Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:181

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập" dùng làm tài liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện về toán kinh tế để dự tuyển hệ cao học kinh tế. Phần 1 của tài liệu gồm 3 chương đầu, trình bày về: cơ sở toán của quy hoạch tuyến tính; bài toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình; lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 1

TT TT-TV * ĐHTM 519 RƯỜNG ĐẠI HỘC THƯƠNG MẠI HUO ĐẶNG VẢNTHOAN 2003 GT.0000973 HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP TOÁN KINH TÊ
PGS. TS. ĐẶNG VĂN THOAN HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN KINH TÊ NHÀ XUẤT BẨN THỐNG KÊ - 2003
Ị-
LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Hướng dẫn giải bài tập Toán Kinh tế” được biên soạn dựa trên chương trình môn học “Các phương pháp Toán kinh tê” hiện đang giảng dạy cho sinh viên hệ chính quy của Trường Đại học Thương Mại trong những năm gần đây, mà cơ sở lý thuyết của môn học này đã được trình bày trong cuốn “Các phương pháp Toán kinh tế” xuất bản năm 1998 của cùng tác giả. Nội dung của tài liệu hướng dẫn này gồm 6 chương: Chương I đưa vào phần “Bổ túc về đại số tuyến tính”, nhắc lại một sô' kiến thức cần thiết cho các chương sau. Chương II, III, IV trình bày những nội dung cơ bản nhất và có hệ thống các phương pháp tốỉ ưu hoá của quy hoạch tuyến tính. Trong các chương này hệ thông bài tập được dẫn ra khá đa dạng, bổ ích được chọn lọc từ dễ đến khó. Một số dạng bài tập lý thuyết cũng được giới thiệu, nhằm giúp sinh viên hiểu cơ sở lý thuyết của môn học sâu sắc hơn. Chương V, VI dẫn ra một scrbài toán ứng dụng trong kinh tế của lý thuyết quy hoạch động và quản lý dự trữ. Trong mỗi chương được chia thành các đề mục, trong mỗi đề mục thường có 3 phần: tóm tắt lý
thuyết, một sô bài giái mẫu và một sô bài tự luyện tập. Nội dung cúa các chương mục được trình bày ngắn gọn, rõ ràng, chính xác và đễ hiểu. Hy vọng tài liệu hưởng dẫn này sẽ tao điểu kiện thuận lợi cho sinh viên trong quá trình học ! ập, góp phần nâng cao chất lượng đào tao. Sách có thể dùng iàm ràì liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện vê toan kinh tê đê dự tuyển hệ cao học kinh tế. Trong lần tái bản này, một sô' nội dung đã được bổ sung vào chương II, III và đặc biệt có đưa thêm mục “Hưóng dẫn gỉải một số đê thi tuyển sinh cao học (phần quy hoạch tuyến tính)” trong một sô' năm gần đây của trường Đại học Thương mại và một sô' trường đại học kinh tế khác. Trong quá trình biên soạn, tác giả đã nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp ở bộ môn Toán trường Đại học Thương mại và các bạn hữu khác. Tác giá chân thành cảm ơn tất cả những góp ý chân tình đó. Mặc dù đã rất cô' gắng nhưng không thể tránh được những thiểu sót, mong nhận được những ý kiến đóng góp bô’ ích của bạn đọc. Hà Nội 2003 Tác giả 4
