Il) NQi. Plran Dtly llimg, 11C'f. D:io DLry Tit, Quring Binh. Rit tidc ct)n cir tran v6 1i kh6ng ilgc $ cldu bii nhiim f1 : 6cnt, dbng truc trong khod.ng giila S uit "A t I lir tanr nult cAu ngoai tidp n€n tli giii sai. Dei hor)n chinh lcri gihi bii tohn. cac bqn hiy chilng n.iinh h€ thitc v6ctd (2). G: xem nhU mot bai toirn phu bli sung ki€in thitc c3'n thidt. I. tri cila thdu kinh L, dd d.nh Tim. cd.c ui NUUYiN DANG I'I{,\I' cila S qua h.Q th.d.u kinh - guong lai tring u6i s. Bdi Lu2t4. 2. Thay thdu kinh L, biing thdu kinh L, HQ uQt d.uqc bd tri nhu h.inh ud : nll dttoc tidu cr1 f2ta tlrd.y chi c6 1 ui tri cita Lrcho cinlt tre.o bd,ng ddry ntd.rult. khdng dan, ddy duoc udt qua rdng rgc cd dinh gan tr1n nr, dd.u kia cila cia S qua hQ thdu kinh - guong lai tritrug u6i S. Xdc dinh fruir ui tri dil L2. dd.y gan udi m, Bu1ng to.y khoi nt, thi lt€ uQt chuydn ddng litnr cho ddy treo nt,bi lQch 3Ao so udi pltuong thd.ng dung. Ch,o mr': 0,2 ir,€i nL.. = Q,l kg. E6 qua nlo. sd.t. Tinh : kltdi luong nLt; gia tdc cac udt" Hudng d6n gi6i. So dd tao 6nh qua hO : LG[, S+Sr-Sz---lSr=S. d, d, drd, d-d_ 1) Dd Sa = S*S2 = St-d): tlz, r:6t ra dz= o hoirc dr: 2fs i mudn vdy dinh gudng Hudng d6n giii. nz, tham gia hai chuydn Oz: St hoac tAm gudng C = S,. Vdn dung d6ng : chuydn d6ng theo phuong nam ngang, dt + d't:32tittdd., = 8cm ; 24cm ; 16,6cm sang phAi v6i gia tdc Tr; chuydn d0ng theo ; 9,4 cm. phuong ctra sgi day l6g"h 30{' so vdi phrtong thingdrlngv6i gia tdc4, 4 : a;+4 Vi6t 2) Mudn cho chi cri 1 vi tri cria L" cho ilnh, phuong trinh dinh ludt II Niuton cho nt. , nr, Phii cri I - 4fz-fz= Bcm.. vd chidu l6n phrrong ngang suy ra lrtc cang Nhfln x6t : C6c em c6 liti gihi cilhng va gr:n : T = 0,4a2= 0,4o, vd chri '! tdi g6c lQch ctra NpyAn NgzyQt Minft, 10M Marie Clrric Ha NOi ; Tdng XuAn dAy treo nz, li 30o suy ra dt: az = d3 = o. Vidt Trudng,l2Cr P'ITH L.ong Kh.hnh, Ddng Nai 1Vrt Duy Hrii, l0At Ii Heing Phong Nam Dinh; Ng.ry4n Xuhn Truitng 11A, PTNK phrrong trinh cira dinh luAt II Niuton cho m1, Hii Hung ; D(ng Thanh I{a, LIA CT DHSP HN 1. r6i chidu l6n phrrong ngang suy ra T = m, a, OK
O[YMPIADE INTERNATIONAL INI'ERNA]'IONALE DE MATHEMATIC I\LATFILN/LATIQUES CANADA OI,YMPIAD I 995 ri rnr olyMptc roAru ou6c rE r-hr,r rHu so Ndm nay, ki thi Olympic To6n qu6c tddrroc td T6n Bei 1 Bai 2 Bei 3 Bai 4 Bai 5 Bei 6 chrlc tai Toronto (Canada) tn 13/7 ddn2517ll995. VIE1 7 75770 Ki thi ldn niy ccj 73 doin tham drr vdi 412 hoc VIEz 7 77775 sinh drr thi (m0t s6 doAn kh6ng cd dtr 6 hoc sinh ViE3 7 77770 trong d6i tuydn nhu Kuwait, Malaysia..'). VIE4 7 77770 D6i tuydn Vi6t Nam g6m 6 hoc sinh : VIEs 7 77777 Cao Van Hanh (VIEI), l6P 12 Lam Son VIE6 7 77770 ) (Thanh Hcia), Dudi dny le dd thi /l. Ddo HAi Long (VIE2), i6p 12Ao, DHTHHN 1 (DFIQGHN), Ngdy thf nhdt Thdi gian : , Ati:. Nguydn Thd Phuong (VIE3), l6P 12 DHSPHNl (DHQGIIN), 19-07-1995. M6ibai:7didm. Nguy6n Thd Trung (VIE4), l6p 12Ao, 1. Chol, B, C v) D lA b6n ditlm phAn bi6t trcn In6t dudng DHTHHN (DHQGHN), thing vi ctrldc sip theo thit trl d6. C5c drlarng trdn dudng kinhlGvA BD cit nhar-r tai cdc ditimXvA Y. Duitng