Tóm tắt Chuyên khảo đa thức - Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

433
lượt xem 124
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

phần a lý thuyết và ví dụ Định nghĩa và các phép toán Hệ số và các giá trị đa thức Đa thức với các yếu tố giải tích Phép chia đa thức:ước bội ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN I. Định nghĩa đa thức: Cho hàm số f: R? R Ta gọi f là đa thức nếu: f ? const (hằng số) hoặc tồn tại Z n? , n ? 1 và các số thực n a a a a ,...., , , 2 1 0 với 0 ? n a sao cho:...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Chuyên khảo đa thức - Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò

LEÂ HOAØNH PHOØ Nhaø giaùo öu tuù CHUYEÂN KHAÛO ÑA THÖÙC TAØI LIEÄU DUØNG CHO CAÙC LÔÙP CHUYEÂN TOAÙN, BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI VAØ THAM KHAÛO CHO SINH VIEÂN NGAØNH TOAÙN NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP. HOÀ CHÍ MINH 2003
PHAÀN A: LYÙ THUYEÁT VAØ VÍ DUÏ A1. ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN A2. HEÄ SOÁ VAØ GIAÙ TRÒ ÑA THÖÙC A3. ÑA THÖÙC VÔÙI CAÙC YEÁU TOÁ GIAÛI TÍCH A4. PHEÙP CHIA ÑA THÖÙC. ÖÔÙC – BOÄI A5. NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙC A6. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BA VAØ BAÄC CAO A7. NGHIEÄM VÔÙI YEÁU TOÁ GIAÛI TÍCH A8. PHAÂN TÍCH THEO CAÙC NGHIEÄM. SOÁ NGHIEÄM A9. ÑÒNH LÍ VIETE A10. COÂNG THÖÙC NOÄI SUY LAGRANGE A11. KHAI TRIEÅN VAØ BIEÅU DIEÃN A12. NHÒ THÖÙC NEWTON – TOÅ HÔÏP A13. ÑA THÖÙC HEÄ SOÁ PHÖÙC – SOÁ PHÖÙC A14. ÑA THÖÙC HEÄ SOÁ NGUYEÂN – SÖÏ KHAÛ QUI A15. ÑA THÖÙC NHIEÀU BIEÁN – ÑA THÖÙC ÑOÁI XÖÙNG
ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN I. Ñònh nghóa ña thöùc: Cho haøm soá f: R R Ta goïi f laø ña thöùc neáu: f  const (haèng soá) hoaëc toàn taïi n  Z , n  1 vaø caùc soá thöïc a 0 , a1 , a 2 ,...., a n vôùi a n  0 sao cho: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n * a 0 , a1 ,..., a n laø caùc heä soá a 0  0 laø heä soá cao nhaát. a n laø heä soá töï do. Ñaëc bieät, khi a 0  1 thì ña thöùc ñöôïc goïi laø ña thöùc chuaån taéc hay monic *Vôùi a 0  0 thì n laø baäc cuûa ña thöùc f(x), kyù hieäu deg f = n. Ñaëc bieät f  const thì deg f = 0. n *Ñoâi khi ta vieát goïn: f (x)   a i x ni hay vieát ngöôïc laïi: i 0 n f (x)   b k x k  b n x n  b n1x n1  ....  b1x  b 0 , b n  0 k 0 II. Ña thöùc treân caùc taäp soá: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n Neáu caùc heä soá a i  R thì kí hieäu f  Rx Neáu caùc heä soá a i  Q thì kí hieäu f  Qx Neáu caùc heä soá a i  Z thì kí hieäu f  Zx III. Caùc pheùp toaùn: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n f (x)  b 0 x n  b1x n1  ....  