Chương I Cơ SỜ TOÁN CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1. VÉCTƠ N CHIÊU VÀ CÁC PHEP TÍNH I. CÁC ĐINH NGHĨA Ta gọi một tập hợp n sê thực đươc sấp xếp theo một thứ 'ự nhất đinh là một vét tơ n chiều, ký hiệu lắ một mẫu tự, chẳng hạn X, Y, z.. . Nnư vậy X. = [x1.x2,...xI,l. Mỗi số Xj(] = L, 2.... li) đươí gọi ìà thanh phần (hay toạ độ) thứ j củã vécto X - Cac véctơ được- viết theo hàng gọi là các véctơ hàng, cac véctơ được- vi ít theo cột được gọi là các véctơ cột, ví dụ 'Ụ V r 3=0; 1 . 0= 0 ,B = ;0 0 - hai vectv Á - ld1,a2,...,a1J, B = F: ,,h.bj bằng nha i k\ h;éu - B) khi và chỉ khi at - bp - b;,.....ari = b„. Như vậy ■ 3' 1 * -2 5
- Véctơ mà tâ't cà các thành phần của nó đểu bàng không, ta gọi là véctơ không, ký hiệu o = [0,0,...,0] - Đối với hai véctơ n chiều: X = [x!,x2,...,x11], Y - Ta ký hiệu X > Y (đọc là_ X lớn hơn Y) nếu Xị > y, (Ví = l,n), X > Y nếu Xj > Yi (V/ = l,rt) - Véctơ đơn vị. Ta gọi véctơ có một thành phần bằng 1, còn các thành phần còn lại đểu bằng không, là một véctơ đơn vị. Véctơ đơn vị có thành phần thứ i bằng 1, gọi là véctơ đơn vị thứ i, ký hiệu Ej. Như vậy có tất cả n véc tơ đơn vị như sau: . E| = [1,0,...,0] e2 = [0,i,...,0] E„ = [0,0,...,1] 11. CÁC PHÉP TÍNH VÉCTƠ a) Phép cộng hai véctơ: Ta gọi tông của hai véctơ n chiều X và Y là một véctơ n chiều z, mà các thành phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là z = X+Y Zj = Xị+Vị (/• = Ẹrt) b) Phép nhân véctơ với một số: Ta gọi tích của một véctơ n chiều X vởi một sô a là một véctơ n chiểu, ký hiệu aX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được nhân lên với a. Như vậy aX = [axH ax2,..., ax„J - Nếu ta nhân véctơ X với -1, ta nhận được véctơ -X, được gọi là véctơ đối của véctơ X. 6
Các tính chất của phép cộng và phép nhân véctơ vởi một số: - Tính giao hoán: X+Y = Y+X aX = Xa - Tính kết hợp: (X+Y)+Z = X+(Y+Z) = X+Y+Z a (px) = (aP)X = apx - Tính phân bố: a(X+Y) =aX+aY , (a+p)X = ax+px c) Tích vô hướng của hai véctơ: Ta gọi tích vô hướng của 2 véctơ n chiều X và Y là một số thực, được xác định bải tông các tích của các thành phần tương ứng của X và Y, ký hiệu (X,Y) hạy X.Y Như vậy „ (X,Y) = x1y1+x2y2+...xnyn = Ví dụ: X = (-2,3,-1,0), Y = (4,-1,5,2) thì (X,Y) = - 8 - 3 - 5 * 0 = -16 Các tính chất của tích vô hướng: (X,Y) = (X,Y) (kX,Y) = (X,kY) = k(X,Y) (X+Y.Z) = (X,Z)+(Y,Z) (X,X) > 0. Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi X = 0 §2. ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH - Ta gọi hệ m véctơ n chiều Al,A2,...,Am là phụ thuộc tuyến tính nếu đối vối mỗi véctơ Ai đều tìm được một hằng sô a„ trong đó có ít nhất một a, * 0 sao cho: a1Al+a.2A2+...+alllA,n = 0
- Nếu đẳng thức trên chỉ xẩy ra khi a, - Q(Vz = \,m) thì hệ véctơ Ai ụ - I,zn) gọi là độc lập tuyến tính. - Cho hệ m véctơ: A|,A2,...,A11, và véctơ A. Nếu có đẳng thức A = k1A1+k2A2+...+kniA111 trong đó kị (i = l,m)là các hằng số xác định, thì ta nói A là tô hợp tuyến tính của các véctơ Aj(z = 1,/n), hay A biểu diễn tuyến tính qua các véctơ A, (i = l,w) Ví dụ: Cho Aị = [-2,1,0 ], A2 = [1,3,2], A3 = [4,-1,1] thì A = 2Aj+5A2-3A3 = [-11,20,7] là một tổ hợp tuyến tính của Aj,'A2 và A3. Về sự biểu hiện của hệ véctơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, ta có các mệnh đề sau: - Một hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ của hệ biểu diễn tuyến tính qua các véctợ còn lại. Vi dụ. Hệ ba véctơ A = [3,2,-4], B = [2,-1.3], c = [0.