thing Ng6 Dic Tudn (VIE5), l6p 11A.,, DI'ITHHN XY cAr BC tqi Z. C]no P li m6t di6m tr6n ttttilng thing,Yl' (DHQGHN), khlc Z. Dilctng thing CP cdt ct tilng trdn ddttng kinh AC tai C vir M. cludng thing BP cdt cluong trdn dl{cjng kinh BD tai Pham Quang Tudn (\IIEG), I6p 12A", .B vA N. Ch[tng minh r]ng c6c dttilng thing AM, DN vit XY DH?HHN (DHQGHN). ddng c1uy. C6ch chon bdi thi nnm nay cci m6t sd thay 2, Cho a, b vi c li c6c s6 dilt1ng th6a m5n di€u ki6n abc ddi so vdi moi ndm : nrJ6c cht nhd chon ra 30 : t. Chilng minh ring bdi thu6c cdc linh vttc khSc nhau (dai sd, hinh i113 hoc, sd hoc vi td hqp, giAi tich) khdng kbm 1-:' atlb + c1 b'1c + a1 c'1a + b1 I theo ldi giAi vh tOn nd6c d6 nghi cric bii dd' Kdt quA ld dd chon ra duoc s6u bii r6i mdi 3. X6c dirrh tdt cA cic s6 nguv6n z > 3 sao cho t6n t4i c6ng bd t6n n{6c d6 nghi : -T---:--a-- n diAm At Az, ..., Ao trong cing m{t phing v} c6c s6 thtlc 11, rz , . .. . ro thoa mdn hai didr-r ki€n sau dAy : Bdi 1 (Bungaria) vd hinh hoc phing, (i) kh6ng c6 3 cli6m niro trong sd A 1, A2,... ,,41 thdng hdng Bii 2 (Russia) v6 bdt d&ng thrlc d4i sd, (ii)v6i m5i bli, j, k( I < i < j < I < n) cAc tarngi:ic Bdi 3 (Czech RepublD v6 td hgp trong irinh hgc, AAI'" co di6n tich bing r; * 11 +;'r. Bni 4 (Poland) v6 dev sd, thf hai Thdi gian : 4, Siit 1 Ngny Bni 5 (New Zealatd) vd bdt ding thrlc trong hinh hoc. 20-07-1995 M6ibei:7didm. J 4. Tim gi6 tri l6n nhdt cira.xo cld t6n tai cliy c5c sd thrtc Bni 6 (Poland) v6 td hop trong sd hoc. drldng16.xl , . . . ,.t19os th6a tnirn hai di€u ki€n Cdc bni thi nirn nay d6u thu6c dang co bAn, (i) .ro : arrnt .,) rdt quen thu6c v6i cdc hoc sinh chuy6n to6n cria nu6c ta. MOt di6u rdt bdt ngd ld hoc sinh 21 (ii) x, -, + = Lri o iv6i r.1gi i = 1.2,.... 1995. ctia nhi6u d6i tuydn giAu truy6n th6ng trong ^, _ I thi Olympic To6n hoe de bi gey bAi 2 vd bni 5. -- li nr6t [i-rc giSc ldi c(r,4ll = BC : CD, 5. Cho ABCDEI' D6i tuydn Vi6t Nam di dat kdt qu6 rdt xudt DE : EF = FA viI LBCD = LEFA : 60O. Cho G viI H IiI hai ditim nlm b6n trong luc gi6c sao cho LAGB = LDHE s5c trong ki thi nem nay. CA 6 em d6u giinh = l2oo. Chitng nrinh rinu huy chrrong, hai huy chtiong vhng vi bdn huy chrrong bac v6i sd didm 2201252 sau cdc'doin : AG+GB+GH+DH+HE>CF 'Trung qu6c 236 didm, Rumani 230 didm vd 6. Chop la mQt s6 nguydn t6 t€. Tirn s6 ci{c tAp con.4 LB Nga 227 didm. Sau dAy ld bAng kdt quA chi cila tap hQp {1, ,, ...,rp}, bi6t r6ng tidt s6 cho cAu trA ldi v6 nhiing m6t manh vi (i) A chita dirngp phdn tit nhtng didm cbn ydu cta d6i tuydn ViQt Nam. 1ii; t6ng tdt ci cac pha'n til ciraA chia h6t'chop. NGIIYEN VAN MAU I
B'di T7t278 : Cho da thrlc : P{x)=(xz -2)(*2 -3)(r2 -6) Chrlng minh rang v6i moi s6 nguy6n t,6 RA Ki t{AY p d6u tim dttoc s6 nguy6n drrong n dd Pln.) chia hdt cho p. Ci'c l6p TIICS I).\N(, I II IN( i 't't t.