b n1x  b n Thì ta coù 3 pheùp toaùn thoâng thöôøng: f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); vaø pheùp hôïp f 0 g(x)  f (g(x)) Töø f(x), g(x) ta coù theå vieát hình thöùc: f (x)  A 0 x n  A1x n1  ....  A n1x  A n g(x)  B 0 x n  B1x n1  ....  B n1x  B n Vôùi k  maxn, m; A i  0 or a1 , B i  0 or b1 thì f (x)  g(x)  A 0  B 2 x k  (A1  B1 )x k 1  ...  (A k  B k )
vaø f (x).g(x)  c 0 .x 2k  c1 .x 2k 1  ...  c 2k 1 .x  c 2k Keát quaû: Cho f , g  Rx and deg f  n, deg g  m deg (f  g)  maxm; n thì deg (f .g)  m  n deg f 0 g  n.m IV.Ña thöùc sai phaân: Cho f  Rx, deg f  n ña thöùc sai phaân:   n n  f (x  1)  f (x)   a i (x  1) ni   a i x  1 n i  x n i f i 0 i 0 coù baäc laø n-1 vaø heä soá cao nhaát na0.  Töø ñoù ta coù daõy ña thöùc sai phaân giaûm daàn moät baäc k f . V.Ña thöùc Chebyshev: T0 (x)  1, T1 (x)  x Tn(x) vôùi  Tn 1 (x)  2x.Tn (x)  Tn 1 (x), n  1 Cuï theå: T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) = 2x2 – 1 T3(x) = 4x3 – 3x T4(x) = 8x4 – 8x2+1 T5(x) = 16x5 – 20x3 + 5x ,… Ña thöùc Chebyshev Tn(x) coù baäc n vaø coù heä soá cao nhaát 2n-1. Ñoâi khi ta chæ xeùt n  1 trôû ñi. Keát quaû: (1): Tn (cos )  cos . Ta chöùng minh baéng qui naïp theo n lôùn hôn hoaëc baèng 1. Khi n = 1: T1 (cos )  cos Khi n = 2: T2 (cos )  2cos 2  1  cos2 Giaû söû Tk (cos )  cosk thì Tk 1 (cos )  2cos .Tk (cos )  Tk 1 (cos )  2cos .cosk  cos(k  1)  cos(  k )  cos(  k )  cos(k  1)  cos(k  1) (True ) Do ñoù: Tn (cos )  cosn (2) : Tn (x)  1, x 1,1 . Vì x  1 neân ñaët x= cos  Tn (x)  Tn (cos )  cos n  1  (3) : Tn (x)  1 coù ñuùng n nghieäm phaân bieät treân  1,1 laø: x  cosk k  0,1,..., n  1 , n
 Vôùi x  1 thì Tn (x)  1  cosn  1  sinn  0  n  k , k  Z    k , k  Z n  Do ñoù: x  cos  cosk , k  0,1,...n  1 n VI.Ña thöùc löôïng giaùc: n Daïng: L n (x)  a 0   a k .coskx  b k .sinkx vôùi a n  b n  0 goïi laø ña thöùc löôïng giaùc caáp n vôùi k 1 caùc heä soá a0 , ak , bk . n Neáu caùc ak = 0 thì L n (x)  a 0   b k .sinkx k 1 n Neáu caùc bk = 0 thì L n (x)  a 0   a k .coskx k 1 Ví duï: f ( x)  x  2x  x  1 3 2 Cho ña thöùc: g ( x )  4x  x  3 ; h ( x)   x  x  8 4 3 2 Xaùc ñònh f(x) + g(x); g(x).f(x); h(x3) vaø g0h(x). Giaûi: = x3 – 2x2 + x – 1 + 4x2 – x + 3 = x3 + 2x2 + 2 Ta coù: f(x) + g(x) = (x3 – 2x2 + x – 1)( 4x2 – x + 3) f(x).g(x) = 4x5 – 9x4 + 9x3 – 11x2 + 4x – 3 h(x3) = - x9 + x6 + 8 = g(h(x)) = 4(- x3 + x2 +8)2 – (- x3 + x2 +8) +3 g0h(x) =4x6 – 8x5 + 4x4 – 63x3 + 62x2 + 251