-7. 17] là phụ thuộc tuyến tính vì c = -2A+3B - Một hệ véctơ là độc lập’ tuyến tính khi và chỉ khi bất kỳ véctơ nào của hệ cũng không thể biểu diễn tuyến tính qua những véctơ còn lại. Ví dụ. Hệ. ba véctơ A = [3,2, -4], B = [2, -1,3], D = [2,2,2] là độc lập tuyến tính vì không có véctơ nào trong chúng có thể biểu diễn tuyến tính qua hai véctơ kia. - Một hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa nó cũng phụ thuộc tuyến tính, - Một hệ véctơ là độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính. 8
§3. HẠNG CỦA HỆ VÉCTƠ 1. Hệ con độc lập tuyến tính cực đại: Cho một hệ véctơ (có thê gồm một sô hữu hạn hay vô hạn các véctơ). Giả sử hệ này có một hệ con gồm h véctơ độc -lập tuyến tính, sao cho nếu thêm vào hệ đó bất kỳ một véctơ nào của hệ đã cho, ta đểu được hệ (h+l) véctơ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta nói hệ h véctơ ấy là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véctơ đã cho. Ví dụ. Xét hệ gồm ba véctơ A = [1,-2,3], B = [4,2,-1], c = [6,-2,5] A,B là 2 véctơ độc lập tuyến tính, c có thể biểu diễn tuyến tính qua 2 véctơ A và B: c = 2A+B, nên hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ ba véctơ đã cho gồm hai véctơ A và B. - Đôi với một hệ véctơ đã cho, mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của nó có sô lượng véctơ bằng nhau. 2. Hạng của hệ véctơ: Số lượng các véctơ trong hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ véctơ, được gọi là hạng của hệ véctơ ấy. - Nếu hạng của hệ véctơ bằng h, thì mỗi véctơ của hệ đểu có thể biểu diễn dưới dạng tô hợp tuyến tính của h véctơ độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ và cách biểu diễn đó là duy nhất. §4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ 1. Định nghĩa 1: Tập hợp tất cả các véctơ n chiều vối hai phép tính cộng và nhân véctơ với một số đã nêu ở phần 1.2 được gọi là không gian véctơ n chiều trên trường sô thực (còn gọi là không gian tuyến tính n chiểu), ký hiệu R". 9
b) Tích của ma trận vói một hằng sô: Ta gọi tích cùa ma trận A cấp m.n với một hằng sô a là ma trận cấp m.n. ký hiệu là aA, mà các phẩn tử của nó là các phẩn tử tương ứng của A được nhân lên vói a: aA = [aa,)],,, „ Hai phép tính trên có các tính chất sau: - Tính giao hoán: A+B = B+A; aA = Aa - Tính kết hợp: (A+B)+C = A+(B+C); a(PA) = (aP)A - Phân bô': a(A+B) =*aA+aB (a+P)A = aA+pA c) Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A cấp m.n và ma trận B cấp n,p, thì tích A.B = c là ma trận cấp m.p, mà phầntử nằm ở hàng i cột j của nó được xác định bởi tổng các tích của các phần tử nằm trên l)àììg i của ma trận A (đứug trưốc) vôi các phần tu nằm trên cột j của ma trận B (đứpg sau), nghĩa là Ả=I Rõ ràng phép nhân ma trận có diều kiện, dó là sô cột của ma trận dứng trưốc phải bằng số hậng của ma trận đứng sau, nên phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Đối với phép nhân ma trận vẫn có tính chất kết hợp và phân bô khi các ma trận tham gia phép tính thỏa mãn điều kiện nhân được. Nếu A cấp m.n. B cấp n.p. c cấp p.q thì A(B.C) - (AB)C Nêu A cấp m.n. B cấp m.n, c câp n.p thì (A+B)C - AC+BC 12