\N(; Bhi.Tll2l8 : (l ll Nrri) Bhi T8/218 : Hay tim sd chinh phrrong I6n nhdt crj chit sd cu6i kh6c 0 sao cho sau khi xcia b6 hai chtt Cho sd nguyGn n I6n hon 2. Chttng niinh s6 cu6i thi thu drtoc mi-rt s6 chinh phrrong. rang t6n tai hai hoan vi khac uhau N,INT; V,TN I IANt; (s1, s2, . . . , 8r,) va (tr, t-, ..., /u) cua (1, 2, { .,5 (l L'ri [{Llng) Bilj T2t2r8 : ..., n) sao cho t Cho hai s6 x, y th6a rrrAn ding thrlc : s, *2s, *3s. * .., *tls,,: t ;+2t, + 3t - +... +tlt I l _1 N(it')l'NIi l)l'rN(i 2x-*- +"4 -4 (.1'l' IIr) Cihi l'{inli) B}li T9/218 : X6c dinh r, y'd6" tich ry dat gia tri nh6 nhdt. C6c canh AC, AD. BC vd ,BD cria tf Nr;t,YIiN I)t l{' tn N t'l'l'llti Chi Minh) di6n ABCD ti6p xuc v6i mat cliu (S,,) biin Bli 13/218 kinh /, tAm / nirn tr6n canh A.IJ. C.{c can}r ' Giii phuong trinh : CA, CB, DA vd DB tidp xric v6i mAt cAu (S',,) b6n kinh r, tAur J nAm tr6n canh *t*(.,j;;'=' CD. Chfng minh h6 thrlc sau dAy : 't'rr.,rN xti.,rN oANr; 4g+1cD2 - 4rz) : :D4(AR2 - 4p2) (t'.-anr Ilir) t'i1 111 I I() t-;tl,4Pr-; ; Bni T4i21B : (Ngh': "\n) Cho tam gil,c ABC vdi AC > AB. Goi M li Biri r10/21g : trung didry-da BQ--{ren canh BC l5y didrn Ldy cdc canh BC CA vd A-B cta nt6t D sao cho BAD---- C$tl*lrdn tiaAMldy didm N sao cho ABN : ACB. Goi O ld giao didm tam gi6c ABC lirm d6y, drtng ra phia ngoii ciaAD v6i BN ; tn N k6 NK ll OM c6t BC tai tanr gi.lc ABC ba tam giric d6.u A'BC. B'CA didm K. So sdnh BD vai CK, vd, C'AB. Goi A,r, 41 ; 8.,, B, vd C,,. C, ldn N(,t r\ llN \t In N IllrN(i ludt la trung didm c6c canh J3C, B'C' : CA, ('l'h:rnh I ltia) C'A' vir AB, A'B' cria hai tam gi6c ARC, Bhi T5/218 : A'B'C'. Chfng minh rdng cac cloan tharrg Cho nrJa dudng trdn dudng kinh AR tr6n A,At, B,,Bt uit C,,Ct d6ng quy va bAng nhi.ru. drj crj didrn C.Ila driong cao CH cfia taur gi6c ABC. Goi O, Oz ldn luut ia tArn c6c drrbng I)AM V.{N NI ]I trdn nOi tidp czic tam gi6r: ACH, I|CH. Tim vi (-t'trii ttrntr ) tri cira C dd A pz dat dO Cai idn nhdt. Cr{c dd vat li Nr;t rYtlN KI r,\N! l N( ilrYrN (l l:ii l'ht)ng). Bii L1l218 : M6t vi6n bi khdi luong rz cri khoan mdt xuy6n tdm vd duoc I6ng tr6n rrr6t 16 C6c klp TIICB thanh crlng th&ng sao cho bi cd thd chuydn Bhi T6/218 : GiAi phuong trinh : / Zcos(x : -45" )-cos(r -45') ) sin'Zx -Bs in'2'x +4 O' N(i(]YI'N IIIIi] I)[I (NghQ An) 10
dOng doc tr6n thanh vdi ma s6t khdng d6ng T41218. Let be given a triangle ABC with kd. Hai lb xo I r vd,L. cci m6t dau g6n chat vdi AC > AB, and M be the midggQt of BC. Take vi6n bi vd ddu cirn lai gdn c6 dinh vdo cdc didm D on the side BC snch that BAD : CAM and A vit B tr6n thanh crlng. Luc ddu dat thanh tgke-N on the semiline lr14 such that iEi : A.B n6m ngang vd vi6n bi drlng y6n 6 vi tri M, ACB, Let O be the intersection of AD and BN. khi dd lo xo L, bi n6n mdt doan o.,, lb xo L, bi n6n ur6t doan o,. Tai thdi didm , : 0 quay The line NK parallel to OM cuts .tsC at K. thanh A,B xung quanh l,I t6i vi tri thanh Cornpare BD with CK. dtfutg. 'hing T5l2l8. Let be given a semi-circle with 1. Hay chrlng rninh li vi€n bi sE dao dOng diameter AB. Consider a point C on the di6u hba, senri-circle . Let CH be the altitude of triangle 2. Cho bidt bi6n dd dao ddng cta vi6n bi Ii ABC and O I ancl O, be respectively the 9,8cm vd gia t6c trong trrrdng li 9.8m/s2. FIay inceniers of triangles ACH, BCH. Determinr, tinh chu ki dao ddng ctia vi6n bi. the position of C so that the length of O,O, is lJ. Cho biet nl : 1009, or = l5crn vd grerrtest. 