Các ví dụ: '1 -1 -1 2 3’ 2 6 0 1 3 2 1 4 0 1 1 3 '6 3 12 1 [2 1 4] = 2 1 4 9íứ 4 2 8 §6. ĐỊNH THỨC 1. Định nghĩa: ửng với mỗi ma trận vuông A cấp n, có một số xác định gọi là định thức của nó (ký hiệu IAI) - là tông cùa n! sô hạng, mỗi sô hạng là một tích của n phần tử nằm trên n hàng và n cột khác nhau cùa ma trận A, và đằng trước mỗi số hạng đặt thêm dấu (+) hay dấu (-) theo quy tác sau: Nôi các phần tử của sô hạng đó với nhau bằng những đoạn thẳng. Nếu sô các đoạn thẳng có đầu mút phải cao hơn đầu mút trái là chẵn (kể cả bằng 0), thì sô hạng đó mang thêm dấu +. ngược lại sô các đoạn thẳng như thê là lẻ, thì sô hạng đó mang thêm dấu Chẳng hạn: 13
Ví dụ. 3! r _ = 1.5-(-2X-3) = -I Đôi với ma trận vuông A cấp ba, ta có định thức cấp ba tương ứng là: au 3.12 ai3 ỊA| = Hq] &22 a23 a11a22a33_t'a21a32ai3'*’ai2a23a3t- a31 3-32 a33 -a3ia22ai3_a2iai2a33”a32a23ail Định thức cấp ba có 3! - 6 sô hạng. - Quỵ tắc (dễ nhở) đễ tính định thức cấp 3: Những sô hạng là tích, các phần tử trên đường chéo chính hoặc tích các phần tử trên đường song song với đường chéo chính và phần tử nằm ở góc đốì diện thì mang dấu +. Những số hạng mang thêm dấu - cũng thành lập, tương tự như vậy nhưng đối với đường chéo phụ. Ví dụ. 2-15 D = 4 3 1 = 2.3(-3)+4(-4)5+l(-l)7-7.3.5- 7-4-3 i -l(-4)2-4(-l)(-3) =-214 * 2. Tinh chât của dịnh thức: Ta nêu ra một vài tính chất thông dụng cua định thức 14
- Nếu tất cà các phắn tử cúa một hàng nào dó (hoặc một cột nào dó) đểu bằng 0. thì định thức bằng 0. - Định thức có hai hàng (hoặc hai cột) tỳ lệ thì bằng 0. - Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) vói cùng một số. rồi cộng vào các phần tử tương ứng của một hàng (hoặc một cột) khác, thì định thức không thay đổi. 3. Định thức con và phần phụ đại sô của phần tử a,j - Nếu trong định thức cấp n ta bỏ đi hàng i và cột j (hàng và cột chứa phần tử ay), thì các phần tử còn lại tạo nên 11101 định thức cấp (n-1). Định thức này gọi là định thức con của phần tử ajj, ký hiệu là Mir - Phần phụ đại sô của phần tử a,j, ký hiệu là A,J và ■ 4. Khai triển định thức theo hàng (hoặc cột) Định lý: Định thức bằng tông các tích giữa các phần tử của một hàng (hoặc một cột) bất kỳ’với các phần phụ đại sô tương ứng của chúng. Như vậy, nêu D là một định thức cập n, thì il D = V a„A„ (khai triển theo hàng i) hoặc '=l H = X. ư,z A't (khai triển theo cột j)
§7. HẠNG CỦA MA TRẬN 1. Định nghĩa: Ta gọi hạng của hệ véctơ cột của ma trận A là hạng của nó. Từ cấu trúc của ma trận A người ta chứng minh được rằng: hạng của hệ véctợ cột của A luôn bằng hạng của hệ véctơ hàng của rió. Như vậy hạng của A câp m.n bao giò cũhg nhọ hơn hạỵ bạng min{m,n}. ■2. Định thức cặiícửa ma trận A: Từ ma trận A cấp m.n/ta lấy ra một cách tùy ý k hàng và k cột (1 < k < min{m,n}. Các phần tử nằm ở giao của k hàng và k cột ấy tạo ra thành một ma trận vuông cấp k và định thức cua nó gọi là định thức con cấp k của ma trận A. - Nếu ta chọn k hàng và k cột theo tất cả các cách khác nhau, ta sẽ được tất cả các định thức con cấp k của ma trận A. Ta có thể chứng minh được rằng: Nêu tai cả các định thức con cấp k của ma trận A đều bằng không, thì tất cả các định thức con cấp cao hơn k của A cũng bằng 0. 16
3. Định lý vể hạng của ma trận: Cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận A đã cho bằng hạng của ma trận ấy. Chú ý: Có nhiều cách tính hạng của ma trận, nhưng một trong những cách đó là tìm định thức con cấp cao nhất khác không của các ma trận có cấu tạo đặc biệt, mà ta sẽ thấy ở Chương II và III. Ta xét một số ví dụ tìm hạng ma trận: Cho ma trận ■-2 -3 2 2 0 -3 1 2 A= 0 1 0 0 , tìm hạng của A. 0 0 0 1 Vì A là ma trận vuông, nên ta có thể tính định thức của nó -2 -3 2 2 0 -3 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 Khai triển định thức trên theo cột một và sau đó khai triển định thức cấp ba theo hàng ba ta được: • -3 1 2 1 H = -2(-l)l+' 1 0 0 = -2(-l) = 2 * 0 0 Ọ 0 1 Định thức con cấp cao nhất khác không của A là định thức cấp bốn, nên hạng của A bằng 4. 17
- Tìm hạng cúa B -2 11 0 5= -3 1 0 2 10 0 0 Tính định thức con cấp ba của B -2 1 1 Dy = -3 1 0 = -1*0 , nên hạng của B bằng 3. 1 0 0 §8. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Cho A là ma trận vuông cấp n có định thức khác không, thì ta nói A là ma trận không suy biến. Đối với ma trận vuông A cấp n không suy biến, bao giò cũng tồn tại một ma trận cùng cấp A'1 sao cho: AA’1 = A'*A - E (ma trận đơn vị). A’1 gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Đối với cặp ma trận Avà A’1 phép nhân có tính chất giao hoán. Để tính ma trận nghịch đảo của A, ta viết ma trận [AI E]. Sau đó trên các hàng của ma trận này ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: - Nhân một hàng (cột) với một sô khác không. - Nhân một hàng (cột) với một sô khác không, rồi cộng vào một hàng (cột) khác. Ta biến đổi sao cho A trở thành E. khi đó E sẽ trở thành A’1. Chú ý ràng nếu A không thể biến đổi thành E thì ma trận A suy biến và A 1 không tồn tại. 18
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: 1 -3 2 A = -2 5 -1 "L1 0 ~51, Lập ma trạn [AI E] và Diên đổi: 1-3 2 1 0 0' ì -3 2 0 0 -2 5 -1 0 1 0 => 0-13 1 0 1 0-5 0 0 1 0 3-7 0 1 c~- 25 15 10 0 I co co co rH co 1 0 -7 -5 -3 0' 2 2 11 7 => 0 1 -3 -2 -1 0 => 0 10 I 2 2 0 0 2 5 3 1 5 3 0 0 1 I 2 2 Như vậy 25 15 7 2 3 2 1 2 2 2 §9. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Các định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình à n ân có dạng 19
+ «12*2 +-+«l„*„ = bl aĩtxt + ơ,,x2 + ... + CI1IIXII = h, "mlXl + am2Xĩ + - + “nIHXll = bm ở đây ta sử dụng các ký hiệu: a;j là hệ sô của ẩn Xj trong phương trình thứ i, ụ _ Ị m j = 1,") A = [a^lm.n là ma trận hệ số của phương trình, b = [bị, b2,..., bin]T - véctơ vê phải của hệ phương trình, .X - [x1,x2,...x11]T - véctơ ẩn số của hệ phương trình, Aj = [aJa2j,...,ainj]T - véctơ cột thứ j của ma trận A .4 = [A l.b]- ma trận mở rộng của hệ phương trình. Hệ phương trình trên còn có thể viết dưới dạng: ỈXx, = A,(/ = 1,w) . 7=1 hoặc viết dưởi dạng véctơ H /=I và dưới dạng ma trận' AX = b - Hệ được gọi là hệ thuần nhất nếu b( = 0 (Ví = l,m), trong trường hợp ngược lại (không phải mọi bị = 0), ta gọi là hệ không thuần nhất. - Véctơ X thỏa mãn mọi phương trình của hệ, được gọi là một nghiệm của hệ. - Một hệ có ít nhất một 'nghiệm gọi là hệ có nghiệm hay hệ tương thích. 20