02 = 10cm. Hay tinh d6 crlng ctta cac lir xo L, vit L. . I'I II\N'I'TJAN Kt{AN} I For Upper Secontlary Schoolls. (r ri N0i) Biri L2t2l8 | \'81218. Solve the ecluation Cri 3 di6n trdrR, : 30Q - 15A, R. : 10Q - 5A, 2cos(x :45{') -cos(r -45" ;sinZr -3sin2-r, +4 : 0 . E, : 20Q - 20A Trong dc, gi6 tri sau ld ddng cao nhdt md cdc di6n trd cci th6l chiu dtloc. 71218. Consider the polynomial l. Xric dinh cum li6n kdt, c
Tim hi6u s6u th6m to6n hq. phd th6ng * Dfr T}IOC BfrT KTIfr OOY E Ti6'n Xudn D6ng (Nam Hi) Dinh nehia I : GiA sit fh) ld m6t da thrlc sd ddu ti6n cria g(-r1 kh6ng chia hdt cho p. Ta v6i ciLc ho ;d hrru ti. f(x) drroc gqi le bdt kha c6 quy tr6n Q ndu 1@) kh6ng vidt drrqc drr6i dang c;,i : ) 4,6, tich cria hai da thrlc ccj bAc kh6ng nh6 hon I ,r+s:l+J vdi cac h6 s6 hrru ti. X6t ba trudng hop : Dinh nghi a 2 : GiA sit f(x) li mdt da thrlc 7) i j > 7.Khi dd >- 1, v6i ct.c hQ sd nguy6n. f(x) dtroc goi la bdt kha quy trdn Z ndu f(x) khdng vidt drroc drl6i, dang *| a,b, * a,b, I aP, = 2 ",b, r+s:l+j tich cira hai da thrlc cri bAc kh6ng nh6 hon 1 r+s:i-r/ r+s=lti .
Nhrrng theo bd d6 Gaoxo thi gr(r) .82@) la nghiOnr nguy6n (fr(x) = x * b vdi b e Z). Gie ngu.y6n bAn. Viy r : +1. Tt) d6 f(x) : :.u., : {,,!r.u e ?rry nghiQq.n€tyan c:iua f ,rx1 r q .gr(x) . 8z@) vdi + e.8r(r) vd, gr(x) lir cric thi x^ phAi lh rrdc sd cria 3. Tt dc, suv ra.r : +1, +9. M6t kh6c d6 dlng chrtng minh diioc da thrlc vdi c5c h6 s6 nguy6n vi cd bAe nh6 fr(L'l * 0, h(-I) * O, fr(3t * O, f"(-3) * O. hon rz. Yqy f(x) le kha quy tr6n Z, tuai v6i gi6 Di6u v6 Ii n?y chrlng t6-ring /r) [h6ng vidt thidt. VQy f@) bdt khA quy tr6n Q. dudc dudi dang tich ctra hai da thrlc c6 bac Dinh li 2: Cho da thdc f(x) = a,,* arx * ... kh6ng nh6 thua 1 vdi cdc h€ sd nguy6n. *^gnrn (z > -l) t^ron^g dc5 o,.t,o.t1....,3nla nhung so nguyen va mot so nguyen t,op t.noa man cac Dinh li 3 : Gii st g(x) li mdt da thrlc cri bAc kh6ng nh6 hon 1 vi crj cric h6 s6 htu ti. didu ki6n sau : Khi dd v6i mdi da thrlc f(x) v6i c5c h6 sd htu 1) an kh6ng chia hdt chop ti cd m6t vh chi m6t c4p da thrlc q(x), rk) vdi c:ic h6 sd hitu ti sao cho 1'1*1 : gfi). qix.t + r(x) 2) an, a1,..., a* chia hdt chop (0 < k < n) vd d,egr(x) < degg(x.) ndu rk) * O. 3) o,. kh6ng chia hdt cho p2 Chrlng minh : Trddc het ta chrlng n:rirri: Ndu f(r) vidt drroc du6i dang tich cria hai bing quy nap theo bAc ctra da thrlc f(x) su t(in da thdc vai c1.c h6 sd nguy6n thi bAc cta m6t tai cria c6p da thac q(x), r(x). trorrg hai da thrlc dri kh6ng nh6 hon k + L GiA st Sk) : br,* brx + ... + bng,t11 (nz> l, Cht?ngminh: Gihsitf(x) = h(x).g(x) trongdd b *Ot It(x) = br.*brx *... *b,,rrr11 '\A,r 1frt = 0 ho4c degf(x) < nz thi chi vi6c chon q(x) : 0 vi r(x) = f(x). Gia stt kdt luAn g(rc) : co* crx +... + dirng v6i m6i da thrlc cci bdc nh6 hdn ni'n > m) "n-,.,rrn-"' Ta co^o,, : bo,co. Vi oo i p vd kh6ng chia vA giA sit f(il : er,* afc + .., t o,{n (o,, * 0) hdt cho p - n6n trong hai sd b ,,, c ,, cd m6t s6 chia a, hdt chop vA. s6 cbn lai kh6ng chia hdt chop. GiA D4t /,(r) = f(x) --.*n-rn.g(x;. Ta cd sfi 6n i p vi c,, khOng chia hdt cho p. Vi o,., - u ttt b.,r...-,r, kh6ng chia hdt chop n6n b,r, cfrng kh6ng ngay f ,k) : 0 hoac deqf {x) < n. Theogie thidt chia hdt cho p. Goi lo ld s6 nh6 nhdt trong s6 quy nap cd c6p da thtlc et@) , r1(:r) sao cho c6c sd I th6a m5.n b, kh6ng chia hdt gtro p thi 0 f 1@) : g(x).q r(x) + ,'r(x) trong dd r,(;) : 0 h,rdc . i,,. ( nz. Ta c6'a,,,:c,,.bi,_ + ) b, c, degrr(xt < nt. i+j=i. r) i^, vQy nt. > g(x)q(x) * rk) vdi ft + 1 (d.p.c.m) voi k : n - 1 ta nhdii duoc ti6u chudn Aidenstai (Eisenstein) : Cho da thrlc Q,, fk) : an* arr * ... * o.rn (n > l), trong rlci ek) = qr* +C *t-rrr, r(x) : rt(x) a, € Z (l : 0,-1, ..., n)i d)u a,, ..., a*, chia h5! cho sd nguyOn td p ; a,,lihOng chid'hdt cho p2 C6c ban hey tr/ chrlng minh tinh duy nhdt vi on kh6ng chia h6t cho p. Khi do fkt bd,t l-degf..(xt thi theo dinh li 3 (chu y rang d'egf^ra1 t f it;; Giii : GiA srl f(x) = f{x) f2@) trong dci tai cic. da thtlc q(x), r.(il voi cric lie sd hr:u ti, trong dci hoAc r(x) = 0 hodc degr(xt < degf,.kt f1@), f2@) ld cric da thrlc vdi c6.c h6 sd nguy6n vd degq(x) > 1. Vi f(x) bdt khA quy tr6n Q" iien vi cri bic kh6ng nh6 thrra 1. r_k) * 0 vd degr(r: t < degf ,.(xl. Ta c0ng cci Dathncfk) th6a min cac g1ilthi5t ciia dinh degr(x) > 1 vi ria) = 0. Di6u'iray trai v6i dinh li? vdi p = 3, k = n' 2. VAy trong c6c da thrlc nghia cua f ^k). Yqy f(x) li m6t da thrlc cd bic /r(r) va f2@) cC m6t da thrlc cri bAc kh6ng nh6 nh6 nhat vdi cae h€ s6'hiru ti vd cri m6t nghi6m hon ru - 1. Gie sil [(r) cci bAc kh6ng nh6 hon td o. Ap dung dinh li 4 tacci thd giAi drroc bai tod'n sau n - l. Khi dd f2(x) ct bAc bing 1 Vay f2@) c6 ' ,*nm tidp trorug 2) 13
H|NH CTI9NHATVANG L6 Quang Antr (TP Hd Chi Minh) Trong bni ndy chring ta s6 xem x6t m6t sd nh6 cria hinh chir nhAt thi ta drtoc hinh chtr tinh chdl thri vi ctla m6t ldp hinh chil nhAt, nhAt mdi d6ng dang v6i hinh chrf nhdt cfl. eoi ln hinh chii nhdt vAng duoc ngudi Hy Lap Goi chi6u ddi cira hai canh hinh chtl nhAt kham ph6 ra vAo khoAng 500 nam trrr6c TAy ddu ti6n li o * b (l6n) vi o (nh6). lich mi ddu vdt ngiy nay v6n cdn thdy trong Cdc cdp canh cria c6c hinh cht nhdt drroc HOi hoa, di6u kh6c, kiSn truc. P!6p dgng loai thnnh ldp theo cSch tr6n li (canh ldn tr6n, hinh chrr nhQt niy ddn ddn s6 V5, con s6 niy canh nh6 drrdi) : ld chia khria dd drrng drrgc ngt gr6c d6u bdng thudc k6 vh compas. Ngtl gi6c d6u lai li mdt fa+b.Jfa..)lu .) [a-b.) {za-go.) [st-so ) cria khdi L2 mat ddu vir ld da gi:ic "n6i tidp" trong kh6i 2O lr;rQt ddu, khdi da di€n ndi ti6ng lo'Quafb' lo-6' lZb-a' l5b-3o' 15o-86'"' dd ta thdv canh l6n cta hinh chir nhAt nhat-trong s6 5 khdi da di6n ddu. Hinh cht bine tdne cria trii cinh cta hinh chri nhet [6 nhAt ving drroc ngudi Hy LAp d6nh giri cao tidp-sau ilti. Neoni ra ta cbn thdv rane cic h6 bdi v6 dgp ri6ng cta nci vd v6 dep cria cdc srt sd'cira a vd b tlons cdc bidu thrlc can[ d tr6n vdt todn hoc cci li6n quan ddn nd. cri li6n hQ mAt thi5t v6i cic sd h4ng'trong day Ta h6y quan s5t day sd sau dAy : Fibonacci. 2. Ti sd ud.ng. t, l, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Ta thdy ngay li m6i s6 hang (tr) s6 hang o Qu6 trinh thanh 16r: li6n tiSn cac hinh chir nhht'ndv lA kh6ns tlid k6t thdc duoc vi thrt ba trd di) bing tdng hai s6 h4ng dring ngay oleu nay nol len ran tru6c nd. Dey s6 niy drroc Leonard de Pise b ph6t hiQn ra tr) ndm 1200 nhdn m6t bdi to6n 'lkhdng do ltrdng dudc". Vn ti sd rra = - li sd v6 srr sinh d6 cira m6t v6p th6 vd tt dri ngudi v6 ti. Paccioli (1502) gqi sd m ld "s6?friuo* ta goi d
1 )-qn12 *m -! = O m2= | - tn ; m,3 ='rm - m,2 = 2m - | Hav ' li, * = _ L+n?, m4=2m2-m=2-3m,... LiQu c,0 n6n ta drrgc : tll = ry qurit khdng ? 2)rDem c5c s6 h4ng cta d6y s6 Fibonacci chia Ndu ldy I sd thab phnn thi ta cd : cho 2 ta drtoc e6c du sd li : 1,2,0, 1, L, 0, ... m. = 0,618033989 Cbn ndu chia cho 3 ta drroc cdc drr s6 ld : . cd thd l, lr 2, 0,2,2, 1, 0, 1, 1,2,... dfrng nt Ca hai dey sd tr6n d6u tud,n hoin chu ki bing t}llltfic A_ ldn lttot ld 3 vA 8. ke vi H6y chrlng t6 ring day sd cci drtoc rlng vdi compas theo hinh vE sau ph6p chia cho 4, cho 5, ... crlng tudn hoin ? dAy mi ban / o Tdng qu6t, chrlng minh m6nh d6 sau ddy dqc c6 thd (Lagrange) : Drr s6 cr&.a c6,c sd hang cria day sd kidm tra d6 Fibonacci cho bdt ki sd nguy6n drrong ndo cring ddng: tao n6n m6t d6y s6 tudn horin. AEII IF I 4. Dubng xod.n dc. h.3 EF-FB-m / o 3. Xa hon mQt ch.ilt nrta o Theo tr6n ta c6 : nt. = =l- 4r L +fi1, Talaithay m vdo v6phii cta phrrong trinh I ' l/L= 1 | + l+tn /k E vd crl thd tiSp tgc : m.= t* 1*- t t1 t +50 .Z h.4 // tr 6 'F 1+1+- o Tntdc h6t ta sE dUns m6t dudne xo6n Nhu v5y m ld gSdi h4n cria d6y sd : zigzag mi cdc dinh thti6c" mOt dudnE io6n 111 lo[q{..B6t d4q.biqg mOthinh'chir nhd"t ving ABDF (h.4) chi6u d5i ln I * m vi chi6u rdnE T; 1*T1; 1* 1 ;... la 1. Tr] dinh thdp nhdt - dinh A - ta drinE drrdng thin-g t4o a4 r_nQt_ g6c 45o, dubnE 1*;tI niy cit canh tr6n 16!BD tai C.Hi CH vu'6ns odE y.di44_Ie_quq_c m6t hinh chu nh4t vdng-fi6i Nam sd hang ddu ti6n duoc tinh ra li :1; ln CDFH. Tt C v€'m6t dudns thine ta"o v6i | 2 3 5" canh CH m6t gcic 45o'; drrdndniv c8't DF tai ,; B;b;8; E.Hq EJ vu6ns sdc v6i CH.la [ai drroc m5t hinh cht nhAt vnne m6i. Vd crl thd tiSr: tuc... Sau m6t chrit suy^nghi ta cri thd vi6t drroc Ta thu drroc dudn{xohn zigzag ACEdI...' sd hang tidp theo fa crl thd tiSp tuc. Ban Hinh chir nhAt vbns thrl nhdt ABDF bidn "a fr thdnh hinh chtr rihat vi-ne rhrl hai CDfnAaii dSq qd nhfn ra.la trl sd cl0la cdc phdn s6 dy m6t phdp quay 90d tidp theo li m6t nh6n cJti cliinh ln iric sd hane cta dav sd Fibonaccr s6 nr- (trfc.lh mgt phep'ddng dang'ti 'm).'Cung kh6ng ? Vi cA cric'm6u sd nt6. Thir,dAt vdn nhtr vQy_trl-hinh_chtr irtrat t'ht ha\ CDFH sang hinh chu nhnt thtl ba GHJK,... ddngugcl4i : Li6u ddys6 I ;r;E ; ; ; ... b 8 ..-Cric canh cta c6c hinh ch&nh{t niy kd li6n uep ra : cd phAi ld dev sd h6i tu ddn m kh6ns ? Simson fi134\ dd ch'rlns minh rins dav coir Edm cdc I * rn, l, ffi, | - m, Znt - 1,... s6 hane d vi thtl ch6n eiArf vd'dav coi c6c sd 1 hanq d"vf^tli{_16 tlqg vE cd hai cirhg hQi tu v6 Do rn = | + *ta cd thd viSt bidu thtc cdc nL, nnv vay oay so ay nor Iu Ye n'1. canh tr6n nhtt sau : o Ddn ddv ban doc nio thich thri vdn d6 nL-1, n1,o, m,l, nxz, m,3r.., tron chrinE tt5i xin siiri thi6u hai bni to6n cri Nhu vdy d0 dai c5c canh cric hinh chrl nh6t li6n quan?6n sd ni vd dey sd Fibonacci do tao thinh--mQt cdp sd nhan, cdng b6i e = i. Lagrdnge det ra. o Ta chrlng minh duoc dtrdng xo6i zigzag f l fid- tra lai cric d&ng [ht" ACEGL.. ndi tr6n "h6i tu" t4i didm T, g1ao ' 15
didm cta BF vd DH, hai dudng ch6o trrong P,P"PinP. - Gie stt cdc drrdng ch6o bing ,f.rs nhru trong hai hinh chrr nhat thrt nhdt nhair *7abi'ng 1 ; c.anh'cria ngri gi6c lir' Goi vaTfrr: hai. ? cung chinh li t1m d6ng dpng da E ld giao didm crla P,P. vir P rP o. Ta thay de ncii 6 tr6n. Bav e-rd ta s6 tim c5c c6ng thrlc don ddng ring LPtEP.- can B Po vi :' siAn dd dinh Lai dinh cira drrdng xod:n zigzag LPf 2P;^ LEPzP3 (h.6) 8". Cfron T ld s6c,r li khoAng c6ch tt gdc d54 Trl-dci : ;e";l;h. ta dtrri'y le ti dinh nlv sang dinh PrPz EPz x L-x kd tidp ta phAi quay|, (chi6u ACEGI... nhtt egr: P-P"* T: , hinh 4) vd c6c khoing c6ch tr] dinh ddn g6c T *x2+r-1:0 bi co lai theo ti sd m. N6u chi r s6ldn cria \t*"5 Qun thAt nghidm drrong cua phrrong trinh ndy chinh ld m v4ry. gcic quay ching han A ring v6i t 9 ; C].f.ng v6i o Khi nghiOn crlu v6 ngu gi6c d6u^nguir! 7 = i , ^e fne t = 2,.., ta = cci cong thrlc don Hv Lao dd thu dtroc th6m hai tang phdm'qui ginrr dd dinh-aic "AiCinh cira xoan zigzagld gih nia: dci lA kh6i 12 mat d6u vn kh6i 20 mat ' r:AT.m't " oeu _// Trons kh6i 12 mdt d6u ta chrlng minh drroc h.5 6 khi ndi tlAm ctia cdc'm6t thich hop ta s6 duoc I, 5-iiin[ ctrt nhat vdne. cirn tronq krr6i zo mat Od c6ng thrlc don gi6n hon n[la ta cri c
oE rnr HCIc stNH Gtot roAN rirun MINH nAt ruAu Hoc 1994 - 1995 L6P 8 1) Gqi./ le di6m tr6n doan MN t}rrda : lM : 1 Ctritrry 3NJ. Thdi gian : 120 phrit (kh6ng k6 thdi gian ch6p d6) minh di6m./ di dQng tr6n mQt dudng thEng c6 d!nh. Bii I : (5 d) Hay phan tich s6 1328 thinh t6ng cr'ra hai s6 nguy'en X Y sao cho X chia hdt cho 23 vd Y chia 2) Sdn xanh mqi hinhlBNM. Tinh di€n tich toen phdn h6t cho 29."aHey tinh X vi Y khi -Y - Y : 52. duoc sdn mdu xanh. *5 *3 2x Bii 3 : 1) C6 hay kh6ng d6y t5ng : q+-< az < a3 < a4 < as Bii 2 : (4 d) Cho da thilc f(x).: A - ? + 15 < a6th6a : ai e N v6i i : t,e ; at : | ; a4 : a3+ 1 ; au = 150 dey a1, az, a3 ld cdp s6 cdng; d6,y a4, a5, a) Hey phan :;,clnf(x) thirnh nhAn til auld cdp sd nhAn ? b) Chilng t6 dng/(x) nhQn gie tri nguy6n kh6c 17 v6i mai 2) C6t,ay kh6ng ddy t6ng : bt < bz < bt < bt < bs < bt gi5 tri nguy6n cira x. th6a :Di €Nv6i i : 1.,6 ;br = 2 ;bq : bt+ 1 ; bo : 150 dly bt,bz,bt ld cdp s6 nhAn ; day be, bs, Do ld cdp sd cQng ? Bii3 : (a d) C6 baonhi€us6V6i (v6i1 < a < 6 ; 1 < D < 6 ; 1 < c < 6) th6a mdn difu kiQn : "Tich a.b.c li s6 3) Trong (2) thay h : 2bdi br = 1 vi giit nguy€n c6c cnan. difu kiCn khdc. H6y giAi bdi to6n. Bii 4 : (7 d) Cho tan gAcABC v6t tnrnl tlcdnAM. GSi 4 Bii 4 : Trong kh6ng gian chgJ4r gtec ALAzA. vu6ng tqi.41 ; F lb c5c diiSm ldn lrrQt thu6c c6c cqrir1AB, AC sao cho carhAiz = V3 va A4/t: 30o. Chtng nrinh rSng ME : MF. C]nfirr} minh dng IBC 1A tam gi6c cdn co thd tinr dudc phep chi6u wdng goc sao.cho hinh dinh A trong m5i trrrdng hQP sau : . chi6u crla tangiAcArAy4, la nr6t doqn.thing c6 dQ a) ME vit MF ldn lddt Ie phAn gi6c trong c[ra c{c tam giitc ddi bing V3 vd trung di€im ctra do4n thing d6 lai lA AMB vitAMC. hinh chi6r cira mOt dinh cria tam $6cA.rA.y4, b) ME vd MF lAn hldt le trung tuyt5n cria c6c tam gi6c HOANG CHUNG AMB vitAMC. Ldp 11 Thdi gian 180 phrit (khong k6 chep dd) ci,r cHEP HiNH vuONG Bii L : GiAi vd bi.n lu4n h€ phuc,ng trinh : Cho m6t hinh ru6ng. Hdy vE hai ctJdng chia hinh vu6ng ' ir +t': a d6 thirnh 4 hinh bing nhau sao cho khi cit hinh vu6ng d6 I ; 1 :voi aeR. lcos:x+ccrs)= I -66v theo hai dr.ldng chia ta dudc 4 minh bing nhau vir khi gh6p Bii 2 : Trcr\ mat phing cho hSLQinh h1nhABCD c6 hai rn'lnh lai ta dudc mdt hinh chtr thQp. AB : a, AD : b vb BAD : 45'. lri€m M di dQng tren canhlD ; di6m N di dQng trCn canh BC sao cho : PHAM HUNG AM + BN : i (const) v6i a < I < b. Gid.i dd.p bd.i DIEN s5 vao TAM GIAC Ta d6nh s6 c6c 6 trong hinh tam gi6c Mi cAc chfl sri La m5 ti I c{6n IX nhr.l trong hinh v6 b€n. Ki hi€u ) la TT I II III w VI VII VIII Ix : tring s6 c6c 6 rloc theo m6t 1 5 7 J 8 1 6 9 ) 4 )') canh cria tam gi6c, ta c6 18 2 2 7 6 8 3 4 9 5 1 )') c6ch kh6c nhau didn s6 vAcr 3 4 3 8 6 2 7 9 5 1 f 24 tam gi6c theo thil tu cec 6 4 7 3 5 6 1 8 9 4 24 ti I ddn IX nhrl sau : 5 2 3 9 7 4 6 8 5 1 24 6 6 3 5 7 1 9 8 4 2 24 Ta rhdy o m6i c6ch neu trcn, n6u ta d6i ch6 2 s6 d 7 8 1 6 5 7 3 9 4 2 25 cdLc c{p 6 I vi III ; V vi VI ; VIII vA IX v6i nhau thi ta ) 8 6 7 5 1 9 8 4 3 25 s6 drldc mQt c6ch m6i. Nghia ti li m6t c6ch neu tr6n ta 9 9 2 4 5 8 7 3 4 8 6 ) 1 6 25 25 c6 th6 c6 duoc 2 x 2 x 2 :8 c6ch m6i. V6.y s6 c:4c c:ich 3 7 5 10 11 9 2 4 1 9 5 3 7 6 8 I 25 di6n s6 thoa m5n v6u cdu cira bii ra ld 18 x 8 144 : t2 8 4 3 5 9 I 6 2 7 25 cAch (Iodng Mqni cuong, D6ng H6i, QuAng Binh) a t3 5 I. 9 4 8 3 '7 6 26 Nh{n x6t. Ci4c ban cdn c6 th6 di6n s6 theo c4ch dtii t4 8 1 6 4 9 a 7 3 5 26 2 8 3 9 7 5 4 26 ch6 2 s6 d c.4c c5p 6 d6i xitng v6i nhau qua trqc d6i xing 15 6 1 16 5 2 9 3 4 6 7 8 I 26 cira tam gi6c. a t7 8 1 6 9 4 ., 5 7 28 BiNH PHUONG 18 9 1 5 ) 6 ,7 3 8 4 28 ISS$:0866-8035. Sip chu tai Trung tAm Vi tinh vi Gi6: 2000d Chi s6 12884 In tai Xu6ng Chd b&n in Nhd xudt bAn GiSo dqc. IIai nghin ilbng Md sd r 8BT20M5 In xong vi gtti lrru chidu thring 8/1995
vrEN cONe NGHE u olEru r0 (rMET) rdra DFr orEn rcY rrro6r vr pnrn prrdt smr prrir-r Weornes TFI VIE-I NfiM 6, vAu PHONG GrA0 DrCFr rAr HA Nor 39 Ly Thrrdng Kfi6t, Hoin Ki6rn Ha Ndi Tel. : 84 4 25}7ffi :84 4 261645 Fax:844267645 : TAr rp uit cui MrNH : 4 Ding ldt QuAn 1, TP Hb Chi Minh Tcl.: tl4 8 439134 ; 84 8 431064 Fax : 848 431064 rc: fvliiy tinh Wearnes li sin phdm cria Wearnes Thakral (USA) - li mQt trong nim nhi cung cip mrly tinh l6n nhit. lg: tvliy tinh Wearnes d+t ti6u chudn ISO 9002 do Co quan Ti€u chudn chit luong qudc td cip. lgr lvliy tinh Wearnes dugc biio hinh 03 nim ng'Mriy tinh Wearnes duo. c BQ Gi6o dgc vi Dio t4o chgn li lo4i miiy sE trang bi cho cdc Truo'ng phd th6ng trong nim 1995 nTWearnes L.r.r ##ffiWWT*#*